信号与系统课后题答案

《信号与系统》课程习题与解答第二章习题(教材上册第二章p81-p87)2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。

图(a)：微分方程：11222012()2()1()()()2()()()()2()()()c cc di t i t u t e t dtdi t i t u t dtdi t u t dt du t i t i t dt ⎧+*+=⎪⎪⎪+=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩图（b ）：微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+++=+++⎰⎰2021'2'21'2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i Ct e Ri Mi Li dt i C)()(1)(2)()2()(2)()(33020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+++++-⇒ 图(c)微分方程：dt i C i L t v ⎰==211'101)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎰dt t v L i t v L i dtdt v L i dt d)(1)(1)(10110'1122011∵ )(122111213t i dt d L C i i i i +=+=)(0(1]1[][101011022110331t e dt dR t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ=+++++⇒图(d)微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=⎰)()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μRC v dt d 1)1(1+-⇒μ)(11t e V CR = ∵)()(10t v t v μ=)()(1)1(0'0t e R v t v R Cv v =+-⇒2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。

（1） 2)0(,1)0( 0)(2)(2)('22===++++r r t r t r dt d t r dt d 给定：； 特征方程：0222=++αα特征根：+-=11αj --=12αj零输入响应：t te A eA t r 2121)(αα+=代入初始条件，⇒2A121=-=A)sin 3(cos 2)(21t t e e e t r tt t -=+-=-αα （2） 2)0(,1)0( 0)()(2)('22===++++r r t r t r dt d t r dt d 给定： ；特征方程： 0122=++αα特征根：121-==αα零输入响应：te A t A t r -+=)()(21代入初始条件，⇒1A321==A te t t r -+=)13()(（3） 1)(0,0)0()0( 0)()(2)("'2233====+++++r r r t r dt d t r dt d t r dt d 给定：特征方程： 0223=++ααα特征根：121-==αα 0=α零输入响应：321)()(A e A t A t r t++=- 代入初始条件，⇒1A1A 321=-==A te t t r -+-=)1(1)(2-5 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下三种情况：（1） )()(,0_)0(),()(2)(t u t e r t e t r t r dt d===+ （2） )()(,0_)0(),(3)(2)(t u t e r t e dt dt r t r dt d ===+（3） )()(,1_)0(,1_)0(),()(4)(3)(2'22t u t e r r t e dt dt r t r dt d t r dt d ====++试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其r(0+)值，对（3）写出r(0+)和r’(0+)值。

解: (1) 由于方程右边没有冲激函数)(t δ及其导数，所以在起始点没有跳变。

∴0)r(0)r(0 -==+(2) )()(d )(3)(2)(t t e dt t e dt d t r t r dt d δ==+ ，即方程右边有冲激函数)(t δ设：)()()(t u b t a t r dt d∆+=δ )()(t u a t r ∆=则有：)(3)(2)()(t t u a t u b t a δδ=∆+∆+-6b 3,a ==⇒3)0()r(0 =+=∴-+a r(3) )()(dt d )()(4)(3)(222t t e t e dt d t r t r dt d t r dt d δ==++ 即方程右边含有)(t δ 设：)()()()('22t u c t b t a t r dt d ∆++=δδ)()()(t u b t a t r dt d∆+=δ )()(t u a t r ∆=则有：)()(4)(3)(3)(2)(2)(2't t u a t u b t a t u c t b t a δδδδ=∆+∆++∆++43c 21b 0a -===∴ ∴1)0()0(=+=-+a r r23)0()0(''=+=-+b r r2-6 给定系统微分方程)(3)()(2)(3)(22t e t e dt d t r t r dt d t r dtd +=++若激励信号和起始状态为以下二种情况:(1) e(t)=u(t),r(0-)=1,r ′(0-)=2(2) e(t)=e -3tu(t),r(0-)=1,r ′(0-)=2试分别求它们的完全响应,并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量.2-7 电路如图所示，t=0以前开关位于“1”，已进入稳态，t=0时刻，S 1和S 2同时自“1”转至“2”，求输出电压v0(t)的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各响应分量（E 和I S 各为常量）。

解：-=0t 时刻，)0()0(0--==v E u c题图2-7)()()()()(00t u t v t u I Rt v t pCu c s c ==+∴系统微分方程：)()(1)(00t u I t v R t v dt d C s =+ 零状态响应：)()()()()(111t u RI eRI t u B e A t r s t RCs t RCzi +-=+=--零输入响应：)()()(112t u Eet u eA t r t RCt RCzs --==完全响应：()()()(=+=t r t r t r zs zi t RCEe 1-)()1t u RI eRI s t RCs +--2-8 电路如图所示，0<t 时，开关位于“1”且已达到稳定状态，0=t 时刻，开关自“1”转至“2”。

（1） 试从物理概念判断i(0-)，i’(0-)和i(0+)，i’(0+)；（2） 写出+≥0t 时间内描述系统的微分方程表示，求i(t)的完全响应；（3） 写出一个方程式，可在时间∞<<∞-t 内描述系统，根据此式利用冲激函数匹配原理判断0-时刻和0+时刻状态的变化，并与（1）的结果比较。

解： （1）-=0t 时刻，0)0(i )i(010)0(l -===--v u c 10)]0()0([1)0(1)0(0)0(1)0(0)0(''=-=====--+--+c l l u e L u L i u L i i（2）+>0t 时间内系统的微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧==++)()(0)()()(t u dt d C t i t Ri t i dtd L t u c c)()()(22=++⇒t i t i dt dt i dt d全解： )(t i t j t j eA eA )2321(2)2321(1--+-+=代入初始条件10)0(,0)0('==++i i)23sin(320)(21t e t i t -=⇒（3）在∞<<∞-t 时间内，系统微分方程：)()()()(22t e dt d t i t i dt d t i dt d =++⇒，其中)(1010)(t u t e +=2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应)(t h 和阶跃响应)(t g（1） )(2)(3)(t e dt d t r t r dt d =+（2） )()()()()(22t e t e dt d t r t r dt d t r dt d +=++（3） )(3)(3)()(2)(22t e t e dt dt e dt d t r t r dt d ++=+解：（1）)()(t t e δ=对应系统冲激响应h(t) )(2)(3)('t t r t r dt dδ=+)()(3t u Ae t h t-=用冲激函数匹配法，设：)()()()('t u c t b t a t h dt d∆++=δδ )()()(t u b t a t h ∆+=δ则有：)(2)(3)(3)()()(''t t u b t a t u c t b t a δδδδ=∆++∆++ 18,6,2 =-==∴c b a )(6e -(t)2h(t) -3tt u δ=∴)()(t u t e =对应于系统的阶跃响应g(t)则有：)(2)(3)(t t r t r dt dδ=+)()(3t u Ae t g t -= 设：)()()(t u b t a t g dt d∆+=δ )()(t u a t g ∆= 6,2-==⇒b a)(2)(3t u e t g t-=⇒(2) )()()()()(22t e t e dt d t r t r dt d t r dt d +=++)()(t t e δ=对应系统冲激响应h(t)： )()()()()('22t t t h t h dt d t h dt d δδ+=++)(][)()2321(2)2321(1t u eA eA t h t j t j --+-+=11)(2+++=p p p p H 23132132313213j p j j j p j j ----++--+=∴tjtje j e j t h 231231)32121()32121()(--+--++= 0≥t)()23sin 3123(cos)(21t u t t et h t +=-∴⎰⎰∞-==tt d h d h t g 0)()()(ττττ)(]1)23sin 3123cos([21t u t t et ++-=-（3）)(3)(3)()(2)(22t e t e dt dt e dt d t r t r dt d ++=+211233)(2+++++++=p p p p p p H ∴)()()()()()(2't u e t t t p H t h t-++==δδδ ∴)()2123()()()()()(202t u e t d e t u t d h t g t t t -∞---+=++==⎰⎰δτδτττ2-10 一因果性的LTI 系统，其输入、输出用下列微分—积分方程表示：⎰∞∞---=+)()()()(5)(t e d t f e t r t r dt dτττ其中)(3)()(t t u e t f tδ+=-，求该系统的单位冲激)(t h 。