高中数学新课程创新教学设计案例函数的概念

高中数学新课程创新教学设计案例函数的概念

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6 函数的概念

教材分析

与传统课程内容相比，这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式．事实上，“先讲映射后讲函数”比“先讲函数后讲映射”，有利于学生更好地理解函数概念的本质．第一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；第二，直接进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上，而不必花大量精力学习映射，使其认识映射与函数的关系后才能理解函数的概念．

函数概念是中学数学中最重要的概念之一．函数概念、思想贯穿于整个中学教材之中．通过实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念．

对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念．其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质．教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解．教学目标

1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．

2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．

3. 了解映射的概念．

任务分析

学生在初中对函数概念有了初步的认识．这节课的任务是在学生原认知水平的基础上，用集合与对应的观点认识函数，了解构成函数定义的三要素，认识映射与函数是一般与特殊的关系．

教学设计

一、问题情景

1. 一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标．炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h随时间t的变化规律是h＝294t－，（0≤t≤60，

0≤h≤4410）．

2. 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况．

3. 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显着变化．

表6-1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

问题：分析以上三个实例，对任一个给定的ｔ，射高ｈ、臭氧层空洞面积Ｓ、恩格尔系数是否有值与之对应若有，有几个

二、建立模型

1. 在学生充分分析和讨论的基础上，总结归纳以上三个实例的共同特点

在三个实例中，变量之间的关系都可以描述成两个集合间的一种对应关系：对于数集Ａ中的任一个ｘ，按照某个对应关系，在数集Ｂ中都有唯一确定的值与之对应．

2. 教师明晰

通过学生的讨论归纳出函数的定义：

设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y叫作函数值，函数值的集合：｛y｜y＝f（x），x∈A｝叫作函数的值域．

注意：（1）从函数的定义可以看出：函数由定义域、对应法则、值域三部分组成，它们称为函数定义的三要素．其中，y＝f（x）的意义是：对任一x∈A，按照对应法则f有唯一y与之对应．

（2）在函数定义的三个要素中，核心是定义域和对应法则，因此，只有当函数的对应关系和定义域相同时，我们才认为这两个函数相同．

思考：函数f（x）＝与g（x）＝是同一函数吗

三、解释应用

［例题］

1. 指出下列函数的定义域、值域、对应法则各是什么如何用集合与对应的观点描述它们

（1）y＝1，（x∈R）．（2）y＝ax＋b，（a≠0）．

（3）y＝ax2＋bx＋c，（a＞0）．（4）y＝kx，（k≠0）．

解：（3）定义域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜y≥｝对应法则f：自变量→a（自变量）2＋b·（自变量）＋c，即：f：x→ax2＋bx＋c

（1），（2），（4）略．

2. 已知：函数f（x）＝

（1）求函数的定义域．

（2）求f（－3），f（）的值．

（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．

目的：深化对函数概念的理解．

3. 求下列函数的值域．

（1）f（x）＝2x．（2）f（x）＝1－x＋x2，（x∈R）．

（3）y＝3－x，（x∈N）．

解：（1）｛y｜y≠0｝．（2）｛y｜y≥｝．（3）｛3，2，1，0，－1，－2，…｝．

4. （1）已知：f（x）＝x2，求f（x－1）．

（2）已知：f（x－1）＝x2，求f（x）．

目的：深化对函数符号的理解．

解：（1）f（x－1）＝（x－1）2．

（2）f（x－1）＝x2＝［（x－1）＋1］2＝（x－1）2＋2（x－1）＋1．

∴f（x）＝x2＋2x＋1．

［练习］

1. 求下列函数的定义域．

2. 已知二次函数f（x）＝x2＋a的值域是［－2，＋∞），求a的值．

3. 函数f（x）＝［x］，［x］表示不超过x的最大整数，求：

（1）f（），（2）f（－）．

四、拓展延伸

在函数定义中，将数集推广到任意集合时，就可以得到映射的概念． 集合A ＝｛a 1，a 2｝到集合B ＝｛b 1，b 2｝的映射有哪几个 解：共有4个不同的映射．

思考：集合A ＝｛a 1，a 2，a 3｝到B ＝｛b 1，b 2，b 3｝的映射有多少个 点 评

这篇案例设计完整，条理清楚．案例从三个方面（实际是函数的三种表示方法，为后续内容埋下伏笔）各举一个具体事例，从中概括出函数的本质特征，得出函数概念，体现了由具体到抽象的认知规律，有利于学生理解函数概念，更好地体现了数学从实践中来．例题、练习由浅入深，完整，全面．映射的概念作为函数概念的推广，处理方式有新意．“拓展延伸”的设计为学生加深对概念的理解，提供了素材．

在“问题情景”中的三个事例中，第一个例子中的“对应关系”比较明显，后两个例子则不太明显．如果能在教学设计中加以细致对比说明，效果会更好．