《函数的概念》教学设计

《函数的概念》教学设计

人教版《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》第一章

概述：

《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.如何上好一节概念课，概念不是由老师讲出，而是让学生去发现，并归纳概括出概念呢？从而让学生更好的理解概念，熟练的去应用概念解决问题.在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，从而去发现问题、提出问题和解决问题. 注重培养他们的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力及抽象概括能力.

运用新课标的理念，我从以下几个方面加以说明：教材内容分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析

【教材内容分析】

1.教材的地位及作用

函数的概念是人教版数学必修①第一章第二节的内容，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具．本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，学习了本小节后，为以后学习其他类型的函数打下扎实的基础。由于函数反映出的数学思想渗透到数学的各个领域并且它在物理﹑化学及生物等其他领域也有广泛的应用．因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一。

2.学情分析

在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，且比较习惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。由于函数的概念比较抽象，学生思维不成熟、不严密，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。

【教学目标分析】

根据上述教材内容分析，并结合学生的学习心理和认知结构，我将教学目标分成三部分进行说明：

知识与技能：

1、从集合与对应的观点出发，加深对函数概念的理解

2、理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则

3、理解函数符号的含义。

过程与方法：

在丰富的实例中，通过关键词的强调和引导，使学生发现、概括出它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

情感、态度与价值观：

采用从实例中抽象概括出函数概念的方法，不仅为学生理解函数打下感性基础，而且注重学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考、解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识。

【教学重点】函数的概念及y=f(x)的理解与深化。

【教学难点】函数的概念及函数符号f(x)的理解。

【教学关键】在集合与对应的基础上理解函数的概念。

【课型结构】新授课。

【教具准备】多媒体课件。

【教学学法分析】

1.教法分析

充分利用多媒体辅助教学

着重于学生探索研究的启发式教学为主，变式教学为辅，及引导、探究、讲解、演练相结合。在教学过程中，多一点情境和归纳，多一点探索和发现，多一点思考和回顾。通过不同形式的自主学习、探究活动，丰富和改善教与学的方式，体验数学发现和创造的历程，发展创新意识和实践能力。

2.学法分析

本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观点下函数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号f(x)的学习，借助于具体函数来理解符号y=f(x)的含义，由具体到抽象，克服由抽象函数的数学符号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力。

【教学过程分析】

根据本节课的特点，我分成以下几部分详细说明创设情境-引入新课、引导探求-形成知识、变式训练-巩固知识、讨论探究-深化知识、总结反思-提高认知。

一、创设情境-引入课题

今天我们研究的内容是函数的概念，函数并不像我们前面学习的集合一样一无所知，而是比较熟悉。所以我先找同学说说对函数的认识。

问题1：什么是函数？初中学过什么函数？试举例说明

（让学生尽可能用自己的语言表述初中学过的函数定义，并举出学过的函数的例子。）

函数传统定义（板书）变量观点：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数， x叫做自变量）；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

【设计意图】复习学生初中已学过一次函数、反比例函数和二次函数、函数的变量观点下的定义，为后面学习集合对应观点下的函数定义铺路，又能让学生了解函数发展的过程。

以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，符合学生的认知规律。同时也体现了数学的应用价值。

问题2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？

（学生讨论，发表各自意见，有的同学认为不是，因为没有两个变量，有的同学认为是，理由是，它可以表示为y=0x+1.）

教师由此指出争论的焦点，其实是函数定义不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义在与原来的定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化。【设计意图】通过以上问题使学生知道仅用已有函数的概念不能解决问题2，引发学生的认知冲突，激发学生的“再创造欲望”，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系。既是对初中已学函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合语言刻画函数的本质做好伏笔。

二、引导探求-形成知识

时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},

高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}

【设计意图】启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之相对应。

【设计意图】引导学生看图，并启发：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积S与之相对应。

共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系

问题3：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？

对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应，记作f:A→B

对于这个问题采用由学生分组讨论三个实例的共同特点然后归纳出函数的定义，并在全班交流的形式。

【设计意图】在三个实例的教学中，重点在于引导学生体会函数概念中的对应关系。通过实例1，体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t和h的范围；通过实例2体会用图象刻画变量之间的对应关系，关注t和S的范围；通过实例3体会用表格刻画变量之间的对应关系。为了更好地使学生尝试用集合与对应的语言进行描述，可以设置教学情境。通过学生的观察、思考、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式。让他们通过实践来进一步体验到在集合对应观下的函数内涵，也为学生解决数学问题提供了一种新的途径和方法。问题4：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在数集B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）.记y=f(x)．x∈A．自变量x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．

定义采取由学生回答、教师归纳总结的方法，给学生最大的发挥空间。这种从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验。这种引出概念的方式自然而又易于学生接受和形成概念。

概念剖析：

1．函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应；

2．函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合B中并非所有的元素在定义域A中都有元素和它对应；

3．函数符号y=f(x)的说明：

（1）“y=f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；

（2）y=f(x)不一定能用解析式表示；

（3）f(x)与f(a)是不同的，通常，f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数；

函数y=f(x)是学生学习的难点，这是一个抽象的数学符号。教学时首先要强调符号“y=f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是数学符号，而不是表示“y等于f与x的乘积”。在有些问题中，对应关系f可用一个解析式表示，但在不少问题中，对应关系f不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如图象、列表）来表示。所以在此向学生明确指出，y=f(x)不一定就是解析式，函数的表示方式除了解析式外，还有其它表示方法，如实例2的图象法，实例3的列表法。

三、变式训练-巩固知识

下列图象中不能作为函数的图象的是（）

【设计意图】启发并引导学生思考、讨论、交流，掌握函数的要点

四、讨论探究-深化知识

集合A（A=R）到集合B（B=R）的对应：f:A→B，使得集合B中的元素

与集合A中的元素x对应，如何表示这个函数？定义域和值域各是什么？函数

呢？函数呢？

教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：

【设计意图】用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时画出函数的图象，让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。

五、巩固练习

【设计意图】通过巩固练习，强化概念。从正反两个方面抓住函数定义中的关键词“任意”、“都”、“唯一”让学生对函数概念及符号y=f(x)深刻理解。既考虑了数学思维的严谨性，也体现了数学知识的应用性。

六、归纳小结

你对“函数是描述变量之间的依赖关系的重要的数学模型”这句话有什么体会？构成函数的要素有哪些？你能举出生活中的一些函数的例子吗？

【设计意图】启发学生对本节课学习内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程。学生通过对这些问题的回答，初步理解函数的一般概念。

七、作业

举出生活中函数的例子（2个）,并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。

八、板书设计

【教学流程图】

【知识结构图】

【教学评价分析】

为了使学生了解函数概念产生的背景，丰富函数的感性认识，获得认识客观世界的体验，本课采用“突出主题，螺旋上升，反复应用”的方式，以实际问题为主线，在不同的场合考察问题的不同侧面，

由浅入深。本课在教学时采用问题探究式的教学方法进行教学，逐层深入，

这样使学生对函数概念的理解也逐层深入，从而准确理解函数的概念。函数引入中的三个问题,既与初中时学习函数内容相联系,又蕴含了函数的三种表示方法---列表法、解析法、图象法，这样起到了承上启下的作用。这三个实际问题背景，既是函数知识的生长点，又突出了函数的本质，为从数学内部研究函数打下了基础。同时前三个例题也是这么设计的。

在培养学生的能力上，本课也进行了整体设计，通过探究、思考，培养了学生的实践能力、观察能力、判断能力;通过揭示对象之间的内在联系，培养了学生的辨证思维能力;通过实际问题的解决，培养了学生的分析问题、解决问题和表达交流能力;通过案例探究，培养了学生的创新意识与探究能力。

虽然函数概念比较抽象，难以理解，但是通过这样的教学设计，学生基本上能很好地理解了函数概念的本质，达到了课程标准的要求，体现了课改的教学理念。