初中数学竞赛指导：裂项相消公式的运用

裂项相消公式()11111

n n n n =?++的运用

在初中数学竞赛题中，经常出现运用上述公式来解的问题，这里举例如下：

例1 方程

13153520052007

解原方程可化为

故选C ．

点评公式中是两个连续整数之积的倒数，而此题分母是连续奇数之积，要注意灵活处理分子．

例 2 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 3，则23100111111

a a a +++=????_______．

点评本题通过a n 的通项公式将所求的结论转化为能用上述公式的形式．

例3对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程x 2－(n ＋2)x －2n 2＝0的两个根记作a n 、b n (n ≥2)，则 ()()()()()()2233200720071

222222a b a b a b ++=???????_______．

点评利用根与系数的关系建立关于n 的代数式，正好可用公式．

例4 计算：

333246100824610102461012

+++++++++++++++????

332462014

+++++?

．

点评本题表面上无从下手，但从求偶数和的一般情形出发将分母转化为公式的形式即可得解．

例5设333311111232011S =

++++?，则4S 的整数部分等于( ) A

．4 B ．5 C ．6 D ．7

于是有4<4S<5，

故4S 的整数部分为4，选A ．

点评本题构造不等式，创造了公式的结构，利用公式完成了解．

从以上几例可以归纳出解此类题的规律：一是直接利用公式；二是将表面上不能利用公式的问题，通过转化、构造出符合公式的形式，然后利用公式来解．

裂项相消法

裂项相消法焦洁一、学习目标： 1、理解裂项相消法思想。 2、使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。 3、在自学与探究中体验数学方法的形成过程。二、教学重点与难点裂项相消法的应用与计算过程三、教学过程思考与讨论：什么数列可用裂项相消法求和？如何裂项？你有好的方法吗？如何相消？你能发现其中的规律吗？利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？ () 1-n n 14313212111++?+?+? ：例预设情景一：学生在看到问题后就认识到要裂项直接提问学生要怎么拆？思考拆的对不对，怎样验证？（逆运算，通分）预设情景二：学生不知道要裂项，而要把分母相乘，再通分经简单计算发现让学生体会到这种方式巨大的计算量，请学生思考为什么通分，引导学生通过其他方法来减少项数，观察原式，继而寻找规律，引导学生把 ()分出来变成两项。和中的分出来变成两项，和中的分出来变成两项，和中的1 111131************++??n n n n 对三个分数3 1 21 321?进行观察，由于分母不相同不易比较，于是通分变成如下3 22 323 321???，再观察不难发现，后两式相减即为前式。于是总结出裂项的方法()1 1-11131-21321+=+=?n n n n ，。

思考拆的对不对，怎样验证（逆运算，通分）把每一项都拆开，观察特点，一负一正相抵消。问题：n 1能不能消，1 1+n 能不能消，为什么。回顾解题过程，总结解题步骤：1、裂项（加检验） 2、消 3、找余项 ()()12n 1-2n 17 515313112+++?+?+? ：例让学生先自己完成，分享结果，提问大家是不是如下拆法31-11311=?，要求同学检验，强调检验的重要性。问题：怎么拆？怎么拆？8 31521?? 总结：分母之间差几就在前面乘几分之一合作交流 ○1你能证明1 11)1(1+-=+n n n n 吗？ ○2猜想：() 21+n n =_____________________ 验证： =+-211n n ___________________ 结论：=+) 2(1n n ____________________ ○3一般地: () k n n +1=________________ 巩固提高

裂项相消法

裂项相消法数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似1n n c a a +???? ?? （其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1） ()1111n n k k n n k ?? =- ?++?? ，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++ （2 1 k = ，特别地当1k = =例1、数列{}n a 的通项公式为1 (1) n a n n =+，求它的前n 项和n S 解：1231n n n S a a a a a -=+++++L ()() 1111112233411n n n n = +++++???-+L =111111 11112233411n n n n ??????????-+-+-++-+- ? ? ? ? ?-+?????????? L 1111 n n n =- = ++ 小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同. L L 的前n 项和n S . 例题2：(2015安徽,18,12分)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n. (1)由题设知a1·a4=a2·a3=8,

第讲简便计算四——裂项相消法

第5讲简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。二：列项相消公式（1）111(n 1)1 n n n =-++ （2） ()11k n n k n n k =-++ （3）1111()(n )n k n n k k =-?++ （4） ()()()()()1111121122n n n n n n n ??=-? ? ?+++++?? （5）11a b a b a b +=+? （6）22a b b a a b a b +=+? 三：数列（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。 (2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二项、、、、、、第n 项（末项）。（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。四：等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。而这个常数叫做等差数列的公差。（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 （3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1 （4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）三：经典例题例1、111111112233445566778 ++++++??????? （例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式111(n 1)1 n n n =-++）

例2、1111111 261220304256 ++++++ 例3、 111111111 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 612203042567290110 例4、 111111 133557799111113 +++++ ?????? 例5、11111 315356399 ++++例6、 11111 1+3+5+7+9 315356399

数列经典例题(裂项相消法)20392

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；

高中一年级数学必修5数列经典例题(裂项相消法)

2．（2014?模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣， ∴数列{}的前n项和为﹣． 7．（2013?）正项数列{a n}满足﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可有（a n﹣2n）（a n+1）=0 ∴a n=2n．（2）∵a n=2n，b n=， ∴b n= = =， T n= =

=．数列{b n}的前n项和T n为． 6．（2013?）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有：，解有a1=1，d=2． ∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合． ∴=，n∈N* 由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*． ∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+， ∴T n=++…++，两式相减有：T n=+（++…+）﹣ =﹣﹣ ∴T n=3﹣．

高一数学必修5数列经典例题(裂项相消法)

2．（2014?成都模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣， ∴数列{}的前n项和为﹣． 7．（2013?江西）正项数列{a n}满足﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可有（a n﹣2n）（a n+1）=0 ∴a n=2n．（2）∵a n=2n，b n=， ∴b n===， T n===．数列{b n}的前n项和T n为． 6．（2013?山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有：，解：解有a1=1，d=2． ∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合． ∴=，n∈N* 由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．

裂项相消教案

教学内容高中必修教材5 第二章数列课型高三复习课教学目的和要求使学生够熟练掌握应用裂项相消法给数列求和。 1. 让学生能够准确辨认出这类问题（应用裂项相消法求和）的形式,即什么时候用。 2. 掌握如何拆项，如何提系数，消去之后余项是什么，即怎么用。教学重点和难点重点：应用裂项相消法解决如下形式的给数列求和的问题 1 433221+++++=n n n a a c a a c a a c a a c S ，其中n a 为等差数列。难点：如何裂项，裂项后是否与原式相等。教学方法引导性教学教具黑板板书设计 ????????+找余项消裂项、裂项求和、分组求和形如等比形如等差、公式法方法：求裂项求和 3.2.1.32::1S n n ab b kx ()()()21 .S ,1-41432312n 1-2n 175153131121-n n 14313212111n 2高考题高考题求：例分子全换成：将例例：例：例n a n = +++?+?+?++?+?+?

环节一环节二环节三环节四复习引入回忆数列求和的方法，在什么时候用 n n n 2 2 2 2 : 2 : 1 S + = ? ? ? = = + n a a ab n a b kx n n n n 例、分组求和例形如等比例形如等差、公式法方法：求点出本节重点内容：数列求和方法3，裂项相消法求和，并给出例题。 ()1-n n 1 4 3 1 3 2 1 2 1 1 1+ + ? + ? + ? ：例让同学回忆并且思考解题方法，提问解题思路。鉴于本节内容是高三一轮复习课，学生可能对裂项相消法已经有一定的认识，所以做出了如下两种预设，视情况而选择。预设情景一：学生在看到问题后就认识到要裂项直接提问学生要怎么拆思考拆的对不对，怎样验证（逆运算，通分）预设情景二：学生不知道要裂项，而要把分母相乘，再通分经简单计算发现让学生体会到这种方式巨大的计算量，请学生思考为什么通分，引导学生通过其他方法来减少项数，观察原式，继而寻找规律，引导学生把 ()分出来变成两项。和中的分出来变成两项，和中的分出来变成两项，和中的 1 1 1 1 1 3 1 2 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 1 + + ? ? n n n n 对三个分数 3 1 2 1 3 2 1 ? 进行观察，由于分母不相同不易比较，于是通分变成如下 3 2 2 3 2 3 3 2 1 ? ? ? ，再观察不难发现，后两式相减即为前式。于是总结出裂项的方法 ()1- 1 - 1 1 1 3 1 - 2 1 3 2 1 n n n n = + = ? ，。思考当拆的对不对，怎样验证（逆运算，通分）把每一项都拆开，观察特点，一负一正相抵消。问题： n 1 能不能消， 1 1 + n 能不能消，为什么。回顾解题过程，总结解题步骤：1、裂项（加检验）2、消3、找余项 ()()1 2n 1- 2n 1 7 5 1 5 3 1 3 1 1 2 + + + ? + ? + ? ：例让学生先自己完成，分享结果，提问大家是不是如下拆法3 1 - 1 1 3 1 1 = ?，要求

裂项相消法求和附答案解析

裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。（1）若是{a n }等差数列，则 )11.(1111++-=n n n n a a d a a ,)1 1.(2112 2n ++-=n n n a a d a a （2）1 1 111+- =+n n n n ）（（3） )1 1(1)(1k n n k k n n +-=+ （4） )121 121(2112)121+--=+-n n n n ）（（（5）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （6）n n n n -+=++11 1 （7） )(1 1n k n k k n n -+= ++ 1.已知数列的前n 项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和为． [解析] (1) ……………①

时, ……………② ①②得: 即……………………………………3分在①中令, 有, 即，……………………………………5分故对 2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值； [解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d， ∵S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………4分（Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分 ∴=．…………………………………………6分

数列求和裂项相消专题

数列求和—裂项相消专题裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1.111 (1)1n a n n n n ==- ++ 1111 ()(2)22n a n n n n = =-++ ┈┈ 1111 () ()n a n n k k n n k = =-++ 2 n p a An Bn C ?= ++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式） 2.1111 ()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111 ()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++ 1111 ()(65)(61)66561 n a n n n n = =--+-+ 3. 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??==-??+++++?? 4. 111211 (21)(21)2121 n n n n n n a ---==- ++++ +1+1211(21)(21)2121n n n n n n a ==-++++ 122(1)111 (1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-= =?=- ++?+ 5. =┈┈ 1 2 = 1 k =

1.在数列{}n a 中，11211++???++++=n n n n a n ，且1 2+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和. 2.已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，2 1 n n n b a a +=?，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1334 n S ≤<.

裂项相消法求和-导学案

数列求和 —— 裂项相消法班级：_____________ 小组：_____________ 姓名：___________ 一、导学目标： 1 理解裂项相消法思想。 2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。 3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。二、复习导入 1 等差数列通项公式和求和公式： 2 问题：（1）你能计算6 121+= ; 1216 12 1+ + = ; ……么？（2）那么9900 112 16121 + +++ = 呢？即 100 9914 313 21 2 11?+ +?+ ?+ ? = ；（3）事实上，教材里有更一般的问题：P47 B 组第4题数列? ? ? ??? +)1(1 n n 的前n 项和) 1(14 313 212 11+?+ +?+ ?+ ?= n n S n ，你能否求和（化简），并作一些推广？三、自学探究一 1 为解决上述问题，我们不妨先看看几个有趣的计算：（1）计算= - 211 ；= - 3 12 1 ；= - 4 13 1 ；…… = - 100 199 1 ；（2）思考：= +-1 11n n （3）反之，= +) 1(1 n n 2 求数列? ? ???? +)1(1 n n 的前n 项和) 1(14 313 212 11+?+ +?+ ?+ ?= n n S n 解：= += ) 1(1n n a n n n n a a a a a S +++++=∴-1321 ) 1(1)1(14 313 212 11++ -+ +?+ ?+ ?= n n n n = = 四、思考与讨论： 1 如何裂项？裂项和通分的关系？ 2 如何相消？你能发现其中的规律吗？ 3 哪些项是不能消去的？

初中数学竞赛指导：裂项相消公式的运用(20200709201447)

1裂项相消公式()11 1 11n n n n =-++的运用在初中数学竞赛题中，经常出现运用上述公式来解的问题，这里举例如下：例1 方程13153520052007x x x x ++++=×?的解是x ＝( ) (A) 20062007(B)2007 2006 (C)20071003(D) 1003 2007 解原方程可化为故选C ．点评公式中是两个连续整数之积的倒数，而此题分母是连续奇数之积，要注意灵活处理分子．例 2 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 3，则 2310011 1 111 a a a +++=---?_______．

2点评本题通过a n 的通项公式将所求的结论转化为能用上述公式的形式．例3对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程x 2－(n ＋2)x －2n 2＝0的两个根记作a n 、b n (n ≥2)，则 ()()()()()()2233200720071 11 222222a b a b a b ++=------?_______．点评利用根与系数的关系建立关于n 的代数式，正好可用公式．例4 计算： 3 3 324610082461010 2461012+++++++++++++++? ???

33 2462014+++++?．　点评本题表面上无从下手，但从求偶数和的一般情形出发将分母转化为公式的形式即可得解．例5设333311111232011S = ++++?，则4S 的整数部分等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 于是有4<4S<5，故4S 的整数部分为 4，选A ．点评本题构造不等式，创造了公式的结构，利用公式完成了解．从以上几例可以归纳出解此类题的规律：一是直接利用公式；二是将表面上不能利用公式的问题，通过转化、构造出符合公式的形式，然后利用公式来解．

数列中裂项相消法的应用

数列中裂项相消法求和的应用一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项基本类型： 1.形如)11(1)(1k n n k k n n +-=+型。如1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1； 2.形如a n ＝1 (2n －1)(2n ＋1)＝)121121(21+--n n 型； 3.)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n 4.]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++= n n n n n n n a n 5.n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 6.形如a n ＝n ＋1 n 2(n ＋2)2 型． 7.形如a n ＝4n (4n －1)(4n ＋1 －1)＝13?? ? ??---+1411411n n 型； 8.n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n －1－1n ·2n . 9.形如a n ＝ ( ) n k n k k n n -+= ++1 1 型；1 )1(1 +++= n n n n a n 10. ( ) b a b a b a --= +1 1 11.()!!1!n n n n -+=? 12.m n m n m n C C C -=+-11 13.()21≥-=-n S S a n n n 14.1) tan(tan tan tan tan ---= βαβ αβα 15.利用两角差的正切公式进行裂项把两角差的正切公式进行恒等变形，例如 β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 可以另一方面，利用()[]k k k k k k tan )1tan(1tan )1tan(1tan 1tan ?+--+= -+=，得

数列求和专题(裂项相消)

数列求和专题复习一、公式法 1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2.等比数列求和公式： ?? ? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3.常见数列求和公式： ) 1(21 1 +==∑=n n k S n k n ； ) 12)(1(61 1 2 ++==∑=n n n k S n k n ；2 1 3 )]1(2 1 [+==∑=n n k S n k n 例1：已知3 log 1log 23-= x ，求? ??++???+++n x x x x 32 的前n 项和.

例2：设n S n +???+++=321， + ∈N n ,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、倒序相加法似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例3：求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2222 2++???+++的值

例4：求 222 2222222 22123101102938101 +++ +++++的和．变式1：已知函数 () x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求12891010 1010f f f f ????????++++ ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? 的值.

初中数学竞赛指导：裂项相消公式的运用

1 裂项相消公式()11111 n n n n =?++的运用在初中数学竞赛题中，经常出现运用上述公式来解的问题，这里举例如下：例1 方程 13153520052007 x x x x ++++=×?的解是x ＝( ) (A) 20062007 (B)20072006 (C)20071003 (D) 10032007 解原方程可化为故选C ．点评公式中是两个连续整数之积的倒数，而此题分母是连续奇数之积，要注意灵活处理分子．例 2 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 3，则23100111111 a a a +++=????_______．

2 点评本题通过a n 的通项公式将所求的结论转化为能用上述公式的形式．例3对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程x 2－(n ＋2)x －2n 2＝0的两个根记作a n 、b n (n ≥2)，则 ()()()()()()2233200720071 1 1 222222a b a b a b ++=???????_______．点评利用根与系数的关系建立关于n 的代数式，正好可用公式．例4 计算： 333246100824610102461012 +++++++++++++++????

332462014 +++++? ．点评本题表面上无从下手，但从求偶数和的一般情形出发将分母转化为公式的形式即可得解．例5设333311111232011S = ++++?，则4S 的整数部分等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 于是有4<4S<5，故4S 的整数部分为4，选A ．点评本题构造不等式，创造了公式的结构，利用公式完成了解．从以上几例可以归纳出解此类题的规律：一是直接利用公式；二是将表面上不能利用公式的问题，通过转化、构造出符合公式的形式，然后利用公式来解．

(完整版)裂项相消法专项高考真题训练

裂项相消法专题 1．（2014?成都模拟）等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6，（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{ }的前n 项和．【答案】（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6有a 32=9a 42，∴q 2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a 1+3a 2=1有2a 1+3a 1q=1，∴a 1=．故数列{a n }的通项式为a n =．（Ⅱ）b n =+ +…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣ ）则 + +…+ =﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣ ）]=﹣ ， ∴数列{}的前n 项和为﹣ ．, 2，（2013?江西）正项数列{a n }满足﹣（2n ﹣1）a n ﹣2n=0．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）令b n = ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】（1）由正项数列{a n }满足：﹣（2n ﹣1）a n ﹣2n=0，可有（a n ﹣2n ）（a n +1）=0 ∴a n =2n ．（2）∵a n =2n ，b n =，∴b n = = =， T n = = = ．数列{b n }的前n 项和T n 为．

3．（2013?山东）设等差数列{a n }的前n项和为S n ，且S 4 =4S 2 ，a 2n =2a n +1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足=1﹣，n∈N*，求{b n }的前n项和T n ．【答案】（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1 ，公差为d，由S 4 =4S 2 ，a 2n =2a n +1有：，解有a 1 =1，d=2． ∴a n =2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．∴=，n∈N* 由（Ⅰ）知，a n =2n﹣1，n∈N*． ∴b n =，n∈N*．又T n =+++…+， ∴T n =++…++，两式相减有：T n =+（++…+）﹣ =﹣﹣ ∴T n =3﹣． 4.（2010?山东）已知等差数列{a n }满足：a 3 =7，a 5 +a 7 =26．{a n }的前n项和为S n ．（Ⅰ）求a n 及S n ；（Ⅱ）令（n∈N*），求数列{b n }的前n项和T n ．

经典研材料裂项相消法求和大全

开一数学组教研材料（裂项相消法求和之再研究）张明刚一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项基本类型： 1.形如 )11(1) (1k n n k k n n +- =+型。如 1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； 2.形如a n ＝1 (2n －1)(2n ＋1)＝)1 21121(21+--n n 型； 3.)1 211 21( 2 11) 12)(12() 2(2 +- -+ =+-= n n n n n a n 4.]) 2)(1(1 ) 1(1 [ 21 )2)(1(1 ++- += ++= n n n n n n n a n 5.n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(11,2 )1(12 12 1) 1()1(22 1) 1(21 +- =+- ?=? +-+= ?++= -则 6.形如a n ＝n ＋1 n 2(n ＋2)2 型． 7.形如a n ＝4n (4n －1)(4n ＋1－1)＝13?? ? ??---+1411411n n 型； 8. n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2 n －1－1 n ·2n . 9.形如a n ＝ ()n k n k k n n - +=++ 11型；1 ) 1(1 +++= n n n n a n 10. ( ) b a b a b a - -= + 11 11.()!!1!n n n n -+=? 12.m n m n m n C C C -=+-11 13.()21≥-=-n S S a n n n 14.1) tan(tan tan tan tan ---= βαβαβα 15.利用两角差的正切公式进行裂项把两角差的正切公式进行恒等变形，例如 β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 可以

初中数学竞赛指导：裂项相消公式的运用

裂项相消公式111 11n n n n 的运用在初中数学竞赛题中，经常出现运用上述公式来解的问题，这里举例如下：例1 方程13153520052007x x x x 的解是x ＝( ) (A) 20062007(B)2007 2006 (C)20071003(D) 1003 2007 解原方程可化为故选C ．点评公式中是两个连续整数之积的倒数，而此题分母是连续奇数之积，要注意灵活处理分子．例 2 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 3，则 23100111 111 a a a _______． [来源学*科*网Z*X*X*K][来源:Z §xx §https://www.360docs.net/doc/a817718266.html,]

点评本题通过a n 的通项公式将所求的结论转化为能用上述公式的形式． [来源学科网Z|X|X|K]例3对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程x 2－(n ＋2)x －2n 2＝0的两个根记作a n 、b n (n ≥2)，则2233200720071 11222222a b a b a b _______．点评利用根与系数的关系建立关于n 的代数式，正好可用公式．例4 计算： 3 33246100824610102461012

3 2462014． [来源学#科#网] 点评本题表面上无从下手，但从求偶数和的一般情形出发将分母转化为公式的形式即可得解．例5设333311111232011S ，则4S 的整数部分等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 于是有4<4S<5，[来源:Z §xx §https://www.360docs.net/doc/a817718266.html,]故4S 的整数部分为4，选A ．点评本题构造不等式，创造了公式的结构，利用公式完成了解．从以上几例可以归纳出解此类题的规律：一是直接利用公式；二是将表面上不能利用公式的问题，通过转化、构造出符合公式的形式，然后利用公式来解．

分数拆分计算中裂项相消法例题讲解和公式总结

分数拆分计算中裂项相消法例题讲解和公式总结今天G老师讲解分数计算中常用的一种思维方法：裂项抵消。看下面这道例题，计算式中各项的和。乍一看，计算式中含有的分数项非常多，倘若按照分数运算中的常规算法，分母先通分，分子相加减，最后约分化为最简分数。估计考试时间结束，也不一定能算出答案。所以，遇到项非常多的计算式时，不要紧张，先观察，看看有没有简便方法，找到思路后再下笔。我们一起来分析这道题目，先看它的各项规律。计算式中各个分式的分子都是1，分母为两个相邻自然数的乘积， 2x3，3x4，4x5，5x6，6x7……49x50，分母乘数和被乘数从小到大依次连续，

它们的差刚好是1， 3-2=1，4-3=1，5-4=1……50-49=1。那么，我们试着来分析计算式中的第一项：也就是说，第一项可以写成：以此类推，剩余的项也可写成类似的形式：这下，我们就可以开始计算了。看到规律了吗？式子中-1/3，+1/3，-1/4，+1/4……这些是不是都可以抵消为0？

最后，我们就存头留尾，算出结果了。（千万要注意最后一个分数前的符号别丢了）看起来非常复杂的题目就这样被瓦解了。在很多个分数的计算中，裂项抵消是重要的一种方法。先将算式中的项进行拆分，拆成两个或多个数字单位的和或差，拆分后的项可以前后抵消。裂项抵消分为“裂差”和“裂和”， “裂差”就是我们前边讲过的这种类型，分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的差。那么，“裂和”呢？分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的和。一起来看下面这道题。