高一数学集合与集合的表示方法

分析：本题主要考查对集合元素的确定 性的理解，所给的对象不明确就不能构成集 合． 解：(1)、(4)、(6)中的元素没有明确的判 断标准，因此不能构成集合． (2)、(3)、(5)中的对象具体、明确，可以 构成集合．
题型二 元素与集合的关系 【例 2】 用符合∈或∉ 填空： (1)π________Q； (2)(－1)0________N； (3) 3________{x∈Q|x< 5}； (4) 2＋ 5________{x|x≤2＋ 3}； (5)11________{x|x＝n2＋n－1，n∈N}； (6)(－1,1)________{y|y＝－x，x∈R}； 1 (7) ________{m|m＝a＋b 3，a∈Z，b∈Z}． 2＋ 3
1 又如集合 F＝{x|y＝ ＋1}，它的代表元素是 x.由反比例 x 函数的性质可知，x≠0，所以该集合与 G＝{y|y∈R，且 y≠0} 为同一集合； 再如集合 A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}与 C＝{(x， y)|y＝x2＋1}不是相同的集合． 这是因为集合 A 的代表元素是 x，且 x∈R；集合 B 的代表元素是 y，且 y≥1；集合 C 的代 表元素是(x，y)，且(x，y)表示直角坐标平面上抛物线 y＝x2 ＋1 上的点．所以它们是互不相同的集合．
评析：判断指定的对象能不能构成集合， 关键在于能否找到一个明确的标准，对于任 何一个对象，都能确定它是不是给定集合的 元素，同时还要注意集合中元素的互异性．
变式训练 1 判断以下各组对象能否构 成集合． (1)很小的数； (2)不超过30的非负数； (3)直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等 的点； (4)π的近似值； (5)高一新课程开设的所有科目； (6)高一(三)班个子较高的男生．
分析：集合是一组对象的全体，因此观 察一组对象能否构成集合，关键是看这组对 象是否符合元素的特性． 解析：(1)不能构成集合．“难题”的概 念是模糊的、不确定的，无明确的标准，对 于一道数学题是否是“难题”无法客观地判 断．实际上一道数学题是“难者不会，会者 不难”，因而“高一数学课本中的难题”不 能构成集合． (2)能构成集合．对于任意给定的一个实 数z，可以明确地判断是不是“不超过20的 非负数”，即“0≤z≤20”，与“z<0或z>20”其
1 分析：(1)将2代入 中，得到一个与2不同的数， 1－a 1 再代入 中，如此重复直至得到的数与前面得到的数 1－a 相同为止． 1 1 (2)把 当作一个整体，继续迭代，只要出现1－ a 1－a 就可以了，这里体现了整体代换的思想． 1 1 (3)即证明a， ， 互不相等． 1 1－a 1－ 1－a
第1节 集合
1.1 集合与集合的表示方法
知识整合
1．集合、元素 (1)集合：一般地，把一些能够________ 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些 对象的________构成的集合(或集)．通常用 ______________表示． (2)元素：构成集合的________叫做这个 集合的元素(或成员)，通常用________表 示．
(6)集合{y|y＝－x，x∈R}是所有y值所组成的集合， 而y可取任何实数，则此集合为R，而(－1,1)是一个实数 对，并非实数，则应填 ； 1 (7) ＝2－ 3 ，在m＝a＋b 3 中，令a＝2，b＝ 2＋ 3 －1，即得m＝2－ 3 ，所以2－ 3 是集合中的元素，则应 填∈.
答案：(1)∉ (2)∈ (3)∉ (4)∈ (5)∈ (6)∉ (7)∈
变式训练 4 用特征性质描述法表示下
列集合：
(1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)坐标平面内坐标轴上的点集； (4)坐标平面内在第二象限内的点所组成 的集合；
解：(1){x|x＝2n，n∈N＋}． (2){x|x＝3n＋2，n∈N}． (3){(x，y)|xy＝0}． (4){(x，y)|x<0且y>0}． (5){(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．
题型四 用描述法表示集合 【例4】 用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的数； (2)右图中阴影部分的点(含边界)的坐标 的集合(不含虚线)．
分析：(1)中被3整除的数可表示为3n， n∈Z；(2)中元素是坐标(x，y)．也就是说先 考虑元素是什么，再考虑元素必须满足的条 件．
解：(1){x|x＝3n，n∈Z}；
变式训练 3 已知集合A＝{小于6的正整 数}，B＝{小于10的质数}，C＝{24和36的公 约数}，M＝{x|x∈A且x∈C}，N＝{x|x∈B且 x∉C}，用列举法表示M、N. 解：集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,3,5,7}， C＝{1,2,3,4,6,12}． (1)∵x∈A且x∈C，∴x＝1,2,3,4.∴M＝ {1,2,3,4}． (2)∵x∈B且x∉C，∴x＝5,7.∴N＝ {5,7}．
解法一：①若a2＝a，则a＝0或a＝1，把 a＝0或a＝1代入检验都不满足题意，∴a≠a2. ②若a＝a＋b，则b＝0，把b＝0代入集合 化为{a,0,1}，{a2，a,0}，对比可得a2＝1， ∴a＝1或a＝－1，而a＝1不满足题意，∴a ＝－1. ③若a＝0，代入检验不满足题意． 综上：a＝－1，b＝0，∴a2006＋b2008＝1.
所以说，用描述法表示的集合，要抓住元 素进行分析，弄清集合的代表元素应具有哪 些特征性质，从而准确理解和把握集合的内 涵，有意识地引导我们分析集合是由哪些元 素所组成的，有效地避免解题错误的发生．
深入学习
题型一 集合中元素确定性的应用 【例1】 下列所给对象能构成集合的是 ________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)不超过20的非负数； (3)某一班级16岁以下的学生； (4)某中学的大个子； (5)某学校身高超过1.80米的学生； (6)1,2,3,1.
5．常用数集的意义及表示
意义
________构成的集合 在自然数集内______ 的集合 ________构成的集合 ________构成的集合 ________构成的集合
名称 自然数 集 正整数 集 整数集 有理数 集 实数集
记法
____或 ____
6.集合的表示法 (1)列举法：如果一个集合是有限集，元 素又不太多，常常把集合的所有元素都 ________出来，写在大括号内表示这个集 合． (2)特征性质描述法：如果在集合I中，属 于集合A的任意一个元素x都________，而不 属于集合A的元素都________，则________ 叫做集合A的一个特征性质．于是，集合A可 描述为________．
评析：解此题的关键在于正确理解条件“若a∈A，则 1 ∈A”的本质含义，同时要充分运用集合元素的互异 1－a 性．
b 变式训练 5 含有三个实数的集合可表示为{a， ， a 1}，也可表示为{a2，a＋b,0}，求a2006＋b2008的值．
分析：两个集合完全一样，所以元素 也应该一样，不过顺序可以不同．根据集 合元素的互异性分类讨论．
分析：首先理解∈与∉的意义，然后要 知道每个集合是由哪些元素组成的或其中元 素的限定条件，从而判定元素是否属于这个 集合． 解：(1)由于π是无理数，则应填∉； (2)因为(－1)0＝1是自然数，则应填∈；
(3)因为{x∈Q|x< 5}表示由所有小于 5的有理数所组 成的集合，而 3是无理数，则应填∉ ； (4) 2 ＋ 5 ＝ ( 2＋ 5)2 ＝ 7＋2 10< 7＋2 12 ＝ (2＋ 3)2＝2＋ 3，则应填∈； (5)令n2＋n－1＝11，得n＝－4或n＝3；而3∈N，即 当n＝3时，x＝n2＋n－1＝11.也就是说，11是集合中的元 素，则应填∈；
1 解：(1)若2∈A，则 ＝－1∈A. 1－2 1 1 1 于是 ＝ ∈A，而 ＝2. 2 1 1－(－1) 1－ 2 1 所以集合A中还有－1， 这两个元素． 2 1 (2)若a∈A，则 ∈A， 1－a 1 1 所以 ∈A，即1－ ∈A. 1 a 1－ 1－a
1 1 (3)由(2)知，若a∈A，则 ，1－ ∈A. a 1－a 1 若a＝ ，则a2－a＋1＝0，而此方程无实数解，即 1－a 1 a≠ ； 1－a 1 若a＝1－ ，则a2－a＋1＝0，而此方程无实数解，即 a 1 a≠1－ ； a 1 1 若 ＝1－ ，则a2－a＋1＝0，而此方程无实数 a 1－a 1 1 解，即 ≠1－ .所以集合A中至少有三个元素a， a 1－a 1 1 ，1－ . a 1－a

(3)能构成集合．其中的元素是16岁以下 的学生． (4)不能构成集合．因为未规定大个子的 标准，所以(4)不能构成集合． (5)能构成集合．由于(5)中的对象具备确 定性，因此能构成集合． (6)不能构成集合．虽然(6)中的对象具备 确定性，但有两个元素都是1，不符合元素 的互异性，所以(6)不能构成集合． 故应填(2)，(3)，(5)． 答案：(2)，(3)，(5)
2．元素与集合的关系
知识 关系 点
概念
记 法
读法
元素 与集 合的 关系
如果 属于 ________， 就说a属于A
如果 不属 ________， 于 就说a不属于 A
“a属于A”
“a不属于 A”
3.集合元素的性质特征
(1)________；(2)________；(3)________．
4．集合的分类
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集 合为A， 那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}． 由于元素完全相同的两个集合相等，而 与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同 的列举方法，例如A＝{9,8,7,6,5,4,3,2,1,0} (2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合 为B， 那么B＝{0,1}． (3)设由1～20以内的所有质数组成的集 合为C， 那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
解法二：由集合元素的互异性知：a≠1，a≠0， b ∴ ＝0 得 b＝0，于是{a,0,1}＝{a2，a,0}． a ∴a2＝1，∴a＝－1(a＝1 舍)， ∴a2006＋b2008＝1.