5.5 定轴转动刚体的角动量守恒

¾ 在冲击等问题中 QM内 >> M外 ∴ L ≈ 常量
¾ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。 7
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
说明 1）刚体定轴转动的角动量守恒条件：
合外力矩 M = 0,
r F
r F
r F
• O
当合外力为 0 时， 合外力矩不一定为 0；
当合外力不为 0 时， 合外力矩可以为 0。
11 [
Ml 2
+
m( 2l )2 ]ω 2
−
Mg
l
− mg
2l
23
3
2
3
Ek
=
1 2
Jω 2
⎯ 转动动能
= −Mg l cosθ - mg 2l cosθ
2
3
由前：ω = 6mυo l(3M + 4m )
O
零势面
2l 3θ
mυo A
cosθ = 1 −
(
mυo
2l 3
)2
2[ 1 Ml 2 + m( 2l )2 ]( Mg l + mg 2l )
2） 角动量守恒的两种情况：
① 若 J 不变，ω 不变； ② 若 J 变，ω 也变，但 L = Jω 不变。
8
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
角动量守恒的两种情况：
① 定轴转动的刚体，J 不变，
∑ 若 M iz = 0 则 L = Jω = 恒量
∴ ω不变， 大小方向都不变。
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远 保持静止，原来转动的将永远转动下去。
解：系统（圆盘 + 人）什么量守恒？
系统角动量守恒：
ωo
(1 2
MR 2
+
mR 2 )ωo =
1 2
MR 2ω
ω
=
(1
+
2m M
)ωo
21
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
例：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分 别为 ω1 、ω2，求：两飞轮啮合后共同的角速度 ω 。
解：两飞轮通过摩擦达到 共同速度，合外力矩为0， 系统角动量守恒。
第5章 刚体的定轴转动
张臂
J ↑→ ω ↓ ，
J ↓→ ω ↑
大
小
11
收臂
小 大
先使自己转动起来
12
2
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
3）物体系的角动量守恒
若系统由几个物体组成，各物体对同一个转
轴的角动量分别为 J1ω1 , J 2ω2 , J 3ω3 …，
∑ 则总角动量为： J iωi ，
只要整个系统受到的合外力矩为0，则系统 的总角动量守恒，即：
∑ J iωi = 恒量
比如：当研究质点与刚体的碰撞问题时，可以把质 点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受 的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。
13
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。
m υ L × 2 = ( J + 2mL2 )ω J = 1 m(2L)2 = 1 mL2 υ
m
O.
υ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ12
3
m
解得 ω = 6υ
7L
25
5
第5章 刚体的定轴转动
2、刚体定轴转动的角动量定理
由转动定律：
Mz
=
J
dω dt
=
d( Jω ) dt
=
dLz dt
M zdt = d (Jω ) = d (Lz )
（角动量定理的微分形式）
∫ ∫ ( ) t2 t1
M
z
dt
=
ω2d Jω
ω1
= Jω2 − Jω1
（角动量定理的积分形式）
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩，等于 其角动量的增量。
Mdt
=
J 2ω 2
−
J 1ω1
6
1
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
∫ 刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
=
Jω2
−
Jω1
三、刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M = 0 ，则 L = Jω = 常量
当刚体受到的合外力矩为0 时，其角动量保持不变。
讨论 ¾ 内力矩不改变系统的角动量。
5
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
刚体定轴转动的角动量定理：
∫t2 t1
M
z
dt
=
Jω2
−
Jω1
（J 不变）
说明：
当变形体绕某轴转动时，若其上各点（质元） 转动的角速度相同，则变形体对该轴的角动量为：
∑ mi ri2ω = J (t )ω （J 变）
非刚体定轴转动的角动量定理：
∫t2 t1
J1 = J0 + 2ml12 , J2 = J0 + 2ml22
ω2
=
J1ω1 J2
转动惯量减小， 角速度增加。
o
ω1
o
ω2
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5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
例：匀质圆盘（M、R）与人（ m，视为质 点）一起以 角速度 ωo 绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。 当此 人从盘的边缘走到盘心时，求：圆盘的角速度是多少？
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
5.5 对定轴的角动量守恒定律
1
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
一、质点系的角动量定理
∑ 质点系的Mr角=动量i 定Mr 理i外的=微dd分Ltr 形式：
某给定参考点 d
质点受外力矩 质点系的角动量的
的矢量和
时间变化率
∫ ∫ 质点系的t r角动量定Lr理的r积分r形式r：
J1 J2
J1ω1 + J 2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω1
共同角速度： ω = J1ω1 + J 2ω2
J1 + J2
ω2
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5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
例：长为l、质量为M 的匀质杆，可绕水平光滑固定轴o 转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度 υo射入杆上的A点，并嵌在杆中，OA=2l/3，求：1）子 弹射入后瞬间杆的角速度；2）杆能转过的最大角度θ。
3
3
2
3 24
4
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
例：长为 2L、质量为 m 的匀质细杆，静止在光 滑的水平桌面上。 两个质量、速率均为 m 和υ 的小球， 在水平面内与杆的两端同时发生完全
非弹性碰撞（设碰撞时间极短）。求：两小球与 杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？
解：碰撞过程角动量守恒:
解：1）杆 + 子弹：竖直位置，外力（轴 O 处的 力和重力）均不产生力矩，
故碰撞过程中角动量守恒：
mυo
2l 3
= [1 3
Ml 2
+
m ( 2l )2 ]ω 3
解得： ω = 6mυo
l(3M + 4m)
O 2l 3θ
mυo A
系统的动量守恒吗？
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5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
2）杆在转动过程，机械能守恒：
（ 海豚 Ⅱ ）
（支奴干 CH47)
装置反向转动的双旋翼产生
反向角动量而相互抵消
用两个对转的顶浆
17
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
18
3
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
Mdt =
t0
r L0
dL
=
L−
L0
质点系所受
质点系的角
的冲量矩
动量增量
内 内
外
外
内力矩成对 相消，矢量 和为零。
2
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
若各质点的速度或所受外力与参考点共面， 则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时 针为正向，用代数和代替矢量和。
由质点系的角动量定理的积分形式：
作圆周运动的质点的角动量：L = rmυ sin θ = mr 2ω
1、刚体定轴转动的角动量
∑ ∑ L = mi ri vi = ( mi ri2 )ω
i
i
L = Jω
(所有质元的动量矩之和)
强调：对于刚体的定轴转动， 只能用角动量来描述，而不能 用动量来描述。
z
ω
O rvi vvi
mi
4
5.5 角动量守恒定律
安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回
转仪（也叫“陀螺”）的导航作用，也是角动量守 恒应用的最好例证。
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5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
回转仪定向原理
回转体（转动惯量 ）
回转体质量呈轴对称分布；
轴摩擦及空气阻力很小。
合外力矩为零，角动量守恒。
恒矢量
若将回转体转轴指向任一方向，
其中转动惯量 为常量。 基
② 定轴转动的非刚性物体，转动惯量可变，
角动量守恒，则有： J1ω1 = J 2ω2
当 J增大时， ω 就减小； 当 J减小时， ω 就增大，
从而 Jω 保持不变
如花样滑冰，跳水，芭蕾舞等。