因式分解 配方法
多项式怎么因式分解
多项式怎么因式分解
多项式的因式分解是求一个多项式的因式式子，可以变形到一个或
多个因式相乘的形式。
下面归纳了多项式因式分解的几种方法：
一、公因式提取法
公因式提取法是指将多项式中所有项的公共因子提取出来，写成因子
与其他部分相乘的形式。
例如，多项式4x^2+4x可以提取公因式4x，
得到4x(x+1)。
这里的x+1就是多项式4x^2+4x的因式。
二、配方法
配方法是将多项式拆分成两个含有相同因子的二次多项式的乘积形式，然后不断将分解后的两个二次多项式再次使用配方法进行因式分解。
例如，多项式x^2-6x+5可以写成(x-5)(x-1)的形式，因为(x-5)(x-1)=x^2-
6x+5。
三、特殊因式公式
特殊因式公式是一些常见的带有特定因式的多项式，例如二次差、平
方差等等。
这些特殊因式公式可以直接根据公式进行因式分解。
例如，多项式x^2-4可以根据平方差公式写成(x+2)(x-2)的形式。
四、分组分解法
分组分解法是将多项式中的项按照相同的显式因式分成不同组，然后分别求组内的公因式，再将这些公因式相乘，得到多项式的因式。
例如，多项式2x^3+8x^2+5x+20可以分成(2x^3+8x^2)+(5x+20)的形式，再分别提取公因式2x^2和5，得到2x^2(x+2)+5(x+4)的形式。
总的来说，多项式因式分解是解决复杂多项式问题的重要手段，需要对各种因式分解方法进行综合运用，找到合适的方法对多项式进行因式分解。
几种常见的因式分解方法
几种常见的因式分解方法因式分解是一种将一个多项式表达式表示为若干个因式的乘积的方法。
在代数学中非常重要，它是解多项式方程、简化代数式和求最大公因数的基本技巧之一、在这篇文章中，我将介绍几种常见的因式分解方法。
一、公因式提取法公因式提取法是最简单也是最常见的因式分解方法。
它的原理是将多项式的每一项提取出一个公因式，然后将剩余的部分合并起来。
例如，对于多项式3x^2-6x+9，可以提取出公因式3，得到3(x^2-2x+3)。
这种方法在解决一元多项式方程或简化代数式时非常有用。
二、配方法配方法是一种将一个二次三项式如ax^2 + bx + c转化为一个完全平方三项式的方法。
其基本思想是通过添加一个恰当的常数项，使得原来的多项式可以写成一个平方的形式。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，可以通过添加1来转化为完全平方的形式(x + 2)(x + 3)。
三、和差平方根公式和差平方根公式是一种将一个二次二项式转化为一个平方根的形式的方法。
根据该公式，对于任意实数a和b，有a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2，以及 a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2、这个方法在处理二次方程或将一个完全平方差分解为两个一次因式时非常有用。
例如，对于多项式x^2 - 4，可以应用和差平方根公式得到(x + 2)(x - 2)。
四、分组法分组法是一种将一个多项式分成两组，并在每组中提取出一个公因式，然后再进行因式分解的方法。
它适用于多项式中有公共因式但不易通过公因式提取法处理的情况。
例如，对于多项式x^3-x^2+2x-2，可以将其分为两组，得到x^2(x-1)+2(x-1)，然后提取出公因式(x-1)，得到(x-1)(x^2+2)。
五、差的平方公式差的平方公式是一种将一个二次差的形式转化为一个平方形式的方法。
根据该公式，对于任意实数a和b，有a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
这个方法在处理二次差或将一个差分解为两个一次因式时非常有用。
八年级同步第7讲：因式分解法及配方法求解一元二次方程
第7讲因式分解法及配方法解一元二次方程知识框架利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．7.1 因式分解法解一元二次方程1.因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．2.因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当0A时，必有0A或=⋅B==B时，必有0⋅BA）．=B；当0==A或0②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题．3.因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例1】解下列方程：（1）23180-++=；（2）2x x-=．x x0.1 1.20.4【例2】 解下列方程：（1）()2225x x x -=+；（2）()()315x x +-=．【例3】 解方程：()()25258x x +-+=．【例4】 解方程：052)210(2=++-x x ．【例5】 解方程：02)23()21(2=++-+x x ．【例6】 已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程 ．【例7】 学生A 在解一元二次方程x x x =-)1(时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x ，得到11=-x 解得2=x所以原方程的根为：2=x【例8】 解关于x 的方程：010324=--x x ．【例9】 解关于x 的方程：0245010)5(222=+-+-x x x x ．【例10】 若30)3)(2(2222-=---+b a b a ，求22b a +的值．【例11】 解关于x 的方程：01)12(2=++++m x m mx ．【例12】 解方程：2222y by a b -=-（a b 、为已知数）．【例13】 解关于x 的方程：022)13()1(2=++-+-k x k x k ．【例14】 解关于x 的方程：()()2222240a b x abx a b ab --=-≠．7.2 配方法解一元二次方程1. 配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2. 配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±． 3. 配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；①移项：把常数项移到方程右边；②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成n m x =+2)(的形式； ③当0≥n 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例15】 用配方法解方程：220130y --=．【例16】 用配方法解方程：020522=+--x x ．【例17】 用配方法解方程：210.30.2030x x -+=．【例18】 用配方法解方程：01)1(2)1(2=--+-x x （要求用整体法的思想求解）．【例19】 用配方法解关于x 的方程：042222=+--a b ax x ．【例20】 若把代数式322--x x 化为k m x --2)(的形式，其中m 、k 为常数，则=+k m．【例21】 已知方程062=+-q x x 可以配方成7)(2=-p x 的形式，则262=+-q x x 可以配方成下列的（）（A ）2()5x p -=； （B ）9)(2=-p x ；（C ）9)2(2=+-p x ；（D ）5)2(2=+-p x ．【例22】 用配方法解关于x 的方程：)0( 02≠=++a c bx ax ．【例23】 已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程02322=+-k kx x 的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【例24】 求证：无论x 为何值，代数式5422-+-x x 的值总是小于2-．【例25】 结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程：022285522=+-+++x y xy y x 的实数解．7.3 课堂检测1. 用适当的方法解下列方程： （1）2142-=-x x ；（2）)2(2)2)(2(-=+-x x x ；（3）0322=++x x ；（4）01832=--x x ；（5）0722=-+x x ；（6）0)2(25)3(422=--+x x ．2. 解方程：855454222+=--x x x ．3. 如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，求m 的值．4. 用配方法说明：不论x 为何值，代数式2265x x -+的值总大于0．5. 解关于x 的方程：0)()(222=----x n n mn x m mx ．6. 若实数x 、y 满足06)()(22222=-+++y x y x ，求22y x +的值．7.4 课后作业1. 用适当的方法解下列方程：（1）33)1(3+=+x x x ；（2）0202372=--x x ；（3）5)2(22+=-x x x ；（4）8)4)(3(=+-x x ；（5）0)23()12)(23(=--+-x x x x ；（6）04)1(5)1(222=+---x x ；（7）0235)57(22=++-y y ．2. 若△ABC 的三边a 、b 、c 的长度是0672=+-x x 的解，求△ABC 的周长．3. 求证：无论x 为何值，代数式542+-x x 的值总是大于零．4. 若多项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，求a 的值．5. 解关于x 的方程：)04( 062)12()4(22222222≠-=+--+-n m mn m x n m x n m ．6. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求z y x ++的值．。
因式分解方法大全
因式分解方法大全因式分解是数学中非常重要的一种运算方法，它在解题中具有广泛的应用。
本文将为你介绍常见因式分解的方法，希望可以帮助你更好地理解和运用因式分解。
一、提取公因数法提取公因数法是因式分解中最基本的方法，它适用于多项式的每一项都有公因数的情况。
具体步骤如下：1.找出多项式中的最大公因数。
2.将最大公因数提取出来，剩下的部分即为因式分解后的结果。
例如，对于多项式4x+8，我们可以提取出公因数4，得到4(x+2)。
二、公式法公式法是基于一些常见的公式进行因式分解的方法。
以下是一些常见的公式：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2. 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²。
3. 二次差分公式：a² - 2ab + b² = (a - b)²。
4.二次平方差公式：a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)。
5. 立方和公式：a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)。
6. 立方差公式：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)。
根据这些公式，我们可以快速进行因式分解。
例如，对于多项式x²-4，我们可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。
三、分组法分组法是一种常用的因式分解方法，适用于多项式中含有多个项时。
具体步骤如下：1.将多项式按照其中一种规则分成两组，使得每一组内的项有相同的因式。
2.对每一组内的项进行提取公因数的操作。
3.对两组提取出的因式进行化简。
例如，对于多项式x³-x²+x-1，我们可以将其分成两组：(x³-x²)+(x-1)。
然后，我们可以对每一组内的项进行提取公因数，得到x²(x-1)+1(x-1)。
因式分解十二种方法公式
因式分解十二种方法公式因式分解是数学中的一个重要概念，它可以将一个多项式分解为若干个因子的乘积。
在因式分解中，有许多不同的方法和公式可以使用。
下面将介绍十二种因式分解的方法和公式。
一、公式法公式法是一种较为常用和简便的因式分解方法。
它利用一些已知的公式，将多项式分解为更简单的形式。
例如，我们可以利用平方差公式将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
又如，利用差平方公式可以将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
二、提公因式法提公因式法是一种常见的因式分解方法。
它利用多项式中的公因式，将多项式分解为公因式和余项的乘积。
通过提取公因式，可以简化多项式的形式，便于后续的计算和分解。
三、配方法配方法是一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在二次项的情况。
配方法通过将多项式中的一部分进行配方，从而将多项式分解为两个简化的多项式的乘积。
这种方法常用于分解二次多项式，可以将其分解为两个一次多项式的乘积。
四、分组分解法分组分解法是一种适用于四项多项式的因式分解方法。
它通过将多项式中的项进行分组，从而将多项式分解为多个简化的多项式的乘积。
这种方法常用于分解四项多项式，可以将其分解为两个二次多项式的乘积。
五、和差化积法和差化积法是一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在和差项的情况。
和差化积法通过将多项式中的和差项进行化简，从而将多项式分解为简化的多项式的乘积。
这种方法常用于分解多项式中的高次项。
六、平方差公式平方差公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
平方差公式的形式为(a-b)(a+b)=a^2-b^2，其中a和b可以是任意实数或变量。
七、差平方公式差平方公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
差平方公式的形式为(a-b)(a+b)=a^2-b^2，其中a和b可以是任意实数或变量。
八、立方差公式立方差公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个立方多项式分解为两个一次多项式的乘积。
数学因式分解的方法
数学因式分解的方法数学因式分解的方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，希望能够对大家有所帮助！一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。
用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是代数学中常见的一种运算方法，通过因式分解可以将多项式分解成若干个一次或二次因式的乘积，从而简化计算和解题过程。
在代数学中，因式分解是一个非常重要的内容，掌握因式分解的方法对于学习代数学和解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍因式分解的四种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握因式分解的技巧。
一、提公因式法。
提公因式法是因式分解中最基本的方法之一，它适用于多项式中存在公因式的情况。
具体的步骤是先找出多项式中的公因式，然后将多项式中的每一项都除以这个公因式，最后将得到的商式相乘即可得到原多项式的因式分解形式。
例如，对于多项式2x^2+6x，我们可以先找出公因式2x，然后将每一项除以2x，得到x+3，因此原多项式的因式分解形式为2x(x+3)。
二、配方法。
配方法是因式分解中常用的一种方法，它适用于多项式中存在完全平方公式的情况。
具体的步骤是将多项式中的每一项根据完全平方公式进行配方，然后利用配方公式将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2x+1，我们可以将其写成(x+1)^2的形式，因此原多项式的因式分解形式为(x+1)^2。
三、分组法。
分组法是因式分解中常用的一种方法，它适用于多项式中存在四项式的情况。
具体的步骤是将多项式中的项进行分组，然后利用分组的形式进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+3x^2+2x+6，我们可以将其写成(x^3+3x^2)+(2x+6)的形式，然后再对每一组进行提公因式或配方法进行因式分解。
四、公式法。
公式法是因式分解中常用的一种方法，它适用于多项式中存在特定公式的情况。
具体的步骤是将多项式根据特定的公式进行变形，然后利用公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+y^3，我们可以利用公式x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)进行因式分解。
综上所述，因式分解的方法有很多种，但是掌握其中的基本方法对于解题和学习都非常重要。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和掌握因式分解的技巧，从而更好地应用于实际问题中。
配方法因式分解
配方法因式分解首先，我们来看一些基本的配方法因式分解的案例。
对于一个二次多项式的因式分解，我们可以使用配方法来进行分解。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，我们可以使用配方法来进行因式分解。
首先，我们需要找到两个数，它们的和为5，乘积为6。
显然，这两个数分别为2和3。
因此，我们可以将x^2 + 5x + 6分解为(x+2)(x+3)的形式。
这就是配方法因式分解的基本思路，通过找到合适的两个数，将原多项式分解为两个一次多项式的乘积。
除了二次多项式外，配方法因式分解还可以应用于更高次的多项式。
例如，对于多项式x^3 + 6x^2 + 11x + 6，我们同样可以使用配方法来进行因式分解。
首先，我们需要找到三个数，它们的和为6，乘积为6。
经过计算，我们可以得到这三个数分别为1、2、3。
因此，我们可以将x^3 + 6x^2 + 11x + 6分解为(x+1)(x+2)(x+3)的形式。
通过这个例子，我们可以看到，配方法因式分解可以很好地应用于高次多项式的因式分解，帮助我们将复杂的多项式分解为简单的一次多项式的乘积。
除了基本的配方法因式分解外，我们还可以通过一些技巧来简化因式分解的过程。
例如，对于一些特殊的多项式，我们可以利用公式来进行因式分解。
例如，对于二次多项式x^2 4，我们可以利用平方差公式进行因式分解，得到(x+2)(x-2)。
这样一来，我们就可以直接得到原多项式的因式分解形式，而无需进行繁琐的计算。
另外，对于一些特殊的多项式，我们还可以利用因式分解的性质来简化计算。
例如，对于多项式x^2 a^2，我们可以利用差平方公式进行因式分解，得到(x+a)(x-a)。
这样一来，我们就可以直接得到原多项式的因式分解形式，而无需进行复杂的计算。
总之，配方法因式分解是数学中一种重要的运算方法，它可以帮助我们将复杂的多项式分解为简单的一次多项式的乘积。
通过本文的介绍，希望读者能够更好地理解和掌握配方法因式分解的步骤和技巧，从而在学习数学的过程中取得更好的成绩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
配方法在因式分解中的应用
因式分解是数学中的一个基本概念，它是指将一个多项式分解成几个简单的多项式之和。
因式分解是多项式计算中一个非常重要的步骤，它在多项式的化简、求值、求导等方面都有广泛的应用。
配方法是因式分解中一种常用的方法，它可以将一个多项式分解成几个简单的多项式之和。
配方法的主要目的是将多项式分解成更容易处理的形式，从而更好地进行计算和分析。
在配方法中，我们需要选择一个合适的多项式作为“原型”,然后将多项式与“原型”进行配位，得到一个新多项式。
这个新多项式与原多项式的系数相同，但字母位置不同。
我们可以通过这个新多项式来分解原多项式。
下面让我们来看几个配方法在因式分解中的应用。
例 1:分解多项式 3x^2+2x-1。
首先，我们选择一个合适的多项式作为“原型”,即:
原型:3x^2-5x+2
然后，我们将多项式与“原型”进行配位，得到:
新多项式:3x^2+2x-5x+2
我们可以通过这个新多项式来分解原多项式 3x^2+2x-1。
我们可以将新多项式写成:
3x^2+2x-5x+2 = (3x-1)(x+2)
这样，我们就成功地将多项式分解成了两个简单的多项式之和。
例 2:分解多项式 5x^2+8x-3。
首先，我们选择一个合适的多项式作为“原型”,即:
原型:5x^2-7x+3
然后，我们将多项式与“原型”进行配位，得到:
新多项式:5x^2+8x-7x-3
我们可以通过这个新多项式来分解原多项式 5x^2+8x-3。
我们可以将新多项式写成:
5x^2+8x-7x-3 = (5x-3)(x+1)
这样，我们就成功地将多项式分解成了两个简单的多项式之和。
配方法是因式分解中一种常用的方法，它可以将一个多项式分解成几个简单的多项式之和。
在配方法中，我们需要选择一个合适的多项式作为“原型”,然后将多项式与“原型”进行配位，得到一个新多项式。
这个新多项式与原多项式的系数相同，但字母位置不同。
我们可以通过这个新多项式来分解原多项式。