结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例(精)
结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例【精选】
最小势能原理、虚功原理解题示例最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A ，弹性模量均为E ，在节点1处作用水平集中力P，试用最小势能原理求各杆的内力。
图2.1解：令在外力作用下，节点1在x 向的位移为，在y 向的位移为。
x u y u 则有：杆号杆长杆变形1-22.5acos sin 0.60.8x y x y u u u u αα-=-1-32.236a0.4470.894x y u u -1-42.236a0.4470.894x y u u --杆应变能的表达式为：22EA U L L=∆则系统的总势能为：固树 （一）一次主题党词找标准、找差词，交流思想体会集中学习，每次确定习。
支部每季度召开于担当作为”、“坚1。
（三）开展“四个讲班子成到联系区县X X 局带头家学者给党员干部习教育实施方以下简称，做合“()()()()222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i xx y x y x y x x x y y xU Pu EA EAu u u u a aEAu u Pu a EA u u u u Pu a∏=-=-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：0;0x yu u ∂∏∂∏==∂∂即：()()0.3230.19200.1920.9720x y x y EAu u P a EAu u a--=-+=解得：3.510.694x y Pa u EA Pa u EA==杆的内力可由公式：求得，故各杆的内力为：EAN L L=∆1213140.620.4250.979N PN PN P---===-例2.2如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q ，试用最小势能原理求其挠度曲线。
结构力学虚功原理课件
刚体的位移
01
刚体的位移
在结构力学中，刚体的位移是研究结构在受力作用下的变形和运动状态
的基本概念。刚体的位移涉及到结构的位移、转角、挠度等参数，这些
参数可以通过测量或计算得到。
02
位移的测量
位移的测量是确定结构在受力作用下的变形程度和运动状态的重要手段。
通过测量位移可以了解结构的响应和行为，从而评估结构的性能和安全
能量原理与虚功原理的关系
能量原理与虚功原理 的联系
能量原理和虚功原理都是弹性力学中 的基本原理，它们之间存在密切的联 系。能量原理指出，对于一个处于平 衡状态的弹性体，其总能量（包括外 力势能和内能）在任何微小虚位移下 的改变量等于零。而虚功原理则是能 量原理的一种特殊情况，即当外力势 能忽略不计时，能量原理就变为虚功 原理。
03
虚功原理的推导
力的平衡方程
力的平衡方程是结构力学中的 基本方程，它描述了结构中力 的平衡条件。在平衡状态下， 作用在结构上的所有外力之和 为零。
力的平衡方程可以表示为：∑F = 0，其中∑F表示作用在结构上 的所有外力矢量和。
力的平衡方程是求解静力学问 题的基础，通过它我们可以求 解出结构的位移、应变和应力 等参数。
实例分析
以梁为例，通过应用虚功原理，可以分析梁在不同载荷下的变形和应力分布，从而优化梁的截面尺寸和 形状，提高其承载能力和刚度。
06
总结与展望
虚功原理的重要性和意义
结构力学中的虚功原理是分析结构稳定性和变形的关键理论之一，对于工程设计和建筑安全具有重要 意义。
虚功原理能够为结构设计和优化提供理论基础，帮助工程师更好地理解和控制结构的力学行为，提高结 构的稳定性和安全性。
变形方程，进而求解物体的内力和变形。
结构力学虚功原理最小势能原理解题示例
虚应变能为：
由虚功原理，有： ，即：
故梁的位移为：
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学<静力学）第四章第7节】
例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
图2.2
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
故，考虑到梁左侧为固支，可设：
梁右侧需满足：
且梁右侧没承受弯矩，有：
<力的边界条件）
代入边界条件，有：
等截面梁的弯曲应变能表达式为：
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
又：
【 】
由于变分可取任意值，故有：
所以：
虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。DXDiTa9E3d
例2.3 试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
图2.3
解：令在外载荷P作用下，梁的转角为 ，则各杆的变形为：
给梁施加一个虚位移：
【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度 ，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度 ，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y处的x方向的位移为 ，应变 ，弯曲应力为 ，因此，等截面梁的弯曲应变能为： 】p1EanqFDPw
则系统的总势能为：
由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
虚功原理——精选推荐
虚功原理ΔCΔCyΔCxiP静定结构结构位移计算§4.1 应⽤虚⼒原理求刚体体系位移1、结构的位移：结构在荷载作⽤下，要产⽣内⼒和变形，结构的变形引起结构的位移，位移⼀般分为线位移和⾓位移两种，线位移是指结构上点的移动，⾓位移是指杆件横截⾯产⽣的转动。
2、产⽣位移的主要原因产⽣位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作⽤、②温度改变和材料胀缩、③⽀座移动和制造误差。
(1)荷载使静定结构产⽣内⼒、变形、位移；（2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产⽣内⼒、但能产⽣变形、位移；（3）⽀座移动或制造误差使静定结构不产⽣内⼒变形、但能产⽣位移；§4.2 结构位移计算的⼀般公式如结构在荷载、温度改变、⽀座移动等因素作⽤下⽽发⽣了图1所⽰变形和位移，这是结构的实际的位移状态。
要利⽤虚功⽅程求位移Δi2（状态②中i ⽅向的位移）。
应先虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载（如图2）。
求出虚拟⼒状态的内⼒和反⼒。
由虚功⽅程，即得平⾯杆系结构位移计算的⼀般公式：该式适⽤于：①静定结构和超静定结构；②弹性体系和⾮弹性体系；③各种因素产⽣的位移计算。
4.3 荷载作⽤下的位移计算如果弹性体系由荷载产⽣了内⼒（M P ，N P ，Q P ），⽽内⼒产⽣的变形可由材料⼒学公式得到：(a )M PM(b )注意：1．该式可⽤来求弹性体系由荷载产⽣的位移；2．该式既⽤于静定结构也⽤于超静定结构；3．第⼀、⼆、三项分别表⽰弯曲变形、轴向变形、剪切变形产⽣的位移；4．结构不同简化为：梁、刚架只考虑弯曲变形：桁架只有轴向变形：组合结构：对于具有弹性⽀承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加⼀项弹性⼒的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性⽀承和内部弹性联结的弹性⼒，两者⽅向⼀致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性⽀承和内部弹性联结的为刚度系数。
结构力学虚功原理课件
(二)虚功原理
具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体 系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚 体位移上所作的虚功总和恒等于零。
W 0
刚体体系的虚功方程
所谓理想约束，是指其约束力在虚位移 上所作的功恒等于零的约束。
(三)虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力
拟求支座A处的支反力
位移的分类：线位移；角位移。
角位移
线位移
A
A
B
B
相对角位移
2、结构位移计算的目的
①验算结构的刚度； ②为超静定结构的内力计算打下基础； ③结构制作、施工的需要。
3、结构位移计算的假定
①材料服从虎克定律。 ②结构的变形是微小的。 ③结构各处的约束都是理想约束。
线弹性体系
§5-2 虚功原理
（1）刚体体系虚功原理 （2）变形体体系虚功原理
FP
A
B FBx
FA
a
b
l
FBy
W FA A FP P 0
FA
FP
P A
P b A l
b FA l FP
FP
A
B
FA
△A
△P
B
A
A 1
P
b l
B
A
FA FP P
虚位移原理
应用虚位移原理求解静定结构的某一约束力时， 一般应遵循如下步骤： （1）解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反 力来代替。 （2）把机构可能发生的刚体位移当作虚位移，写 出虚功方程。 （3）求出虚位移之间的几何关系，利用虚功方程 即可求解约束反力。
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
结构力学 虚功原理
B
D
求△Dy
C
A
B
D
P 1
求θBC
C P
1
2a
P 1
A
2a B
D
【例7－5】用虚功原理求图示桁架BC杆转角θC ，各杆EA为常数。
PD
E
F
D
E
F1
a
a
AC
B
aa
1
AC
B
a
杆件 DE EF AD AE CE BE BF AC CB
NP -P 0
1
N 0a
杆长 a a
0 2P 0 2P 0 1P 1P
实际位移状态
d
d
NP
NP QP
QP MP
MP
dx d(△l)
dx
dx
内力虚功：U N d ( l) Q d M d
N NPdx EA
Q
kQPdx GA
M
MPd EI
x
由虚功原理 W ＝ U 得位移计算的一般公式
N E N Pd A x kG Q Q Pd A x M E M PIdx
应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载） 法。
3．虚功的计算 ⑴外力虚功的计算： W1 ⑵内力虚功的计算：
虚拟力状态
N
NQ
QM
M
dx
dx
dx
实际位移状态
d
d
N
NQ
QM
M
dx d(△l)
dx
dx
虚拟力状态
N
NQ
QM
M
dx
dx
dx
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理结构力学虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它是通过能量方法来分析结构的力学性能和变形规律的一种理论工具。
虚功原理的提出，为结构力学的研究和工程实践提供了一种简洁而有效的分析方法，对于工程结构的设计和优化具有重要意义。
首先，我们来看一下虚功原理的基本假设。
虚功原理假设结构在受力作用下，其位移满足虚位移的要求。
所谓虚位移，是指在结构受力作用下，结构的位移不仅满足实际受力平衡条件，还需满足虚位移的平衡条件。
这个假设为后续的分析提供了基础，也是虚功原理得以应用的前提。
虚功原理的核心思想是能量守恒。
在结构受力作用下，结构内部会产生应变能和变形能，而外部施加的力会做功。
根据能量守恒的原理，结构受力平衡时，内部的能量增加等于外部做功，这就是虚功原理的基本表达式。
通过对这个表达式的分析，可以得到结构的受力方程和变形规律，为结构设计和分析提供了重要的依据。
虚功原理的应用非常广泛，它可以用于分析各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
在工程实践中，虚功原理常常被用于分析复杂结构的受力性能，比如钢结构、混凝土结构等。
通过虚功原理的分析，可以得到结构的内力分布、变形情况，为结构的设计和施工提供了重要的参考依据。
除此之外，虚功原理还可以用于结构的优化设计。
通过对结构受力性能的分析，可以找到结构的薄弱环节，进而对结构进行合理的优化设计，提高结构的受力性能和使用效率。
这对于工程结构的安全性和经济性都具有重要意义。
总的来说，结构力学虚功原理是结构力学中的重要理论工具，它通过能量方法来分析结构的受力性能和变形规律，为工程结构的设计、分析和优化提供了重要的理论依据。
在工程实践中，虚功原理的应用具有重要的意义，可以帮助工程师更好地理解和分析结构的受力性能，为工程结构的设计和施工提供重要的参考依据。
通过对虚功原理的深入研究和应用，可以推动结构力学理论的发展，为工程结构的安全性和经济性提供更好的保障。
虚功原理
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。
一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
220
012L
L d x EJ dx q x x dx dx ωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪∏=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎰
⎰由最小势能原理可知,当结构处于稳定平衡状态时,有:
0δ∏=
又:
((((((((222
20044
0034342211122009.60.60.40.60.40
L
L
L L L L d x d EJ x dx q x x dx dx dx d x EJ x dx q x x dx dx a x x x x EJ L x a dx qL x a dx L L L L L ωδδωδωωδωδωδδ⎡⎤∏=-⎢⎥⎣⎦
((22012x x a a x a x ω=--
梁右侧需满足:
(|0x L x ω==
且梁右侧没承受弯矩,有:
(
220x L
d x dห้องสมุดไป่ตู้ ω==
代入边界条件,有:
La1L0.6 x 2x3 x40.4 2L LL等截面梁的弯曲应变能表达式为：U0d 21 EJ z2dx 2dx2x3 x4给梁施加一个虚位移：xa1L0.6 x 20.4 2L L则其外力虚功为：Wqxxdx 0 L虚应变能为：UL 0 2 d 2dxEJxdx dx 2dx 2由虚功原理，有：WU，即：L d 4xxdxqxxdx 40 0 dx L L9.6a1x3 x4x3 x42 2 EJ L 0.6 x0.4a dxqL 0.6 x0.41a1dx00L L L2L L2L EJ由于虚位移是任意的，故：9.6 EJa1qLa1qL 9.6 EJ所以：xqL2x3 x42 0.6 x0.49.6 EJL L2【由此可以看出，虚位移原理和最小势能原理是一致的，都是从能量的角度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件，即用能量方程来替代变形协调条件。在做题时，个人觉得最小势能原理具有更好的操作性。】
虚功原理:当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时,对任意为约束所容许的虚位移,外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。
例2.3试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
P
图2.3
解:令在外载荷P作用下,梁的转角为α,则各杆的变形为:
12323L L L L L L α
αα∆=∆=∆=
给梁施加一个虚位移:δα则外力虚功为:
α==
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学(静力学第四章第7节】
例2.2若用虚功原理求解,其步骤如下:
解:令梁的挠度函数为(x ω,它必须满足以下几个条件:
1、必须满足几何边界条件,但不一定满足平衡条件和力的边界条件;
2、由于有均布载荷q的作用,故(x ω应为x的4次多项式。故,考虑到梁左侧为固支,可设:
∏=-=
-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑由最小势能原理可知,当结构处于稳定平衡状态时,有:
0;0x y
u u ∂∏∂∏
==∂∂即:
((0.3230.19200.1920.9720x y x y EA
u u P a
EA
u u a
--=-+=
解得:
3.510.694x y Pa
u EA
Pa u EA =
=
2
2EA U L L
=
∆则系统的总势能为:
((((
222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i x
x y x y x y x x x y y x
U Pu EA EA
u u u u a a
EA
u u Pu a EA u u u u Pu a
2、由于有均布载荷q的作用,故(x ω应为x的4次多项式。故,考虑到梁左侧为固支,可设:
((22012x x a a x a x ω=--
梁右侧需满足:
(|0x L x ω==
且梁右侧没承受弯矩,有:
(
220x L
d x dx ω==(力的边界条件
代入边界条件,有:
(342
120.60.4x x L a L x L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝
7
2
W PL δδα=
虚应变能为:
((
(123231223314EA EA EA U L L L L L L L L L
EAL EAL δδαδαδααδααδα
=
∆+∆+∆=+⨯+⨯=由虚功原理,有:W U δδ=,即:
7
142
4P PL EAL EA
δααδαα=⇒
=
故梁的位移为:
4Px
d x EA
⎭
等截面梁的弯曲应变能表达式为:2
220
1
2L
z d U EJ dx dx ω⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎰
【根据平面假设,梁在受弯曲变形后,其横截面仍保持为平面,它一方面有挠度(x ω,一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度
d dx
ω
,由于该转角的存在,使得距离中性轴为y处的x方向的位移为d u y dx ω
=-,应变22x d y dx ωε=-,
弯曲应力为22x d yE dx ω
σ=-,因此,等截面梁的弯曲应变能为:
2
2
222
2
220011112222L
L x x x z V V
A
d d U dV E dV E dx y dA EJ dx dx dx ωωσεε⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】则系统的总势能为:
杆的内力可由公式:EA
N L L
=
∆求得,故各杆的内力为: 1213140.620.4250.979N P N P N P
---===-
例2.2如图2.2所示的梁,其上作用有均布载荷q ,试用最小势能原理求其挠度曲线。
图2.2
解:令梁的挠度函数为(x ω,它必须满足以下几个条件:
1、必须满足几何边界条件,但不一定满足平衡条件和力的边界条件;
=-⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰【(231231.2 1.6x x x L x a L L δωδ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭】
由于变分可取任意值,故有:
119.69.6qL
EJa qL
a EJ
=⇒
=
所以:
(2342
20.60.49.6qL x x x x EJ L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
最小势能原理、虚功原理解题示例
最小势能原理:在给定外载荷的作用下,对于稳定平衡系统,在满足位移边界条件的所有各组位移中,实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1如图2.1所示桁架结构,各杆的横截面积均为A ,弹性模量均为E ,在节点1处作用水平集中力P ,试用最小势能原理求各杆的内力。
图2.1
解:令在外力作用下,节点1在x向的位移为x u ,在y向的位移为y u。则有: