结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例(精)
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杆的内力可由公式:EA
N L L
=
∆求得,故各杆的内力为: 1213140.620.4250.979N P N P N P
---===-
例2.2如图2.2所示的梁,其上作用有均布载荷q ,试用最小势能原理求其挠度曲线。
图2.2
解:令梁的挠度函数为(x ω,它必须满足以下几个条件:
1、必须满足几何边界条件,但不一定满足平衡条件和力的边界条件;
2
2EA U L L
=
∆则系统的总势能为:
((((
222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i x
x y x y x y x x x y y x
U Pu EA EA
u u u u a a
EA
u u Pu a EA u u wk.baidu.com u Pu a
⎭
等截面梁的弯曲应变能表达式为:2
220
1
2L
z d U EJ dx dx ω⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎰
【根据平面假设,梁在受弯曲变形后,其横截面仍保持为平面,它一方面有挠度(x ω,一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度
d dx
ω
,由于该转角的存在,使得距离中性轴为y处的x方向的位移为d u y dx ω
最小势能原理、虚功原理解题示例
最小势能原理:在给定外载荷的作用下,对于稳定平衡系统,在满足位移边界条件的所有各组位移中,实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1如图2.1所示桁架结构,各杆的横截面积均为A ,弹性模量均为E ,在节点1处作用水平集中力P ,试用最小势能原理求各杆的内力。
图2.1
解:令在外力作用下,节点1在x向的位移为x u ,在y向的位移为y u。则有:
α==
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学(静力学第四章第7节】
例2.2若用虚功原理求解,其步骤如下:
解:令梁的挠度函数为(x ω,它必须满足以下几个条件:
1、必须满足几何边界条件,但不一定满足平衡条件和力的边界条件;
2、由于有均布载荷q的作用,故(x ω应为x的4次多项式。故,考虑到梁左侧为固支,可设:
7
2
W PL δδα=
虚应变能为:
((
(123231223314EA EA EA U L L L L L L L L L
EAL EAL δδαδαδααδααδα
=
∆+∆+∆=+⨯+⨯=由虚功原理,有:W U δδ=,即:
7
142
4P PL EAL EA
δααδαα=⇒
=
故梁的位移为:
4Px
d x EA
(((2
220
012L
L d x EJ dx q x x dx dx ωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪∏=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎰
⎰由最小势能原理可知,当结构处于稳定平衡状态时,有:
0δ∏=
又:
((((((((222
20044
0034342211122009.60.60.40.60.40
L
L
L L L L d x d EJ x dx q x x dx dx dx d x EJ x dx q x x dx dx a x x x x EJ L x a dx qL x a dx L L L L L ωδδωδωωδωδωδδ⎡⎤∏=-⎢⎥⎣⎦
((22012x x a a x a x ω=--
梁右侧需满足:
(|0x L x ω==
且梁右侧没承受弯矩,有:
(
220x L
d x dx ω==
代入边界条件,有:
La1L0.6 x 2x3 x40.4 2L LL等截面梁的弯曲应变能表达式为：U0d 21 EJ z2dx 2dx2x3 x4给梁施加一个虚位移：xa1L0.6 x 20.4 2L L则其外力虚功为：Wqxxdx 0 L虚应变能为：UL 0 2 d 2dxEJxdx dx 2dx 2由虚功原理，有：WU，即：L d 4xxdxqxxdx 40 0 dx L L9.6a1x3 x4x3 x42 2 EJ L 0.6 x0.4a dxqL 0.6 x0.41a1dx00L L L2L L2L EJ由于虚位移是任意的，故：9.6 EJa1qLa1qL 9.6 EJ所以：xqL2x3 x42 0.6 x0.49.6 EJL L2【由此可以看出，虚位移原理和最小势能原理是一致的，都是从能量的角度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件，即用能量方程来替代变形协调条件。在做题时，个人觉得最小势能原理具有更好的操作性。】
∏=-=
-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑由最小势能原理可知,当结构处于稳定平衡状态时,有:
0;0x y
u u ∂∏∂∏
==∂∂即:
((0.3230.19200.1920.9720x y x y EA
u u P a
EA
u u a
--=-+=
解得:
3.510.694x y Pa
u EA
Pa u EA =
=
=-⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰【(231231.2 1.6x x x L x a L L δωδ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭】
由于变分可取任意值,故有:
119.69.6qL
EJa qL
a EJ
=⇒
=
所以:
(2342
20.60.49.6qL x x x x EJ L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
虚功原理:当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时,对任意为约束所容许的虚位移,外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。
例2.3试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
P
图2.3
解:令在外载荷P作用下,梁的转角为α,则各杆的变形为:
12323L L L L L L α
αα∆=∆=∆=
给梁施加一个虚位移:δα则外力虚功为:
=-,应变22x d y dx ωε=-,
弯曲应力为22x d yE dx ω
σ=-,因此,等截面梁的弯曲应变能为:
2
2
222
2
220011112222L
L x x x z V V
A
d d U dV E dV E dx y dA EJ dx dx dx ωωσεε⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】则系统的总势能为:
2、由于有均布载荷q的作用,故(x ω应为x的4次多项式。故,考虑到梁左侧为固支,可设:
((22012x x a a x a x ω=--
梁右侧需满足:
(|0x L x ω==
且梁右侧没承受弯矩,有:
(
220x L
d x dx ω==(力的边界条件
代入边界条件,有:
(342
120.60.4x x L a L x L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝
N L L
=
∆求得,故各杆的内力为: 1213140.620.4250.979N P N P N P
---===-
例2.2如图2.2所示的梁,其上作用有均布载荷q ,试用最小势能原理求其挠度曲线。
图2.2
解:令梁的挠度函数为(x ω,它必须满足以下几个条件:
1、必须满足几何边界条件,但不一定满足平衡条件和力的边界条件;
2
2EA U L L
=
∆则系统的总势能为:
((((
222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i x
x y x y x y x x x y y x
U Pu EA EA
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等截面梁的弯曲应变能表达式为:2
220
1
2L
z d U EJ dx dx ω⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎰
【根据平面假设,梁在受弯曲变形后,其横截面仍保持为平面,它一方面有挠度(x ω,一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度
d dx
ω
,由于该转角的存在,使得距离中性轴为y处的x方向的位移为d u y dx ω
最小势能原理、虚功原理解题示例
最小势能原理:在给定外载荷的作用下,对于稳定平衡系统,在满足位移边界条件的所有各组位移中,实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1如图2.1所示桁架结构,各杆的横截面积均为A ,弹性模量均为E ,在节点1处作用水平集中力P ,试用最小势能原理求各杆的内力。
图2.1
解:令在外力作用下,节点1在x向的位移为x u ,在y向的位移为y u。则有:
α==
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学(静力学第四章第7节】
例2.2若用虚功原理求解,其步骤如下:
解:令梁的挠度函数为(x ω,它必须满足以下几个条件:
1、必须满足几何边界条件,但不一定满足平衡条件和力的边界条件;
2、由于有均布载荷q的作用,故(x ω应为x的4次多项式。故,考虑到梁左侧为固支,可设:
7
2
W PL δδα=
虚应变能为:
((
(123231223314EA EA EA U L L L L L L L L L
EAL EAL δδαδαδααδααδα
=
∆+∆+∆=+⨯+⨯=由虚功原理,有:W U δδ=,即:
7
142
4P PL EAL EA
δααδαα=⇒
=
故梁的位移为:
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(((2
220
012L
L d x EJ dx q x x dx dx ωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪∏=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎰
⎰由最小势能原理可知,当结构处于稳定平衡状态时,有:
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又:
((((((((222
20044
0034342211122009.60.60.40.60.40
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L
L L L L d x d EJ x dx q x x dx dx dx d x EJ x dx q x x dx dx a x x x x EJ L x a dx qL x a dx L L L L L ωδδωδωωδωδωδδ⎡⎤∏=-⎢⎥⎣⎦
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梁右侧需满足:
(|0x L x ω==
且梁右侧没承受弯矩,有:
(
220x L
d x dx ω==
代入边界条件,有:
La1L0.6 x 2x3 x40.4 2L LL等截面梁的弯曲应变能表达式为：U0d 21 EJ z2dx 2dx2x3 x4给梁施加一个虚位移：xa1L0.6 x 20.4 2L L则其外力虚功为：Wqxxdx 0 L虚应变能为：UL 0 2 d 2dxEJxdx dx 2dx 2由虚功原理，有：WU，即：L d 4xxdxqxxdx 40 0 dx L L9.6a1x3 x4x3 x42 2 EJ L 0.6 x0.4a dxqL 0.6 x0.41a1dx00L L L2L L2L EJ由于虚位移是任意的，故：9.6 EJa1qLa1qL 9.6 EJ所以：xqL2x3 x42 0.6 x0.49.6 EJL L2【由此可以看出，虚位移原理和最小势能原理是一致的，都是从能量的角度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件，即用能量方程来替代变形协调条件。在做题时，个人觉得最小势能原理具有更好的操作性。】
∏=-=
-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑由最小势能原理可知,当结构处于稳定平衡状态时,有:
0;0x y
u u ∂∏∂∏
==∂∂即:
((0.3230.19200.1920.9720x y x y EA
u u P a
EA
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--=-+=
解得:
3.510.694x y Pa
u EA
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=
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由于变分可取任意值,故有:
119.69.6qL
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所以:
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虚功原理:当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时,对任意为约束所容许的虚位移,外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。
例2.3试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
P
图2.3
解:令在外载荷P作用下,梁的转角为α,则各杆的变形为:
12323L L L L L L α
αα∆=∆=∆=
给梁施加一个虚位移:δα则外力虚功为:
=-,应变22x d y dx ωε=-,
弯曲应力为22x d yE dx ω
σ=-,因此,等截面梁的弯曲应变能为:
2
2
222
2
220011112222L
L x x x z V V
A
d d U dV E dV E dx y dA EJ dx dx dx ωωσεε⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】则系统的总势能为:
2、由于有均布载荷q的作用,故(x ω应为x的4次多项式。故,考虑到梁左侧为固支,可设:
((22012x x a a x a x ω=--
梁右侧需满足:
(|0x L x ω==
且梁右侧没承受弯矩,有:
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220x L
d x dx ω==(力的边界条件
代入边界条件,有:
(342
120.60.4x x L a L x L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝