第三章圆 回顾与思考

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第三章 圆
《回顾与思考（第2课时）》
教学设计说明
一、学生起点分析
学生的知识技能基础
通过本章内容的学习，学生初步掌握圆的相关知识，结合《圆》复习课第一
课时，逐渐形成“圆的基本概念与定理”、“与圆有关的位置关系”、“与圆有关的
计算”的知识网络体系.
学生活动经验基础
在圆的相关知识的学习过程中，学生逐渐形成了数学思想方法，如在探索圆
周角与圆心角关系、点与圆、直线与圆的位置关系的过程中体会分类讨论思想，
研究拱桥跨度、拱高等问题时建立建模思想，研究垂径定理、圆心角、弧、弦之
间关系定理时体会化归与转化思想等.同时在以往的数学学习中学生已经经历了
很多探究学习的过程，具有了一定的探究学习的经验，具备一定的提出问题、分
析问题的能力.

二、教学任务分析
通过复习课第一课时内容的学习，学生对《圆》的知识网络体系进行了初步
的梳理与构建.本课通过创设开放性的问题情景，引导学生综合应用知识从不同
角度展开提问并尝试解答，从另一个维度对本章的数学知识与思想方法进行反
思，通过进一步整合、重组，将其内化到学生原有的认知体系中.为此，本节课
的教学目标是：
1．通过问题的设计，对圆的相关知识与思想方法进行反思，逐步培养提出
问题，分析问题的能力；
2．在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法.
3．在探索活动中通过合作与交流，进一步发展合作交流的能力和数学表达
能力.
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三、教学设计分析
本课共分三个环节：问题开放、变式练习、总结归纳.
第一环节：问题开放
如图：已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的
⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，CD＝3，
∠ACB＝30 º .
请同学们尝试提出问题.
『分析』本题改编自一道课后练习题，题目的信息量非常丰富，由于问题的
开放性，学生可提出问题的角度很多，如垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点
与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.如：
问题1：求证点D是BC的中点；
问题2：求⊙O的半径；
问题3：求点O到BD的距离；
问题4：求证DE是⊙O的切线；
……
学生提出问题后，分组并进行求解或证明.
问题1：求证点D是BC的中点；
『分析』本题涉及圆的基本概念与性质，通过连接AD，构造直径所对的圆
周角，利用直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一，即可得证. 本题辅
助线的构造方式是有关圆问题讨论的常用方案，本题也较好地体现了转化的思想
方法.类似地，学生还可以提出：求证AD平分∠CAB.
问题2：求⊙O的半径；
『分析』利用含30º角的直角三角形边角关系，勾股定
理，等边对等角等方法，便可求得半径.本题较好地体现了
圆与三角形知识的综合应用.
类似的，学生还可以提出：求DE、AE、AD的长度，
解题思路类似.
问题3：求点O到BD的距离；
『分析』本题通过作OF⊥BD,构造垂径定理基本模型，结合勾股定理便可

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求得结论.
教师点拨：以上几个问题主要涉及圆的基本概念与定理，请同学们谈一谈学
习这部分内容的知识线索？
——圆具备轴对称性和旋转对称性，利用轴对称变换的方法我们探索垂径定
理及其逆定理，然后用推理证明的方法进行证明；用旋转变换的方法我们探索圆
心角、弧、弦之间相等关系的定理，然后加以证明；我们还用推理证明的方法研
究了圆周角与圆心角的关系.
教师点拨：虽然圆这部分涉及的知识非常丰富，但只要我们把握了学习的基
本线索，相关的概念、定理便易于理解、掌握.本章还研究了与圆有关的位置关
系，请同学们继续就有关内容提出新的问题？
问题4：求证DE是⊙O的切线
『分析』本题主要考察直线与圆的位置关系，证明方法多种，涉及知识面较
丰富，是一个很有价值的问题.为此，本题先由学生独立完成，再进行分组讨论，
讨论、比较不同的证明方法，总结规律.
证法1：由于已知点D为圆上一点，要求证DE是⊙
O的切线，根据切线得判定定理，可构造辅助线OD，并
证明半径OD⊥DE.具体方法如下：连接DO、AD，因为
AB是直径，所以∠ADB＝90 º，即∠1＋∠4＝90 º；又
因为DE⊥AC，所以∠4＋∠C＝90 º，可得∠1＝∠C＝30 º.
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C＝30 º，故∠3＝90 º －∠B＝60 º；又因为OD
＝OA，所以∠2＝∠3＝60 º，所以∠ODE＝∠1＋∠2＝90 º，即半径OD⊥DE，
从而得证DE是⊙O的切线.
教师点拨：这种证法的亮点在于准确把握了证明直线与圆相切的一种常用的
辅助线作法，构造半径OD，通过证明OD⊥DE，从而得证DE是⊙O的切线.
还有其它证明方法吗？
证法2：可以通过证明OD∥AC，由∠ODE=∠DEC=90
º，证明DE是⊙O的切线.具体方法如下：连接DO，因为
OB=OD，AB=AC，所以∠5=∠B，∠C=∠B，故∠5﹦∠C，
所以OD∥AC；又因为DE⊥AC，所以∠ODE﹦∠DEC＝90
º ，即半径OD⊥DE，所以DE是⊙O的切线.
教师点拨：本题结合了平行线的性质与判定，使证明方法更简洁了，可见在

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几何证明过程中，知识综合应用的优越性.
证法3：还有更简洁的方法！由于BO=AO，BD=CD，利用三角形中位线即
可得证OD∥AC，便易证DE是⊙O的切线.
『分析』通过一题多证，从多角度构建起知识的联系与拓展，进一步丰富的
几何知识体系的构建.教师适时进行点拨，结合本题总结归纳直线与圆的位置关
系的有关知识以及与切线有关的常用辅助线作法.
第二环节：变式练习
变式：如图，已知⊙O的直径AB＝2，∠ABC＝30 º，

BC＝23，D是BC的中点，试判断点D与⊙O的位置关系.
请判断下列解题过程是否正确？
解：连接OD、AD,
∵AB是直径
∴∠ADB＝90 º
∵AO=BO

∴OD＝AB21=AO
∴点D在圆上
『分析』本题考查点与圆的位置关系，基本的思想方法是转化为点到圆心的
距离与半径比较，即把“形”的关系，转化为“数”的关系.该题解题过程为看
似利用“直径所对的圆周角是直角”以及“直角三角形斜边的中线等于斜边的一
半”便可获得结论，然而仔细分析题目条件却发现∠ADB并没有条件确定圆周
角，条件不完备，解法错误.本题应利用勾股定理计算出OD的长度，再与半径
比较作出判断.
解：连接OD，作OF⊥BC于点F

在Rt△BOF中，∠B＝30 º，OF＝21OB＝21

∴BF＝2322OFBO
∵D是BC中点，BC＝23，
∴BD＝21BC＝3

∴DF＝BD－BF＝23

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在Rt△DOF中，DO＝
121232222OFDF

∴OD＝OB
∴点D在圆上

第三环节 课堂小结

1．通过开放问题情景，从多角度提出问题，逐步培养提出问题，解决问题
能力；
2．《圆》的内容综合性较强，在具体应用中，进一步完善知识体系构建.

四、教学设计反思
本课借用一道课后作业题作为研究对象，请学生从不同角度展开提问并尝试
解答，从另一个角度让学生把本章的知识点重新组织起来.由于问题的开放性，
学生提问的角度有许多，包括垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点与圆的位置
关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.通过教师引导，学生参与提问，
并尝试解决的方式，充分调动学生学习的积极性，体现了学习的自主性.学生编
制题目时，需要思考回忆本章知识的线索，对照过去的问题，是一种主动参与，
思维是开放的.通过这样的参与，有助于学生对所学知识的进一步理解与掌握，
有助于把章节知识内化到学生原有的认知体系中，并获得新的意义建构，符合新
课程教学的基本理念.课堂上学生还可以提出了许多精彩的问题，如求弧长问题、
求圆心角问题等，但由于时间所限，部分题目只能留待课下继续完成，面对当前
课改提出的探究式教学、开放式教学模式，如何掌控时间的分配，如何引导学生
学会发问，如何对学生提出的开放性问题进行有效点拨，如何优化资源的使用等
都是值得进一步研究与思考的课题.