命题、定理、证明

1）据题意画图； 2）将命题所叙述的题设和结论， 结合图形写出已知和求证： 已知：如图，b∥c， a⊥b ．求证：a⊥c 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1=90º （垂直的定义）． 又∵ b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠1=90º（等量代换）． ∴ a⊥c（垂直的定义）．
将命题改写成“如果„„，那么„„”的形式.
1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
两条直线被第三条直线所截，如果两个角是同旁内 角，那么这两个角互补；
2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；
3）互为相反数的两个数相加得0；
如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；
（3）请画出两条互相平行的直线。 （ （5）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余。（ （6）对顶角不相等。（
√）
√
）
问题3 请同学们观察一组命题，并思考命 题是由几部分组成的？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补； （3）如果两个角的和是90º， 那么这两个角互余； （4）等式两边都加同一个数， 结果仍是等式． （5）两点之间，线段最短．
将命题都写成“如果……,那么……”的形 式 (1)熊猫没有翅膀；
如果这个动物是熊猫，那么它没有翅膀。
（2）同旁内角互补；
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
（3）同角的补角相等.
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角 相等．
改写下列命题，并指出命题中的题设和结论.
对顶角相等． 改写成： 如果两个角是对顶角,那么这两个角相等. 条件是： 两个角是对顶角 结论是： 这两个角相等
如:平行线判定定理； 平行线性质定理； 同角(等角)的余角(或补角)相等 三角形的内角和等于180° 对顶角相等 ……
证明
在许多情况下，一个命题的正确性需 要经过推理，才能作出判断，这个推理过 程叫做证明。
如何证明一个命题，要遵循以下步骤：
(1)根据题意画出图形
(2)根据题设、结论,结合图形写出已知、求证
真命题：如果题设成立，那么 结论一定成立，这样的命题叫做真 命题． 假命题：如果题设成立时，不 能保证结论一定成立，这样的命题 叫做假命题．
判断下列命题是真命题还是假命题。真命 题用“√”，假命题用“× 表示。
1）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ √） 2）一个角的补角大于这个角（ × ） 3）相等的两个角是对顶角（ × ） 4）两点可以确定一条直线（ √ ） 5）若A=B，则2A = 2B（ √ ） 6）锐角和钝角互为补角（ × ） 7）两点之间线段最短（ √ ） 8）同角的余角相等（√ ） 9）同旁内角互补（× ）
同位角相等. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等. 改写成： 条件是： 两个角是同位角 结论是： 这两个角相等 同位角相等，两直线平行； 改写成： 如果同位角相等，那么两直线平行。 条件是： 同位角相等 结论是： 两直线平行
例 指出下列命题的题设、结论： （1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
证明：在同一平面内，如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
已知：如图，b∥c， a⊥b ． 求证：a⊥c 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1=90º （垂直的定义）． 又∵ b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠1=90º（等量代换）． ∴ a⊥c（垂直的定义）．
7、两个锐角的和是锐角。 假命题
命题的正确性是人们在长期实践中总
结出来的，这样的真命题叫做公理。
1、直线公理：经过两点有且只有一条直线。
2、线段公理：连接两点的所有连线中，线 段最短。
3、平行公理：经过直线外一点，有且只 有一条直线与已知直线平行。
有些命题的正确性是经过推理证 实的，这样的真命题叫做定理。
课堂小结
1、命题：判断一件事情的语句叫命题。 1）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成 常可写成“如果„，那么„”的形式。 （2）命题的分类：正确的命题称为真命题， 错误的命题称为假命题。 2、在长期实践中总结出来的真命题叫做公理。 3、定理：经过推理证实的真命题叫做定理。 4、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理 出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都 是真命题）；判断一个命题是假命题，只要举 出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这 种方法称为举反例。
互补；
（3）对顶角相等；
（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
1、对顶角相等吗？
（没有作出判断）
2、明天我们去参观开发区。
（ 只说了我们的“计划”和“打 算”，也没有对一件事情作出判断）
都不是命题
3、画线段AB=CD。 一个句子，就它是否作出判断而言，有两 种不同的情况：一类是对一件事情作出了判断； 另一类是没有对事情作出判断。 因此，判断一个句子是不是命题的关键是：
证明：∵∠1=∠2 (已知) ∠1=∠3(对顶角相等) ∴∠2=∠3 (等量代换)
⌒
⌒
①根据题意，画出图形。 ②在“已知”中写出题设， 在“求证”中写出结论。 ③在“证明”中写出推理过 程，并且步步有据。
证明命题：“在同一平面内，如果一 条直线垂直于两条平行线中的一条，那么 它也垂直于另一条”．
证明：在同一平面内，如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
题设：两条直线相交， 结论：它们只有一个交点。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补， 那么这两条直线平行；
题设：两条直线被第三条直线所截，同旁内 角互补， 结论：这两条直线平行。
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； （4）如果∠1＝ ∠2， ∠2＝ ∠3，那么∠1＝ ∠3。
题设：两直线平行， 结论：内错角相等。
1、了解命题的概念以及命题的构 成（如果…那么…的形式）； 2、知道什么是真命题和假命题； 3、知道什么是定理和证明； 4、激情投入，阳光展示，享受学 习的乐趣！
问题1 请同学读出下列语句
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角
一、命题的组成
每个命题都是由题设和结论两部分组成。 题设是已知事项（或者叫已知条件）；结论是 由已知事项推出的事项。
二、区分命题的题设和结论的方法
1、若命题是用“如果……那么……”的形式叙 述的。“如果”后面的部分是题设，“那么” 后面的部分是结论。
2、没有写成“如果……那么……”形式的命题。 先要通过分析搞清这个命题的已知事项是什么？ 由已知事项推出的结论是什么？再把它改写成 “如果……那么……”的形式。
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出 证明过程。
证明：“两条直线被第三条所截，如 果内错角相等，那么同位角也相等”
c
第一步：根据题意， 画出图形
⌒
⌒3
1 2
a b
⌒
证明：“两条直线被第三条所截，如 果内错角相等，那么同位角也相等”
第二步：描绘图形，编写大题 题设： 如图，直线a与b被 已知： c所截，∠1=∠2
判断下列命题是真命题还是假命题。如果是 假命题，举出一个反例。 1、邻补角是互补的角。 真命题 假命题 2、如果两个角相等，那么它们是对顶角。 3、互补的角是邻补角。 假命题
4、如果一个数能被2整除，那么这个数也能被 4整除。 假命题 假命题 5、如果两个角是内错角，那么它们相等。
6、在平面内，经过一点有一条而且只有一条直线垂 真命题 直于已知直线。
⌒
c
⌒3
1 2
a b
结论：∠2=∠3 求证： 注意：题中“题设”写成 “已知 ”，“结论”写成 “求证”
⌒
证明：“两条直线被第三条所截，如 c 果内错角相等，那么同位角也相等”
已知，如图，直线a与b被c所截， ∠1=∠2，求证：∠2=∠3
⌒3
1 2
a b
第三步：给出证明，即推 理过程，要步步有依据。
题设：∠1＝∠2,∠2＝∠3， 结论:∠1＝∠3
问题 请同学们判断下列两个命题的真假， 并思考如何判断命题的真假．
命题2 相等的角是对顶角． （1）判断这个命题的真假． （2）这个命题题设和结论分别是什么？ 题设：两个角相等； 结论：这两个角互为对顶角．
问题3 请同学们判断下列两个命题的真假，并思 考如何判断命题的真假．
命题是由题设和结论两部分组成。题设是已知 事项，结论是由已知事项推出的事项。 两直线平行， 题设 同位角相等。 结论
数学中的命题常写成“如果„，那 么„”的形式． “如果”后接的部分是题设， “那么”后接的部分是结论．
下列命题中的题设是什么？结论是什么？ ①如果两个角是邻补角，那么这两个角互补 题设是： 两个角是邻补角 结论是： 这两个角互补 ② 如果a＞b，b＞c，那么a=c . 题设是：a＞b，b＞c 结论是： a=c ③对顶角相等． ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等
下列语句是命题吗？
①熊猫没有翅膀. ②大象是红色的 ③同位角相等. ④连接A、B两点. ⑤你多大了？ ⑥请你吃饭。
是命题 句子④⑤⑥不能判断一件事情. 不是命题
句子①②③能判断一件事情.
判断下列语句是不是命题？ （1）你饭吃了吗？（
）
√
）
（2）两点之间，线段最短。（
） （4）过直线外一点作已知直线的垂线。 （ ）
命题2 相等角是对顶角． （3）你能举出反例吗？
问题2
问题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；