1.两角和与差的余弦公式
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式1.两角和的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A+B) = sin[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= sin[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] + cos[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) + 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB + cosAsinB这就是两角和的正弦公式。
2.两角差的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A-B) = sin[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= sin[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + cos[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) - 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB - cosAsinB这就是两角差的正弦公式。
3.两角和的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A+B) = cos[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= cos[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] - sin[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = cosAcosB - sinAsinB这就是两角和的余弦公式。
4.两角差的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A-B) = cos[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= cos[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + sin[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = cosAcosB + sinAsinB这就是两角差的余弦公式。
两角和与差的余弦,正弦正切公式
(4) cos 20 cos 70 − sin 20 sin 70 ;
。 。 。 。
(5) cos 79 cos 56 − cos11 cos 34
o o o
o
sin( α + β ) cos( α + β )
sin( α + β ) tan( α + β ) = = cos( α + β )
？ ⇒ tan( α + β ) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
tan α ⋅ cos β + sin β tan α + tan β = = cos β − tan α ⋅ sin β 1 − tan α ⋅ tan β
两角和的正切公式
简记作 T( α + β )
tan α + tan β tan (α + β ) = 1 − tan α ⋅ tan β
C ( α − β ) cos( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β C ( α + β ) cos( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β S ( α − β ) sin (α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β
分析： 三角函数中一定要注意观察 分析： cos β = cos (α + β ) − α 角度之间的关系， 角度之间的关系，例如
× + ×
α 变角: 变角 β = ( + β ) − α
[
]
= cos ( +β)cosα + sin ( +β)sinα α α
两角和与差公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础知识・自主学习n知识梳理i.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( a—3 = cos acos 3+ sin «sin 3 (C( a 3)cos( a+3 = cos_acos_ 3— sin_ ocsin…3 (C(a+ ^)sin( a— 3= sin_ ocos_ 3— cos_asin_ 3 (S(a—3)sin( a+ 3= sin_ ocos_ 3+ cos_ asin_ 3 (S(a+3)tan a— tan 3 十tan(a— 3 = : ； (T( a—3))1 + tan atan 3一tan a+ tan 3 ，十tan( a+ 3 = ~I ? " (T(a+ 3))1— tan atan 32 •二倍角公式sin 2 a= 2sin_ 久cos_ a;2. 2 2 ・ 2cos 2 a= cos a— sin a= 2cos a— 1 = 1 一2sin a;- 2ta n atan 2 a= .1 — tan a3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、用等.如T(引可变形为tan a±an 3= tan( a±®(1 ?tan_ atan__®,tan a+ tan 3 tan a— tan 3 ,tan aan 3= 1 —= —「“ tan( a+ 3) tan( a— 3)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)存在实数a, 3,使等式sin( a+ 3)= sin a+ sin 3成立.( V )⑵在锐角厶ABC中，sin As in B和cos Acos B大小不确定.(X )(3)公式tan(a+ 3)= tana+tan3可以变形为tan a+ tan 3= tan( a+ 3)(1 —tanaan逆用和变形3),且对任意1 — tan aan 3角a, 3都成立.(X )⑷存在实数a,使tan 2 a= 2tan a( V )⑸设sin 2 a= —sin a, a€ (才，n ,则tan 2 a= , 3.( V )a€ R , Sin a+ 2COS a=冷0，贝V tan 2 a 等于（）tan （0+ ：= ?，贝V sin 0+ cos 0=,10 53sin 0=— cos 0, 即 I s in 2 0+ cos 20= 1, 且B 为第二象限角,•'sin 0+ cos A — 4. （2014课标全国n ）函数f （x ） = sin （x + 2册—2sin $cos （x +妨的最大值为考点自测4 A ・3 3 3 B.4 C —4 答案 解析 '•Sin a+ 2cos 10 a=〒,.2 : •sin a+ 4sin ocos a+ 4cos 2 5 i a= 2・ 化简得：4sin 2 a=— 3cos 2 a, sin 2 a 3 ,, •an 2a = co?2r —7 故选 C. Sin a+ cos a 1 , =2 贝y tan 2 a 等于（ ） a — COS a4 D.4 答案 解析 sin a+ cos a 由 sin a — cos a1tan a+1 11等式左边分子、分母同除 cos a 得， =~，解得tan a=— 3,2tan a — 1 2则tan 2 a=^f = 3・ 1 — tan a 4解析'•tan•an 0= — 3 解得 sin 0=£°, cos _ 3何0=—10 .1. （2013浙江）已知3. （2013课标全国n ）设B 为第二象限角，若答案答案 1解析 ・.f(x) = sin(x + 2 册—2sin(j)cos(x + 册 =sin[(x + 册 + 册—2sin (jcos(x + 妨=sin(x + ©cos 0+ cos(x + ©sin 2sin gos(x+ ⑥ =sin(x + ©cos ©— cos(x + ©sin © =sin [(x + © — © = sin x, ••f(x)的最大值为1.题型分类・深度剖析题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan a, tan B 是方程x 2— 3x + 2= 0的两根,C. 1 D . 3n n n 、 1⑵右 o< a<2, — 2< B <0 , cosq + a=3, c°s(：—弓=F,则 cos( a+ f)等于( )A.答案(1)A(2)C解析(1)由根与系数的关系可知tan a+ tan B= 3, tan dan f= 2. tan a+ tan B 3•'ta n(a+ f)= = =— 3.1 — tan dan B 1 — 2故选A.(2)cos( a+ nn B=cos[(4+ a)—(4— 2)]tan(a+ B)的值为( )C.5 .3n tan a+ 1 1(1) ：tan( a+-)= = 1,4 1 — tan a7•'COS a=- |sin aF ..・22乂・ Sin a+ COS a= 1 , •-S^a= 25.•'t an3 sin aa =—4 = COs a ，,n 、 z n 3 n 、.，nB =cosq+ acos(4— 2)+ si n£+ a)s in(4—n••0v n n 3 n 则右+ av&，•■si n(：+ a =欝.则 n <n —3<n则 4 4 2n 卫 6 则 sin(4-2)=苜.故曲+护1丿押冷=攀故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立•使用中要注意观察角之间的和、 差、倍、互补、互余等关系. 跟踪训练1n n 1(1)若 a (n ，n, tan( a+ 4)= 7，则 sin a 等于()A.: 4B.4 3 C•― 34D •― 5⑵计算:1+ 笃(2° - sin 10 (士 — tan5 )答案 (1)A ⑵宁解析n3又=€(2, n, /sin a= 5.cos 10 0sin 20 2sin 10「sin 10 cos 10 ° 2sin 202sin 10 °cos 10 °2sin 30。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(基础知识+基本题型)(含解析)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（基础知识+基本题型）知识点一、两角差的余弦公式 如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==OB OA . 由向量数量积的定义，有)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅OB OA OB OA ，由向量数量积的坐标表示，得βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA . 于是有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-. 由以上的推导过程可知，βα,是任意角，则)(βα-也应为任意角，即对于任意角βα,有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，此公式称为差角的余弦公式，简记为)(βα-C【提示】（1）适用条件：公式中的βα,都是任意角，可以为常量，也可以为变角（2）公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 【拓展】（1）逆用：)cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+（2）角变换后使用：ββαββαββααsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+= （3）移项使用：βαβαβαsin sin )cos(cos cos --=；βαβαβαcos cos )cos(sin sin --=（4）特殊化使用导出诱导公式：ααπαπαπsin sin 2sincos 2cos)2cos(=+=-知识点二 两角和的余弦公式 运用)(βα-C 和诱导公式，有)](cos[)cos(βαβα--=+ )sin(sin )cos(cos βαβα-+-= βαβαsin sin cos cos -=，即βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+此公式就是两角和的余弦公式，简记作)(βα+C 提示：（1）公式中的βα,都是任意角（2）两角和与差的余弦公式右边函数名的排列顺序为：余⋅余 正⋅正，左右两边加减运算符号相反 （3）一般情况下，两角和的余弦公式不能按分配律展开，即βαβαcos cos )cos(+≠+ 【拓展】要学会顺用（从左至右，即展开）、逆用（从右至左，即化简）、变用（移项变形）公式()C αβ± （1）顺用公式()C αβ±，如：()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦；()cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβαβ+=-，()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦（2）逆用公式()C αβ±，如：()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ+--+- ()()cos cos 2αβαβα=++-=⎡⎤⎣⎦（3）变用公式()C αβ±，如：()cos sin sin cos cos αβαβαβ++=； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ--=知识点三 两角和与差的正弦公式 运用()C αβ-和诱导公式，有()()sin cos cos 22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-+=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin sin cos cos sin 22ππαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+.这就是两角和的正弦公式，简记作sin cos cos sin αβαβ+()S αβ+. 在公式()S αβ+中，用β-代替β，可得()()()sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦，即()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. 这就是两角差的正弦公式，简记作()S αβ-. 【提示】（1）公式中的,αβ均为任意角.（2）两角和与差的正弦公式右边函数名的排列顺序为：正余±余正，左右两边加减运算符号相同. （3）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即()sin sin sin αβαβ±=±.知识点四 两角和与差的正切公式 ()()()sin sin cos cos sin tan tan tan cos cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--， 即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-.这就是两角和的正切公式，简记作()T αβ+. 以β-代替上式中β，可得 ()()()tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβ+--+-==⎡⎤⎣⎦--+，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.这就是两角差的正切公式，简记作()T αβ-. （1）适用条件：公式()T αβ±只有在(),,Z 222k k k k πππαπβπαβπ≠+≠+±≠+∈时才成立，否则不成立，这是由正切函数的定义域决定的.（2）特殊情况：当tan α或tan β或()tan αβ±的值不存在时，不能使用()T αβ±处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法.例如，化简tan 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为tan 2π的值不存在，不能利用公式()T αβ-，所以改用诱导公式来解.sin cos 2tan 2sin cos 2πβπββπββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. （3）公式()T αβ-也可以这样推导： ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ---==-+若cos cos 0αβ≠，则将上式得分子、分母都除以cos cos αβ，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.【拓展】（1）正切公式的逆用： ()()()tan tan tan tan 1tan tan αβααβαβαβα+-=+-=⎡⎤⎣⎦++；tantan 1tan 4tan 1tan 41tan tan 4πααπαπαα++⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭-（2）正切公式的变形应用：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-； ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-=+；()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+=-知识点五 辅助角公式辅助角公式：()sin cos tan b a x b x x a ϕϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭推导过程：sin cos a x b x x x ⎫+=+⎪⎭令cos ϕϕ==，)sin cos sin cos cos sin a x b x x x ϕϕ++()x ϕ+其中角ϕ所在象限由,a b 的符号确定，角ϕ的值由tan ba ϕ=确定或由cos ϕϕ==共同确定【提示】 （1）关于形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）的式子，引入辅助角可以变形为()sin A x ϕ+的形式，有时也变形为()cos A x ϕ+的形式（2）辅助角公式能将异名三角函数式转化为同名三角函数式，它本身就是一个化简得过程，化简后，可轻松地求出函数的周期、最值、单调区间等考点一 三角函数式的化简 【例1】 化简下列各式 （1）sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）()2sin50sin101⎡⎤︒+︒︒⎣⎦；（3）()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ 解：（1）原式()()sin 158cos15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8tan15cos 158sin15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8︒-︒+︒︒︒︒-︒︒+︒︒==︒︒-︒-︒︒︒︒+︒︒-︒︒()1tan 45tan 30tan 45301tan 45tan 30︒-︒=︒-︒==+︒︒2=-（2）原式2sin 50sin10⎛=︒+︒ ⎝⎭2sin 50cos102sin10cos50cos10︒︒+︒︒⎡⎤=︒⎢⎥︒⎣⎦)sin 50cos10sin10cos50=︒︒+︒︒()5010=︒+︒== （3）原式()()()1sin cos sin sin 2αβαααβαβα=+-++-+-⎡⎤⎣⎦ ()()1sin cos 2sin cos 2αβαααβ=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ ()sin sin αβαβ=+-= 化简三角函数式的标准和要求： （1）能求出值得应求出值；（2）使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少； （3）使三角函数式的次数尽可能低； （4）使分母中尽量不含三角函数式和根式 考点二 三角函数的求值 【例2.】.（1）求sin105︒的值；（2）已知3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，求cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）已知1tan ,tan 20,322ππαβαβπ⎛⎫==-<<<< ⎪⎝⎭，求()tan αβ-及αβ+的值解：（1）()sin105sin 6045︒=︒+︒sin 60cos45cos60sin 45=︒︒+︒︒ （2）因为3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，所以4cos 5θ=-所以413cos cos cos sin sin 666525πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）因为1tan ,tan 23αβ==-，所以()12tan tan 3tan 721tan tan 13αβαβαβ+--===+- ()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ-++===--+ 因为0,,22ππαβπ<<<<所以 322ππαβ<+<所以34παβ+=三角函数的求值问题主要包括三类：给角求值、给值求值、给值求角 （1）给角求值的求解策略求解的关键是能将所求角转化为特殊角，并注意公式的选用 （2）给值求值的求解策略已知角,αβ的某种三角函数值，求αβ±的余弦、正弦或正切的方法；先根据平方关系求出,αβ的另一种三角函数值，求解过程中应注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，再根据求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的正弦、余弦、正切公式中，求出和角或差角的正弦、余弦、正切（3）给值求角的方法解答这类题目的步骤：①求出角的某一个三角函数值；②确定角所在的范围；③求角 考点三 三角恒等式的证明 【例3】求证：()()sin 2sin 2cos .sin sin αββαβαα+-+=证明：因为sin 0α≠，()()sin 22cos sin αβαβα+-+()()=sin 2cos sin αβααβα++-+⎡⎤⎣⎦()()()sin cos cos sin 2cos sin αβααβααβα=+++-+ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+()sin αβα=+-⎡⎤⎣⎦ sin β=，所以()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=.证明三角恒等式常用以下方法：（1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去；（2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； （3）作差法，证明左边-右边=0. 考点四 辅助角公式的应用【例4】 将下列各式化成()sin A x ϕ+的形式：（1cos x x -；（2）.4444x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）12cos 2x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭原式2cos sin sin cos 66x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin .6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）1sin cos 22424x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式sin sin cos cos 26464x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 246212x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2212x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭5sin .212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 通过引入辅助角ϕ，可以将sin cos a x b x +这种形式的三角函数式化为一个角的一种三角函数的形式.这种变形方法可解决sin cos a x b x +的许多问题，如值域、最值、周期、单调区间等.另外，（2）在解法上充分体现了角的变换和整体思想.。
两角和与差的余弦公式推导过程
两角和与差的余弦公式推导过程有趣的数学——两角和与差的余弦公式
数学是一门富有智慧的学科，它将有趣的情趣注入到了平淡的生活中。
今天我
们就来探讨一下“两角和与差的余弦公式”。
首先，我们需要注意到一个定理：余弦定理，即，在三角形中，任意两边之间
经过的角的余弦等于它们之间的乘积除以乘积的两边长之积。
两角和与差的余弦公式是派生自该定理的：
$$cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB$$
$$cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB$$
其中，A为一个角，B为任意一个角，cosA和sinA分别表示角A的余弦和正
弦值。
推导过程可有以下步骤：首先，将余弦定理的左边的式子表示成可分解的乘积：
$$cos(A+B)=cos(90^o-B)+B)$$
利用正弦定理：````sinAcosB=1/2[sin(A+B)+sin(A-B)]````，也可表示为
$$cos(A+B)=1/2[sin(90^o-B)-sinB]+1/2[sin(90^o-B)+sinB]$$
最终可推出两角和与差的余弦公式：
$$cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB$$
$$cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB$$
上述的公式被广泛应用于物理学，几何学，宇宙学等领域，是研究形体空间性
质的重要工具。
可以说：两角和与差的余弦公式是一项优秀的成果，是数学之美中最富魅力的一面。
两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)
两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)一．【学习目标】1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.二．重点、难点、易错（混）点、常考点灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值三．【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： C (),cos()αβαβ--= ； C (),cos()αβαβ++= S (),sin()αβαβ--= ； S (),sin()αβαβ++= ． T (),tan()αβαβ++= 由T ()αβ+可得公式变形tan tan αβ+= T (),tan()αβαβ--=由T ()αβ-可得公式变形得：tan tan αβ-= 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式2:sin 2S ________________；2:tan 2T ________________。
2:cos 2C ________________=________________=________________；四．【基础题达标】 1．12cos312sinππ-=2．sin15°sin30°sin75°＝__________．3．cos20°cos40°cos60°cos80° =4．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=5.313sin 253sin 223sin 163sin +的值等于 6．12cos312sinππ-=7．化简：x x sin 6cos 2-= 8．若51cos sin =+θθ，则θ2sin 的值 9．81cos sin =x x 且24ππ<<x ，则=-x x sin cos 10．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=11．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值为 12．.若223tan 1tan 1+=-+αα，则=-αα2cos 2sin 113．50tan 10tan 350tan 10tan ++=14．化简：15tan 115tan 1-+=15．已知cos （6πα-）+sin α76)πα+的值是考点一： 运用公式求值、求角问题【例1】 (1)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α－β)的值． (2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (3)已知π2＜β＜α＜34π，sin(α－β)＝1213，cos(α＋β) =－35，求sin2α的值(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【训练1】已知βα,是锐角且1010sin ,55sin ==βα，求βα+【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．考点二： 公式的变形应用【例2】已知：)tan(βα+=βtan 2。
人教版(新教材)高中数学第一册 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
2．公式 T(α±β)的结构特征和符号规律 (1)结构特征：公式 T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为 tan α 与 tan β 的和或差，分母为 1 与 tan αtan β 的差或和． (2)符号规律：分子同，分母反．
[典例 1] 求值：
sin (1)
47°－sin 17°cos cos 17°
A． 3
B．1＋ 2
C．2
D．2(tan 18°＋tan 27°)
解析：(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°
＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2.
所以原式＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°·tan 20°＝1.
答案：B
2． 3cos1π2－sin1π2的值为 ( )
A．0
B．－ 2
C． 2
D．2
解析： 3cos1π2－sin1π2
＝2cos6πcos1π2－sinπ6·sin1π2
＝2cos4π＝ 2.
答案：C
3．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是 ( )
两角和 的正切 tan(α＋β)＝ 两角差 的正切 tan(α－β)＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
tan α－tan β 1＋tan αtan β
记法 C(α＋β) S(α＋β) S(α－β) T(α＋β) T(α－β)
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)两角和与差的余弦公式中角 α，β 是任意的．( )
)
(6)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( )
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
中学数学中学到了两角和差的正弦、余弦和正切公式，它们可以用于计算更复
杂的几何问题，帮助我们把诸多难题转化为计算可解的问题。
两角和公式是当两个角的角度之和等于180度时的三角公式：
sin（α + β）= sinαcosβ + cosαsinβ
cos（α + β）= cosαcosβ - sinαsinβ
tan（α + β）= (tanα + tanβ)/(1 - tanα tanβ)
差公式是当两个角的角度之差等于180度时的三角公式：
sin（α - β）= sinαcosβ - cosαsinβ
cos（α - β）= cosαcosβ + sinαsinβ
tan（α - β）= (tanα - tanβ)/(1 + tanα tanβ)
借助上述公式，我们就可以计算任意两个任意角的正弦、余弦和正切之和和差，而不必将其转化为已知的几何图形进行操作。
这样可以很大程度提高几何问题的解答速度，给我们的学习带来更多的便利。
由于上述的三角公式具有一定的解析性，所以我们可以利用它们来计算几何图
形的取值，简化解决几何问题的步骤。
掌握它们，就可以很好地提高我们数学概念的深化和解决真实世界应用问题的能力。
总之，两角和差的正弦、余弦和正切公式是在多数几何问题中必不可少的，只
要我们掌握它们，就可以利用它们快速解决困难的几何问题。
两角和与差的三角函数公式应用
两角和与差的三角函数公式应用首先，我们来介绍两角和的公式：1. 正弦两角和公式：sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的和。
例如，求解sin(π/6 + π/4)的值。
根据公式，sin(π/6 + π/4) = sin(π/6) * cos(π/4) +cos(π/6) * sin(π/4) = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6)/42. 余弦两角和公式：cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的和。
例如，求解cos(π/3 + π/6)的值。
根据公式，cos(π/3 + π/6) = cos(π/3) * cos(π/6) -sin(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = 3/43. 正切两角和公式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y))这个公式可以用来求解两个角的正切的和。
例如，求解tan(π/4 + π/6)的值。
根据公式，tan(π/4 + π/6) = (tan(π/4) + tan(π/6)) / (1 - tan(π/4) * tan(π/6)) = (1 + (1/√3)) / (1 - 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1)接下来，我们来介绍两角差的公式：1. 正弦两角差公式：sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的差。
例如，求解sin(π/3 - π/6)的值。
根据公式，sin(π/3 - π/6) = sin(π/3) * cos(π/6) -cos(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = (√3 - 1) / 22. 余弦两角差公式：cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的差。
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式-高一数学课件
两角差的余弦公式：cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ
cos(α+β)= cos[α-(-β)]
= cosα cos(-β) + sinα sin(-β)
= cosα cosβ - sinα sinβ
PART 1 两角和与差的余弦公式
tanα + tanβ
= ——————
1 - tanα tanβ
tanα - tanβ
同理可证，tan(α - β)= ——————
1 + tanα tanβ
分子分母同时
除以cosα cosβ
PART 3 两角和与差的正切公式
对于任意角α，β (α，β≠ + ， ∈ )有
tanα
+
tanβ
弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α-β)的公式吗？
提示：诱导公式五：sin(
2
−
)=cos，cos(
2
− )=sin
= sinα cosβ + cosα sinβ
同理可证，sin(α - β)= sinα cosβ - cosα sinβ
PART 2 两角和与差的正弦公式
对于任意角α，β有
tan(α+β)= ——————
1 - tanα tanβ
T(α+β)
tanα - tanβ
tan(α - β)= ——————
1 + tanα tanβ
T(α-β)
记忆要点：上同下异
例题探究
例1 已知sin = − ，是第四象限角，求sin(