高等数学性质定理
高等数学性质定理
多元函数微分
性质一
(有界性和最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连
续函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值. 性质二
(介值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于
最大值和最小值之间的任何值.
性质三(一致连续性定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必定在D 上一致连续
定理 如果函数z=f(x,y)的二阶混合偏导数y x z ???2及x
y z
???2在区域D 内
连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 （即二阶混合偏导数在连续条件下的求导与次序无关）
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点（x,y ）全增量
?z=f(x+?x,y+?y)-f(x,y)
可表示为
)(ρo +?+?=?y B x A z
其中A.B 不依赖于y x ??.，而仅与x.y 有关，22)()(y x ?+?=ρ，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而y B x A ?+?称为函数z=f(x,y)在点（x,y ）的全微分，记作dz ，即
dz=y
B x A ?+?
定理（全微分必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数x z ??，y
z
??必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为
dz=
y y
z
x x z ???+??? 定理（全微分充分条件）如果函数z=f(x,y)的偏导数x z ??，y
z
??在点(x,y)连续，则函数在该点可微分。
多元复合函数的求导法则
1. 复合函数的中间便量均为一元函数的情形
定理一 如果函数u=?(t)及v=ψ（t ）都在点t 可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[?(t),ψ(t)]在点t 可导，且有
vdt
zdv
udt zdu dt dz ??+
??= 2. 复合函数的中间便量均为多元函数的情形
定理二 如果函数u=?(x,y)及v=ψ（x,y ）都在点(x,y)具有对x 及对y 的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[?(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)可导，且有
x
v v z x u u z x z ????+????=?? y
v v z y u u z y z ????+????=?? 3. 复合函数的中间便量既有一元函数，又有多元函数的情形 定理三 如果函数u=?(x,y)在点(x,y)具有对x 及对y 的偏导数，
函数v=
ψ（y ）
在点y 可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[?(x,y),ψ(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在，且有
x
u u
z x z ????=
??，y v v z y u u z y z ????+????=?? 全微分形势不变性 设函数z=f(u ，v ）具有连续偏导数，则有全微分
dz=
dv v
z dxu u z ??+?? 如果u 、v 又是x 、y 的函数数u=?(x,y)及v=ψ（x,y ），且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数
z=f[?(x,y),ψ(x,y)]
的全微分为
dz=
dy y
z dx x z ??+?? 隐函数存在定理一 设函数F(x,y)在点P （οοy x ,）的某一邻域内具有连续偏导数，且F （οοy x ,）=0，F y （οοy x ,）≠0，则方程F （x,y ）=0在点（οοy x ,）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x),它满足条件)(0o x f y =，并有
y
x F F dx dy
-= 隐函数存在定理二 设函数F(x,y,z)在点P （000,,z y x ）的某一邻域内具有连续偏导数，且F （000,,z y x ）=0，F y （000,,z y x ）≠0，则方程F （x,y,z ）=0在点（000,,z y x ）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x,y),它满足条件),(000y x f z =，并有
z
x F F x z
-=??,z
y F F y
z
-
=??
隐函数存在定理三 设函数F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P （0000,,,v u y x ）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，且F （0000,,,v u y x ）=0，G （0000,,,v u y x ）=0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）式）；
v
G u G v F
u F v u G F J ????????=??=)
,(),(
则点P （0000,,,v u y x ）不等于零，则方程组F(x,y,u,v)=0、G(x,y,u,v)=0在点（0000,,,v u y x ）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数
u=u （x,y ）,v=v(x,y),它满足条件
),(),,(000000y x v v y x u u ==，并有
v
u v u v x v
x G G F F G G F F v x G F J x u -
=??-=??)
,()
,(1,
v
u v u x
u x
u G G F F G G F F x u G F J x v -=??-=??)
,()
,(1,
v
u v u v y v
y G G F F G G F F v y G F J y u -
=??-=??)
,()
,(1,
v
u v u y u y
u G G F F G G F F y u G F J y v -
=??-=??)
,()
,(1,
重积分
二重积分定义 设f(x,y)是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分成n 各校闭区域
,,,21n σσσ??????
其中i σ?表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ?上任取一点（i i ηε,），作乘积f （i i ηε,）i σ?(i=1,2,3…,n)并作和∑=?n
i i i f 1),(σηε，
如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记作
??D
d y x f σ),(，即
∑??=→?=n
i i
i
D
d y x f 1
),(lim ),(σηεμσλ
二重积分的性质 性质一 设βα.为常数，则
??????+=+D
D
D
d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([
性质二 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和。??????+=D
D D d y x f d y x f d y x f 1
1
),(),(),(σσσ（其中21D D D +=）
性质三 如果在D 上，f(x,y)=1,σ为D 的面积，则
????==D
D
d d σ
σσ*1
性质四 如果在D 上，),(),(y x y x f ?≤ ，则有
????≤D
D
d y x d y x f σ?σ),(),(
特殊地，由于
)
,(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-，
又有
??
??≤D
D
d y x f d y x f σσ),(),(
性质五 设M 、m 分别是f （x,y ）在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有
σ
σσM d y x f m D
≤≤??),(
性质六(二重积分中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D 上连
续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηε使得
??=D
f d y x f σηεσ*),(),(
三重积分
定义 设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的有界函数。将Ω任意分成n 个小闭区域
,
21,......,n v v v ???
其中i v ?表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。在每个i v ?上任取一点),,(i i i ζηε，作乘积f ),,(i i i ζηεi v ?（i=1,2,3…,n ）,并作和i n
i i i i v f ?∑=1),,(ζηε。如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于
零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分，记作dv z y x f ???Ω
),,(，即
∑???=→Ω
?=n
i i
i
i
i
v f dv z y x f 1
),,(lim ),,(ζηελ
其中dv 叫做体积元素 三重积分的计算
1、 利用直角坐标计算三重积分
?
?
????=Ω
)
,()
,()
()
(2121),,(y x z y x z x y x y b
a
dz dy dx dv z y x f
2、 利用柱面坐标计算三重积分
?????+∞<<∞-≤≤+∞<≤z πθρ200 ??
?
??===.,sin ,
cos z z y x θρθρ
ρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面， θ=常数，即过z 轴的半平面， z=常数，即与xOy 面平行的平面 3、 利用球面坐标计算三重积分
?????≤≤≤≤+∞<≤πθπ?2000r ??
?
??=====?θ?θθ
?θcos sin sin sin cos sin cos r z r OP y r OP x
其中 r=常数，即以原点为圆心的球面
?=常数，即以原点为顶点、z 轴为轴的圆锥面 θ=常数，即过z 轴的半平面
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高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学定理及性质集锦
专升本高数定理及性质集锦 1、数列极限的存在准则 定理1（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件： （1），（2），则 定理2 若数列{x n}单调有界，则它必有极限。 2、数列极限的四则运算定理 （1） （2） （3）当时， 推论：（1） （2），（3） 3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是 这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。 反之，如果左、右极限都等于A，则必有。 4、函数极限的定理 定理1（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。 定理2（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）
满足条件： （1），（2），则有。 5、无穷小量的基本性质 性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； 性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。 性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 6、等价无穷小量代换定理： 如果当时，均为无穷小量，又有且 存在，则。 7、重要极限Ⅰ 8、重要极限Ⅱ是指下面的公式： 9、（2）（3） 10、函数在一点处连续的性质 由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。
定理1（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则 （1）f（x）±g（x）在x0处连续， （2）f（x）·g（x）在x0处连续 （3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。 定理2（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0处连续。 定理3（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少） 11、闭区间上连续函数的性质 在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。 定理2（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。 定理3（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得 f（ξ）=C. 12、零点定理如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a， b]内至少存在一个点ξ，使得f（ξ）=0. 13、初等函数的连续性 定理初等函数在其定义的区间内连续。 利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则 f（x）在x0处连续 也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。 14、可导与连续的关系 定理如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。 15、由上一个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。 16、导数的计算 a、导数的四则运算法则 设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有 （1）（u±v）'=u'±v' （2）（u·v）'=u'·v+u·v' （3）（cu）'=c·u' （4） （5） （6）（u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w'
(word完整版)高等数学公式定理整理
高等数学公式定理整理 1.01版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 tan αanα·ta +tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta -(1tan βa +(tan α= β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+ 和差化积 ] 2 β) -(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β) -(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α] 2β) -(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α] 2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α
积化和差 β)] -cos(α-β)+[cos(α2 1 -=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21 =cos αosα·c β)] -sin(α-β)+[sin(α21 =cos αosα·s β)] -sin(α+β)+[sin(α21 =sin αinα·c 倍角公式（部分）：很重要！ α tan -1α tan 2= tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2 = 2sin αsinα·=sin2α22222 一、函数 函数的特性： 1.有界性： 假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性 设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1
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高等数学重要定理及公式
高等数学重要定理及公式
作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫 说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word 及MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式 1.矩阵与其转置矩阵关系：E A AA =* 2.矩阵行列式：*1 1A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ? ? ??? ?????=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(* 3.矩阵与其秩：{}()min (),()()()() (,)()() (,)max(()()) r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+ 4.齐次方程组0=Ax ：非0解?线性相关?n A R =)( 5.非齐次方程组b Ax =：有解??=)()(A R A R 线性表出 6.相似与合同：相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 则A 与B 相 似，记作：B A ~；合同—A,B 为n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T =则称A 与B 合同。（等价，A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。） 7，特征值与特征向量：λαα=A ，求解过程：求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值，再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。矩阵A 的特征值与A 的主对角元及 行列式之间有以下关系：? ? ? ???????==∑∑A a n n ii n i λλλλ...2111。上式中∑==n i ii a A 1)(tra 称为矩阵的迹。 8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向 量线性无关；若n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则A 能与对角矩阵相似；n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根，齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。 9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ，使得 AC C AC C T 1-=为对称矩阵。
高数中的重要定理与公式及其证明(一)
高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。 1）常用的极限 0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1 lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想 过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1 lim(1 )x x x e →+=与0sin lim 1x x x →=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技 巧。 证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限1 0lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x →+=。 01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0 lim 11 t t t e →=-。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01 lim 1x x e x →-=。 01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011 lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。因此有01 lim ln x x a a x →-=。
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高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数定理定义总结
高数定理定义总结 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果l im(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。
高数公式定理汇总
高数期末复习 ——课本公式定理汇总 ——河南大学迈阿密学院——17级自动化专业—制课本章节目录 第1章函数 第2章极限 第3章导数 第4章导数的应用 第5章积分 第6章积分的应用（求面积、体积、弧长） 第7章对数函数和指数函数（对数、指数、反三角、洛必达、增长率） 第8章积分方法（分部积分法、三角换元法；三角积分；部分分式）
本文稿内容目录： 第3章导数 1.三角函数的导数（p129） 第7章对数函数和指数函数（对数、指数、反三角、洛必达、增长率） 2.反三角函数的导数（p423） 3.与反三角函数导数有关的积分（p425） 第8章积分方法（分部积分法、三角换元法；三角积分；部分分式） 4.分部积分公式（p440） 5.三角函数的积分（p450） ①题型1：∫sin m x cos n xdx（p449） ②题型2：∫tan m x sec n xdx（p452） 6.高次三角函数求积分的归约公式（p449） 7.三角换元法（p456） 8.部分分式（p469） 第6章积分的应用（求面积、体积、弧长） 切片法求体积： 9.一般切片法（p336） 10.圆盘法（p338） 11.垫圈法（p339）附：关于y轴的圆盘法垫圈法（p340） 柱壳法求体积： 12.柱壳法（p347） 13.弧长公式（p357）附：关于y轴的弧长公式（p359）
其它： 14.罗尔定理（p226）；中值定理（p227） 15.自然对数函数求导（p388） 16.一般指数函数求导（p400） 17.一般对数函数求导（p404） 18.增长率比较（p434） 1.三角函数的导数（p129） 2.反三角函数的导数（p423）
(完整版)大学高数公式大全
精心整理 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数：两个重要极限： 三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='=' 22 1 11 )(arccos 11 )(arcsin x x x x -- ='-= '? ?+±+=±+=C a x x a x dx C shx chxdx )ln(222 2C a x arctg a x a dx ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=++-=++=+=+-=?????1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππ
βαβααβαctg tg ±±±±((cos(sin(
·半角公式： ·正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 30 21),,(z y x F M z y x =?? ? ??=曲面在点空间曲线方向 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：
微积分定理归纳.doc
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有 f(x) ≥则K1函数 f(x)在定义域上有下界， K1 为下界；如果有 f(x) ≤，K2则有上界， K2 称为上界。函数 f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理 (极限的唯一性 )数列 {xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理 (收敛数列的有界性 )如果数列 {xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。 如果数列 {xn}无界，那么数列 {xn}一定发散；但如果数列 {xn}有界，却不能断定数列 {xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理 (收敛数列与其子数列的关系 )如果数列 {xn}收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a.如果数列 {xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 {xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1， (-1)n+1中子数列 {x2k-1}收敛于 1，{xnk}收敛于 - 1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中 0<|x-x0| 表示 x≠ x0，所以 x→ x0时 f(x)有没有极限与 f(x)在点 x0 有没有定义无关。 定理 (极限的局部保号性 )如果 lim(x →x0)时 f(x)=A，而且 A>0(或 A<0)，就存在着点那么 x0 的某一去心邻域，当 x 在该邻域内时就有 f(x)>0(或 f(x)>0)，反之也成立。 函数 f(x)当 x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且 相等，即 f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则 limf(x)不存在。 一般的说，如果 lim(x →∞ )f(x)=c，则直线 y=c 是函数 y=f(x)的图形水平渐近线。如果 lim(x →x0)f(x)= ，∞则直线 x=x0是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的 乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷 小；定理如果 F1(x) ≥F2(x)，而 limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么 a≥b.
关于高等数学常见中值定理证明及应用
关于高等数学常见中值定理证明及应用 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sin β·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sin β·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tan β·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α +t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2 α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2 sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 大学高等数学公式汇总大全（珍藏版） 常用导数公式： 常用基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? 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定理（全微分必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数x z ??，y z ??必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为 dz= y y z x x z ???+??? 定理（全微分充分条件）如果函数z=f(x,y)的偏导数x z ??，y z ??在点(x,y)连续，则函数在该点可微分。 多元复合函数的求导法则 1. 复合函数的中间便量均为一元函数的情形 定理一 如果函数u=?(t)及v=ψ（t ）都在点t 可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[?(t),ψ(t)]在点t 可导，且有 vdt zdv udt zdu dt dz ??+ ??= 2. 复合函数的中间便量均为多元函数的情形 定理二 如果函数u=?(x,y)及v=ψ（x,y ）都在点(x,y)具有对x 及对y 的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[?(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)可导，且有 x v v z x u u z x z ????+????=?? y v v z y u u z y z ????+????=?? 3. 复合函数的中间便量既有一元函数，又有多元函数的情形 定理三 如果函数u=?(x,y)在点(x,y)具有对x 及对y 的偏导数， 一！函数与极限 1、函数的有界性 在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期） 3、数列的极限 定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。 ●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 4、函数的极限 函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x) >0（或f(x) >0），反之也成立。 ●函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)= f(x0+0)，若不相等则lim f(x)不存在。 ●一般的说，如果lim（x→∞）f(x)=c，则直线y=c是函数y= f(x)的图形水平渐近线。如果lim（x→x0）f(x)=∞，则直线x=x0是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。 5、极限运算法则 定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小； 定理如果F1（x）≥F2（x）,而lim F1 (x)= a，lim F2 (x)= b，那么a≥b。 6、极限存在准则 ●两个重要极限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1。 ●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn ≤xn ≤zn且lim yn = a，lim zn = a，那么lim xn = a，对于函数该准则也成立。 ●单调有界数列必有极限。 7、函数的连续性 ●设函数y= f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim（x→x0）f(x)= f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 ●不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim（x→x0）f(x)不存在； 3、虽在x=x0有定义且lim（x→x0）f(x)存在，但lim（x→x0）f(x) ≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 ●如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点（左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点）。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点（无穷间断点和震荡间断点）。 ●定理有限个在某点连续的函数的和、积、商（分母不为0）是个在该点连续的函数。高等数学公式定理(全)
大学高等数学公式汇总大全(珍藏版)
高数定理大解析必背
高等数学性质定理
大一上 高数定理