浅谈新课改中的数学强开放题

浅谈新课改中的数学强开放题
（西安交通大学苏州附属中学沈亮 215021）
摘要：数学新课程标准强调，数学教学要全面关注学生素质的培养.本文正是在新课程的理念下，对数学开放题中的一类----强开放性问题及其教学进行了讨论.主要探讨了强开放性问题的编制原则以及编制方法.同时针对强开放题的教学提出五条建议。

关键词:数学开放题;强开放题；编制；教学
新课程标准明确要求数学教学要使学生“逐步形成数学创新意识”，并提出“数学中培养的创新意识主要是指：对自然界和社会中的现象具有好奇心，不断追求新知识，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决”.落实新课程理念，培养学生的创新意识和能力是当前数学教育界亟需解决的一个重大课题.开放式数学教学就是对素质教育的一种探索，是当前数学教育的一个发展潮流.
数学开放式教学是以数学开放题为依托的.数学开放题有利于学生根据自己的认知结构对问题做出解释，实现对知识的主动建构，获得认知结构的改造和重组.由于数学开放题强调了学生获得解答的过程，体现了学生在教学活动中的真正主体地位，从而极大地提高了学生的学习积极性，是克服“灌输式”教学倾向的解药.然而，现行中学数学教材中的数学题绝大多数是封闭题，数学题的特征决定了它的功能，进而决定了它的教育价值.实践表明，封闭题已不能完全满足数学素质教育的要求，所以，研究数学开放题并用之于数学教学具有特别重要的现实意义.
一．数学开放题的有关理论
1. 数学开放题的概念
关于开放题的概念，现在国内还没有统一的认识，主要有下列几种描述：
（1）凡是具有完备的条件和固定答案的习题称为封闭题，而答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题.
（2）具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.
（3）数学习题是由条件y、结论z、解法p及解题依据o四个元素组成，即R={y,o,p,z},四个元素齐备的题,为“封闭题”;缺少o或p的题为“半封闭题”,有三个元素是未知的题称为问题性题,有二个是未知的习题称为探索性题,问题性题或探索性题统称为开放性题.
（4）条件多余需选择,条件不足需补充或答案不固定的问题称为开放题.
（5）答案不唯一的问题称为开放题.
结合上面的描述，以及我们的理解，本文对“数学开放题”的概念给出以下的一个描述性的界定：数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。

2. 数学开放题的分类
（1） 对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类：
（ⅰ）如果寻求的答案是题目的条件，则称为条件开放题.
① 已知n m <，试写出一个一元二次不等式02>++c bx ax ，使它的解集分别为： 1>（－∞m ,）∪(+∞,n ); 2> ),(n m .
（ⅱ）如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题.
② 制作书架时需要一块长100cm,宽为20cm 的木板，现在只有一块长80cm,宽30cm 的木板，问这样将木板锯开，可以拼接成所需尺寸的木板.
（ⅲ）如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题.
③ 试找出代数式2324bc a 和22218x b a 的共同点。

（ⅳ） 如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题.
④ 试计算校园的小池塘内水的体积 .
(2) 从开放题答案的情况出发，定量地可分成三类：
（ⅰ）弱开放题——答案（包括可能情况）只有两种的开放题.
（ⅱ）中开放题——答案（包括可能情况）超过两种，但为数目确定的有限种.
（ⅲ）强开放题——只能给出部分答案，答案（包括可能情况）总数难以确定的开放题. 开放题的分类也是比较开放的，除了以上较为明确的分类标准以外，还有很多比较模糊的分类标准.对开放题的分类讨论，有助于理解开放题的概念，有助于把握问题的开放度，也可以让教师把握一个数学开放题是否适用于课堂教学，或者有利于教师改变开放题的设问方式以帮助课堂教学，或者有利于考试评分的可操作性与公平性.
对于数学开放题的讨论，国内已有较多的文献涉及，但我们也发现，对更具有开发学生思维的强开放题的讨论仍很少，本文将针对数学强开放题，从起功能及教育价值，设计和教学建议几个方面展开讨论，旨在更好地开展数学开放式教学提供一些可操作性的建议.
二.数学强开放题的功能及教育价值
1.数学强开放题的功能
数学强开放题的引入，有助于数学教育的开放化与个性化，特别是有利于学生创新精神的培养和实践能力的形成。

具体的功能可以总结为以下几点：
（1）有助于更好地培养学生独立思考和探索精神，培养学生创造意识与能力.
（2）有助于鼓励学生用不同的方法来解决问题，反过来提示老师用不同的方法讲述不同的问题.
（3）有助于培养学生对数学学习的积极态度，调动学生学习的积极性，提高学生的学习兴趣，帮助学生体验智力活动的快乐.
（4）使每个学生的数学才能在自己的基础上有一个最大的发展，体现受教育者公平和人人有份的原则.
（5）有利于教师转变教育观念，激发教育热情，摆脱一种浅层次的教学循环，体现教师自身的生命活力.
2.数学强开放题的教育价值
（1）有助于激励学生参与到问题解决活动中去.
强开放题的挑战性有利于激发学生的好奇心和求知欲，为学生主动学习创造了条件.其开放性决定了没有现成的固定的解题模式，需要学生独立地进行探索，这就为培养学生的主体性创造了条件.
（2）强开放性题是发展学生良好思维品质的有效材料.
数学强开放题有助于培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、缜密性、创造性和批判性。

由于开放题的答案不唯一，给学生提供了较多提出自己新颖独特方法的机会，在求得多种答案的过程中，有利于培养学生的发散性思维；在寻找答案最优解的过程中培养学生认知能力和思维的深刻性、严谨性，从而培养学生的集中性思维.
（3）能让学生体验数学研究中的一些方法，加深对数学实质的理解.
强开放性题的求解，一般研究味比较浓，富有探索性，常要通过观察、试一试、凑一凑、猜一猜、特殊化、类比等途径去寻找答案，通过这种探索实践.学生既认识到数学在逻辑演绎推理以外的另一方面，即合情推理的一面，又认识到合情推理后严密逻辑推理的不可缺少.两方面的认识，虽然难度不及数学家的工作，但其实质有相似之处，这样就加深了对数学实质的认识.
三．数学强开放题的设计
1. 设计原则
（1）开放性与封闭性相结合的原则.在强开放题的设计中要把握好开放的“度”，并非开放度越大越好.
（2）知识性原则.强开放题的编制与设计要落实到学生所学的知识点上，将知识串成一条线，有利于知识的综合应用.
（3）适应性原则.在强开放题的设计中，应该反映出层次，做到能面向大部分学生，而且可以发展优秀学生的特长.
（4）灵活性原则.强开放题应该能使学生获得各种不同的解答，因此在设计中要注意其的灵活性.
（5）应用性原则.在设计强开放题的过程中，要注意理论联系实际，将数学知识运用到
实际中去，分析解决力所能及的问题.
2.编制方法
编制强开放性问题是一项创造性工作，它实际上就是要提出新的问题，而且这个问题的答案是不确定的。

编制强开放性问题可以从教材上的习题改编，也可以从生产生活中选取素材。

（1）保留原题的条件,使其结论多样化.
⑤ 已知Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，求证：△ABC ∽△CBD ∽△ACD.
可以改为以下强开放性问题：
已知Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，你能得出什么结论，对所得的结论加以证明.
（2）改变条件，探求新的结论.
对一个命题，若减弱其一项或几项条件之后，可能会得到更多的或更一般的结论. ⑥ 给定一个正方形，将其分成8个相同的三角形，求出每个三角形的面积. 如果改变题目的要求，可得开放题：
有个 正方形的花坛，现要将它分成面积相等的八块，要求每一块的形状相同，请画出多种设计方案.
再例如将分解因式1272++x x 改为：a 为什么整数时，122++ax x 可以在整数范围内分解因式.
有时在已有条件的基础上，再增加条件，使学生要选择部分条件或运用全部条件才能得出结果，使得题目成为开放性问题.
（3）保留结论，要求寻找得到结论的条件.
对一个命题，对其结论进行加强，以研究得到这个结论需增加些什么条件，或者隐去部分条件或提示语，寻找结论成立的充分条件，可得到开放题.
⑦ 已知梯形ABCD 中，AB//CD ，若添加一个条件如“BC=AD”，则可判定ABCD 为等腰梯形，请问除“BC=AD”外，还可以添加一个什么条件,使梯形ABCD 为等腰梯形?
（4）只提出一定的限制条件，要求设计问题并给出答案.
⑧ 在被除数是两位数，除数是一位数的除法算式中，有些算式的商和余数相同（余数不为零），例如10÷4=2…2。

你能写出几个这样的算式？
强开放题的教学已为广大教师所重视，随着众多教师的积极参与和研究，强开放题的内涵及题库会越来越丰富，必将对学生思维能力的培养和良好个性品质的形成起到更大的作用，对数学教学方法的变革产生更积极、更深远的影响.
参考文献:
[1] 林格论. 课堂教学心理学[M] 云南:云南人民出版社. 1983.
[2] M.尼斯. 论数学教师的培养[J] 上海：华东师大数学教学 1994.
[3] 余致甫主编. 数学教育学概论[M]. 华东化工学院出版.1990.。