福建省三明市2014-2015学年高二下学期期末质量检测数学(文)试题解析
2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高二下学期期末数学(理)试卷 Word版含解析
2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.） 1．函数的定义域为（ ） A．（﹣∞，1][6，+∞）B．（﹣∞，1）[6，+∞）C．（﹣3，1）（2，+∞） D．[﹣3，1）（2，+∞） 2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（ ） A． 1+2i B． 1﹣2i C． 2+i D． 2﹣i 3．下列有关命题的说法中，正确的是（ ） A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1” B．命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆否命题为真命题 C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x2+x+1＞0” D． “x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件 4．设A=[2，3]，B=（﹣∞，a），若A?B则a的取值范围是（ ） A． a≥3 B． a≥2 C． a＞3 D． a≤2 5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若p（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1），则c=（ ） A． 0 B． 2 C． 3 D． 4 6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ） A． 6种B． 12种 C． 30种 D． 36种 7．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f （x1）＞f（x2）”的是（ ） A． f（x）=（x+1）2 B． f（x）=ln（x﹣1）C． D． f（x）=ex 8．若函数y=﹣x2+1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（ ） A．B． C． D． 9．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（ ） A．（﹣2，1） B．（﹣1，）C．（，2）D．（﹣1，2） 10．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f （x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．若，则x2+y2+z2的最小值为 ． 12．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）． x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 t 70 根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为 ． 13．给出下列不等式：，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为 ． 14．若a=，则二项式展开式中含x的项的系数是 ． 15．已知下列四下命题： ①函数f（x）=2x满足：对任意； ②函数均是奇函数； ③函数f（x）=e﹣2﹣ex切线斜率的最大值是﹣2； ④函数上有零点． 其中正确命题的序号是 ． 三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]． （）求点P轨迹的直角坐标方程； （）求点P到直线l距离的最大值． 17．已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），恒成立，求x的取值范围． 18．设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x 均成立． （1）如果p是真命题，求实数a的取值范围； （2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围． 19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）； （）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． 20．已知函数f（x）=2x+k?2﹣x，k∈R． （1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值． （2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围． 21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）． （）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数； （）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围； （）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小． 2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.） 1．函数的定义域为（ ） A．（﹣∞，1][6，+∞）B．（﹣∞，1）[6，+∞）C．（﹣3，1）（2，+∞） D．[﹣3，1）（2，+∞） 考点：函数的定义域及其求法． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 解答：解：要使函数有意义，则， 即x≥6或x＜1， 故函数的定义域为（﹣∞，1）[6，+∞）， 故选：B 点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（ ） A． 1+2i B． 1﹣2i C． 2+i D． 2﹣i 考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 专题：计算题． 分析：由已知得出x=（1+i）（1﹣yi），由复数相等的概念求出x，y确定出x+yi，再得出共轭复数 解答：解：由已知，x=（1+i）（1﹣yi），计算x=1+y+（1﹣y）i 根据复数相等的概念，解得， x+yi=2+i，其共轭复数为2﹣i． 故选D． 点评：本题考查复数的基本运算，复数相等、共轭复数的概念．属于基础题． 3．下列有关命题的说法中，正确的是（ ） A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1” B．命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆否命题为真命题 C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x2+x+1＞0” D． “x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件 考点：特称命题；四种命题；全称命题． 专题：应用题． 分析：若x2＞1，则x＞1的否命题为：若x2≤1，则x≤1 原命题为假命题，根据互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为假命题， x∈R，使得x2+x+1＜0的否定是?x∈R，都有x2+x+1≥0 由x2+x﹣2＞0，可得x＞1或x＜﹣2，由推出关系即可判断 解答：解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误 “若α＞β，则tanα＞tanβ”为假命题，根据互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为假命题，故B错误 命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x2+x+1≥0”，故C错误 x＞1?x2+x﹣2＞0，但是x2+x﹣2＞0时，x＞1或x＜﹣2，即x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故D正确 故选D 点评：本题主要考查了命题的否定、互为逆否命题的真假关系及特称命题的否定，充分必要条件的判断的应用，属于知识的综合应用 4．设A=[2，3]，B=（﹣∞，a），若A?B则a的取值范围是（ ） A． a≥3 B． a≥2 C． a＞3 D． a≤2 考点：集合的包含关系判断及应用． 专题：集合． 分析：根据A、B的包含关系，求出a的范围即可． 解答：解：A=[2，3]，B=（﹣∞，a）若A?B 则a＞3， 故选：C． 点评：本题考查了集合之间的包含关系，是一道基础题． 5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若p（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1），则c=（ ） A． 0 B． 2 C． 3 D． 4 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题：计算题；概率与统计． 分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1），结合曲线的对称性得到点c+5与点c﹣1关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果． 解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9）， 曲线关于x=2对称， P（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1）， c+5+c﹣1=4， c=0 故选：A． 点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题． 6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ） A． 6种B． 12种 C． 30种 D． 36种 考点：排列、组合及简单计数问题． 专题：计算题；概率与统计． 分析：“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论． 解答：解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类： 1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种． 2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种． 综上，由分类计数原理，甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种． 故选C． 点评：本题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键． 7．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f （x1）＞f（x2）”的是（ ） A． f（x）=（x+1）2 B． f（x）=ln（x﹣1）C． D． f（x）=ex 考点：函数单调性的判断与证明． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据题目所给条件，说明函数f（x）在（﹣∞，0）上应为减函数，其中选项A 是二次函数，C是反比例函数，D是指数函数，图象情况易于判断，B是对数型的，从定义域上就可以排除． 解答：解：函数满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2）”，说明函数在（﹣∞，1）上为减函数． f（x）=（x+1）2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，不满足题意． 函数f（x）=ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（﹣∞，0）无意义． 对于函数f（x）=，设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=，因为x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x20，x2﹣x1＞0，则，所以f（x1）＞f（x2），故函数f（x）=在（﹣∞，0）上为减函数． 函数f（x）=ex在（﹣∞，+∞）上为增函数． 故选C． 点评：本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（﹣∞，0）上的减函数． 8．若函数y=﹣x2+1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（ ） A．B． C． D． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角． 分析：对函数求导y′=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，由0＜x＜2可求导数的范围，进而可求倾斜角的范围 解答：解：y′=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1 0＜x＜2 当x=1时，y′最小﹣1，当x=0或2时，y′=0 ﹣1＜y′＜0 即﹣1≤tanα＜0 即倾斜角的最小值 故选D． 点评：本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率． 9．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf ′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（ ） A．（﹣2，1） B．（﹣1，）C．（，2）D．（﹣1，2） 考点：函数的单调性与导数的关系；导数的运算． 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析：根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可． 解答：解：f（x）是奇函数， 不等式xf′（x）＜f（﹣x），等价为xf′（x）＜﹣f（x）， 即xf′（x）+f（x）＜0， F（x）=xf（x）， F′（x）=xf′（x）+f（x）， 即当x∈（﹣∞，0]时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函数F（x）为减函数， f（x）是奇函数， F（x）=xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数． 即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等价为F（3）＞F（|2x﹣1|）， |2x﹣1|＜3， ﹣3＜2x﹣1＜3， 即﹣2＜2x＜4， ﹣1＜x＜2， 即实数x的取值范围是（﹣1，2）， 故选：D． 点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用． 10．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f （x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞） 考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用． 分析：在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，结合题意可得到关于a的关系式，从而得到答案． 解答：解：当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1， 当x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0）， f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定义在R上的偶函数， f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x）， f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x）， f（x）是以4为周期的函数， 在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根， 令h（x）=loga（x+2），即f（x）=h（x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内有4个交点， 在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象， 0＜loga（6+2）＜1， a＞8． 故选D． 点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，求得f（x）的解析式，作出f（x）与h （x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象是关键，考查作图能力与数形结合的思想，属于难题． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．若，则x2+y2+z2的最小值为 ． 考点：柯西不等式在函数极值中的应用． 专题：计算题． 分析：根据柯西不等式可得（x2+y2+z2）≥，由此可得结论． 解答：解：根据柯西不等式可得（x2+y2+z2）≥ ∴x2+y2+z2≥ 当且仅当时，x2+y2+z2的最小值为 故答案为： 点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．一般而言，“积和结构”或“平方和结构”越明显，则构造越容易，而对于“积和结构”或“平方和结构”不够明显的问题，则须将原问题作适当变形，使“积和结构”或“平方和结构”明显化，从而利用柯西不等式进行证明． 12．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）． x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 t 70 根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为 50 ． 考点：线性回归方程． 专题：计算题． 分析：计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论． 解答：解：由题意，，=40+ y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5， 40+=6.5×5+17.5 ∴40+=50 ∴=10 ∴t=50 故答案为：50． 点评：本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点 13．给出下列不等式：，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为 ． 考点：归纳推理． 专题：计算题． 分析：观察不等式，找出不等式中最后一项的分母的通项公式，不等式右边是首项为1，公差为的等差数列，从而可得到第n个不等式． 解答：解：观察不等式中最后一项的分母分别是3、7、15、31… 将每个数加1得4、8、16、32可知通项为2n+1则3、7、15、31…的通项为2n+1﹣1 不等式右边是首项为1，公差为的等差数列， 按此规律可猜想第n个不等式为 故答案为： 点评：本题主要考查了类比推理，解题的关键找出不等式的规律，同时考查了推理能力，属于基础题． 14．若a=，则二项式展开式中含x的项的系数是 240 ． 考点：定积分；二项式定理的应用． 分析：由定积分的运算可得a=2，代入由二项式定理可得的通项Tk+1=x3﹣k，令3﹣k=1，可得k=2，可得含x的项系数为：=240 解答：解：由题意可得，a==﹣cosx=2， 故=， 其二项展开式的通项Tk+1==x3﹣k，令3﹣k=1，可得k=2， 故可得含x的项系数为：=240 故答案为：240 点评：本题考查定积分的求解和二项式定理的应用，属基础题． 15．已知下列四下命题： ①函数f（x）=2x满足：对任意； ②函数均是奇函数； ③函数f（x）=e﹣2﹣ex切线斜率的最大值是﹣2； ④函数上有零点． 其中正确命题的序号是 ② ． 考点：命题的真假判断与应用． 专题：函数的性质及应用． 分析：①，函数f（x）=2x中，足：令x1=0，x2=2，可得f（）=f（1）=2；[f（x1）+f（x2）]=[f（0）+f（2）]=，可判断①； ②，利用奇偶函的概念可判断函数均是奇函数从而可判断②； ③，利用导数的几何意义可求得函数f（x）=e﹣2﹣ex切线斜率，从而可判断③； ④，利用零点存在定理可判断函数在区间（，）上无零点． 解答：解：对于①，函数f（x）=2x，令x1=0，x2=2，则=1，显然f（）=f（1）=2；[f（x1）+f（x2）]=[f（0）+f（2）]=，f（）＜[f（x1）+f（x2）]，故①错误； 对于②，函数的定义域为R，且f（﹣x）+f（x）=+=log21=0， 所以，f（﹣x）=﹣f（x），即为奇函数； 同理可得，g（﹣x）+g（x）=0，即是奇函数，故②正确； 对于③，函数f（x）=e﹣2﹣ex的导函数f′（x）=﹣ex＜0， 函数f（x）=e﹣2﹣ex切线斜率无最大值，故③错误 对于④，函数，f′（x）=﹣ln=+ln4＞0， 所以，为R上的增函数， 又f（）=﹣＜0，f（）=﹣=﹣＜0， 所以，在区间（，）上无零点，故④错误． 故答案为：②． 点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的“凹凸”性、奇偶性，考查导数的几何意义、函数的零点等，考查分析与运算求解能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]． （）求点P轨迹的直角坐标方程； （）求点P到直线l距离的最大值． 考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（I）利用cos2α+sin2α=1即可得出； （II）把直线l的极坐标化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出． 解答：解：（）由点P的坐标可得：且参数α∈[0，2π]， 点P的轨迹方程为x2+（y﹣2）2=4． （），， ρsinθ﹣ρcosθ=6， 直线l的直角坐标方程为x﹣y+6=0． 即点P到直线l距离的最大值． 点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），恒成立，求x的取值范围． 考点：函数恒成立问题． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据基本不等式的性质先求出+的最小值，问题转化为解不等式9≥|x﹣10|﹣|x+6|，从而求出x的范围． 解答：解：a＞0，b＞0 且a+b=1， +=（a+b）（ +）=5++≥9， 故+的最小值为9， 因为对?a，b∈（0，+∞）， 使恒成立， 所以，9≥|x﹣10|﹣|x+6|， 当 x≤﹣6时，16≤9，无解； 当﹣6＜x＜10时，4﹣2x≤9， ﹣2.5≤x＜10； 当 x≥10时，﹣16≤9， x≥10； {x|x≥﹣2.5}． 点评：本题考查了基本不等式性质的应用，考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，是一道中档题． 18．设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x 均成立． （1）如果p是真命题，求实数a的取值范围； （2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围． 考点：命题的真假判断与应用． 专题：综合题． 分析：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，由此能够求出p是真命题时，实数a的取值范围． （2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．由∈（﹣∞，0）， 知q是真命题时，a≥0．再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知或，能求出实数a 的取值范围． 解答：解：（1）由题意，若p是真命题， 则对任意实数都成立， 若a=0，显然不成立； 若a≠0，解得a＞2 故如果p是真命题时， 实数a的取值范围是（2，+∞） （2）若命题q为真命题时， 则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立． x＞0 3x＞1 3x﹣9x∈（﹣∞，0） 所以如果q是真命题时，a≥0． 又p或q为真命题，命题p且q为假命题 所以命题p与q一真一假 或 解得0≤a≤2综上所述，实数a的取值范围是[0，2] 点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）； （）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． 考点：条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差． 专题：概率与统计． 分析：（）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）． （）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=，能求出结果． 解答：解：（）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3， P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=， P（ξ=1）=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×=， P（ξ=2）=++=， P（ξ=3）==， 随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=． （）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B， 则P（A）=++=， P（AB）==， P（B|A）===． 点评：本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望，考查条件概率的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用． 20．已知函数f（x）=2x+k?2﹣x，k∈R． （1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值． （2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围． 考点：函数恒成立问题． 专题：函数的性质及应用． 分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，建立条件关系即可求实数k的值． （2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，进行转化即可求实数k的取值范围． 解答：解：（1）f（x）=2x+k?2﹣x是奇函数， f（0）=0， 即1+k=0， k=﹣1． （2）x∈[0，+∞），均有f（x）＞2﹣x， 即2x+k?2﹣x＞2﹣x成立，k＞1﹣22x， 对x≥0恒成立，k＞[1﹣（22x）]max． y=1﹣（22x）在[0，+∞）上是减函数， [1﹣（22x）]max=1﹣1=0，k＞0． 点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数恒成立问题，利用指数函数的运算性质是解决本题的关键． 21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）． （）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数； （）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围； （）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小． 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值． 专题：综合题． 分析：（）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．通过考察f′（x）的正负值区间判断单调区间，得出极值点情况． （）a=1，f（x）≥bx﹣2恒成立，即（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b＜，令g（x）=，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值． （）由（）g（x）=在（0，e2）上为减函数，g（x）＞g（y），＞，整理得＞，考虑将1﹣lnx除到右边，为此分1﹣lnx正负分类求解． 解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣． （）当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数在（0，+∞）单调递减， 在（0，+∞）上没有极值点； 当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，f′（x）＜0得x＜．f′（x）=0得x=． 在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即在x=处有极小值． 当a≤0时在（0，+∞）上没有极值点， 当a＞0时，在（0，+∞）上有一个极值点．（3分） （）函数在x=处取得极值，a=1， f（x）=x﹣1﹣lnx， f（x）≥bx﹣2，移项得（1﹣b）x≥lnx﹣1，再将b分离得出，b＜，令g（x）=， 则令g′（x）=，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0， g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1﹣， 所以b≤1﹣． （）由（）g（x）=在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e时， 有g（x）＞g（y），＞，整理得＞① 当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，由①得， 当e＜x＜e2时，1﹣lnx＜0，由①得 点评：本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性，极值，并利用单调性比较大小．考查了分类讨论、构造、推理计算能力．。
福建省四地六校2014_2015学年高二数学下学期第二次月考试卷文(含解析)
福建省四地六校2014-2015学年高二下学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={0，1，2}，B={2，3，4}，如图阴影部分所表示的集合为（）A．{2} B．{0，1} C．{3，4} D．{0，1，2，3，4}2．设点P（x，y），则“x=1且y=﹣2”是“点P在直线l：x﹣y﹣3=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．下列图形中不能作为函数图象的是（）A． B． C． D．4．若0＜x＜1，则函数f（x）=x（1﹣x）的最大值为（）A．1 B．C．D．25．函数的定义域为（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣4，0）∪（0，+∞）C．（﹣4，+∞） D．[﹣4，0）∪（0，+∞）6．设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A 7．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|8．下列命题中，真命题的是（）A．∃x0∈R，＜0B．函数x的零点个数为2C．若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题D．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”9．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）10．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b11．若log a（a2+1）＜log a2a＜0，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（0，1）∪（1，+∞）12．已知定义在R上的函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=（30.3）f（30.3），b=（logπ3）．f（logπ3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．若点（2，8）在幂函数的图象上，则此幂函数为．14．已知y=xe x+cosx，则其导数y′=．15．已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=．16．已知是R上的增函数，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求a，b的值：（2）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值．18．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．19．设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．20．已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=．（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．21．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx、（Ⅰ）若p=3，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若p＞0且函f（x）在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（Ⅲ）若函数y=f（x）在x∈（0，3）存在极值，求实数p的取值范围．福建省四地六校2014-2015学年高二下学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={0，1，2}，B={2，3，4}，如图阴影部分所表示的集合为（）A．{2} B．{0，1} C．{3，4} D．{0，1，2，3，4}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：阴影部分表示的集合为A∩（∁U B），然后根据集合的基本运算，即可得到结论．解答：解：阴影部分表示的集合为A∩（∁U B），∵A={0，1，2}，B={2，3，4}，∴A∩（∁U B）={0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，根据Venn图确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．设点P（x，y），则“x=1且y=﹣2”是“点P在直线l：x﹣y﹣3=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：关键充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：把P（1，﹣2）代入直线，满足条件，是充分条件，若点P在直线上推不出x=1，y=﹣2，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．3．下列图形中不能作为函数图象的是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的定义可知函数须满足“自变量x的任意性”，“函数值y的唯一性”，据此可得函数图象的特征，由此可得答案．解答：解：由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y 与其对应，故函数的图象与直线x=a至多有一个交点，选项D中，当a＞0时，x=a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故D不是函数的图象，故选：D．点评：本题考查函数的定义及其图象特征，准确理解函数的“任意性”和“唯一性”是解决该题的关键．4．若0＜x＜1，则函数f（x）=x（1﹣x）的最大值为（）A．1 B．C．D．2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得0＜1﹣x＜1，可得f（x）=x（1﹣x）≤=，验证等号成立即可．解答：解：∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴f（x）=x（1﹣x）≤=，当且仅当x=1﹣x即x=时，f（x）取最大值故选：B．点评：本题考查基本不等式求最值，属基础题．5．函数的定义域为（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣4，0）∪（0，+∞）C．（﹣4，+∞） D．[﹣4，0）∪（0，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，即，∴x≥﹣4且x≠0，即函数的定义域为[﹣4，0）∪（0，+∞），故选：D点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．6．设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A考点：全称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断．解答：解：全称命题的否定是特称命题，∴￢p：∃x∈Z，2x∉A．故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．7．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D 在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．下列命题中，真命题的是（）A．∃x0∈R，＜0B．函数x的零点个数为2C．若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题D．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由条件逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：根据指数函数的值域可得，命题：∃x0∈R，＜0 不正确，故排除A；由于函数y=x2的图象和y=的图象的交点个数为1，故x的零点个数为，故排除B；若p∨q为真命题，则可能p、q中一个为真命题而另一个为假命题，此时，p∧q为假命题，故排除C；由于命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”，故D正确，故选：D．点评：本题主要考查命题真假的判断，属于基础题．9．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：作图题．分析：根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果．解答：解：根据题意，可作出函数图象：∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）故选A．点评：本题主要考查函数的图象和性质，作为选择题，可灵活地选择方法，提高学习效率，培养能力．10．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．点评：本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．11．若log a（a2+1）＜log a2a＜0，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（0，1）∪（1，+∞）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；转化思想；对应思想．分析：由题意，可得出a2+1＞1，结合log a（a2+1）＜0，可得出a∈（0，1），再由log a2a ＜0得出2a＞1，即可解出a的取值范围，选出正确选项解答：解：∵log a（a2+1）＜log a2a＜0，a2+1＞1∴a∈（0，1），且2a＞1∴a∈（，1）故选C点评：本题考查对数函数的单调性，考察了对数数符合与真数及底数取值范围的关系，解题的关键是确定出a2+1＞1，由此打开解题的突破口，本题考察了观察推理的能力，题目虽简，考查知识的方式很巧妙．12．已知定义在R上的函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=（30.3）f（30.3），b=（logπ3）．f（logπ3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的乘法与除法法则．专题：计算题；压轴题．分析：由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较的大小即可．解答：解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵=﹣2，2=．∴＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故选C．点评：本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）′=u′v+uv′；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．若点（2，8）在幂函数的图象上，则此幂函数为y=x3．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题．分析：设幂函数为y=x a，由点（2，8）在幂函数的图象上，知2a=8，解得a=3，由此能求出此幂函数．解答：解：设幂函数为y=x a，∵点（2，8）在幂函数的图象上，∴2a=8，解得a=3，∴此幂函数为y=x3．故答案为：y=x3．点评：本题考查幂函数的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14．已知y=xe x+cosx，则其导数y′=e x+xe x﹣sinx．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则求导即可．解答：解：y′=（xe x）′+（cosx）′=x′e x+x（e x）′﹣sinx=e x+xe x﹣sinx，故答案为：e x+xe x﹣sinx．点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题．15．已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=﹣4．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：要求某点处函数的导数，应先求函数解析式f（x），本题求函数解析式f（x）关键求出未知f′（1）．解答：解：f'（x）=2x+2f'（1）⇒f'（1）=2+2f'（1），∴f'（1）=﹣2，有f（x）=x2﹣4x，f'（x）=2x﹣4，∴f'（0）=﹣4．点评：本题考查导数的运算，注意分析所求．16．已知是R上的增函数，则a的取值范围是[2，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，首先要保证分段函数的两段上的表达式都要是增函数，因此a＞1，其次在两段图象的端点处必须要体现是增加的，因此得到在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值列式得出a≥2，两者相结合可以得出a的取值范围．解答：解：首先，y=log a x在区间[1，+∞）上是增函数且函数y=（a+2）x﹣2a区间（﹣∞，1）上也是增函数∴a＞1 (1)其次在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a+2）﹣2a≤log a1⇒a≥2 (2)联解（1）、（2）得a≥2．故答案为：[2，+∞）．点评：本题着重考查了函数的单调性的应用和对数型函数的单调性的知识点，属于中档题．本题的易错点在于只注意到两段图象的单调增，而忽视了图象的接头点处的纵坐标大小的比较，请同学们注意这点．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求a，b的值：（2）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的导数，结合函数的极值得到方程组，解出a，b的值即可；（2）通过（1）求出函数的解析式，得到函数的导数，通过讨论x的范围，从而得到函数的极大值和极小值即可．解答：解（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣f′（1）=f′（﹣1）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣即，解得a=1，b=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．令f′（x）=0，得x=﹣1，x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．若x∈（﹣1，1），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以f （﹣1）=2是极大值，f（1）=﹣2是极小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了函数的单调性．极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．18．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．考点：四种命题的真假关系．分析：已知p且q是真命题，得到p、q都是真命题，若p为真命题，a≤x2恒成立；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，即△≥0，分别求出a的范围后，解出a的取值范围．解答：解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴a≤1 ①；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2 ②，对①②求交集，可得{a|a≤﹣2或a=1}，综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．点评：本题是一道综合题，主要利用命题的真假关系，求解关于a的不等式．19．设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．考点：函数的定义域及其求法；复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=2即可求出a值，令可求出f（x）的定义域；（2）研究f（x）在区间[0，]上的单调性，由单调性可求出其最大值．解答：解：（1）∵f（1）=2，∴log a（1+1）+log a（3﹣1）=log a4=2，解得a=2（a＞0，a≠1），由，得x∈（﹣1，3）．∴函数f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2（1+x）（3﹣x）=∴当x∈[0，1]时，f（x）是增函数；当x∈[1，]时，f（x）是减函数．所以函数f（x）在[0，]上的最大值是f（1）=log24=2．点评：对于函数定义域的求解及复合函数单调性的判定问题属基础题目，熟练掌握有关的基本方法是解决该类题目的基础．20．已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=．（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．分析：（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，及x∈（﹣1，0）时f（x）的解析式，x=﹣1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．（2）证明单调性可用定义或导数解决．解答：（1）解当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）．∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=由f（0）=f（﹣0）=﹣f（0），且f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（﹣1+2）=﹣f（1），得f（0）=f（1）=f（﹣1）=0．∴在区间[﹣1，1]上，有f（x）=（2）证明当x∈（0，1）时，f（x）=，设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=∵0＜x1＜x2＜1，∴＞0，﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，1）上单调递减．点评：本题考查奇偶性、周期性的综合应用，及函数单调性的证明，综合性较强．21．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．解答：解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=．综合①②可得，．（2）由（1）可知，，①当0＜x＜80时，=，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．22．已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx、（Ⅰ）若p=3，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若p＞0且函f（x）在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（Ⅲ）若函数y=f（x）在x∈（0，3）存在极值，求实数p的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；压轴题．分析：（I）把p=3代入f（x）中确定出解析式，求出f（1）确定出切点坐标和导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，根据切点坐标和斜率写出切线方程即可；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，要使函数在定义域内位增函数，即要导函数在定义域内恒大于0，由导函数的分子解出p大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，进而得到p的取值范围；（Ⅲ）求出f（x）的导函数，令导函数等于0得到一个方程，记作（*），设方程的左边为函数h（x），当p=0时求出方程（*）的解为0，显然函数无极值点；当p不为0时，讨论函数有一个极值和两个极值，列出不等式组，求出不等式组的解集即可得到p的取值范围．解答：解：（I）当p=3时，函数f（x）=3x﹣﹣2lnx，f（1）=3﹣3﹣2ln1=0，f′（x）=3﹣﹣，曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线的斜率为f′（1）=3﹣3﹣2=4，∴f（x）在点（1，f（x））处得切线方程为y﹣0=4（x﹣1），即y=4x﹣4；（Ⅱ）f′（x）=p+﹣=，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，即px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，即p≥在（0，+∞）上恒成立，设M（x）=，（x＞0）则M（x）==，∵x＞0，∴x+≥2，当且仅当x=1时取等号，∴M（x）≤1，即M（x）max=1，∴p≥1，所以实数p的取值范围是[1，+∞）；（Ⅲ）∵f′（x）=，令f′（x）=0，即px2﹣2x+p=0（*）设h（x）=px2﹣2x+p，x∈（0，3），当p=0时，方程（*）的解为x=0，此时f（x）在x∈（0，3）无极值，所以p≠0；当p≠0时，h（x）=px2﹣2x+p的对称轴方程为x=，①若f（x）在x∈（0，3）恰好有一个极值，则或，解得：0＜p≤，此时f（x）在x∈（0，3）存在一个极大值；②若f（x）在x∈（0，3）恰好两个极值，即h（x）=0在x∈（0，3）有两个不等实根则或，解得：＜p＜1，∴0＜p＜1，综上所述，当0＜p＜1时，y=f（x）在x∈（0，3）存在极值．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握函数的单调性与导数的关系，掌握函数在某点取得极值的条件，是一道中档题．。
福建省四地六校2014-2015学年高二数学下学期第一次联考试卷 文
华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中〞六校联考2014-2015学年下学期第一次月考高二数学〔文科〕本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕．本试卷共6页，总分为150分．考试时间120分钟． 第1卷〔选择题共60分〕选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.设集合}6,5,4,3,2,1{U =，}3,1{A =，}4,3,2{B =，如此图中阴影〔〔 〕 局部所表示的集合是 A.}4{B.}4,2{C.}5,4{D.}4,3,1{2. 在复平面内,复数i 32z --=对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．如下说法正确的答案是( )A ．命题“R x ∈∀，均有0232≥--x x 〞的否认是：“R x ∈∃0，使023020≤--x x 〞；B ．“1x =-〞是“2560x x --=〞的必要不充分条件；C. 命题“假设y x <，如此22y x <〞的逆否命题是真命题 ；D. 假设命题q p ∧为真如此命题q p ∨一定为真4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角〞时，结论的否认是( ) A ．没有一个内角是钝角 B ．有两个内角是钝角 C ．至少有两个内角是钝角 D ．有三个内角是钝角5. 如下函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数函数的是〔 〕A.1y =B.3y x =-C.2y x =D. 3x y =6.年劳动生产率x 〔千元〕和工人工资y 〔元〕之间回归方程为x 8010y ^+=，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均〔 〕Ａ．增加10元 Ｂ．减少10元 Ｃ．增加80元 Ｄ．减少80元7、演绎推理“因为指数函数xa y =〔10≠>a a 且〕是增函数，而函数x)21(y =是指数函数，所以x)21(y =是增函数〞所得结论错误的原因是〔 〕 A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理过程错误 D ．以上都不是8．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性做试验，并由回归分析法分别求得相关指数R 与残差平方和m 如下表：如此哪位同学的试验结果表现A ，B 两变量更强的线性相关性( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁9.⎪⎩⎪⎨⎧>--≤+=,0x ,)1x (,0x ,1x 21)x (f 2使()1x f -≥成立的x 取值范围是( )A.[-4,2)B.[-4,2]C.(0,2]D.(-4,2] 10.下面给出了关于复数的四种类比推理:①假设a ，b ∈R ，如此a-b ＞0⇒a ＞b 〞类比推出“假设a ，b ∈C ，如此a-b ＞0⇒a ＞b 〞; ②复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法如此 ③ 由实数a 绝对值的性质|a|2=a2类比得到复数z 的性质|z|2=z2; ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比得到的结论错误的答案是( ).A.①③B.②④C.②③D.①④11．函数()m x )4m (x 2x f 22+-+=是偶函数，32()2g x x x mx =-++在(),-∞+∞内单调递减，如此实数m =〔 〕 A.2B. 2- C.2± D.12. 四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1,2,3,4号位子上(如图),第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,…,这样交替进展下去,那么第2 015 次互换座位后,小兔的座位对应的是( ).A.编号1B.编号2C.编号3D.编号4第2卷〔非选择题共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每一小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置13. 函数x 3x 11)x (f 2-+-=的定义域为_______________；14．程序框图如右图所示，假设x x g x x f lg )(,)(==，输入1x =，如此输出结果为______________15．x 2x )1x (f +=+，如此=)2(f .16．定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f 1x f -=+，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于()x f 的判断： ①()()0f 8f =②()x f 在[0，1]上是增函数；③()x f 的图像关于直线1=x 对称④()x f 关于点P(0,21)对称 .其中正确的判断是____三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、〔本小题总分为12分〕设U R =，{|24}A x x =-≤<，{|8237}B x x x =-≥-， 〔1〕求A B ，()()U U C A C B (2)由〔1〕你能得出什么结论？18〔本小题总分为12分〕复数为正实数b ,bi 3z +=，且2)2z (-为纯虚数 〔1〕求复数z ；〔2〕假设2zw i =+，求复数w 的模w ．19．〔本小题总分为12分〕某机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机测量了20人，得到如下数据〔1〕假设“身高大于175厘米〞的为“高个〞，“身高小于等于175厘米〞的为“非高个〞；“脚长大于42码〞的为“大脚〞，“脚长小于等于42码〞的为“非大脚〞，请根据上表数据完成下面的2×2列联表。
福建省三明市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学(理,特保)试题 Word版含答案
参考公式： 相关系数R 2＝1－ n∑i ＝1（y i －y i ∧）2n∑i ＝1（y i －y i －）2第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：(本大题12题，每小题5分，共60分) 1. 若复数z 满足i zi -=1，则Z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 2．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )A ．正方形的面积与周长B ．匀速行驶车辆的行驶路程与时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力3. 方程2551616x x x C C --= 的解共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4．命题：“正弦函数是奇函数，)1sin()(2+=x x f 是正弦函数，因此)1sin()(2+=x x f 是奇函数”结论是错误的，其原因是( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.以上都不是 5. 已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ）A 、0.1588B 、0.1587C 、0.1586 D0.1585 6. 下列四个命题 ：(1)随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E （e ）=0 (2)残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；(3)用相关指数2R 来刻画回归的效果时，2R 的值越小，说明模型拟合的效果越好；(4)直线ˆybx a =+和各点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 的偏差21[()]ni i i y bx a =-+∑是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线. 其中真命题的个数 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 7.将4封信投入3个邮箱，则不同的投法为 （ ）A ．81 种B ．64 种C ．4 种D ．24种8.在极坐标系中，点( 2,2π )到直线()6R πθρ=∈的距离是（ ）A.33B. 3C.1D. 2 9．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．两条射线B ．两条直线C ．一条射线D ．一条直线10.甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）A.12B.35C.23D.3411.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）A.72B.96C. 108D.14412．“点动成线，线动成面，面动成体”。
2015-2016学年福建省三明市高二下学期期末质量检测数学理试卷 扫描版
三明市2015—2016学年第二学期普通高中期末质量检测高二理科数学参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13．π414． 0.1 15． 780 16． 2三、解答题：17． 解：（Ⅰ）由2(2i)34i m +=-+，得244i 34i m m -+=-+， …………………2分所以243,44,m m ⎧-=-⎨=⎩ ……………………………………4分解得1m =． …………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2i 12i m +=+=|1|z -=， …………………8分 设(,)P x y ，则i (,R)z x y x y =+∈，所以|1x y -+ ……………………9分 即22(1)5x y -+=，所以所求轨迹方程为22(1)5x y -+=． ……………………………12分 18． 解：（Ⅰ）设事件A ：“甲、乙两人至少有一个被选中”，则事件A ：“甲、乙两人都没有被选中”， 所以46114()1()115P A P A C -=-=-=． ……………………………5分 (Ⅱ) 依题意，可知X 的可能取值为1，2，3， ……………………………6分 则2431(1),2P X C ===2421(2),3P X C ===2411(3),6P X C === ……………9分 所以甲乙两人棒次之差的绝对值X 的分布列：∴1232363EX =⨯+⨯+⨯=． …………………………………12分 19．解：（Ⅰ）由散点图可以判断，函数21e c xy c =适宜作为产卵数（y ）关于温度（x ）的回归方程模型．…………3分 （Ⅱ）①令ln z y =，则21e c xy c =，可化为21ln z c x c =+， ……………………5分 先建立z 关于x 的线性回归方程，由于1221()()400.27148()niii nii x x z z c x x ==--==≈-∑∑， ………………………………7分 12ln 3.60.2727.4 3.8c z c x =-=-⨯≈-，所以z 关于x 的线性回归方程为0.27 3.8zx =- ， 因此y 关于x 的回归方程为0.27 3.8ˆe x y-=． ………………………………9分②由①得()(ln 9.43)175(0.27 3.89.43)175h x x y x x =-+=--+＝(0.2713.23)175x x -+． ………………………………11分所以，当13.2324.520.27x ==⨯时，()h x 取最小值，即当温度24.5x =时，培养成本的预报值最小． ………………………………12分20．解：（Ⅰ）由已知猜想在n 边形123n A A A A 中，212111(3)(2)πn n n A A A n +++≥≥- 成立． ……………………………4分 （Ⅱ）在n 边形123n A A A A 中，12(2)π(3)n A A A n n +++=-≥ ，…………5分由（Ⅰ）可得221212111()()(2)π(3)(2)πn n n A A A n n n A A A n +++⋅+++≥-⋅=≥- ，……………………………6分又因为11a =，12n n a a +-≤，所以1213211,2,2,2,n n a a a a a a a -=⎧⎪-≤⎪⎪-≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩ 相加可得21n a n ≤-，……………………………………9分则212135(21)n n S a a a n n =+++≤++++-= ，即2(3)n S n n ≤≥， ……………………………11分 故1212111()()(3)n n nS A A A n A A A ≤+++⋅+++≥ 成立． …………………12分21．解：（Ⅰ）由0ln )(2≤-+=x ax x x f 恒成立，又0>x ，则xxx a ln -≤(0)x >恒成立， 设xxx x h ln )(-=(0)x >，则问题转化为min )(x h a ≤， …………………………2分 221ln )(x x x x h -+=' ，…………………………………3分设1ln )(2-+=x x x u ，则xx x u 12)(+='， 因为0>x ，所以0)(>'x u ，则1ln )(2-+=x x x u 在(0,)+∞上单调递增， ……………………4分 又0)1(=u ，故当10<<x 时，0)(<'x h ；1>x 时，0)(>'x h ，所以10<<x 时，()h x 单调递减；当1>x 时，()h x 单调递增，……………………5分 所以1)1()(min ==h x h ，则1≤a ．………………………………6分（Ⅱ）由（1）知，当1=a 时，0)(≤x f 恒成立，即0ln 2≤-+x x x ，所以)1(ln -≤x x x 当且仅当1=x 时等号成立， ………………………………8分 令11n x n +=>，则21)11(11ln nn n n n n n n +=-++<+， 即21ln )1ln(n n n n +<-+， ………………………………10分 所以2121ln 2ln <-，2232ln 3ln <-，…，21ln )1ln(nn n n +<-+， 将以上各式相加得22212312)1ln(nn n ++++<+ ． ………………………………12分 22．（1）4－4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为32,5(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）， 消去参数t 得直线l 的普通方程为4380x y --=． …………………………2分 由2sin 2cos ρθθ=，可得2(sin )2cos ρθρθ=， 把cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得抛物线C 的直角坐标方程为22y x =． …………………5分（Ⅱ）将32,5(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入22y x =， 化简整理得2815500t t --=， ……………………………………7分 设方程2815500t t --=的两根分别为12,t t ，则12254t t ⋅=-， ……………………8分 由直线参数的几何意义可得122525||||||||44PA PB t t ⋅=⋅=-=， 即25||||4PA PB ⋅=． ………………………………10分（2）4－5：不等式选讲解法一：（Ⅰ）当1a =-时，不等式|()21|f x x ≤-，即为|21|1|21|x x +-≤-， 当12x ≥时，不等式化为21121x x +-≤-，即01≤-， 此时不等式无解，……………………………………2分当1122x -≤<时，不等式化为21112x x +-≤-，解得14x ≤， 此时不等式的解为1124x -≤≤，………………………………3分当12x <-时，不等式化为21112x x ---≤-，即21-≤，此时不等式的解为12x <-， ………………………………4分 综上得，不等式的解集为1{|}4x x ≤．………………………………5分（Ⅱ）∵()2f x ≤，∴2|2|2||||x a a x a a a ≥-+≥--+， …………………………7分 ∵0a ≥，∴||1x a -≤， ∴||||||||1x a x a x a -=-≤-≤， ∴||1x a ≤+．……………………………………10分解法一：（Ⅰ）同解法一． ………………………………5分 （Ⅱ）∵()2||f x x a a =-+|2|||2||x a a x ≥-+=， …………………………7分 而()2f x ≤，∴||1x ≤，又0a ≥，∴||11x a ≤≤+，即||1x a ≤+． ……………………………………10分。
2014-2015学年福建省三明一中高二(下)第一次月考数学试卷(平行班)(理科)
2014-2015学年福建省三明一中高二（下）第一次月考数学试卷（平行班）（理科） 一、选择题：（本大题12题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目条件的． 1．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（ ） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的 2．已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知点P（x，y），其中x∈{1，2}，y∈{1，3，4}，则在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是（ ） A． 6 B． 12 C．8 D． 5 4．若随机变量X，则P（X=2）=（ ） A． B． C． D． 5．二项式的展开式中的常数项是（ ） A．1 B．2 C．6 D．12 6．设随机变量X的概率分布如右下，则P（X≥0）=（ ） X ﹣1 0 1 P p A． B． C． D． 7．若对任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3成立，则a1+a2+a3=（ ） A． 1 B． 8 C． 19 D． 27 8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P（ξ=3）=（ ） A．B．C．D． 9．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ） A． 36种 B． 48种 C． 72种 D． 96种 10．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ） A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 11．下面四个命题中，①复数z=a+bi，则实部、虚部分别是a，b；②复数z满足|z+1|=|z﹣2i|，则z对应的点集合构成一条直线；③由向量的性质，可类比得到复数z的性质|z|2=z2；④i为虚数单位，则1+i+i2+…+i2015=i．正确命题的个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 12．数列{an}前n项和为Sn，若，则等于（ ） A． 3n﹣2n B． 2n﹣3n C． 5n﹣2n D． 3n﹣4n 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在答题卡相应横线上14．i为虚数单位，复数z=2+i的模是 ． 15．若一个样本空间ω={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B=（1，2，4，5，6），则P（B|A）=． 16．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）6的展开式中，x2项的系数是 ．（用数字作答） 17．有5人担任5种不同的工作，现需调整，调整后至少有2人与原来工作不同，则不同的调整方法有 种． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明，证明过程和解题过程． 18．已知复数z=bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围． 19．在二项式的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中的有理项． 20．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路．（1）在如图的一段电路中，电路不发生故障的概率是多少？（2）三个元件按要求连成怎样的一段电路时，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时的电路图，并说明理由． 21．已知，数列{an}的前n项的和记为Sn．（1）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想． 22．安排5个大学生到A，B，C三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率；（2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列． 2）证明：当a＞1时，不等式a3＞a2成立．（2）要使上述不等式a3＞a2成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由．（3）请你根据（1）、（2）的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明． 2014-2015学年福建省三明一中高二（下）第一次月考数学试卷（平行班）（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题12题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目条件的．1．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（ ） A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的考点：演绎推理的基本方法．专题：常规题型．分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．解答：解：任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．点评：本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题． 2．已知复数z 的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．解答：解：因为复数z的共轭复数，所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）． z在复平面内对应的点位于第四象限．故选D．点评：本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查． 3．已知点P（x，y），其中x∈{1，2}，y∈{1，3，4}，则在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是（ ） A．6 B．12 C．8 D．5 考点：分步乘法计数原理．专题：概率与统计．分析：本题是一个分步计数问题，A集合中选出一个数字共有2种选法，B集合中选出一个数字共有3种结果，由分步原理即可得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先从A集合中选出一个数字共有2种选法，再从B集合中选出一个数字共有3种结果，根据分步计数原理得，共有C21C31=6，故选A．点评：本题考查分步计数原理，是一个与坐标结合的问题，加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据． 4．若随机变量X，则P（X=2）=（ ） A．B． C．D．考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据变量符合二项分布，即可得到概率的值．解答：解：随机变量X，P（X=2）=．故选：D．点评：本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，本题解题的关键是正确写出概率的表示形式，再代入数值进行运算． 5．二项式的展开式中的常数项是（ ） A． 1 B． 2 C． 6 D． 12 考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：首先求出展开式的通项化简后，对字母指数取常数即可．解答：解：二项式的展开式中通项为，令4﹣2k=0解得k=2，所以展开式的常数项为=6；故选：C．点评：本题考查了二项展开式的特征项求法；关键是正确写出展开式的通项． 6．设随机变量X的概率分布如右下，则P（X≥0）=（ ）X ﹣1 0 1 P p A．B．C．D．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：由离散型随机变量的概率分布列知：++p=1，由此能求出p的值，结合表格中的数据来求P（X≥0）=P（X=0）+P（X=1）即可．解答：解：由离散型随机变量的概率分布列知： ++p=1，解得：p=， P（X≥0）=P（X=0）+P（X=1）=+=，故选：C 点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 7．若对任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3成立，则a1+a2+a3=（ ） A．1 B．8 C．19 D．27 考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由于x3=[2+（x﹣2）]3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3 ，利用通项公式求得a1、a2、a3的值，可得a1+a2+a3的值．解答：解：由于x3=[2+（x﹣2）]3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3 ，故a1=?22=12，a2=?2=6，a3==1，a1+a2+a3=19，故选：C．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P（ξ=3）=（ ） A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：概率与统计．分析：ξ=3，说明前两次抽到的都是次品，第三次抽到合格品，由此利用相互独立事件的概率乘法公式求得P（ξ=3）的值．解答：解：ξ=3，说明前两次抽到的都是次品，第三次抽到合格品，故P（ξ=3）=?，故选：A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题． 9．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ） A． 36种 B． 48种 C． 72种 D． 96种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，按空位的位置分两种情况讨论，①两端恰有两个空座位相邻，②两个相邻的空座位不在两端；分别求出两种情况下的坐法数目，进而相加可得答案．解答：解：根据题意，分两种情况讨论；①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有2C31A32=36种坐法；②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有3A32A21=36种坐法．故共有36+36=72种坐法．点评：本题考查排列、组合的综合运用，分类讨论时，按一定的标准，做到补充不漏． 10．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ） A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”； “至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B 点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定． 11．下面四个命题中，①复数z=a+bi，则实部、虚部分别是a，b；②复数z满足|z+1|=|z﹣2i|，则z对应的点集合构成一条直线；③由向量的性质，可类比得到复数z的性质|z|2=z2；④i为虚数单位，则1+i+i2+…+i2015=i．正确命题的个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：①复数z=a+bi，由于没有给出a，b∈R，因此无法确定实部、虚部，即可判断出正误；②复数z满足|z+1|=|z﹣2i|，表示的是过点A（﹣1，0）与B（0，2）的线段的垂直平分线，即可判断出正误；③类比得到复数z的性质|z|2=z2，由于左边为实数，右边不一定是实数，即可判断出正误；④利用等比数列的前n项和公式、复数的周期性即可判断出正误．解答：解：①复数z=a+bi，由于没有给出a，b∈R，因此无法确定实部、虚部，故不正确；②复数z满足|z+1|=|z﹣2i|，表示的是过点A（﹣1，0）与B（0，2）的线段的垂直平分线，因此z对应的点集合构成一条直线，正确；③由向量的性质，可类比得到复数z的性质|z|2=z2，不正确，左边为实数，右边不一定是实数；④i为虚数单位，则1+i+i2+…+i2015===0，因此不正确．正确命题的个数是1．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则及其有关概念、复数相等、等比数列的前n项和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．数列{an}前n项和为Sn，若，则等于（ ） A．3n﹣2n B．2n﹣3n C．5n﹣2n D．3n﹣4n 考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的前n项和公式可得Sn=2n﹣1．再利用二项式定理即可得出．解答：解：Sn==2n﹣1．则=+…+﹣=（2+1）n﹣1﹣[（1+1）n﹣1]=3n﹣2n．故选：A．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、二项式定理性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在答题卡相应横线上14．i为虚数单位，复数z=2+i的模是 ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数模的计算公式即可得出．解答：解：|2+i|==．故答案为：．点评：本题考查了复数模的计算公式，属于基础题． 15．若一个样本空间ω={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B=（1，2，4，5，6），则P（B|A）=．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，利用古典概型概率公式求出事件B，AB 发生的概率；利用条件概率公式求出P（B|A）．解答：解：P（A）==，P（AB）==由条件概率公式得P（A|B）==．故答案为：．点评：本题考查古典概型概率公式、条件概率公式，考查学生的计算能力，比较基础． 16．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）6的展开式中，x2项的系数是 35 ．（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式中x2项的系数，将C22用C33代替，再利用二项式系数的性质：Cnm+Cnm ﹣1=Cn+1m求出x2项的系数．解答：解：（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）6的展开式中，x2项的系数是： C22+C32+C42+…+C62=C33+C32+C42+…+C62=C43+C42+…+C62=…=C73=35 故答案为35 点评：本题考查二项展开式的通项公式；考查二项式系数的性质：Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m． 17．有5人担任5种不同的工作，现需调整，调整后至少有2人与原来工作不同，则不同的调整方法有 119 种．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：因为不可能只有1个人的工作变了其他人不变，要调整就至少两个人，所以只要在5人全排列方案中，减去初始的那一种方案即可．解答：解：5个人5种工作，总共是5！=120种方案．不可能只有1个人的工作变了其他人不变，要调整就至少两个人，只要减去初始的那一种方案即可，即5！﹣1=11，故答案为：119．点评：本题考查排列、组合的实际应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明，证明过程和解题过程． 18．已知复数z=bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）由z=bi（b∈R），化简为．根据是实数，可得，求得b的值，可得z的值．（2）化简（m+z）2为（m2﹣4）﹣4mi，根据复数f（4）所表示的点在第一象限，可得，解不等式组求得实数m的取值范围．解答：解：（1）z=bi（b∈R），===．又是实数，， b=﹣2，即z=﹣2i．（2）z=﹣2i，m∈R，（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又复数f（4）所表示的点在第一象限，，…（10分）解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数f（4）所表示的点在第一象限．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 19．在二项式的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中的有理项．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：（1）在展开式中，由恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，可得n=8．在二项式中，令x=1，求得展开式中各项的系数和．（2）再二项式的展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，求得r的值，可得展开式中的有理项．解答：解：（1）在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，n=8．在二项式中，令x=1，展开式中各项的系数和为．（2）二项式的展开式的通项公式为 ，r=0，1，2，…，8．当为整数，即r=2，5，8时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即；；．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 20．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路．（1）在如图的一段电路中，电路不发生故障的概率是多少？（2）三个元件按要求连成怎样的一段电路时，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时的电路图，并说明理由．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，电路不发生故障的概率为P1=P[（A2A3）?A1]=P（A2A3）?P（A1），计算求的结果．（2）如右图，图1中电路不发生故障的事件为（A1A2）?A3，求得电路不发生故障的概率P2=P[（A1A2）?A3]=P（A1A2）?P （A3）值，可得P2＞P1 ．在图2中，同理不发生故障概率为P3=P2＞P1，命题得证．解答：解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则．（1）电路不发生故障的事件为（A2A3）?A1，电路不发生故障的概率为P1=P[（A2A3）?A1]=P（A2A3）?P（A1）==．（2）如右图，此时电路不发生故障的概率最大．证明如下：图1中电路不发生故障的事件为（A1A2）?A3，电路不发生故障的概率为P2=P[（A1A2）?A3]=P（A1A2）?P（A3）==， P2＞P1 ．图2不发生故障事件为（A1A3）?A2，同理不发生故障概率为P3=P2＞P1，命题得证．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题． 21．已知，数列{an}的前n项的和记为Sn．（1）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想．考点：数列的求和；归纳推理；数学归纳法．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）依题意，可求得S1，S2，S3的值，继而可猜想Sn的表达式；（2）猜想Sn=；用数学归纳法证明，先证明n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可．解答：解：（1）an=， S1=a1==， S2=a1+a2=+=， S3=S2+a3=+==； … 猜想Sn=；（2）证明：①当n=1时，S1=，等式成立；②假设当n=k时，Sk=成立，则当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1=+====，即当n=k+1时等式也成立；综合①②知，对任意n∈N*，Sn=．点评：本题考查归纳推理，着重考查数学归纳法，考查推理、证明的能力，属于中档题． 22．安排5个大学生到A，B，C三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率；（2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）求出5个大学生到三所学校支教的所有情况，设“恰有2个人去A校支教”为事件M，求出M的值，即可求解概率．（2）推出ξ=1，2，3求出概率，即可得到ξ的分布列．解答：解：（1）5个大学生到三所学校支教的所有可能为35=243种，设“恰有2个人去A校支教”为事件M，则有种，．答：5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率．…（4分）（2）由题得：ξ=1，2，3，…（6分）ξ=1?5人去同一所学校，有种，，ξ=2?5人去两所学校，即分为4，1或3，2有种，，ξ=3?5人去三所学校，即分为3，1，1或2，2，1有种，．ξ的分布列为ξ 1 2 3 P …（12分）点评：本题考查古典概型概率的求法，随机变量的分布列的求法，考查计算能力． 2）证明：当a＞1时，不等式a3＞a2成立．（2）要使上述不等式a3＞a2成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由．（3）请你根据（1）、（2）的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．考点：不等式的证明；类比推理．专题：证明题；分类讨论．分析：（1）用作差比较法证明不等式，把差化为因式积的形式，判断符号，得出结论．（2）由于a﹣1与a5﹣1同号，对任何a＞0且a≠1 恒成立，故上述不等式的条件可放宽为a＞0且a≠1．（3）左式﹣右式等于，根据m＞n＞0，分a＞1 和0＜a＜1 两种情况讨论．解答：解：（1）证明：，a＞1，（a﹣1）（a5﹣1）＞0，原不等式成立．（2）a﹣1与a5﹣1同号对任何a＞0且a≠1 恒成立，上述不等式的条件可放宽为a＞0且a≠1．（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a≠1，m＞n＞0，则有．证：左式﹣右式=﹣（am﹣n﹣1）=（am﹣n﹣1）（ an﹣）=（am﹣n﹣1）（am+n ﹣1），若a＞1，则由m＞n＞0 可得＞0，am﹣n﹣1＞0，am+n﹣1＞0，不等式成立．若0＜a＜1，则由m＞n＞0 可得＞0，0＜am﹣n＜1，0＜am+n＜1，不等式成立．点评：本题考查不等式性质的应用，用比较法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 。
福建省华安一中2014-2015学年高二年下学期期末考试卷理科数学 Word版含答案
华安一中2014—2015学年高二年下学期期末考（理科）数学试卷 第Ⅰ卷（选择题50分） 一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分已知i是虚数单位，若i(x＋yi)＝3＋4i，x，yR，则复数x＋yi的模是( ) A．B．3C．4 D． 2、某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算K2=.069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”） P(K≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k。
2.7063.841 5.024 6.635 10.828 0.1％ 1％ 99％ 99.9％ 在极坐标系中，点到圆ρ＝cos θ的圆心的距离为( ) . B．2 C. D. 4.若复数（i为虚数单位）的复数Z为（） 5.直线与曲线在第象限内围成的封闭图形的面积为 ) A B C D 6、某校为了丰富学生们的课外活动分别成立兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（ ） A． 12种 B． 24种 C． 36种 D． 72种 “”是的展开式的各项系数之和为”的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A． B． C． D． 9.若的展开式中的x的奇次幂项的系数和为64，则m的值（）A. 3B. 5C.7D.9 10已知函数f(x)＝|x－2|＋1，(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根k的取值范围是( ) B. C. (1，2) (2，＋∞) 本大题共小题，每小题分，共0分 11、设随机变量服从正态分布,若,则． 的展开式中x的系数是（用数字作答）。
从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，每位同学通过测试的概率为0.7选出的三位同学中同学被选中并且通过测试的概率； 若实数满足，则的最大值是__________． 当x∈[－，1]时，不等式ax－＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是 三．解答题（本大题小题，共0分 （1）若a=2解不等式; （2）若对于任意恒有，求a的取值范围 18、(本题满分13分)在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线经过点，倾斜角。
2014-2015年福建省三明市宁化五中高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年福建省三明市宁化五中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}2．（5分）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，323．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a≤b，则a﹣1＞b﹣1C．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1 D．若a≤b，则a﹣1≤b﹣14．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）曲线与曲线（k＜9）的（）A．焦距相等B．长、短轴相等C．离心率相等D．准线相同6．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2 B．∀x∈（0，π），有sinx＞cosxC．∃x∈R，使得x2+x=﹣2 D．∀x∈（0，+∞），有e x＞1+x7．（5分）如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（）A．56分B．57分C．58分D．59分8．（5分）从分别写有A，B，C，D，E的五张卡片中任取两张，这两张的字母顺序恰好相邻的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件10．（5分）问题：①某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽出一个容量为100户的样本；②从10名学生中抽出3人参加座谈会．方法：Ⅰ简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法；此题中所提问题与抽样方法配对正确的是（）A．①Ⅲ；②ⅠB．①Ⅰ；②ⅡC．①Ⅱ；②ⅢD．①Ⅲ；②Ⅱ11．（5分）某程序如图所示，则该程序运行后输出的n的值是（）A．7 B．8 C．9 D．1012．（5分）半径为1的⊙O中内接一个正方形，现在向圆内任掷一个小豆，则小豆落在正方形内的概率是（）A．B．C．D．1﹣二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．14．（4分）双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于．15．（4分）从区间[0，10]中任取一个整数a，则a∈[3，6]的概率是．16．（4分）已知椭圆﹣=1的离心率e=，则m的值为：．三、解答题（17-21每题12分，22题14分，共74分）17．（12分）判断下列命题的真假．（1）∀x∈R，都有x2﹣x+1＞；（2）∃α，β使cos（α﹣β）=cosα﹣cosβ；（3）∀x，y∈N，都有x﹣y∈N；（4）∃x0，y0∈Z，使得x0+y0=3．18．（12分）设A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={9，a﹣5，1﹣a}，若A∩B={9}，求实数a的值．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢、（1）若以A表示和为6的事件，求P（A）；（2）现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由20．（12分）已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．21．（12分）评委会把同学们上交的作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图，如图所示，已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）那组上交的作品量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组的获奖率高？22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：=1（a＞b＞0）过点（2，0），焦距为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过点C（﹣1，0）且交椭圆Γ于A，B两点，试探究椭圆Γ上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省三明市宁化五中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，∴M∪N={1，3，5，6，7}，∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴∁U（M∪N）={2，4，8}故选：C．2．（5分）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32【解答】解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：B．3．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a≤b，则a﹣1＞b﹣1C．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1 D．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1【解答】解：根据命题的否命题可知，同时否定条件和结论即可得到命题的否命题，∴命题的否命题为：若a≤b，则a﹣1≤b﹣1，故选：D．4．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b是实数，∴“a＞0且b＞0”⇒“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”⇒“a＞0且b＞0”，∴“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件．故选：C．5．（5分）曲线与曲线（k＜9）的（）A．焦距相等B．长、短轴相等C．离心率相等D．准线相同【解答】解：对于曲线，a=5．b=3，c==4，离心率e=，准线方程为x=，曲线，c==4，a=，b=，e=，准线方程为x=∴当k≠0时，两个曲线的焦距相等．长、短轴、离心率和准线方程均不相同，当k=0时两个曲线的方程相同，则焦距、长、短轴、离心率和准线方程均相同，∴综合可知，两个曲线的焦距一定相等故选：A．6．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2 B．∀x∈（0，π），有sinx＞cosxC．∃x∈R，使得x2+x=﹣2 D．∀x∈（0，+∞），有e x＞1+x【解答】解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[，]，2∉[，]，故A“∃x∈R，使得sinx+cosx=2”不正确；当x=时，sinx＜cosx，故B“∀x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正确；∵方程x2+x=﹣2无解，故C“∃x∈R，使得x2+x=﹣2”，不正确；令f（x）=e x﹣x﹣1，则f′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=e x﹣x﹣1在区间（0，+∞）上为增函数，又∵f（0）=e x﹣x﹣1=0，∴D“∀x∈（0，+∞），有e x＞1+x”正确；故选：D．7．（5分）如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（）A．56分B．57分C．58分D．59分【解答】解：甲的中位数是32，乙的中位数是25，故中位数之和是57．故选：B．8．（5分）从分别写有A，B，C，D，E的五张卡片中任取两张，这两张的字母顺序恰好相邻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，在5张卡片中，任取2张的种数是C52=10，而字母恰好是按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E；共4种，则恰好是按字母顺序相邻的概率为P==；故选：A．9．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件【解答】解：方程ax2+y2=c表示双曲线，则c≠0，反之若a=1，c=1，则不能表示椭圆或双曲线．故c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的必要不充分条件．故选：B．10．（5分）问题：①某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽出一个容量为100户的样本；②从10名学生中抽出3人参加座谈会．方法：Ⅰ简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法；此题中所提问题与抽样方法配对正确的是（）A．①Ⅲ；②ⅠB．①Ⅰ；②ⅡC．①Ⅱ；②ⅢD．①Ⅲ；②Ⅱ【解答】解：通过分析可知，对于①，应采用分层抽样法，对于（2），应采用简单随机抽样法．故选：A．11．（5分）某程序如图所示，则该程序运行后输出的n的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的和循环体为“当型“循环结构第1次循环：S=0+3=3 n=2第2次循环：S=﹣3+6 n=3第3次循环：S=﹣3+6+9 n=4第4次循环：S=3+6+9+13 n=5…第8次循环：S=3+6+9+…+27=145 n=9此时S＞100，不满足条件，跳出循环，输出n=9故选：C．12．（5分）半径为1的⊙O中内接一个正方形，现在向圆内任掷一个小豆，则小豆落在正方形内的概率是（）A．B．C．D．1﹣【解答】解：如图所示，∵R=1，∴圆的面积为π且圆内接正方形的对角线长为2R=2，∴圆内接正方形的边长为∴圆内接正方形的面积为2则小豆落在正方形内的概率P=故选：A．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：2514．（4分）双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于17．【解答】解：将双曲线4x2﹣y2+64=0化成标准形式：∴a2=64，b2=16P到它的一个焦点的距离等于1，设PF1=1∵|PF1﹣PF2|=2a=16∴PF2=PF1±16=17（舍负）故答案为：1715．（4分）从区间[0，10]中任取一个整数a，则a∈[3，6]的概率是．【解答】解：由题意，区间[0，10]中任取一个整数a，区间长度为10，a∈[3，6]的区间长度为3，所以a∈[3，6]的概率为；故答案为：．16．（4分）已知椭圆﹣=1的离心率e=，则m的值为：﹣3或﹣．【解答】解：将椭圆﹣=1化成标准形式为：①当椭圆的焦点在x轴上时，a2=5，b2=﹣m∴椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣3②当椭圆的焦点在y轴上时，a2=﹣m，b2=5∴椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣综上所述，可得m的值为：﹣3或﹣故答案为：﹣3或﹣三、解答题（17-21每题12分，22题14分，共74分）17．（12分）判断下列命题的真假．（1）∀x∈R，都有x2﹣x+1＞；（2）∃α，β使cos（α﹣β）=cosα﹣cosβ；（3）∀x，y∈N，都有x﹣y∈N；（4）∃x0，y0∈Z，使得x0+y0=3．【解答】解：（1）真命题，∵x2﹣x+1=（x﹣）2+≥＞．…（3分）（2）真命题，如α=，β=，符合题意．…（6分）（3）假命题，例如x=1，y=5，但x﹣y=﹣4∉N．…（9分）（4）真命题，例如x0=0，y0=3符合题意．…（12分）18．（12分）设A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={9，a﹣5，1﹣a}，若A∩B={9}，求实数a的值．【解答】解：由题意可知，2a﹣1=9或a2=9；所以a=5或±3并且a﹣5≠﹣4，1﹣a≠﹣4（要是等于的话，A交B就不仅是{9}了）a≠5，1由集合的定义可知2a﹣1≠﹣4，a﹣5≠9，1﹣a≠9，a﹣5≠1﹣a，2a﹣1≠a2故a≠﹣1.5，14，﹣8，3，1所以a=﹣319．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢、（1）若以A表示和为6的事件，求P（A）；（2）现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由【解答】解：（1）基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N*，y∈N*，1≤x≤5，1≤y≤5}中的元素一一对应因为S中点的总数为5×5=25（个），∴基本事件总数为n=25．事件A包含的基本事件数共5个：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），∴P（A）==．（2）B与C不是互斥事件，∵事件B与C可以同时发生，例如甲赢一次，乙赢两次D、（3）这种游戏规则不公平由（1）知和为偶数的基本事件为13个，∴甲赢的概率为，乙赢的概率为，∴这种游戏规则不公平20．（12分）已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．【解答】解：∵椭圆方程为，∴椭圆的半焦距c==5．∴椭圆的焦点坐标为（±5，0），也是双曲线的焦点设所求双曲线方程为，则可得：∴所求双曲线方程为21．（12分）评委会把同学们上交的作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图，如图所示，已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）那组上交的作品量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组的获奖率高？【解答】解：（1）由题意知：第三组的频率为，又因为第三组频数为12，所以本活动的参赛作品数为（件）…（4分）（2）根据频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数最多，共有60ⅹ（件）…（8分）（3）第四组的获奖率为，第六组上交的作品数为60ⅹ（件）．第六组的获奖率为，显然第六组的获奖率较高…（12分）22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：=1（a＞b＞0）过点（2，0），焦距为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过点C（﹣1，0）且交椭圆Γ于A，B两点，试探究椭圆Γ上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a=2，，…（2分）因为a2=b2+c2，所以b2=a2﹣c2=1，…（3分）所以椭圆Γ的方程为；…（4分）（Ⅱ）依题意得：直线y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），假设椭圆Γ上存在点P（x0，y0）使得四边形OAPB为平行四边形，则．由得（1+4k2）x2+8k2x+4（k2﹣1）=0，…（6分）所以，．…（8分）于是即点P的坐标为．…（10分）又点P在椭圆上，所以，整理得4k2+1=0，此方程无解．…（11分）故椭圆Γ上不存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．…（12分）。
【精品】2014-2015年福建省三明市b片区高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2014-2015学年福建省三明市B片区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）命题“∀x∈R，都有ln（x2+1）＞0”的否定为（）A．∀x∈R，都有ln（x2+1）≤0B．∃x 0∈R，使得ln（x02+1）＞0C．∀x∈R，都有ln（x2+l）＜0D．∃x0∈R，使得ln（x02+1）≤02．（5分）如图所示，图中有5组数据，去掉（）组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大．A．A B．C C．D D．E3．（5分）命题“若x=0，则x2+x=0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（5分）已知向量=（1，x，﹣3），=（2，4，y），且，那么x+y等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（5分）已知一个算法，其流程图如图所示，则输出结果是（）A．9B．27C．81D．2436．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点，设E是棱DD1上的点，且=，若=x+y+z，则x+y+z的值为（）A．B．﹣C．﹣D．7．（5分）与双曲线C：=1共焦点，且过点（0，3）的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知直线x=2π和y=4与坐标轴围成一个矩形，现向该矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点恰好在曲线y=与x轴围成区域内的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若用分层抽样的方法从该地区高中生中抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若定义在R上的可导函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且（x ﹣1）f′（x）＜0（x≠1），则“对于任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=x+3，则f（1）+f′（1）=．12．（4分）如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为l5，乙组数据的平均数为16.8，则x+y的值为．13．（4分）设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．14．（4分）已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点到双曲线C1渐近线的距离为2，则C2的方程为．15．（4分）如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是直线a上一定点，且AP与直线a所成角θ=，点A到平面α的距离为2，若过点A作AO⊥α于点O，在平面α内，以过点O作直线a的平行线为x轴，以过点O作x轴的垂线为y轴建立直角坐标系，则动点P的轨迹方程为．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）已知m∈R，设命题p：方程+=1表示的曲线是双曲线；命题q：椭圆=1的离心率e∈（，1）（1）若命题p为真命题，求m的取值范围；（2）若命题“p∧q”为真命题，求m的取值范围．17．（13分）某校为了解高一年级期末考试数学科的情况，从高一的所有数学试卷中随机抽取n份试卷进行分析，得到数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩在[70，80）的人数为20，规定：成绩≥80分为优秀．（1）求样本中成绩优秀的试卷份数，并估计该校高一年级期末考试数学成绩的优秀率；（2）从样本成绩在[50，60）和[90，100）这两组随机抽取2名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|≤10”的概率．18．（13分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3．（1）求证：AC⊥平面BB1D；（2）求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值；（3）试判断线段CD1上是否存在点P，使A1P∥平面B1CD，若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．19．（13分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线C2：y2=4x 的焦点F重合．椭圆C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P，|PF|=．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与椭圆C1交于不同的两点A、B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=内，求m的取值范围．20．（14分）如图，某工业园区有一边长为2（单位：千米）的正方形地块OABC，其中OCE（阴影部分）是一个已建工厂，计划在地块OABC内修一条与曲边OE相切的直路l（宽度不计），切点为P，直线l把该地块分为两部分，已知曲线段OE是以点O为顶点，OC为对称轴且开口向上的抛物线的一段，CE=．（1）建立适当的坐标系，求曲线段OE的方程；（2）在（1）的条件下设点P到边OC的距离为t．（i）当t=1时，求直路l所在的直线方程；（ii）若≤t，试问当t为何值时，地块OABC在直路l不含已建工厂那侧的面积取到最大，最大值是多少？21．（14分）设函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=f（x）﹣（a﹣2）x，若不等式g（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+（n∈N，n≥2）2014-2015学年福建省三明市B片区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）命题“∀x∈R，都有ln（x2+1）＞0”的否定为（）A．∀x∈R，都有ln（x2+1）≤0B．∃x0∈R，使得ln（x02+1）＞0C．∀x∈R，都有ln（x2+l）＜0D．∃x0∈R，使得ln（x02+1）≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，都有ln（x2+1）＞0”的否定是：∃x0∈R，使得ln（x02+1）≤0．故选：D．2．（5分）如图所示，图中有5组数据，去掉（）组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大．A．A B．C C．D D．E【解答】解：∵A、B、C、D四点分布在一条直线的附近且贴近某一条直线，E点离得较远些；∴去掉E点后剩下的4组数据的线性相关性最大．故选：D．3．（5分）命题“若x=0，则x2+x=0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由题意，原命题为：若x=0，则x2+x=0”，显然0是方程的解，为真命题；逆命题为：若x2+x=0，则x=0，因为方程还有另一根为﹣1，故为假命题；因为原命题与逆否命题等价，故逆否命题为真；逆命题与否命题等价，故否命题为假．故选：B．4．（5分）已知向量=（1，x，﹣3），=（2，4，y），且，那么x+y等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：∵，∴存在实数λ，使得，∴（1，x，﹣3）=λ（2，4，y），∴，解得x=2，y=﹣6．∴x+y=﹣4．故选：A．5．（5分）已知一个算法，其流程图如图所示，则输出结果是（）A．9B．27C．81D．243【解答】解：模拟执行流程图，可得a=1，a=3不满足条件a＞30，a=9不满足条件a＞30，a=27不满足条件a＞30，a=81满足条件a＞30，退出循环，输出a的值为81．故选：C．6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点，设E是棱DD1上的点，且=，若=x+y+z，则x+y+z的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵=，==，=，∴=﹣+，与=x+y+z，∴，y=﹣，z=﹣．∴x+y+z=﹣．故选：C．7．（5分）与双曲线C：=1共焦点，且过点（0，3）的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由于所求椭圆与双曲线C：=1共焦点，且过点（0，3），可设椭圆方程为，（a＞b＞0），b=3，c2=12+4，∴a2=b2+c2=25，∴椭圆的离心率e==．故选：D．8．（5分）已知直线x=2π和y=4与坐标轴围成一个矩形，现向该矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点恰好在曲线y=与x轴围成区域内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，矩形的面积为π×4=8π，曲线y=在第一象限部分的面积为=π，由几何概型的公式得所投的点恰好在曲线y=与x轴围成区域内的概率为；故选：A．9．（5分）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若用分层抽样的方法从该地区高中生中抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据分层抽样定义可知，A类学校抽取人数为，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为=，故选：B．10．（5分）若定义在R上的可导函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且（x ﹣1）f′（x）＜0（x≠1），则“对于任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，∵（x﹣1）f′（x）＜0，∴x＜1时，f'（x）＞0，可得函数f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，可得函数f（x）单调递减①当f（x1）＞f（x2）时，结合x1＜x2，由函数单调性可得1＜x1＜x2，或1＞x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2成立，故充分性成立；②当x1+x2＞2时，因为x1＜x2，必有x1＞2﹣x2成立，所以结合函数的单调性，可得f（x1）＞f（x2）成立，故必要性成立综上所述，“f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＞2”的充分必要条件，故选：C．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=x+3，则f（1）+f′（1）=5．【解答】解：由题意值，y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=x+3，由导数的几何意义得f′（1）=1，且f（1）=4，所以f（1）+f′（1）=5，故答案为：5．12．（4分）如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为l5，乙组数据的平均数为16.8，则x+y的值为13．【解答】解：根据茎叶图知，甲组数据是9，12，10+x，24，27；它的中位数为l5，∴x=5；乙组数据的平均数为=16.8，∴y=8；∴x+y=5+8=13．故答案为：13．13．（4分）设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．【解答】解：由题意，曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为==，∴=a2，∴a=．故答案为：．14．（4分）已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点到双曲线C1渐近线的距离为2，则C2的方程为y2=x．【解答】解：双曲线C1：=1的渐近线方程为y=x，抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点F为（，0），则F到渐近线的距离为d==2，由双曲线的离心率为2，即e==2，b==a，则有=2，解得p=，则有抛物线的方程为y2=x．故答案为：y2=x．15．（4分）如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是直线a上一定点，且AP与直线a所成角θ=，点A到平面α的距离为2，若过点A作AO⊥α于点O，在平面α内，以过点O作直线a的平行线为x轴，以过点O作x轴的垂线为y轴建立直角坐标系，则动点P的轨迹方程为x2﹣y2=4．．【解答】解：过点A作AO⊥α于点O，在平面α内，以过点O作直线a的平行线为x轴，以过点O作x轴的垂线为y轴建立直角坐标系，作PB⊥y轴，连接AB，设P点坐标为：（x，y），由题意可得：∠APB=θ=，AB=xtanθ=x，OB=y，AO=d=2．所以，由勾股定理可得：（xtanθ）2=d2+y2，即：x2=22+y2，整理可得动点P的轨迹方程为：x2﹣y2=4．故答案为：x2﹣y2=4．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）已知m∈R，设命题p：方程+=1表示的曲线是双曲线；命题q：椭圆=1的离心率e∈（，1）（1）若命题p为真命题，求m的取值范围；（2）若命题“p∧q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：（1）命题p为真命题，即方程+=1表示的曲线是双曲线；∴（3﹣m）（m+2）＜0，解得m＜﹣2或m＞3，∴m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）（2）∵命题“p∧q”为真命题，∴p与q都为真命题，∵椭圆=1的离心率e∈（，1），∴＜＜1，即＜＜1，∴＜＜1，且m＞0，∴0＜m＜15，由（1）知m＜﹣2或m＞3，∴3＜m＜15，故m的取值范围（3，15）17．（13分）某校为了解高一年级期末考试数学科的情况，从高一的所有数学试卷中随机抽取n份试卷进行分析，得到数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩在[70，80）的人数为20，规定：成绩≥80分为优秀．（1）求样本中成绩优秀的试卷份数，并估计该校高一年级期末考试数学成绩的优秀率；（2）从样本成绩在[50，60）和[90，100）这两组随机抽取2名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|≤10”的概率．【解答】解：（1）成绩在[70，80）的人数为20，频率为0.04×10=0.4，所以n=20÷0.4=50，∵样本中成绩优秀的试卷份数所占频率为（0.032+0.006）×10=0.38∴样本中成绩优秀的试卷份数0.38×50=19∴估计该校高一年段期中考试数学成绩的优秀率为38%；（2）样本成绩在[50，60）和[90，100）学生人数分别为2和3人，分别用a，b，c，d，e，表示，则这两组随机抽取2名同学共有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，10种情况，其中测试成绩分别为m，n，事件“|m﹣n|≤10，则说明是来自同一组，共有ab，ac，bc，de，4种故事件“|m﹣n|≤10”的概率P==18．（13分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3．（1）求证：AC⊥平面BB1D；（2）求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值；（3）试判断线段CD1上是否存在点P，使A1P∥平面B1CD，若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）易知，AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），B1（，0，3），C（，1，0），D（0，3，0），D1（0，3，3），故=（，1，0），=（﹣，3，0），=（0，0，3），∵•=0，•=0，∴AC⊥BD，AC⊥BB1，∵BD∩BB1=B，BD⊂平面BB1D，BB1⊂平面BB1D，∴AC⊥平面BB1D；（2）∵=（0，1，﹣3），=（﹣，2，0），∴设平面B1DC的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1，=，∵AC⊥平面BB1D，∴为平面BB 1D的一个法向量，∴cos＜＞==，故二面角B﹣B1D﹣C的余弦值为．（3）不存在，假设线段CD1上存在点P，使A1P∥平面B1CD，设=λ，λ∈[0，1），∵=（），∴=（，﹣2λ，﹣3λ），∴==（，3﹣2λ，﹣3λ），要使A1P∥平面B1CD，∴，即，解得λ=3∉[0，1），∴线段CD1上不存在点P，使A1P∥平面B1CD．19．（13分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线C2：y2=4x 的焦点F重合．椭圆C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P，|PF|=．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与椭圆C1交于不同的两点A、B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=内，求m的取值范围．【解答】解：（1）抛物线C2：y2=4x的焦点F（1，0），准线x=﹣1．设P（x0，y0），由|PF|=，∴，解得x0=．∵椭圆C1与抛物线C2的交点P在第一象限内，∴=．∴P．代入椭圆方程可得，又c=1，a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=3．∴椭圆C1的方程为．（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为7x2+8mx+4m2﹣12=0，△=64m2﹣4×7（4m2﹣12）＞0，解得．又x1+x2=，∴y1+y2=x1+x2+2m=﹣=，∴线段AB的中点为M．∵线段AB的中点不在圆x2+y2=内，∴≥，解得m2≥1，解得m≥1，m≤﹣1，又．解得，或．∴m的取值范围是∪．20．（14分）如图，某工业园区有一边长为2（单位：千米）的正方形地块OABC，其中OCE（阴影部分）是一个已建工厂，计划在地块OABC内修一条与曲边OE相切的直路l（宽度不计），切点为P，直线l把该地块分为两部分，已知曲线段OE是以点O为顶点，OC为对称轴且开口向上的抛物线的一段，CE=．（1）建立适当的坐标系，求曲线段OE的方程；（2）在（1）的条件下设点P到边OC的距离为t．（i）当t=1时，求直路l所在的直线方程；（ii）若≤t，试问当t为何值时，地块OABC在直路l不含已建工厂那侧的面积取到最大，最大值是多少？【解答】解：（1）以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系，设曲线OE的方程为y=ax2，由E（，2）在抛物线上，可得a=1，则有OE：y=x2（0≤x≤）；（2）（i）y=x2的导数为y′=2x，当t=1时，k=2，由直线过P（1，1），则有直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣1=0；（ii）由（i）知切线方程为y﹣t2=2t（x﹣t），令y=0可得x=，令y=2可得x=+，由≤t，x′（t）=﹣+=＜0，x（t）=+递减，x（t）∈[，]⊆[，2]，面积S=4﹣（++）×2=4﹣（t+），令g（t）=t+，g′（t）=1﹣，由≤t，可得g′（t）＞0，g（t）在定义域内递增，即有g（t）min=g（）=，S max=4﹣=．故当t=时，地块OABC在直路l不含已建工厂那侧的面积取到最大，最大值是．21．（14分）设函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=f（x）﹣（a﹣2）x，若不等式g（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+（n∈N，n≥2）【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．∵f′（x）=，∴a≤0时，f′（x）＜0，函数的单调减区间为（0，+∞）；a＞0时，f′（x）＜0，可得0＜x＜，f′（x）＞0，可得x＞，∴函数的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；（2）∵g（x）=ax2﹣lnx≥0，∴a≥，设h（x）=，则h′（x）=∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴h （x ）≤h （）=，∴a ≥；（3）由（2）知，，∴，∴+++…+＜（++…+）（n ≥2）∵++…+＜++…+=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1+﹣﹣）＜， ∴：+++…+（n ∈N ，n ≥2）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值第21页（共22页）设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f(p)f(q)()2bfa-xx<O-=f(p)f(q)()2bfa-x第22页（共22页）。
福建省三明市第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题
三明一中2014—2015下学年学段考高二（理科）数学试题＿＿班 姓名＿＿＿＿＿＿＿参考公式和数表：1．独立性检验可信程度表（部分）：2、回归直线的方程是：a bx y+=ˆ，其中x b y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211一、选择题：(本大题12题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目条件的．1．i 是虚数单位，复数21(1)i i++的值是( )A ．1B ．iC ．i -D ． i 3 2．在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：根据表中的数据及随机变量2K 的公式，算得12.82≈K ．根据上面的临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是( ) A ．97.5%B ．99%C ．99.5％D ．99.9%4．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论中一定正确的是( ) A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则a c b c -<-C ．若a b >，则22bc ac > D ．若a b >，则a b >5．对两个变量y x 和进行回归分析，得到一组样本数据：()()()n n y x y x y x ,,,,,,2211 ， 则下列说法中不正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归方程y bx a ∧=+必过样本中心()y x , B ．残差平方和越大的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y x 和之间的相关系数为0.9362r =-，则变量y x 和有很强的线性关系 6．已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．1=ρ B ． θρcos = C ． θρcos 1-= D ． θρcos 1=. 7． 曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线8．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，则在第4次取球之后停止的概率( )A ．451435C C C ⋅ B ．94)95(3⨯ C ．4153⨯ D ．⨯14C 94)95(3⨯ 9．某中学高考数学成绩近似地服从正态分布()100,100N ，则此校数学成绩在120~80分的考生占总人数的百分比为（ ）A ．%74.31B ．%26.68C ．%44.95D ．%74.9910．直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212（t 为参数）被曲线122=-y x 截得的弦长为（ ） A ．7 B ．72 C ．10 D ．102 11．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是( )A ．14-B ．14C ．28-D ．2812.一数字游戏规则如下：第1次生成一个数a ，以后每次生成的结果均是由上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是2x +．设前n 次生成的所有数．．．的和为n S ，若1a =，则6S =( )A ．63B ．64C ．127D ．128二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上13．若对任意实数x ，有3322103)2()2()2(-+-+-+=x a x a x a a x 成立，则=+++3210a a a a ＿＿＿＿＿＿＿； 14．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________； 15．已知复数a bi +，其中,a b 为0，1，2，…，9这10个数字中的两个不同的数，则不同的虚数的个数为＿＿＿＿＿＿；16．已知圆O ：122=+y x ，圆1O ：1)sin ()cos (22=-+-θθb y a x （a 、b 为常数，R ∈θ）对于以下命题，其中正确的有_______________． ①1==b a 时，两圆上任意两点距离[]1,0∈d ②3,4==b a 时，两圆上任意两点距离[]6,1∈d ③1==b a 时，对于任意θ，存在定直线l 与两圆都相交 ④3,4==b a 时，对于任意θ，存在定直线l 与两圆都相交三、解答题：(本大题共6小题，共74分)解答应写出文字说明，证明过程和解题过程． 17．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 内，直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ty t x 4122（t为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 22πθρ． （１）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （２）确定直线l 和圆C 的位置关系．18．（本小题满12分）已知nx x )3(232+的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1） 求展开式中二项式系数最大的项；（2） 求12321222-⋅++⋅+⋅+=n n n n n n n C C C C S 值..19．（本小题满分12分）已知b a ,为实数，证明：2332244)())((b a b a b a +≥++．20．（本小题满分12分）某商场欲研究每天平均气温与商场空调日销量的关系，抽取了去年10月1日至5日每日平均气温与空调销量的数据，得到如下资料：(件)该商场确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若选取的是10月1日至2日的两组数据，请根据10月3日至10月5日的数据，求出y 关于x的线性回归方程ˆybx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2件，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，直线()*02N n n y x ∈=-+经过点()n nS a,．（1）求出1234a a a a 、、、的值 ；（2）请你猜想通项公式n a 的表达式，并选择合适的方法证明你的猜想．22．（本小题满分12分）某农贸市场新上市“绿色蔬菜”，现对其日销售量进行统计，统计结果如下表格．（1）求n m ,的值；(2) 若将表格中的频率看作概率，且每天的销售量互不影响. ① 求4天中该“绿色蔬菜”恰好有2天的销售量为2吨的概率；② 已知每吨该“绿色蔬菜”的销售利润为2千元，若ξ表示该“绿色蔬菜”两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列和期望．草稿纸。
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高二文科数学试题第 页（共8页） 1 三明市2014-2015学年第二学期普通高中阶段性考试 高二文科数学试题 （考试时间：2015年7月 日上午8：30-10：30 满分：150分） 参考公式或数值： 1．独立性检验参考数据及公式： 2Pkk
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2nadbckacbdabcd
，其中nabcd
2．回归直线方程：ˆˆˆybxa，1221ˆˆˆ,niiiniixynxybaybxxnx 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上.
1．已知集合|03,13AxxBxx，则BA
A．{|13}xx B．{|03}xx C．{|1}xx D．{|3}xx 2．在直角坐标系xOy中，点M的坐标是(1,3)，若以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系则点M的极坐标可以为 A．π(2,)3 B．2π(2,)3 C．π(2,)3 D．π(2,2π)()3kkZ
3．用三段论推理命题：“指数函数(0,xyaa且1)a是增函数（大前提），而1()3xy是指数函数（小前提），所以1()3xy是增函数（结论）．”你认为这个推理过程是 A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提都错误导致结论错误
4．“2xx”是“1x”的B A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 高二文科数学试题第 页（共8页） 2
5．已知函数()fx的图象是连续不断的，现给出,()xfx的部分对应值如下表： x 2 1 1
2
] 3
()fx 3 2 1 2] 4
则函数()fx一定有零点的区间是 A．(1,2) B．(2,3) C．(2,1) D．(1,1) 6．随着移动互联网的深入普及，用手机上网的人数日益增多，某教育部门成立了调查小组，调查“常上 网与高度近视的关系”，对某校高中二年级800名学生进行检查，得到如下22列联表： 不常上网 常上网 总计 不高度近视 70 150 220 高度近视 130 450 580 总计 200 600 800
根据列联表的数据，计算得到27.524K，则 A．有99.5%的把握认为常上网与高度近视有关 B．有99.5%的把握认为常上网与高度近视无关 C．有99%的把握认为常上网与高度近视有关 D．有99%的把握认为常上网与高度近视无关
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是27，则输入的数是
A．3或33 B．3或33 C．3或33 D．3或33 8．用反证法证明命题：“若整数系数的一元二次方程20(0)axbxca有有理根，则,,abc中至少有一个是偶数”时，反设正确的是 A.假设,,abc都不是偶数 B.假设,,abc都是偶数 C.假设,,abc至多有一个是偶数 D.假设,,abc至多有两个是偶数
9．函数lnxxyx的图象大致是
10．设()fx是定义在R上的偶函数，且(1)0f，当0x时，有'()()0xfxfx恒成立，则不等式 ()0xfx的解集为
A．(1,1) B. (1,0)(1,) C．(,1)(0,1) D．(,1)(1,)
第7题图 高二文科数学试题第 页（共8页） 3
11． 一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．当无盖方盒的容积V最大时，x的值应为
A．6 B．3 C．1 D．16
12．对于任意两个自然数,mn，定义某种运算如下： 当,mn都为奇数或偶数时，mnmn；当,mn中一个为偶数，另一个为奇数时，mnmn． 则在此定义下，集合(,)18,,MabababNN中的元素个数为 A．26 B．25 C．24 D．23
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请将答案写在答题卷相应位置上. 13．已知幂函数()fx的图象过点(8,2)，则1()8f= ．
14．复数12iiz（i是虚数单位）的实部为 ． 15．观察1122；112263；111326124；…， 由此推算1111111261220304256 . 16．已知函数()fx的定义域为[1,5]，()fx的导函数()fx的图像如图 所示．若()fx在区间[,1]mm上是单调函数，则实数m的取值范 围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
设复数iza（i是虚数单位，aR，0a），且10||z. （Ⅰ）求复数z； （Ⅱ）在复平面内，若复数i()1imzmR对应的点在第四象限， 求实数m取值范围.
18.（本小题满分12分） 因为受市场经济的宏观调控，某商品每月的单价和销量均会上下波 动，某商家对2015年的1月份到4月份的销售量x百件和利润y万 元进行统计分析，得到数据的散点图如图所示：
（Ⅰ）根据散点图分别求1~4月份的销售量x和利润y的平均数x，y；
第16题图 第18题散点图 高二文科数学试题第 页（共8页） 4
（Ⅱ）为使统计更为准确，继续跟踪5，6月份的销售量和利润情况，得到5月份的销售量为14百件、 利润为6万元，6月份的销售量为16百件、利润为8万元．由1~6月份的数据，用最小二乘法计算
得到线性回归方程ˆˆˆybxa中的47b，求a的值； （Ⅲ）试根据（Ⅱ）中的线性回归方程，预测当销售量为18百件时的利润．
19.（本小题满分12分） 定义：对于函数()fx，若在定义域内存在实数0x，满足00()()fxfx，则称0x为函数()fx的 “奇对称点”． （Ⅰ）求函数2()24fxxx的“奇对称点”；
（Ⅱ）若函数()ln()fxxm在[1,1]上存在“奇对称点”，求实数m的取值范围．
20. （本小题满分12分） 已知一元二次方程根与系数的关系如下：
设1x，2x是关于x方程20xbxc的根，则12xxb，12xxc．
（Ⅰ）若1x，2x，3x是一元三次方程2(1)(34)0xxx的根，求123 xxx和123xxx的值； （Ⅱ）若1x，2x，3x是一元三次方程320xbxcxd的根，类比一元二次方程根与系数的关系， 猜想123 xxx和123xxx与系数的关系，并加以证明．
21．（本小题满分12分） 已知函数()exxafx（aR，其中e2.71828），记()fx为函数()fx的导函数．
（Ⅰ）若曲线()yfx在0x处的切线与直线0xy平行，求a的值； （Ⅱ）求函数()fx在[2,)上的最大值； （Ⅲ）若1a，令(),nafnnN，证明：123201812522aaaa. 高二文科数学试题第 页（共8页） 5
22.（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标是1(0,)2，直线l的参数方程是2,21222xtyt (t为参 数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程2cos． （Ⅰ）求点M与圆C的位置关系； （Ⅱ）若直线l与圆C的交点为PQ,，求MPMQ的值．
三明市2014-2015学年第二学期普通高中阶段性考试 高二文科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C A B D C B A D B C B 二、填空题：
13．12 14． 2 15． 78 16．1134mmmmm或0或2或 三、解答题： 17．解：（Ⅰ）∵iza，10||z，
∴101||2az， ………………………2分 92a，3a， ………………………4分
又∵0a， ∴3a， ………………………5分 ∴3iz． ………………………6分 （Ⅱ）∵3iz,则3iz， …………………7分
∴i(i)(1i)5(1)i3i1i(1i)(1i)22mmmmz， …………………8分