第十八讲：圆的有关概念
圆的周长教案10篇
圆的周长教案10篇圆的周长教案篇1教学目标：1．让学生经历已知一个圆的周长求这个圆的直径或半径的过程，体会解题策略的多样性。
2.进一步理解周长、直径、半径之间的关系，能熟练运用圆周长的公式解决一些实际问题。
3．感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的信心。
教学重点：已知一个圆的周长求这个圆的直径或半径。
教学难点：理解周长、直径、半径之间的关系，能熟练运用圆的周长公式解决一些实际问题。
教学准备：圆形图片。
教学过程：一、复习旧知，引入新知提问1．什么是圆的周长？圆的周长计算公式是什么？2．把圆规两脚尖分开4厘米画一个圆，这个圆的半径是多少？直径呢？周长呢？指名回答，明确计算方法。
3．口答，求下列各圆的面积。
（l）r=2cm r=3cm r=5cm（2）d=2cm d=3cm d=5cm4．引入：知道圆的直径和半径，我们能很快算出圆的周长。
如果只知道圆的周长，我们能算出它的直径和半径吗？今天这节课我们来继续研究圆周长的知识。
（板书：圆的周长计算的实际运用）二、合作交流，探究新知1．教学例6。
（1）出示例6的情境图，指名读题，并且找出条件和问题。
（2）讨论：如何准确地测算出这个花坛的直径？（3）交流后，明确：先测量出这个花坛的周长，再利用圆的周长计算公式计算花坛的直径。
（4）出示测量结果：花坛的周长是251.2米。
（5）学生独立完成。
（6）集体订正，教师板书方法一：列方程解答。
解：设花坛的直径是米。
3. 14=251.2=251. 23. 14=80答：花坛的直径是80米。
方法二：算术方法解答。
251. 23. 14 =80（米）答：花坛的直径是80米。
（7）师：两种方法有什么相同点和不同点？你喜欢什么方法？2．小结。
（l）提问：已知圆的周长，如何求圆的半径或直径？（2）学生回答，教师板书①列方程解答。
②d=C r=C 2三、巩固练习，加深理解1．完成练一练。
（1）学生独立完成。
（2）集体交流。
初中数学听课记录(范文20篇)
初中数学听课记录(范文20篇)初中数学听课记录（范文20篇）第一篇：二元一次方程本课以解一元一次方程为基础，引入了二元一次方程的概念。
老师使用了实例讲解的方式，让学生更直观地了解了方程的含义和解题方法。
通过反复练，学生逐渐掌握了解二元一次方程的过程。
第二篇：整式的加法与减法这堂课主要讲解了整式的加法和减法。
老师通过清晰的步骤和实际问题的应用，帮助学生掌握了整式的相加相减规则，并进行了大量的练。
第三篇：平行线的性质本课介绍了平行线的基本概念和性质。
老师通过画图和举例的方式，帮助学生理解了平行线之间的关系以及平行线与转角的关系。
学生积极参与讨论，并掌握了平行线性质的应用方法。
第四篇：相交线与转角这节课主要介绍了相交线与转角的关系。
老师通过绘制大量实例图，并讲解相交线的分类和性质，帮助学生理解了相交线与转角之间的规律，并通过实例问题进行了练。
第五篇：角的度量与角的分类这节课主要讲解了角的度量和分类。
老师通过使用角度量具和讲解基本术语，帮助学生掌握了角的度量方法和角的分类规则。
学生通过练，提高了角度量和角度分类的能力。
第六篇：三角形本课主要介绍了三角形的基本概念和性质。
老师通过多种实例，讲解了三角形的分类、边长关系和角度关系，并进行了相关题训练。
学生掌握了三角形的相关知识，提高了解题能力。
第七篇：四边形这节课主要探讨了四边形的基本性质和分类。
老师通过绘制图形和解题的方式，讲解了四边形各种特性，并通过实例问题进行了练，提高了学生对四边形性质的理解和应用能力。
第八篇：平行四边形本节课主要介绍了平行四边形的性质和判定方法。
老师通过讲解和练，帮助学生掌握了平行四边形的特征和性质，以及平行四边形的判定方法。
学生在练中提高了解决平行四边形问题的能力。
第九篇：相似三角形这节课主要讲解了相似三角形的性质和应用。
老师通过图形的比例关系和相似判定方法，帮助学生理解了相似三角形的特点和应用。
通过大量练，学生提高了解决相似三角形问题的能力。
九年级数学圆和圆的位置关系4
分类法、数形结合法、类比法、归纳法、分
析法等。
2. 数学思想体现方式 （1）在提出课题时可通过类比前面 学过的点和圆、直线和圆的位置关 系、影响这些位置关系的因素进行 猜想，从而引入新课；在小结圆和 圆的位置关系时也可以用类比点和 圆、直线和圆的位置关系的方法进 行。
例1应用了“两 圆相切，切点一 定在连心线上” 这一重要性质。
当两圆相切时，过切点作 两圆的公切线是一种常用 的添辅助线方法。
四、课堂练习
练习2给学生图形逐 步提示。
教材中 P88 练习题 3 、 4做为课堂练习。
五、小结
从运动的观点， 反复观察的出两圆 之间的五种位置关 系。从圆与圆的位 置关系导出了d、R、 r的数量关系；反过 来，利用d、R、r的 数量关系又可以判 断两圆的位置关系。
若 ⊙ O1 、 ⊙ O2 相 交 于点A 、B ，因为⊙ O1 、 ⊙ O2 组成的图形是以 连心线 O1O2 为对称轴 的轴对称图形，所以 交点A、B关于直线 O1O2对称。 利用对称方法证明 这个定理比较简单； 注意：连心线垂直平 分公共弦，不是公共 弦垂直平分连心线。
三、例题选讲 分析透例题，采 取设问的方法引 导学生思考，争 取让学生拿出方 法。
（ 2 ）圆和圆的五种位置关系蕴
含了分类讨论的数学思想。
（ 3 ）圆和圆的各种位置关系中圆心
距与半径之间的数量关系蕴含了数形
结合的数学思想。
本节课的设计是以教学大纲和教材为依据， 采用探究式、讨论式教学。遵循因材施教、循 序渐进的原则，坚持以学生为主体，充分发挥 学生的主观能动性。 教学过程中，注重学生探究能力的培养。 还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生 过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加 强对学生的启发和引导，鼓励学生们的自学讨 论，充分发挥小组合作学习的优势。
圆的概念及性质讲课文档
知1－练
第十二页，共31页。
（来自《点拨》）
2 下列关于圆的叙述中正确的是( ) A．圆是由圆心唯一确定的 B．圆是一条封闭的曲线 C．平面内到定点的距离小于或等于定长的所 有点组成圆 D．圆内任意一点到圆心的距离都相等
3 平面内已知点P，以P为圆心，3 cm为半径作圆， 这样的圆可以作( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
知3－讲
第二十三页，共31页。
（来自《点拨》）
知3－练
1 如图所示 ，已知⊙O上有A，B，C三个点，以其中两 个点为端点的弧共有___条，弦共有___条．
第二十四页，共31页。
（来自《点拨》）
2 下列说法中，正确的是( ) ①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直 径；④半圆是最长的弧；⑤直径是圆中最长的弦． A．②③ B．③⑤ C．④⑤ D．②⑤
个；③半径为3 cm且经过点P的圆有无数个；④以点
P为圆心，3 cm为半径的圆有无数个．
A．1个
B．2个 C．3个 D．4个
导引：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只
满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无
数个，由此可知①②正确；③半径确定，但圆心
不确定，仍有无数个圆；④圆心和半径都确定的 圆有且只有一个(唯一).
如图，点A，B，C，D在⊙O上.线段 AB为⊙O的一条弦，AC为⊙O的直径.直 径AC所分的两个半圆分别为半圆ADC和半圆ABC.以 AB为端点的弧有两条，其中劣弧用 来表示，读作 A B “弧AB”，优弧用 来表示，读作A“D弧BADB”.
能够完全重合的两个圆叫做等圆.能够完全重合的两条 弧叫做等弧.
圆的旋转不变性这一规律找相等的量． 解：相等的弧有：
数学方法分析之小学奥数第十八讲 图解法
第十八讲图解法图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。
在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。
图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。
有时，作出了图形，答案便在图形中。
（一）示意图示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。
小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。
例1 妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。
谁剩下的苹果多？多几个？（适于四年级程度）解：作图18-1。
哥哥吃了8个后，剩下苹果：10-8=2（个）弟弟吃了5个后，剩下苹果：10-5=5（个）弟弟剩下的苹果比哥哥的多：5-2=3（个）答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多3个。
例2一桶煤油，倒出40％，还剩18升。
这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度）解：作图18-2。
从图中可看出，倒出40％后，还剩：1-40％=60％这60％是18升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是：18÷60％=30（升）答略。
例3把2米长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.8米，同时量得电线杆的影长是5.4米。
这根电线杆地面以上部分高多少米？（适于六年级程度）解：根据题意画出如图18-3（见下页）的示意图。
同一时间，杆长和影长成正比例。
设电线杆地面以上部分的高是x米，得：1.8∶5.4=2∶x答略。
（二）线段图线段图是以线段的长短表示数量的大小，以线段间的关系反映数量间关系的一种图形。
在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。
例1王明有15块糖，李平的糖是王明的3倍。
问李平的糖比王明的糖多多少块？（适于三年级程度）解：作图18-4（见下页）。
从图18-4可看出，把王明的15块糖看作1份数，那么李平的糖就是3份数。
李平比王明多的份数是：3-1=2（份）李平的糖比王明的糖多：15×2=30（块）综合算式：15×（3-1）=15×2=30（块）答略。
初中数学-圆 的专题
圆命题点分类集训命题点1圆周角定理有关的计算1．(2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A.∠BB.∠CC.∠DEBD.∠D第1题图2．(2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A.50°B.55°C.60°D.65°第2题图3．(2019滨州)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为() A.60° B.50° C.40° D.20°第3题图4．(2019陕西)如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是()A.20°B.35°C.40°D.55°第4题图5．(2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第5题图6．(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第6题图7．(2019东营)如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是________．第7题图命题点2垂径定理有关的计算8．(2019衢州)一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB＝8 dm，DC＝2dm，第8题图则圆形标志牌的半径为()A.6dm B.5dm C.4dm D.3dm9．(2019凉山州)如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A ＝30°，CD ＝23，则⊙O 的半径是________．第9题图10．(2019德州)如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，AB ︵＝BF ︵，CE ＝1，AB ＝6，则弦AF 的长度为________．第10题图命题点3动点中的隐形圆11．(2019桂林)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，作点A 关于直线BP 的对称点A 1，连接A 1C ，设A 1C 的中点为Q ，当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为________．第11题图12．(2019通辽)如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边上的一点，且AM ＝13AD ，N 是AB边长的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．第12题图命题点4切线的判定13．(2019甘肃省卷10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A 和点B且与BC边相交于点E.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)若CE＝23，求⊙D的半径．第13题图14．(2019临沂9分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于点D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC.15．(2019娄底12分)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)求证：CD·BE＝AD·DE.第15题图命题点5切线性质有关的证明与计算16．(2019重庆A卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为()A．40°B．50°C．80°D．100°第16题图17．(2019福建)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB 等于()A．55°B．70°C．110°D．125°第17题图18．(2019舟山)如图，已知⊙O上三点A，B、C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为()A.2B.3C.2D.12第18题图19．(2019常州)如图，半径为3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝________．第19题图20．(2019玉林9分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD.(1)求证：EF是△CDB的中位线；(2)求EF的长．第20题图21．(2019黄冈8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE.(1)求证：△DBE是等腰三角形；(2)求证：△COE∽△CA B.第21题图22．(2019贵阳10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．(1)求证：OP∥BC；(2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D，如果∠D＝90°，DP＝1.求⊙O的直径．第22题图命题点6扇形的相关计算)23．(2019长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则这个扇形的面积是()A.2π B.4π C.12π D.24π24．(2019泰安)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ︵恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则AB ︵的长为()A.12πB.πC.2πD.3π第24题图25．(2019哈尔滨)一个扇形的弧长是11πcm ，半径是18cm ，则此扇形的圆心角是____度.26．(2019泰州)如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形，若正三角形边长为6cm ，则该莱洛三角形的周长为________cm第26题图命题点7圆锥的相关计算27．(2019遵义)圆锥的底面半径是5cm ，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是()A.53cm B.10cm C.6cm D.5cm28．(2019无锡)已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为________cm.29．(2019徐州)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径r ＝2cm ，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l 为________cm.第29题图命题点8与圆有关的阴影部分面积计算30．(2019南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为()A.6π B.33π C.23π D.2π第30题图31．(2019山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为()A.534－π2 B.534＋π2 C.23－π D.43－π2第31题图32．(2019重庆A 卷)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第32题图33．(2019十堰)如图，AB 为半圆的直径，且AB ＝6，将半圆绕点A 顺时针旋转60°，点B 旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为________．第33题图34．(2019河南)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA.若OA＝23，则阴影部分的面积为________．第34题图35．(2019福建)如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第35题图命题点9圆与正多边形的相关计算36．(2019贵阳)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是()第36题图A.30°B.45°C.60°D.90°37．(2019衡阳)已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是________．第十八讲圆命题点分类集训1．D 2.A 3.B 4.B 5.206.27.5228.B 9.210.48511.3π312.19－1【解析】∵菱形的边长为AD ＝3，AM ＝13AD ，∴AM ＝13×3＝1，MD ＝2.如解图，以点M 为圆心，MA 为半径作⊙M .由折叠得MA ＝MA ′＝1.∴点A ′在⊙M 上．连接MC 交⊙M 于点A 1.当点M 、A ′、C 不在一条直线上时，则在△MA ′C 中，A ′C ＞|MC －MA ′|，即A ′C ＞|MC －1|.当点M 、A ′、C 在一条直线上时，A ′C ＝|MC －MA ′|，即A ′C ＝|MC －1|.∴折叠过程中，A ′C ≥|MC －1|.∴A ′C 的最小值为|MC －1|.过点M 作ME ⊥CD 交CD 的延长线于点E .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD .∴∠MDE ＝∠MAB ＝60°.在Rt △MDE 中，sin ∠MDE ＝ME MD ，cos ∠MDE ＝DE MD .∴ME ＝MD ·sin ∠MDE ＝2sin 60°＝2×32＝ 3.DE ＝MD ·cos ∠MDE ＝2cos 60°＝2×12＝1.∴CE ＝ED ＋CD ＝1＋3＝4.在Rt △MCE 中，由勾股定理得MC ＝ME 2＋CE 2＝（3）2＋42＝19.∴A ′C 的最小值为|19－1|＝19－1.第12题解图13．(1)证明：如解图，连接DA .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°.(1分)又∵DA ＝DB ，∴∠DAB ＝∠B ＝30°，(2分)∴∠DAC ＝120°－30°＝90°.∴AC ⊥AD ，(3分)又∵AD 为⊙D 的半径，∴AC 是⊙D 的切线；(5分)第13题解图(2)解：设半径为r，则DA＝DE＝r.在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD，∴CE＋r＝2r.(8分)∴r＝CE＝2 3.(10分)14．证明：(1)如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ECD＝90°.∵点F为DE的中点，∠ECD＝90°，∴EF＝CF.∴∠FCE＝∠FEC.··········(2分)∵∠AEO＝∠FEC，∴∠FCE＝∠AEO.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A.∵OD⊥AB，∴∠A＋∠AEO＝90°，∴∠OCA＋∠FCE＝90°.即∠FCO＝90°，∴OC⊥CF.∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；··········(4分)(2)∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°.∵OD⊥AB，∴∠BOD＝90°.∴∠DOC＝45°.∵∠FCO＝90°，∴∠CFO＝45°.∴∠CFO＝∠DOC.∴CF＝CO.··········(6分)∵CF＝EF＝DF，∴DE＝2CF＝2OC.∴AB＝2OC＝DE.∵∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠B＝90°，∴∠A＝∠D，··········(7分)在△ABC和△DEC A＝∠D，ACB＝∠DCE＝90°，＝DE，∴△ABC≌△DEC(AAS)．∴AC＝DC.··········(9分)第14题解图15．证明：(1)如解图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵DC⊥AC，∴∠1＋∠2＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠3.∵OA ＝OD ，∴∠4＝∠3.··········(3分)∴∠4＋∠2＝90°.即∠CDO ＝90°.∵OD 是⊙O 的半径，∴直线CD 是⊙O 的切线；(6分)第15题解图(2)∵BE 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BE ，∴∠5＋∠6＝90°，∠3＋∠E ＝90°.∵∠3＋∠6＝90°，∴∠3＝∠5.∵∠3＝∠1，∴∠5＝∠1.∵∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∴∠2＝∠E .∴△ADC ∽△BED .∴CDDE ＝ADBE ，即CD ·BE ＝AD ·DE .··········(12分)16．C 17.B 18.B 19.3520．(1)证明：如解图，连接OE ，AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ，∵OA ＝OB ，∴EO 是△ABC 的中位线，∴OE ∥AC ，∵EF 切⊙O 于E ，∴OE ⊥EF ，∴EF ⊥AC ，··········(3分)∵BD ⊥AC ，∴EF ∥BD ，∵点E 是BC 的中点，∴EF 是△CBD 的中位线；··········(5分)第20题解图(2)解：∵BC ＝6，∴CE ＝3，∵AC ＝5，AE ⊥CE ，∴由勾股定理得AE ＝4，··········(7分)∵EF ⊥AC ，∴sin ∠C ＝AE AC ＝EF CE ，即45＝EF 3，解得EF ＝125.··········(9分)21．证明：(1)如解图，连接OD ，∵DE 是⊙O 的切线，∴∠ODE ＝90°，在Rt △OCE 和Rt △ODE ＝OD ，＝OE ，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE (HL)，∴DE ＝CE .··········(2分)∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CDA ＝90°，∴∠CDB ＝90°，∴∠B ＋∠ECD ＝90°，∠CDE ＋∠BDE ＝90°，∴∠BDE ＝∠B ，∴BE＝DE，∴△DBE是等腰三角形；··········(4分)第21题解图(2)由(1)得∵BE＝DE＝CE，∴点E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线．··········(6分)∴OE∥AB，∴∠CAB＝∠COE，∴△COE∽△CAB.··········(8分)22．(1)证明：∵点A关于OP的对称点是点C，∴∠AOP＝∠COP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，··········(2分)∵∠AOC＝∠OBC＋∠OCB，∴2∠AOP＝2∠B，∴∠AOP＝∠B，∴OP∥BC；··········(4分)(2)解：如解图，连接PC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∵∠D＝90°.∴AD∥OC，∴∠A＋2∠AOP＝180°，由(1)知，∠AOP＝∠B，∴∠A＋2∠B＝180°①，在△AOP 中，OA ＝OP ，∴∠A ＋∠OPA ＋∠AOP ＝2∠A ＋∠B ＝180°②，由①②得∠A ＝∠B ＝60°，∴△AOP ，△COB 都是等边三角形，··········(8分)∴∠POC ＝60°，∵OP ＝OC ，∴△OPC 是等边三角形，∴OC ＝PC ，∠DCP ＝∠DCO －∠PCO ＝30°，在Rt △PCD 中，PC ＝2PD ＝2，∴⊙O 的直径为2OC ＝2PC ＝4.··········(10分)第22题解图23．C24.C 25.11026.6π27.A 28.329.630．A 【解析】如解图，连接OB ，交AC 于点D .∵四边形OABC 为平行四边形，∴S △OAD ＝S △BCD ，由题意，易得∠AOB ＝60°，∵圆的半径为6.∴阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积＝60°360°·π·62＝6π.第30题解图31．A【解析】如解图，连接OD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵在Rt △ABC 中，AB ＝23，BC ＝2，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝23.在Rt △ABC 中，∵tan ∠BAC ＝BC AB ＝223＝33，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOD ＝60°.∵OA ＝OB ＝OD ＝12AB ＝3，∴S 扇形BOD ＝60·π·OD 2360＝π2.∵DE ＝OD ·sin 60°＝32，∴S △AOD ＝12OA ·DE ＝334.∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S 扇形BOD ＝534－π2.第31题解图32．23－2π3【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∵AB ＝2，∴AO ＝1，BO ＝3，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝2AO ·BO ＝23，S 扇形＝120π·12360＝π3，∴S 阴影＝S 四边形ABCD －2S 扇＝23－2π3.33．6π34．π＋3【解析】如解图，过点D 作DE ⊥OB ，垂足为点E ，∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ，∴∠DAO＝30°，又∵OC ⊥OA ，∴OD ＝AO ·tan 30°＝23×33＝2，∴S △AOD ＝12AO ×OD ＝12×23×2＝23，∵∠DOB ＝∠AOB －∠AOD ＝30°，∴S 扇形COB ＝30π×（23）2360＝π，在Rt △ODE 中，DE ＝OD ×12＝1.∴S △ODB ＝12OB ×DE ＝12×23×1＝3，∴S 阴影＝S 扇形COB －S △ODB ＋S △AOD ＝π－3＋23＝π＋ 3.第34题解图35．π－1【解析】如解图，延长OD 交⊙O 于点M ，延长OA 交⊙O 于点N ，∵边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O 的圆心重合，∴∠AOD ＝90°且OA ＝OD ，∠ADO ＝45°，∴OA ＝OD ＝AD ×sin 45°＝2×22＝ 2.∴S 阴影＝S 扇形MON －S △AOD ＝90π·22360－12×2×2＝π－1.第35题解图36．A37．63【解析】如解图，正△ABC 内接于⊙O ，过点A 作BC 的垂线，垂足为D ，连接OB ，设AB ＝a ，则BD ＝12a ，AD ＝32a ，∵圆的半径是6，∴OB ＝6，OD ＝32a －6.－＝62，解得a ＝63.第37题解图。
第十八讲 基本不等式的证明(四个平均数)-2021年新高一年级数学(人教版A2019)(解析版)
第十八讲：基本不等式证明（四个平均数）【学习目标】1、掌握四个平均数的表达形式；2、通过圆的弦长等关系，表示出四个不等式的大小关系.【基础知识】四个平均数不等式关系：对,a b+∀∈R，都有22 21122a b a baba b++≤≤≤+，其中211a b+为调和平均数，ab为几何平均数，为算术平均数，222a b+为平方平均数.结论：由图可知，,(),,AD a BD b a b EH AB DF OE==≥⊥⊥，则【考点剖析】考点一：基本不等式的证明（四个平均数）例1．由图可知，,(),,AD a BD b a b EH AB DF OE ==≥⊥⊥，则1、已知,AD a BD b ==.证明：2a b +≤,AD a BD b ==， 2a bOA OB OC +∴===，，CD ∴==由图可知，OC CD ≤，即证2a b +≤2、已知,AD a BD b ==，EH AB ⊥.2a b+≤. ,AD a BD b ==，EH AB ⊥ 2a bOA OB OE +∴===，，DE ∴==由图可知，DE OE ≤2a b+.3、已知,AD a BD b ==，EH AB ⊥，DF OE ⊥. 证明：.,AD a BD b ==，EH AB ⊥，DF OE ⊥ 2a bOA OB OE +∴===，，DE ∴==有图可知，，2=解得2112ab EF a b a b==++由图可知，，即证.综上：2112a b a b+≤≤≤+变式训练1：《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，且OF AB ⊥，点C 在直径AB 上运动.设AC a =，BC b =，则由FC OF ≥可以直接证明的不等式为（ ） A．)0,02a ba b +≥>> B ．()2220,0a b ab a b +≥>>C ．D ．【答案】D【详解】不妨设点C 在半径上运动. 由图形可知：122a b OF AB +==，2a b OC -=． 在Rt OCF中，由勾股定理可得CF ==, FC OF ≥，2a b +≤，(0,0)a b >>. 故选：D ．变式训练2：《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）．A．)0,02a ba b +>> B ．C()20,011a b a b≥>>+ D()002a b a b +≥>>，【答案】B 【详解】解：因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和， 所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>） 故选：B变式训练3：《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB ⊥交圆周于D ，连接.作CE OD ⊥交于E .则下列不等式可以表示CD DE ≥的是（ ）A ．()20,0abab a b a b≥>>+ B ．()0,02a bab a b +≥>>C ．()220,022a b a b a b ++≥>>D ．()2220,0a b ab a b +≥>>【答案】A 【详解】连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，所以在Rt ADB ∆中，中线22AB a bOD +==，由射影定理可得2CD AC CB ab =⋅=，所以CD ab =.在Rt DCO ∆中，由射影定理可得2CD DE OD =⋅，即222CD ab abDE a b OD a b ===++，由CD DE >得2abab a b≥+， 故选A.【过关检测】1、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．()02a bab a b +>>> B ．()2220a b ab a b +>>>C ．D ．()22022a b a b a b ++<>>【答案】D 【详解】由图形可知，22AC BC a bOF ++==，， 由勾股定理可得，在Rt OCF 中，由可得)02a b a b +<>>.故选：D.2、《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆周上，CD AB ⊥于点C ，设AC a =，BC b =，直接通过比较线段与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为（ ）A ．(0,0)b m bb a m a m a+>>>>+B )(0,0)2a b a b ≥+>>C ．20,0)aba b a b≤>>+D ．0,0)2a ba b +≥>> 【答案】D 【详解】OD 是半圆的半径，AB a b =+为圆的直径，2a bOD +∴=，由射影定理可知，2,CD AC BC ab CD =⋅==Rt ODC ∆中，OD CD >，2a b+>，当O 与C 重合时，2a b +2a b+≥ D.3、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆上，点C 在直径AB 上，且CF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为A ．0,0)2a ba b +≥>> B 0,0)a b >>C ．D ．20,0)aba b a b≤>>+ 【答案】A 【详解】取圆心为O 点，连接OF由图形可知：11()22OF AB a b ==+， 在直角AFB △中，根据射影定理可得：2FC AC CB =⋅所以FC OF FC ≥，1()2a b +≥∴0,0)2a ba b +≥>>. 故选：A.4、《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB ⊥交圆周于D ，连接．作CE OD ⊥交于E ．由CD DE 可以证明的不等式为（ ）A 2(0,0)aba b a b>>+ B ．C (0,0)2a ba b +>> D ．222(0,0)a b ab a b +>>【答案】A解：由射影定理可知2CD DE OD =，即222DC ab ab DE a b ODa b ===++， 由DC DE2aba b+， 故选：A ．5、（多选题）设0a >，0b >，称为a、b a 、b 的几何平均数，为a 、b 的调和为a、b 的加权平均数.如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接、AD 、BD ，过点C 作的垂线，垂足为E .取弧AB 的中点为F ，连接FC ，则在图中能体现出的不等式有（ ）A ．2a b+≥B 2a b +≥C ．2≥+aba bD 2aba b≥+ 【答案】ABD 【详解】 对于A 选项，CD AB ⊥，且AB 为半圆O 的直径，则，由，可得BDC BAD ∠=∠， 所以，，BC CD CDAC∴=，，122a b OD AB +==，由图可知，CDOD ≤2a b+≤，当点C 与点O 重合时，即当a b =时，等号成立，A 选项成立； 对于B 选项，连接OF ，由于F 为半圆弧的中点，则OF AB ⊥，当点C 与点O 不重合时，ab ，2a b OF +=，2a bOC -=，由勾股定理可得CF == 此时，CF OF >2a b+>. 当点C 与点O 重合，即当a b =时，CF OF =2a b+=.2a b+，当且仅当a b =时，等号成立，B 选项成立； 对于C 选项，CE OD ⊥，90OCD DEC ∴∠=∠=，又，则，所以，DE CD CDOD=，所以，222CDab abDE a b ODa b ===++， 由图可知，CD DE ≥2aba b+，C 选项不成立； 对于D2aba b≥+， 当且仅当点C 与点O 重合时，即当a b =时，等号成立，D 选项成立. 故选：ABD.6、（多选题）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点D 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且CD AB ⊥.设AC a =，CB b =，CE OD ⊥，垂足为E ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A2aba b≥+B．2a b +≤C．2a b+≥D．22a b +≥【答案】AC 【详解】解：根据图形，利用射影定理得：2CD DE OD =， 由于：OD CD ， 所以：．由于2·CD AC CB ab ==，所以22CD abDE a b OD ==+所以由于CD DE ，2aba b≥+． 故选：AC ．7、（多选题）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,C 为线段AB 上的点,且AC a =,BC b =,O 为AB 的中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ,连结,AD ,BD ,过点C 作的垂线,垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．2a b+≥0a >,0b >) B ．222a b ab +≥(0a >,0b >)C211a b+(0a >,0b >)D ．2222a b a b ++≥(0a ≥,0b >) 【答案】AC 【详解】由AC CB a b +=+，由射影定理可知：CD =又OD CD ≥2a b+∴0a >,0b >)，A 正确；由射影定理可知：2CD DE OD =⋅,即22112CD ab DE a b OD a b===++又CD DE ≥211a b≥+(0a >,0b >)，C 正确； 故选：AC8、设0a >，0b >，称为a ，b 的调和平均数.如图，点C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于点D .连接，AD ，BD .过点C 作的垂线，垂足为点E .则图中线段的长度是a ，b 的算术平均数，线段________的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数.【答案】CD ；DE【详解】解：在Rt ADB ∆中DC 为高，则由射影定理可得2CD AC CB =，CD =CD 长度为a ，b 的几何平均数，将,222a b a b a b OC a CD OD +-+=-===代入OD CE OC CD =可得CE =故2()2()a b OE a b -==+， 2ab ED OD OE a b∴=-=+， DE ∴的长度为a ，b 的调和平均数．故答案为：CD ；DE .9、设0a >，0b >a ，b 的平方平均数，为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作圆．过点O ，C 分别作AB 的垂线，交圆O 于E ，D 两点．连结OD ，CE ．过点C 作OD 的垂线，垂足为F ．已知图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段CD 的长度是a ，b则图中所示线段中，线段__________的长度是a ，b 的平方平均数，线段__________的长度是a ，b 的调和平均数．【答案】CE ；DF【解析】由题意得2a b OC -=，CD =2a b OD +=， ∵OCD CFD ∽，∴， 即22CD ab DF OD a b==+；又∵在OCE △中，CE === 故线段CE 的长度是a ，b 的平方平均数，线段DF 的长度是a ，b 的调和平均数．10、《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设00a b ＞，＞，称为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，CB=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段CD 的长度是a ，b ___________的长度是a ，b 的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为___________．【答案】DE ；【详解】依题意三角形ABD 是直角三角形，CD AB ⊥；在直角三角形OCD 中，CD OC ⊥.由射影定理得，由射影定理得2CD DE OD =⋅，即22a b ab ab DE DE a b+=⋅⇒=+， 所以线段DE 的长度是,a b 的调和平均数.在Rt OCD △中，DE CD OD <<，即，当a b =时，,,DE CD OD 重合，即，所以.故答案为：DE ；11、《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点D 、F 在圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，CD AB ⊥，CE OD ⊥于点E ，设AC a =，，该图形完成22ab a b a b +<<<+.图中线段________的长度表示a ，b 的调和平均数，线段_________的长度表示a ，b.【答案】DE ；CF【详解】 由图形可知，22a b a b OC AC OA a +-=-=-=， 在直角COF 中，由勾股定理得，在直角DCO中，由勾股定理得CD ===， 由CE OD ⊥，利用DCO 与DCO 相似可得： ，所以222DC ab ab DE a b DO a b ===++所以线段DE 的长度表示a ，b 的调和平均数；线段CF 的长度表示a ，b， 故答案为：DE ，CF。
第十八讲 与圆有关的计算(含解答)-
第十八讲 与圆有关的计算【趣题引路】拿破仑是法国一位卓越的军事家、政治家,又是一个数学爱好者.一次他在远征埃及的航海途中,问部下:“怎样光用圆规把圆分成四等份?•”大家面面相觑,还是拿破仑自己解了这个谜.聪明的读者你知道他是怎样解的吗? 解析 (1)先用圆规画一个已知圆,如图 (1).(2)在已知圆中,画4个相同的小圆,它们的直径等于已知圆的半径,如图 (2) (3)在4个小圆相交的图形中,4个偏月牙形就是面积完全相同的图形,如图 (3).【知识延伸】与圆有关的计算,着重讲正多边形和圆、圆的面积、周长、弧长,扇形的面积以及圆柱和圆锥侧面展开图的计算问题.对于以上问题,首先要理解概念,熟记公式,法则,其次要会灵活运用各方面的知识.如正n 边形的计算可以集中在正n 边形的半径、边心距把正n 边形分成2n•个全等的直角三角形中,通过解直角三角形或三角形相似来解决.例1 如图,正五边形ABCDE 的边长为10,它的对角线分别交于点A 1,B 1,•C 1,D 1,E 1. (1)求证:D 1把线段AE 1分成黄金分割;(2)求五边形A 1B 1C 1D 1E 1的边长. 证明 (1)作正五边形的外接圆O, ∵AB=BC=CD=DE=EA=72°,∴∠D 1AB=∠D 1BA=•∠E 1BD 1=36°. 又∠BE 1D 1=∠BD 1E 1=72°, ∴AD 1=D 1B=BE.∵△ABE 1∽△B D 1E 1,∴11111AE BE BE D E =, 即11111AE AD AD D E =. ∴A D 12=AE 1·D 1E 1,即D 1把线段A E 1分成黄金分割. (2)设D 1E 1=x,则A E 1=AB=10,AD 1=10-D 1E 1=10-x,∴(10-x)2=10x,即x 2-30x+100=0. 解得,得x 1=15-55,x 2=15+55>10(舍去)∴D 1E 1=15-55.点评对于正多边形的计算,要注意利用相似三角形的性质去解,在本题的计算中,•用到了正五边形的两条对角线的交点是对角线的黄金分割点.在计算与面积有关问题时,等积变形,•把不规则图形的面积变成规则图形的面积去求,是经常使用的方法.例2 如图,已知在矩形ABCD 中,AB=1,BC=2,以B 为圆心,BC•为半径画弧交AD 于点F,交BA 的延长线于点F.求阴影部分的面积.解析 连结BF,∵BF=BC=2,AB=1,∠BAF=90°, ∴∠ABF=60°.在Rt △ABF 中,AF=22BF AB -=3,∴S 阴影=S 扇形BEF -S △ABF=2602360π-12×1×3 =23π-32. 点评阴影部分是不规则图形,无法直接计算,设法利用规则图形面积来计算,连结BF,则阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形的面积.在处理展开图问题时,一定不要弄错对应关系,如圆锥侧面展开图是扇形,•这个扇形的半径等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长等.例2 如图,一个圆锥的高是10cm,侧面开展图是半圆,求圆锥的侧面积. 解析 设圆锥底面半径为r,扇形弧长为C,母线长为L. 由题意,得c=22lπ ,又∵c=2r π, ∴22lπ=2r π,得L=2r. ① 在Rt △SOA 中L 2=r 2+102. ② 由①,②解得r=1033cm, L=2033cm.∴所求圆锥的侧面积为S=πrL=π1033·2033=2003π(cm2).点评经过圆锥高(即轴)的截面所揭示的母线、高、底面半径.•锥角等元素之间的关系是解题的突破口,也是圆锥中几种量之间的基本关系.【好题妙解】佳题新题品味例1已知如图,AC切⊙O于点A,点B在⊙O上,AB=AC=AO,OC、BC分别交⊙O•于点E、F.求证:EF是⊙O的内接正二十四边形的一边.证明连结OB,OF,因AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°,∵AC=AO,∴∠AOC=45°.∵AB=AO=BD,∴△ABO是等边三角形.∴∠BAO=60°,∴∠BAC=60°+90°=150°,∵AB=AC,∴∠ABC=15°.∴∠AOF=2∠ABC=30°.∴∠EOF=∠AOC-∠AOF=45°-30°=15°.∵正二十四边形的中心角为360°÷24=15°,∴EF是正二十四边形的一边.点评证明一条弦是正多边形的一边.•需证这条弦所对的圆心角等于这个多边形的中心角.如证一条弦是正三角形的一边,需证这条边所对的圆心角为120°.证一条弦是正六边形的一边,需证这条弦所对的圆心角为60°.例2如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,过P的直线交⊙O1于点A,交⊙O2于点B,•AC切⊙O2于点C,交⊙O1于点D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-16m+x=0的两根.求(1)PC的长;(2)若BP BC=,且S△PBC:S△APC=1:k,求代数式m(k2-k)的值.解析 (1)过P作两圆公切线PT,∵∠A=TPD,∠TPC=∠DCP,∠DCP=∠1+∠A,∠TPC=∠2+∠TPD.∴∠1=∠2.已知∠PBC=∠PCD,∴△PBC∽△PCD.∴P C2=PB·PD.而PB,PD是方程x2-16m+x+4=0的根. ∴PC2=4,∴PC=2.O2T21DCBAP O1(2)由BP=BC及∠1=∠2,知BC∥PD,PB=BC.∴AB BCAP PD=,∵1PBCAPCSPBPA S k∆∆==,∴1BC AB kPD AP k-==.∴PB2=4(1)kk-·PD2=41kk-.又由根与系数关系知PB+PD=16m+,∴m+16=PB2+PD2+2PB·PD=4(1)kk-+41kk-+8.∴m=24k k-,∴m(k2-k)=4.点评(1)小题仅涉及PB、PD的长是方程x2-16m+x+4=0的根,故易知PB·PD,从而须找PC•与PB·PD的关系;(2)由题意可知PB·PD均可用字母K表示,由根与系数的关系可知K 与m的关系,由此求出m,代入m(k2-k)中即可.例3如图有一直径是1m的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC.求(1)被剪掉阴影部分的面积.(2)用所得的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面半径是多少?(结果可用根号表示).解析 (1)连结BC,∵∠BAC=90°,∴BC为⊙O的直径.又∵AB=AC,∴AB=AC=BC.sin45°=1×22=22.∴S阴=S⊙O-S扇形BAC=π(12)2-2290()2180π⨯=18π(m)2.(2)设圆锥的底面圆的半径为r,∴2902180π⨯=2πr ∴r=28.点评用和差法求图形中阴影部分的面积是最基本的方法,也是应用最广泛的方法.中考真题欣赏例1 (2003年吉林省中考题)圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD,如图那样叠放在一起,连结AC、BD.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)若OA=3cm,OC=1cm,求阴影部分的面积.证明 (1)∵∠COD=∠AOB=90°.∴∠AOC=∠BOD.∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD.(2)S阴影=S扇形AOB-S扇形COD=14π×32-14π×12=2π.点评(1)只需证∠DOB=∠COA即可;(2)将阴影部分转化为两个扇形面积的差,•再进行计算.例2 (2003年桂林市中考题)如图,AB是⊙O的直径,过圆上一点D作⊙O的切线DE,与过点A的直线垂直于E,弦BD的延长线与直线AE交于点C.(1)求证:点D为BC的中点;(2)设直线EA与⊙O的另一交点为F.求证:C A2-AF2=4CE·EA;(3)若AD=12DB,⊙O的半径为r,求由线段DE,AE和AD所围成的阴影部分的面积.证明 (1)连结OD,∵ED为⊙O的切线, ∴OD⊥DE,∵DE⊥AC,∴OD∥AC.∵O为AB中点,∴D为BC中点.(2)连结BF,∵AB为⊙O的直径,∴∠CFB=∠CED=90°.∴ED∥BF,∵D为BC中点,∴E为CF中点.∴CA2-AF2=(CA-AF)(CA+AF)=(CE+AE-EF+AE)·CF=2AE·2CE.∴CA2-AF2=4CE·AE.(3)解析:∵AD=12DB,∴∠AOD=60°.连结DA,可知△OAD为等边三角形.∴OD=AD=r. 在Rt△DEA中,∠EDA=30°,∴EA=12r,ED=32r,EDCA BF∴S 阴影=S 梯形DOAE -S 扇形OAD =13()222r r +-16πr 2=338r 216πr 2. 点评(1)由O 为圆心,设法证CF ∥OD,可得结论;(2)由D 为BC 的中点,证E 为CF 的中点,证得ED ∥BF,然后进行线段的恒等变形,•可得结论.(3)由图形的差可得阴影部分.竞赛样题展示例1 (2002年全国数学竞赛试题)如图,7•根圆形筷子的横截面圆的半径为r,求捆扎这7根筷子一周的绳子长度.解析:设⊙O 1,⊙O 2和绳子切A,B,C 点,知∠A O 1B =60°,∴AB 的长为601803r ππ=r, ∴AB 和线段BC 和的长为3πr,故整个绳长为6(AB+BC)=6(13r π+2r)=2(π+6)r.点评绳长由两部分组成,一部分是直线长,另一部分是弧线长,只要计算出AB•的长和O 1O 2的长,其余类推即可. 例2 (汉城国际数学竞赛试题)把3根长为1cm 的火柴杆和三根长为3cm 的火柴杆,摆放在如左图的圆周上构成六边形,此六边形的面积是由三根1cm 的火柴杆所构成的等边三角形面积的多少倍?解析 如图 (1),因为六边形ABCDEF 内接于⊙O,连结OA,OB,OC,OD,OE,OF, 显然△AOB ≌△AOF ≌△EOF;△BOC ≌△COD ≌△DOE.把底边长为1和3的等腰三角形作间隔排列拼成如图 (2),• 并向两端延长边长为3的边,得边长为5的等边三角形.边长为5的等边三角形可分割为25个边长为1的等边三角形,•于是此六边形可分割为22个边长为1的等边三角形.故此六边形的面积是边长为1的等边三角形面积的22倍.点评几何计算常建立在几何证明的基础之上,通过证明,•解决有关图形的位置关系和数量关系,从而使问题获得解决.全能训练A卷1.两圆相交,公共弦长为且在一圆中为内接正三角形的一边,在另一圆中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比.2.已知三个正多边形的边数分别是a,b,c,从中各取一个内角相加,其和为360°.求111a b c++的值.3.已知半径为1的圆内接正五边形ABCDE中,P是AE的中点.求AP·BP的值.4.已知一个正三角形,一个正方形,一个圆的周长相等,•正三角形和正方形的外接圆半径为r1,r2,圆的半径为R,则r1,r2,R的大小关系是( ).A.r1>r2>RB.r2>R>r1C.R>r1>r2D.r2>r1>R5.如图,已知一个边长为2cm的正六边形,若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形,则这个圆形纸片的最小半径是_________.6.如图,大小两个同心圆的圆心为O,现任作小圆的三条切线分别交于A、B、C点,记△ABC的面积为S,以A、B、C为顶点的三个阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,•试判断S1+S2+S3-S是否为定值,若是,求出这个值;若不是,说明理由.A卷答案:1.设正三角形外接圆O1的半径为R3,正三角形边长是AB,正六边形外接圆O2的半径为R6,∴R3=33AB,R6=AB.∴R3:R6=3:3 ,∴S⊙O1:S⊙O2=R32:R62=1:3.2.由180(2)aa︒-+180(2)bb︒-+180(2)cc︒-=360°,得111a b c++=12.3.连结OA交BP于F,证AP=PF,再证△OPF∽△BPO.∴PF·BP=O P2,∴AP·BP=PF·BP=OP2=14.A5.2cm6.如图,设大小圆半径分别为R和r(R和r为定值).小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值,设这个定值为p,则有S1+S2+S3′=P;S2+S3+S1′=•P;•S3+S1+S2′=P. ∴(S1+S2+S3)·2+(S1′+S2′+S3′)=3P.又∵S1+S2+S3+S1′+S2′+S3′+S=πR2.∴S1′+S2′+S3′= -(S1+S2+S3)-S代入①式得:S1+S2+S3-S=3P- πR2 (定值)故S1+S2+S3-S为定值,这个定值为3P-πR2.B卷1.如图1,两个半圆,大圆的弦CD平行于直径AB,且与小圆相切,已知CD=24,•则在大半圆中挖去小半圆后剩下部分的面积为________.(1) (2)2.如图2,圆心在原点,半径为2的圆内一点P(22,22) ,过P作弦AB与劣弧AB组成一个弓形,则该弓形面积的最小值为___________.3.小伟在半径为1cm,圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块尽可能大的正方形铁皮,小伟在扇形铁皮上设计如图所示的甲,乙两种剪取方案,请你帮小伟计算一下,按甲、乙两种方案剪取所得的正方形面积,并估算哪个正方形的面积较大(•估算时3=1.73,结果保留两位有效数字).4.如图,在圆周内部有一凸四边形,其边的延长线分别交圆周于A 1,•A 2,B 1,B 2,C 1,C 2,D 1,D 2. 求证:若A 1B 2=B 1C 2=C 1D 2=D 1A 2,则由直线A 1A 2,B 1B 2,C 1C 2,D 1D 2所围成的四边形是圆内接四边形.5.如图,给定正七边形A 1A 2…A 7.证明:121314111A A A A A A =+.- 11 - B 卷答案:1.可将小半圆的圆心移至大半圆圆心重合.此时小半圆与CD 切于M 点,•同心圆圆心设为O, 则S 阴=12πOD 2-12πOM 2=12π(O D 2-OM 2)= 12πMD 2=12π×122=72π。
第十八讲 圆的组合图形的相关练习
第十三 讲 圆的组合图形训练知识要点1、 三角形的面积 =2⨯底高． 2、 等腰直角三角形的面积 =24=直角边的平方斜边的平方． 3、 长方形的面积 =⨯长宽． 4、 正方形的面积 = 边长的平方 = 2对角线的平方．5、 菱形的面积 =2对角线之积．6、 梯形的面积 =()2⨯上底+下底高．7、 圆的面积 =π⨯半径的平方． 8、 扇形的面积 =360π⨯⨯︒圆心角半径的平方． 例题讲解例1 如图，以半圆的半径8厘米为直径在半圆内作一个圆，求图中阴影部分的面积．（π取3.14）例2如图，正方形的边长是6厘米，则阴影部分的周长是______厘米，面积是______平方厘米．（π取3.14）例3如图，正方形的边长为6分米，求阴影部分的面积．（π取3.14）例4如图，求阴影部分的面积．（π取3.14）2例5如图，长方形的宽是8厘米，求阴影部分的面积．（π取3.14）例6图中，三个同心圆的半径分别为2、6、10，则图中阴影部分占大圆面积的______%．AB例7如图，圆O 的直径为8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）例8如图，正方形的边长为2厘米，以圆弧为分界线的A 、B 两部分的面积的差是______平方厘米．（π取3.14）例9如图，其中四个圆的直径均为4厘米，那么阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）A例10如图，扇形AFB 恰为一个圆的14，BCDE 是正方形，边长为3，AFBG 也是正方形，边长为4，求图中阴影部分的面积．（π取3.14）例11如图，ABC ∆是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知：AB = BC = 10，求阴影部分的面积．（π取3.14）例12如图，ABC ∆是等腰直角三角形，腰AB 长为4厘米，求阴影部分的面积．（π取3.14）ABABC DO 例13如图，一个大正方形各边都被四等分，分成十六个小正方形，图A 是一个圆，图B 是由三个半圆围成的图形，那么图A 与图B 的周长的大小关系是______，图A 与图B 的面积的大小关系是______．例14如图，有半径为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，A 部分（即两小圆的重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？例15如图，梯形ABCD 的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（ 取3.14）例16如图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）例17如图，直角梯形的面积是54平方厘米，求阴影部分的面积．（π取3.14）例18如图，直径AB 为3厘米的半圆以点A 为圆心逆时针旋转60°，使AB 到达AC 的位置，求图中阴影部分的面积．（π取3.14）B10O例19如图，90AOB ∠=︒，C 为AB 的中点，已知阴影甲的面积为16厘米，求阴影乙的面积．（π取3.14）例19如图，ABC ∆是直角三角形，AB = 20米，阴影（1）的面积比阴影（2）的面积小23平方米，求BC 的长度是多少米？（π取3.14）课后作业1如图，正方形的边长为4厘米，阴影部分的面积是______平方厘米．2如图，阴影部分的面积是100平方厘米，求圆环的面积．3边长为1的正方形中，分别以边长为直径作3个半圆．求围成的阴影部分的面积．4如图，长方形的长为5厘米，宽为4厘米，则阴影部分的周长为______厘米，面积是______平方厘米．5已知等腰直角三角形ABC，D为斜边中点，AC = BC = 2分米，弧DF、弧DH分别是以B、C为圆心画的弧，求阴影部分的面积．6如图，圆的半径都是3厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．7如图，小正方形的边长4厘米，大正方形边长6厘米，DBE的面积为3.2平方厘米，求阴影部分的面积．E。
新北师大版九年级下册初中数学 1 圆 教学课件
∴ ∴点ORR=在⊙RDO2内.OD=2 3cm2<5 cm=r.
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新课讲解
练一练
小明和小华正在练习投铅球，铅球场地分为五个区域：4m以内，
4〜5m，5〜6m，6〜7m，7m以 外. 小明投了 5.2 m，小华投了 6.7 m，他们投的 球分别落在哪个区
域内？
解：小明投的球落在5～6 m的区域内
第十五页，共二十八页。
新课讲解
弦与弧之间的关系：
• 弦是圆上两点间的线 段，有无数条；弧是
圆上两点间的部分， 弧是曲线，弧也有无 数条． • 每条弧对一条弦；而每条
弦所对的弧有两条：优弧、 劣弧或两个半圆.
弦与直径间的关系：
直径是过圆心的弦，因此 直径是弦，但弦不一定是 直径；在提到“弦”时， 如果没有特别说明，不要 忘记直径这种特殊的弦．
大小关系刻画它们的位置特征吗？
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新课讲解
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
符号“ ”读作“等价于”，
它表示从符号“ ”的左
端可以推出右端，从右
端也可以推出左端.
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新课讲解
点与圆的位置关系有三种： 点在圆外、点在圆上、点在圆内.
第二十一页，共二十八页。
新课讲解
典例分析
例 已知⊙ O 的半径r=5 cm，圆心O 到直线l 的距离d=OD= 3 cm， 在直线l 上有P，Q，R 三点， 且有PD=4 cm，QD=5 cm，RD=3 cm，那么P，Q，R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？
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的弦也相等。
3、在同圆或等圆中，相等的
弦所对的圆周角相等或互补！
第十八 圆的有关概念
C
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 题设
（1）直径
·
A E D B
O
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AE=BE,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
C
推论：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧．
推论： 由 ① CD是直径 ③ AM=BM
O · M
A B
D
可推得
②CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
C D O
B
A
A
. O
B A C
O E
.
DHale Waihona Puke B方法归纳:解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。
定
理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推 论
C2 C1 C3
半圆（或直径）所对的圆周 角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径． 在同圆或等圆中，相等的圆 周角所对的弧相等
A
O
·
B
弧、弦与圆心角的 关系定理：
1、在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等． 2、在同圆或等圆中，相等的 弧所对的圆心角相等， 所对
的弦也相等。
3、在同圆或等圆中，相等的 弦所对的圆心角相等，所对 的弧也相等．
心圆 角周 的角 一定 半理 ： 一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 它 所 对 的 圆
弧、弦与圆周角的 关系定理：
1、在同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧相等，所对 的弦也相等．
2、在同圆或等圆中，相等的 弧所对的圆周角相等， 所对