区间等式的可能度及其应用
概率论区间估计(课堂PPT)
区间：=0.05；=0.01。
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
E ¶ X x 1 1 4 .6 1 5 .1 1 4 .9 1 4 .8 1 5 .2 1 5 .1 1 4 .9 5
由抽取的9个样本，可得 S 0 .1 8x 2 1 .4n 9
由 10.95得 0.05 查表得 t0.025(8)2.306
t2(8)Sn2.3060.1 980.13836
全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）
11
P127例5与P126例3的比较：
解 由题设可知：平均消费额X~N（，2）
1（ X1，X2，…，Xn ）， 2（ X1，X2，…，Xn ）， 使得P{1 << 2}=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。
1——置信下限 2——置信上限
4
几点说明
1、参数的置信水平为1-的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数的真值。
1
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
x 1 1 4 5 5 1 5 0 2 1 3 7 0 1 6 1 0 1 4 3 0 1 4 7 3 .4
等距离区间法
等距离区间法一、引言等距离区间法是一种常用的统计方法，用于将连续数据进行离散化处理。
在数据分析和统计学中，我们经常需要将连续变量划分为不同的区间，以便进行更深入的分析。
等距离区间法是其中一种常见的离散化方法，通过将数据划分为等距的区间来实现数据离散化的目的。
本文将详细介绍等距离区间法的原理，以及在实际应用中的注意事项和常见问题。
二、等距离区间法的原理等距离区间法是一种将连续数据离散化的方法，其原理是将数据按照等距离划分为不同的区间。
具体而言，等距离区间法的步骤如下：1.确定区间数目：首先需要决定将数据划分为多少个区间。
通常情况下，这取决于数据的分布和分析的需要。
一般而言，区间数目越多，离散化的粒度越细，反之亦然。
2.计算区间宽度：根据数据的范围和区间数目，可以计算出每个区间的宽度。
区间宽度等于数据的范围除以区间数目。
3.划分区间：根据计算出的区间宽度，将数据划分为不同的区间。
通常情况下，第一个区间的下限等于数据的最小值，最后一个区间的上限等于数据的最大值。
其他区间的上限和下限可以通过累加区间宽度得到。
4.标记区间：对每个区间进行标记，以便将原始数据映射到相应的区间。
常见的标记方式是使用区间的上限或下限作为表示该区间的值。
5.数据映射：将原始的连续数据映射到离散化后的区间。
根据标记的方式，将数据进行映射即可得到离散化后的数据。
三、等距离区间法的应用注意事项在使用等距离区间法进行数据离散化时，需要注意以下几个方面：1. 区间数目的选择选择合适的区间数目非常重要。
如果区间数目过少，可能导致离散化后的数据信息丢失过多，对所要研究的问题产生影响；如果区间数目过多，可能会使离散化后的数据过于细致，增加了分析的复杂度。
因此，在选择区间数目时需要综合考虑数据的分布和分析的需要。
2. 区间宽度的计算计算区间宽度时需要考虑数据的范围和区间数目。
通常情况下，区间宽度可以通过数据的范围除以区间数目得到。
然而，对于某些数据具有异常值或极端值的情况，可能需要采用其他的计算方式。
z区间公式
z区间公式
z区间公式
z区间公式是一种常用的概率统计方法，它可以用于估计某个指标的实际值与其参考值之间的相关性。
z区间公式是由国际数学家G.H. 奥托发明的，它的实现原理是利用标准分布的思想，对某个指标的值进行变换，然后确定指标值在标准分布和总体中的位置。
通过使用z区间公式，可以确定某个指标值在某一区间内的置信度、接近度和非常性水平，从而更加准确地分析指标的实际范围。
z区间公式在日常生活中有着广泛的应用，比如我们可以利用它来分析投资表现、科学实验结果、测量结果等，从而评估比较某一特定结果与其他参考值之间的关系。
此外，可以利用z区间公式来确定某个指标是有效的还是无效的，以预测其总体性质、模式和特性，甚至可以利用z区间公式来识别异常行为。
总的来说，z区间公式的出现进一步普及了概率统计方法，它不仅可以用来进行统计推断，还可以用来快速和准确地分析某个指标是否有效，从而更加准确地了解不同指标之间的差异，从而帮助我们做出正确的抉择。
数理统计11：区间估计，t分布，F分布
数理统计11：区间估计，t分布，F分布在之前的⼗篇⽂章中，我们⽤了九篇⽂章的篇幅讨论了点估计的相关知识，现在来稍作回顾。
⾸先，我们讨论了正态分布两个参数——均值、⽅差的点估计，给出了它们的分布信息，并指出它们是相互独⽴的；然后，我们讨论到其他的分布族，介绍了点估计的评判标准——⽆偏性、相合性、有效性；之后，我们基于⽆偏性和相合性的讨论给出了常⽤分布的参数点估计，并介绍了两种常⽤于寻找点估计量的⽅法——矩法与极⼤似然法；最后，我们对点估计的有效性进⾏了讨论，给出了⼀些验证、寻找UMVUE的⽅法，并介绍了CR不等式，给出了⽆偏估计效率的定义。
以上就是我们在前九篇⽂章中提到的主要内容，还顺便介绍了⼀些常⽤的分布：Γ分布、β分布、χ2分布。
今天开始，我们将进⼊区间估计与假设检验部分。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：什么是区间估计区间估计同样是参数估计的⼀种⽅法，不同于点估计⽤样本计算出的⼀个统计量直接作为原始参数的估计，区间估计会根据抽取出的样本，计算出⼀个基于样本观测值的区间。
简单说来，如果对总体f(x;θ)中的参数θ作估计，则⾸先从总体中获得样本\boldsymbol{X}=(X_1,\cdots,X_n)，并确定两个具有确定⼤⼩关系的统计量\hat g_1(\boldsymbol{X})\le \hat g_2(\boldsymbol{X})，根据样本观测值计算出的区间[\hat g_1(\boldsymbol{X}),\hat g_2(\boldsymbol{X})]就是待估参数\theta的区间估计。
由此，我们可以看出，区间估计依然是依赖于统计量的，并且往往需要不⽌⼀个统计量。
区间估计相⽐于点估计的特点是，区间估计给出了⼀个相对“粗糙”的范围，这就导致你需要使⽤这个参数时，不像点估计⼀样能直接把估计值拿来⽤；但是，区间估计具有涵盖参数真值的可能，因为当参数空间\Theta的取值连续时，点估计\hat\theta与真值相等的可能性\mathbb{P}(\hat\theta=\theta)=0，但是区间估计包含真值的可能性\mathbb{P}(\theta\in[\hatg_1(\boldsymbol{X}),\hat g_2(\boldsymbol{X})])>0，这使得区间估计⽐起点估计⽽⾔，增加了⼀定的可靠性。
阐述区间估计置信度和精确度之间的关系
阐述区间估计置信度和精确度之间的关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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区间估计与假设检验
"### 参数的区间估计与假设检验之间的区别
参数的区间估计和假设检验从不同的角度回答同一问 题， 它们的统计处理是相通的。 但是它们之间又有区别， 体现 以下三点： 第一， 参数估计解决的是多少 （或 范 围 ） 问题， 假设检验 则判断结论是否成立。前者解决的是定量问题， 后者解决的 是定性问题。 第二， 两者的要求各不相同。区间估计确定在一定概率 保证程度下给出未知参数的范围。 而假设检验确定在一定的 置信水平下， 未知参数能否接受已给定的值。 第三， 两者对问题的了解程度各不相同。进行区间估计 之前不了解未知参数的有关信息。 而假设检验对未知参数的 信息有所了解， 但作出某种判断无确切把握。 因而在实际应用中，究竟选择哪种方法进行统计推断， 需要根据实际问题的情况确定相应的处理方法。 否则将会产
" 拒 绝 域 为 +)J.)0!+#)(-- ， 查表 %’#$#"4" 统计量 0’ ,)"" ’ & ， %
得 0"$":’!$"(: ， 计 算 得 0’)($A::A. 由 此 可 见 统 计 量 的 值 未 落 入 拒绝域中， 因而接受原假设， 认为符合设计要求。
(9!
统计与决策 !""# 年 # 月 （下）
上述关系虽就一特例而言， 但也有普遍意义。由区间估 计可以很容易构造检验函数。 下面来说明怎样由检验函数构 造区间估计。 设 # 是问题
生不同的结论， 做出错误的统计推断。 例 ! 测试某个品牌的汽车的百公里耗油量，假设在正 常的情况下汽车百公里耗油量服从正态分布， 路况以及驾驶 员的技术符合正常要求。现对该批汽车进行测试， 随机选取
+&".!-。
不确定度k=2置信区间
不确定度k=2置信区间
当谈到不确定度和置信区间时，我们通常是在讨论统计学和测
量学中的概念。
不确定度是指测量结果的不确定程度，而置信区间
则是用来表示参数估计的范围。
首先，让我们讨论不确定度。
在统计学和测量学中，不确定度
是指测量结果与真实值之间的差异程度。
它通常用标准偏差或标准
误差来表示。
在你的问题中，你提到了不确定度k=2。
这可能意味
着标准偏差或标准误差的值为2。
这意味着在测量结果周围存在着
相当大的不确定性，结果可能会在真实值附近有较大的波动。
接下来，让我们谈谈置信区间。
置信区间是用来表示参数估计
的范围，通常用来表示我们对参数估计的信心程度。
一般来说，我
们会使用置信水平来表示置信区间的宽度，比如95%置信水平。
如
果我们说一个参数的置信区间为(10, 20)，那么这意味着我们有95%的信心相信真实参数值落在10和20之间。
当不确定度为k=2时，我们可以使用这个值来计算置信区间。
一般来说，置信区间的计算涉及到样本大小、标准差等因素，具体
的计算方法取决于所使用的统计方法和假设。
但是，通常情况下，
当不确定度增加时，置信区间会相应地变得更宽，因为我们对参数的估计变得更加不确定。
总之，不确定度和置信区间是统计学中重要的概念，它们帮助我们理解测量结果的可靠性和参数估计的范围。
当不确定度为k=2时，我们需要考虑这个值对置信区间的影响，并意识到测量结果的不确定性可能会导致参数估计的范围变得更加宽泛。
注册会计师的点估计或区间估计
注册会计师的点估计或区间估计
注册会计师是财务领域中的专业人士，他们的职责是负责审计和核实
公司的财务报表，确保其准确性和合法性。
在进行审计过程中，点估
计和区间估计是注册会计师经常使用的两种方法。
点估计是指通过样本数据来估计总体参数的值。
例如，一个注册会计
师可能需要估计一家公司的总收入。
他可以通过抽取一部分数据来计
算平均值，并将其作为总体参数的点估计。
点估计的优点是简单易懂，但缺点是可能存在偏差，因为它只考虑了样本数据，而没有考虑总体
的其他因素。
区间估计是指通过样本数据来估计总体参数的值，并给出一个置信区间。
例如，一个注册会计师可能需要估计一家公司的总收入，并给出
一个置信区间，以表明他对总体参数的估计有多大的置信度。
区间估
计的优点是可以考虑总体的其他因素，从而减少偏差的影响。
但缺点
是计算复杂，需要更多的样本数据。
在实际应用中，注册会计师通常会根据具体情况选择使用点估计或区
间估计。
如果样本数据较少，或者总体参数的分布比较明显，点估计
可能更为合适。
如果样本数据较多，或者总体参数的分布比较复杂，
区间估计可能更为合适。
总之，点估计和区间估计是注册会计师进行审计和核实财务报表时经常使用的两种方法。
它们各有优缺点，需要根据具体情况选择使用。
在实际应用中，注册会计师需要根据样本数据的数量和总体参数的分布来选择合适的方法，以确保审计结果的准确性和可靠性。
凸区间求解技巧
凸区间求解技巧凸区间求解是一种在数值计算、优化问题等领域常用的求解技巧，它利用函数的凸性质来寻找函数的最值、零点或者其他特殊点。
在本文中，我们将介绍凸区间求解的基本原理、算法和应用。
一、凸区间的定义和性质凸区间是指函数在某个区间上的函数值构成的区间。
对于一个凸函数来说，它的函数值在某个区间上是凸的，即函数值构成的区间是一个凸区间。
凸区间具备以下性质：1. 凸性质：对于一个凸函数，任取两个点，连接它们的线段上的任意一个点的函数值都不会超过这两个点对应的函数值。
这意味着凸区间上任意两个点的函数值之间不存在其他点。
2. 最值性质：对于一个凸函数，凸区间的最小值和最大值一定在该区间的端点上取到。
3. 零点性质：对于一个凸函数，凸区间上的零点只可能在该区间的内部或者两个端点上取到。
二、凸区间求解的基本思想和步骤凸区间求解的基本思想是二分法，即将给定的凸区间不断二分，然后根据对应的性质判断解在哪一半区间中，并重复这个过程，直到得到满足精度要求的解。
凸区间求解的基本步骤如下：1. 初始化：给定一个包含解的初始凸区间。
2. 判断凸区间的最值性质：计算凸区间的端点对应的函数值，判断最小值和最大值对应的端点，并更新凸区间。
3. 判断凸区间的零点性质：根据端点和函数值的关系，判断是否存在零点，并更新凸区间。
4. 重复步骤2和步骤3，直到凸区间满足精度要求。
三、凸区间求解的应用凸区间求解在数值计算和优化问题中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 最值求解：通过凸区间求解，可以寻找一个函数在给定区间上的最大值或最小值。
这在求解优化问题、求解函数的最大似然估计等问题中起到至关重要的作用。
2. 根据函数值判断特殊点：通过凸区间求解，可以判断一个函数是否有零点，并确定零点的位置。
这在解方程、求解非线性方程组等问题中有重要的应用。
3. 区间比较：凸区间求解可以用来比较两个函数在给定区间上的大小关系，从而判断不等式的成立性。
预测区间说容忍区间
预测区间说容忍区间预测区间与容忍区间的概念在统计学中被广泛应用于估计未来事件的可能范围。
预测区间是对未来事件的预测结果给出的一个范围，而容忍区间是对这个结果的接受程度或容忍程度的一个度量。
在实际应用中，预测区间和容忍区间的确定对于决策和风险管理至关重要。
预测区间是根据已有的数据和统计模型，通过一定的计算方法得出的。
它可以告诉我们未来事件可能出现的范围，而不是一个确定的数值。
例如，在经济领域，经济学家通过对市场数据和经济指标的分析，预测未来GDP增长率的范围。
他们可能会给出一个预测区间，比如未来一年GDP增长率在2%到4%之间。
这意味着根据他们的模型和数据，他们相信未来一年的GDP增长率有很大概率落在这个范围内。
然而，仅仅给出一个预测区间是不够的，我们还需要考虑预测结果的容忍程度。
容忍区间是一个度量，它告诉我们对预测结果的接受程度。
容忍区间的大小取决于个体或组织对风险的承受能力和决策的目标。
例如，在金融市场中，投资者可能对股票价格的波动有不同的容忍程度。
对于保守型投资者来说，他们可能会接受一个较小的容忍区间，即股票价格在未来一年内上涨或下跌不超过10%。
而对于激进型投资者来说，他们可能会接受一个较大的容忍区间，即股票价格在未来一年内上涨或下跌不超过30%。
预测区间和容忍区间的确定需要考虑多个因素。
首先，数据的质量和可靠性是关键。
如果数据不准确或不完整，那么预测结果和容忍区间可能会存在较大的偏差。
其次，选择适当的统计模型和方法也十分重要。
不同的模型和方法可能会得出不同的预测结果和容忍区间。
因此，在确定预测区间和容忍区间时，需要综合考虑多个模型和方法的结果，以增加预测的准确度和可靠性。
此外，预测区间和容忍区间还需要与实际情况相结合，考虑外部因素和不确定性的影响。
在实际应用中，预测区间和容忍区间对于决策和风险管理具有重要意义。
预测区间可以帮助我们了解未来事件的不确定性，从而更好地制定决策和计划。
容忍区间可以帮助我们评估风险和回报的平衡，从而更好地管理风险。
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第36卷第6期 杭州电子科技大学学报（自然科学版） VcL36N。. 62016 年 11 月 Journal of Hangzhou Dian2i University (Natural Sciences) Nov. 2016
DOI：10.13954/j. cnki. hdu. 2016. 06. 019
区间等式的可能度及其应用汤立龙，李炜(杭州电子科技大学理学院，浙江杭州310018)
摘要：提出了区间等式的可能度定义，建立了该可能度的相关性质.讨论了新的可能度在求解含有 等式约束的区间线性规划问题中的应用，避免了现有方法中需将等式约束化为两个不等式约束在 计算上所带来的不便.最后给出了具体的算例.关键词：区间数；可能度；区间线性规划中图分类号：〇221 文献标识码：A 文章编号：1001-9146(2016)06-0089-03
〇引言在区间数学的体系中，如何比较区间数的大小是一个关键问题.一个较为通用的方法是引人所谓的可 能度来评判区间数的大小关系[12].但现在已有的文献都只考虑了区间不等式的可能度[36]，而没有研究区 间等式的可能度.本文将提出一种区间等式的可能度，给出其性质，并研究其在区间优化问题中的应用.
1区间数相等的可能度定义记a = [2，瓦]=I ^ z 若^ 5 = a，则a退化为一个实数，此时称a = [a，a]为一个退化的区间数.若^ 5成立，称这
两个区间数a，Z?相等，记作a = &.对一个区间数a = [^，反]，记Za =瓦一竺和定义1 设区间数a，&满足心=^，且a，&至少有一个为非退化区间数，则称p(a = b) = 1 - *l； ~ \b (1)
L a 十 Lb
为a = Z?的可能度.
— b若区间数a，fc满足均为退化区间数，则定义= fc)= ;成立.[09a ^ b
2 可能度的相关性质设区间数a，fc满足= 6,，且至少有一个为非退化区间数，则a = fc的可能度有如下性质： 性质 1 0 < = Z?) < 1证明 显然
-1 < 1^〇< 1； ~ l,b < 1^0< 1- 1; ~ l.b < 1，即有〇 <，(a = W < 1成立.证毕.
性质 2 >(a = Z?) = = a)证明 容易看出
收稿日期=2016-05-17基金项目：国家自然科学基金重点资助项目（U1509217);浙江省自然科学基金资助项目（LY14A010028)作者简介：汤立龙（1991一），男，辽宁沈阳人，硕士研究生，数学规划.通信作者：李炜教授，E-mail: weilihz@l26. com.90杭州电子科技大学学报（自然科学版)
2016 年
p('b = a) = 1—十二 ’ =1 — l； ^ \b = P(a = b),
<^a \ !^b ^a\^b
证毕.性质3 ，(a = Z?) = 1的充分必要条件为a = &.证明 当a = Z?时，有Za = ，心=&.由式（1)可知，(a = Z?) = 1;反之，当，(a = Z?) = 1时，由 式（1)得Za = Z6.又因条件为化=&，得到5 = 5，^ =全.则有a = Z?成立.证毕.性质4 设区间数a，&不全为退化区间，则= W = 0的充分必要条件为心&有一个为退化区间.证明 当a，Z?有一个为退化区间时，由定义1可知夕(a = Z?) = 〇 ;反之，当夕(a = Z?) = 0时，由式
(1)可知= 1.当4 <4时，则有4一4 = 4+L，即：4 = 〇,此时区间a为退化区间；当Z6<4时，则有4 = 〇,此时区间&为退化区间.证毕.性质 5 若 >(a = Z?) = 1，>(& = c) = 1，则 >(a = c) = 1 成立.
证明 由，(a = &) = 1，>(& = <〇 = 1 知 I 卜 ^ I = 0 ; I ^ I = 0 成立.显然 4 = 4= 4. 又因为心=&，& = q，则有^ =全，瓦=5成立，即a = &.同理Z? = c成立.显然此时有a = c成立，且 4 =4.贝 1J有夕（《 = <0 = 1 — I^ f I = 1 成立.证毕.然而，一般的传递性不成立.性质 6 设 a e (0，1)，若 W = a，>(& = C) = a，则 >(a = C) #证明 a e (0，1)，这意味着a、&和c都是非退化的，下面分4种情况讨论.1) 当 4 < 4 < 4 时，由夕(a = h) = a，>(& = C) = a 可知八一4 = (1 — a) (Z6 + 4)，4 — 4(1 一 a) (Zc + Z&)成立，故推出 4 一 4 = (1 一 a) (4 + 4 + 2Z6).
由定义 1 知，= C) = a @1 — ^ — Za = (1 — a)(Ze +Za).由于 >(a = Z?) = a 成立，^ c ~t~ 厶 a
且a # 注意到&非退化，即4 # 〇，故有>(a = # a.2) 当4 >4 >ZJ寸，类似可证.3) 当 Za < 乂 < 时，由夕(a = Z?) = a，>(& = c) = a 可知 4 — 4 = (1 — a)(Z6 +4)，4 — 4 = (a)认 + Z&)成立.故推出 4 — 4 = (1 — a) (4 — 4).则有(2 — a)仏一Za) = 0.因为 a e (〇，1)，即 2 — a # 〇. 则有4 = 4.又因为A = ^，则a = c，即>(a = c) = 1 # «成立.4) 当Za > A > 时，类似可证.综上，当 a e (〇，1)时，若 = h) = a，>(& = C) = a，则 >(a = C) # a.证毕.
3 带等式约束的区间线性规划的可能度解法现存的文献中只对区间不等式定义了可能度，而处理等式的方法则是转化其为一个规模更大的不 等式系统.由于区间数学中所谓相依性的困难，这种转化往往是不可能的[7 8].即使能够转化，问题的规 模也显著扩大.而借助于区间数等式可能度的定义，可以直接求解带等式约束的区间规划，避免了转化 等式约束为不等式约束的麻烦.引理 对两个区间数a，fc.给定可能度水平2(0<2<1)，且^ =&.则fU = fc)>A可转化为下述确定性约束
—asg； ^ 入）（& — &)• (2)、乙 一
A) A
证明 因为 f(a = I 卜 <1—A@A —A，又注意到 0
以d、(石—全) 、乙 一
A) A
由引理得到：第6期汤立龙，等：区间等式的可能度及其应用91
定理给定约束水平A’Pda.x, = fc，））>A，A e [〇，1]，且 区间约束〜A = = 1…w可转化为下述确定性约束
bt + btx,=—----成立.贝1J
2
ciij ~r dy2
bt +bz
—bj)^ (a^ — 〇y)xj ^ 2 ^ (bt ~ bd .2 — A(3)
其中，^ > 0，j = 1…77.由文献[2]知目标函数为E(g + a(石一i))A的线性规划的解称为原区间规划目标函数的a水平解.i-i
例 考虑下述区间线性规划问题：
min[〇. 2,0. i]xi + [0. 1,0. 3^x2s. t [0.1,0. 2]^：!+ [0.4,0. 5]^：2 = [0.2,0. 3]Xi 9x2 ^ 0.
若取A =吾，a =音则得到模型min Z = 0. 3xj + 0. 2x2
0. 1a + 0. 1工2 < 吾 X 0. 10. 1a + 0. 1工2 > 善 X 0. 1b
0. 15a + 0. 45工2 = 〇. 25Xi 9x2 ^ 0.
容易求得最优解为= d晶)，最优值为z1 = 了盖.
4结束语本文提出了区间数相等的可能度定义，并给出了其在求解带等式约束区间线性规划问题中的应用.要指 出的是，本文中的方法并不局限于求解区间线性规划问题，也可以用于求解带区间等式约束的非线性规划问 题以及区间非线性方程组的问题.求解非线性问题时，如何进行具体的区间模型的结构分解仍需进一步研究.
参考文献[1] 李炜,黄金花.区间系统与区间优化模型——理论与应用[J].南京信息工程大学学报（自然科学版），2016,9(1):23-33.[2] LIW，LIU X，LI H H. Generalized solutions to interval linear programmes and related necessary and sufficient optimality conditions[J]. Optimization Methods & Software, 2015, 30(3) ： 516-530.[3] JIANG C, HAN X, LIU G R, et al. A nonlinear interval number programming method for uncertain optimization problems[J]. European Journal of Operational Research, 2008，188(1) ： 1-13.[4] 达庆利，刘新旺.区间数线性规划及其满意解[J].系统工程理论与实践，1999(4):3-7.[5] NIRMALA T，DATTA D, KUSHWAHA H S, et al. Inverse interval matrix： a new approach [J]. Applied Mathematical Sciences, 2011，5(13) ： 607-624.[6] 刘晓，李炜.区间线性规划最优解对应的约束矩阵的构造[J].杭州电子科技大学学报，2014,34(2):48-51.[7] HlADi M. Weak and strong solvability of interval linear systems of equations and inequalities[J]. Linear Algebra and its Applications, 2013, 438(11)： 4156-4165.[8] LI W. A note on dependency between interval linear systems[J]. Optimization Letters? 2015，9(4) ： 795-797.(下转第99页）