向量在物理中的应用举例
平面几何的向量方法与向量在物理中的应用举例 (教学案)-高一下学期人教A版(2019)必修第二册
6.4 平面向量的应用6.4.1-6.4.2平面几何的向量方法与向量在物理中的应用举例教学目标：1.会用向量法解决简单的平面几何问题，体会向量在数学问题的作用；2.掌握用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法；3.会用向量法解决简单的力学问题以及实际问题，把物理问题转化为数学问题。
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”。
教学难点:如何将几何，物理等实际问题化归为向量问题。
教学过程：一、导入新课，板书课题前面，我们学习了向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算划归为实数的运算，那么我们如何运用向量方法解决平面几何、物理中的问题呢？【板书：6.4.1平面几何的向量方法与向量在物理中的应用举例】二、出示目标，明确任务1.会用向量法解决简单的平面几何问题，体会向量在数学问题的作用；2.掌握用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法；3.学会选择恰当的方法，将几何问题转化为向量问题。
三、学生自学，独立思考学生看书，教师巡视，督促学生认真看书（4min）阅读课本P38-41内容，回答以下问题：1.找出你阅读内容中的知识点。
2.找出你阅读内容中的重点。
3.找出你阅读内容中的困惑点。
四、自学指导，紧扣教材1.自学指导一（5min)（1）按照五步法认真阅读例1，用向量证明中位线，先建立平面几何与向量的联系_________；再通过向量运算，研究几何元素之间的关系____________；把运算结果“翻译”成几何关系_____________。
（2）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”_______,_______，_______。
（3）按照五步法认真阅读例2中先建立平面几何与向量的联系_________；再通过向量运算，研究几何元素之间的关系____________；把运算结果“翻译”成几何关系_____________。
自学指导2（5min）认真阅读例3、例4回答以下问题（1）按照五步法认真阅读例3，思考先建立数学模型_________，再根据________可以知道__________，分析得出最后结果。
向量在物理中的应用举例教案
向量在物理中的应用举例教案第一章：引言1.1 课程背景介绍向量在物理学中的重要性解释本课程的目标和结构1.2 向量的定义向量的概念和表示方法向量的模和方向1.3 向量运算向量的加法和减法向量的数乘第二章：速度和加速度2.1 速度向量速度的定义和表示方法速度向量的运算2.2 加速度向量加速度的定义和表示方法加速度向量的运算2.3 例子：匀加速直线运动解析匀加速直线运动的速度和加速度向量求解运动物体的速度和位移第三章：力和加速度3.1 力向量力的定义和表示方法力向量的运算3.2 牛顿第二定律牛顿第二定律的表述力向量和加速度向量之间的关系3.3 例子：物体在平面上的受力分析解析物体在平面上的力向量和加速度向量求解物体的运动状态第四章：向心力和平衡力4.1 向心力向心力的定义和表示方法向心力向量的运算4.2 平衡力平衡力的定义和表示方法平衡力向量的运算4.3 例子：圆周运动解析圆周运动中的向心力向量求解物体在圆周运动中的加速度和速度第五章：总结与展望5.1 课程总结回顾本课程的重要概念和知识点强调向量在物理学中的应用价值5.2 拓展学习推荐相关的学习材料和参考书籍鼓励学生进一步探索向量在其他领域的应用第六章：位移和位移向量6.1 位移的概念位移的定义和表示方法位移向量的表示和性质6.2 位移向量的运算位移向量的加法和减法位移向量的数乘6.3 例子：直线运动中的位移向量解析直线运动中的位移向量求解物体的位移和路径第七章：动量和冲量7.1 动量向量动量的定义和表示方法动量向量的运算7.2 冲量向量冲量的定义和表示方法冲量向量的运算7.3 例子：动量守恒定律解析动量守恒定律中的动量和冲量向量应用动量守恒定律解决问题第八章：能量向量8.1 动能向量动能的定义和表示方法动能向量的运算8.2 势能向量势能的定义和表示方法势能向量的运算8.3 例子：弹性碰撞和抛体运动解析弹性碰撞中的能量向量求解抛体运动中的能量变化第九章：力的分解和合成9.1 力的分解力的分解原理和方法力的分解向量的表示9.2 力的合成力的合成原理和方法力的合成向量的表示9.3 例子：非共点力的作用解析非共点力的作用中的力的分解和合成求解物体在非共点力作用下的运动状态第十章：总结与拓展10.1 课程总结回顾本章的重要概念和知识点强调向量在物理学中的应用价值10.2 拓展学习推荐相关的学习材料和参考书籍鼓励学生进一步探索向量在其他领域的应用第十一章：引力定律和万有引力向量11.1 引力定律牛顿万有引力定律的表述引力向量的概念11.2 万有引力向量的计算计算两个物体之间的万有引力向量考虑地球自转对引力向量的影响11.3 例子：卫星轨道上的引力向量分析卫星轨道上的万有引力向量求解卫星的轨道周期和轨道参数第十二章：电磁力和磁场向量12.1 库仑定律和电场向量库仑定律的表述电场向量的概念和计算12.2 安培定律和磁场向量安培定律的表述磁场向量的概念和计算12.3 例子：带电粒子在磁场中的运动分析带电粒子在磁场中的受力向量求解粒子的轨迹和速度第十三章：电磁感应和电动势向量13.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律的表述电动势向量的概念13.2 电动势向量的计算计算闭合回路中的电动势向量考虑时间变化对电动势向量的影响13.3 例子：变压器和感应电机分析变压器中的电动势向量求解感应电机中的电流和磁场第十四章：波动方程和波向量14.1 机械波和波向量机械波的分类和特点波向量的概念和计算14.2 波向量的传播和干涉分析波向量的传播特性探讨波的干涉现象14.3 例子：波的叠加和衍射求解两个波的叠加效应分析波在障碍物附近的衍射现象第十五章：现代物理中的向量应用15.1 相对论和四维向量狭义相对论的基本原理四维向量的概念和应用15.2 量子力学和波函数量子力学的基本概念波函数的物理意义和应用15.3 例子：粒子的波动性和互补原理探讨粒子波动性的实验证据介绍互补原理在现代物理学中的应用重点和难点解析向量在物理学中的应用是本课程的核心内容，理解向量的基本概念和运算对于应用向量解决物理问题至关重要。
向量在物理中的应用举例(教学设计)
§6.4.2 向量在物理中的应用举例一、内容和内容解析内容：向量在物理中的应用内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第4节的内容．物理学家很早就在自己的研究中使用向量的概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算.数学家在物理家使用向量的基础上，对向量又进行了深入研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用.通过实例，引导学生用向量方法解决物理中的速度、力学问题，培养学生的数学建模、数学运算的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）会用平面向量知识解决简单的物理问题，培养数学建模的核心素养．（2）体会向量在解决速度、力学等一些简单实际问题中的作用，提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）向量在物理中的应用实际上是先把物理问题转化为向量问题，然后利用向量运算解决问题，最后再用所得的结果解释物理现象.（2）借助具体实例，体会将物理问题转化为数学问题和用数学模型来解释物理现象，以此培养学生数学建模素养，提高从向量角度分析和解决实际问题的能力．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在向量在物理中的应用的教学中，将物理问题转化为向量问题是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：将物理问题转化为数学问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：从日常中经常遇到的实际问题入手，结合具体体验，完成建立数学模型的过程.2．教学问题二：如何用数学模型解释问题中所反映的物理现象是本节课的第二个教学问题．解决方案：借助信息技术工具，将数学模型还原成物理问题，解释物理现象.基于上述情况，本节课的教学难点定为：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生能够用向量的方法解决物理中的相关问题，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用小组讨论，代表发言的形式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数学建模的过程，让学生体会到数学思想方法的应用．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境生成问题[问题1]图1中两个人提一重物怎样提最省力？图2中一个人静止地垂挂在单杠上，手臂的拉力与手臂握杆的姿势有什么关系？[问题2]向量的数量积与功有什么联系？教师1：提出问题1．学生1：两人手臂间的夹角小些省力，运动员两手臂间的距离越大，夹角越大越费力.教师2：提出问题2．学生2：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.通过生活中的实际问题，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探索交流，解决问题[问题3]如何利用向量研究力、速度、加速度、位移、功等物理问题？[问题4]利用向量方法解决物理问题的基本步骤是什么？教师3：提出问题3．学生3：学生思考，力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等；力所做的功的问题一般可以利用两向量的数量积来处理，如图所示，一物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功为W＝F·s.教师4：提出问题4．学生4：学生小组讨论.利用向量方法解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．通过探究、思考，进一步完善用向量方法解释实际现象及其步骤，提高学生分析问题、概括能力.典例分析巩固落实例1.（1）在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.（2）一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m，一艘船从A处出发到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10km/h，水流速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少(精确到min) ？2.向量的数量积在物理中的应用例2.质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离.(g＝9.8N/kg)(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？教师5：完成例1．学生5：（1）如图，两根绳子的拉力之和OA→＋OB→＝OC→，且|OC→|＝|OG→|＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，从而|OA→|＝|OC→|·cos 30°＝1503(N)，|AC→|＝|OC→|·sin 30°＝150(N)，所以|OB→|＝|AC→|＝150(N).答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.（2）解析：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短，如图，设12v v v=+，则()221296/v v v km h=+=此时，船的航行时间()0.560 3.1min96dtv==⨯≈所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min.教师6：完成例2．学生6：(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力F N，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；支持力F N与位移方向垂直，不做功，所以W N＝F N·s＝0；重力G对物体所做的功为W G＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝2.0×9.8×2.0×cos 120°＝－19.6(J).通过例题让学生了解用向量方法解释日常生活中的现象，提高学生的解决问题、分析问题的能力.[课堂练习]1.一条渔船距对岸4 km，以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8 km，则河水的流速是________ km/h.2.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为()(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W＝W F＋W N＋W G＝0.4(J).教师7：布置课堂练习1、2．学生7：完成课堂练习，并核对答案.课堂小结升华认知[问题5]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J.3．一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则教师8：提出问题5．学生8：学生9：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.10；；；4.v3的方向是北偏西60°，大小是 3 km/h.师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．。
平面向量在几何、物理中的应用举例课件
用向量的线性运算及数量积表示，因此，用向量方法可以解决几何中的一些问题.
名师点析
运用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何问题的答案.
第二章
§6
平面向量的应用
6.2 平面向量在几何、
物理中的应用举例
高中数学
必修第二册
北师大版
学习目标
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学与其他一些实际问题..
核心素养：逻辑推理、数学运算、直观想象.
高中数学
必修第二册
北师大版
新知学习
一、向量在几何证明中的应用
由于向量的运算有着鲜明的几何背景，几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角2||.连接，则1＝ △ .
1
1
因为为中点，所以 △ ＝2 2，所以1＝6 2.故选A.
答案：A
高中数学
必修第二册
北师大版
跟踪训练
如图，在△ 中，是的中点，点在上，且＝2，与相交于点，求: 的值.
（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题.
高中数学
必修第二册
北师大版
典例剖析
一、向量在平面几何中的应用
<1> 垂直问题
例1 如图，在△ 中，∠＝90°，＝，为的中点，是上一点，
且＝2，求证：⊥.
解题提示：要证⊥，只需证明·＝0即可.
2
∴·＝（-1）×3+2×3＝0，
∴⊥，∴ ⊥ .
向量在物理中的应用举例
3.质量 m＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝10 N 的作用下，沿倾斜角 θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m 的距离.(g＝9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多 少？
解：(1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和 支持力 FN，如图所示， 拉力 F 与位移 s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为 WF＝ F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)； 支持力 FN 与位移方向垂直，不做功，所以 WN＝FN·s＝0； 重力 G 对物体所做的功为 WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝ －19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝ 0.4(J).
[典例 2] 已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一 质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2 分别对质 点所做的功.
[解] 设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W ＝F·s.∵―AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15).
＋F22＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2 5. 答案：C
3.一条河宽为 800 m，一船从 A 处出发想要垂直到达河正对岸 的 B 处，若船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________min. 解析：由题意作出示意图，如图， ∵v 实际＝v 船＋v 水＝v1＋v2， |v1|＝20 km/h， |v2|＝12 km/h，
二、创新应用题 5.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速
度为 3 km/h，方向正东，风吹向北偏西 30°，受风力影响， 静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂 直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速 度大小及方向.
数学人教A版2019必修第二册 向量在物理中的应用举例
事实上，要使| |最小，只需
此时
= ，可得 = .
于是| |的最小值为 .
若要使| | = ||，只需
此时
=
最大，
，即
=
.
=
，
技巧总结
用向量解力学问题
对物体进行受力分析
画出受力分析图
转化为向量问题
例题解析
例2.在如图，一条河两岸平行，河的宽度 = ，一艘船从河岸边的
6.4 平面向量的应用
§6.4.2 向量在物理中的应用举例
情境引入
➢ 向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都
是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了
有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为
向量问题来解决.
➢ 因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问
模型的建立
建立以向量为主体的数学模型
参数的获得
求出数学模型的有关解—理论参数值
问题的答案
回到问题的初始状态，解释相关的物理现象
随堂练习
1.一物体在力的作用下，由点(, )移动到点 , ．已知 =
， − ，求对该物体所 做的功
2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点
程需要多长时间(精确到. )？
解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际
沿着方向行驶时，船的航程最短.
如图，设 = + ，则|| =
此时，船的航行时间 =
||
=
.
| | − | | = (/).
向量在物理中的应用举例课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
由题意，知四边形CEWF是矩形，则有 ＋ ＝ ，
⊥ ，||＝10，∠FCW＝60°. ∴ · ＝0.
∴||2＝( ＋ )2＝||2＋2·＋||2.
∴||2＋||2＝100. 又· ＝0，〈, 〉＝60°，
＝ (3＋2＋x, 4－5＋y)
＝ (5＋x, －1＋y)
＝0
5＋x ＝0
x ＝－5
－1＋y ＝0
y ＝1
F3＝(－5, 1)
新知探究
向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，
如位移、力、速度(加速度)、功等都与向量有着密切的联系，
因此可以利用向量来解决物理中的问题．具体操作时，要
注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解
A．(－1, －2)
B．(1, －2)
C．(－1, 2)
D．(1, 2)
F4＝－(F1＋F2＋F3)
＝－[(－2, －1)＋(－3, 2)＋(4, －3)]
＝(1, 2)
3．某人在静水中游泳时，速度为4 3 km/h.如果水流的速度为4 km/h，他
沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( D )
是________
m/s.
5
设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，
1
2
如图，|v2|＝|v0|·cos60°＝10× ＝5(m/s)，
所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.
5．如图所示，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，
∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(忽略
充分借助向量的平行四边形法则把物理问题抽象转化为数
学问题，该题涉及解三角形，同时正确作图是前提．
向量的应用
向量的应用向量是数学中一个重要的概念，也是物理、工程等领域常用的工具。
它具有大小和方向两个方面的特性，常用箭头表示。
在现实生活中，向量的应用非常广泛。
下面将以几个具体的例子来介绍向量在不同领域的应用。
首先是物理领域。
向量在力学中起着重要的作用。
力的大小和方向可以用向量来表示。
当多个力作用在同一物体上时，可以将这些力的向量叠加得到合力的向量。
利用向量的性质，可以方便地求解物体的运动、受力情况等问题。
在电磁学中，向量也扮演着重要角色。
磁场与电流之间的关系可以用安培环路定理来描述，该定理可以通过将电流元素所产生的磁场的向量叠加来求解。
向量的应用不仅限于物理领域，还涉及到工程、计算机图形学等领域。
在工程中，向量被广泛用于描述力、速度、加速度等物理量。
当我们需要分析一座桥的受力情况时，可以将每个力都用向量表示，并通过向量叠加的方法来得到整体的受力情况。
在计算机图形学中，向量被用于描述空间中的点和矢量。
三维空间中的一个点可以用三个坐标表示，而两个点之间的方向和距离可以用向量表示。
除了上述领域，向量还可以应用于统计学、经济学等领域。
在统计学中，向量可以用于表示数据集合。
在多元线性回归中，可以将自变量和因变量表示为向量，并通过求解向量的线性关系来分析数据。
在经济学中，向量可以用于描述供给和需求的关系。
在供求模型中，可以将供给和需求的量表示为向量，并通过求解向量的平衡来确定市场的价格和数量。
向量是数学中一个重要的概念，在物理、工程、计算机图形学、统计学、经济学等领域都有广泛的应用。
通过应用向量，我们可以方便地描述和分析许多现实生活中的问题，为科学研究和工程实践提供了有效的工具。
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例1
在日常生活中，你是否有这样的经验：
两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；
在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小
越省力。
你能从数学的角度解释 这种现象吗？
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是 多少？ （2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例2
如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m
要横渡30m的河流,已知水流的速度是
4km/h,思考:
1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达
正对岸吗?
2.最短多少时间可以过河?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的
方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考
虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度 与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图
解：|v|= | v1 |2 | v 2 |2
d = 96 （km/h），所以 t= |v |
0.5 = ×60=3.1（min）. 96
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.
小结
物理问题 (实际问题）
向量问题 (数学模型)
解释和验证相 关物理现象
数学问题 的解决
作业
P113 习题2.5 第3，4题
一膄船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 = 10km / h , 水流速度 v2 = 2km / h,问行驶航程最短时，所用时间是 多少(精确到0.1 min)?
（1）行驶航程最短,是否就是航程时间 最短呢? （2） V1的方向如何才能使航程时间最短?
思考题
思考题:已知船在静水中的速度是3km/h,它