3.3相似三角形的性质和判定(1)
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质与判定
EADC 1 相似三角形的性质与判定知识要点一、相似的概念①如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似。
（相似的符号：∽）； ②如果两个三角形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应边成比例（对应边之比称为相似比）。
③相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
④相似三角形的周长比等于相似比。
⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方。
三、相似三角形的判定①（SAS ）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)②（SSS ）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)③（AA ）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
1、如图，AED ∆∽ABC ∆，其中B ∠=∠1，则()()ABBC AD ___(___)___==。
2、一个三角形三边长之比为6:5:4，三边中点连线组成的三角形的周长为cm 30，则原三角形最大边长为多少？3、如果ABC ∆∽C B A '''∆，相似比为2:3，若它们的周长的差为40厘米，则C B A '''∆的周长为多少厘米？4、ABC ∆中，DE ∥BC 交AB 于D 交AC 于E ，若四边形DECB 的面积为ADE ∆面积的3倍，求BC DE :的值。
C A B A E F G BDC5、如图，在ABC Rt ∆中，CD 为斜边AB 上的高，且6=AC 厘米，4=AD 厘米，求AB 与BC 的长。
6、已知在ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 的点，且DE ∥BC ，求证：ANAMON OM =。
相似三角形的判定及有关性质
选修4－1几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质对应学生203考点梳理1．平行线等分线段定理及其推论(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)推论：①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理及推论(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定(1)定义：如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．(2)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．(3)判定定理2：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．(4)判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．4．相似三角形的性质(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．(2)性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高， 则有CD 2＝AD ·BD ， AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB .考点自测1.如图，已知a ∥b ∥c ，直线m ，n 分别与a ，b ，c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案． 答案 322.如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形________．解析 由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE . 答案 △FCD 、△FBE 、△ABD3. (2013·西安模拟)如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________． 解析 ∵M ，N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14. 答案 1∶44. (2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.解析 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC . 又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2. 答案 25. (2010·广东)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.解析 连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，∴EBCD 为矩形，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，所以△ABD 为等腰三角形．故AD ＝DB ＝a ，∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF ＝12DB ＝12a . 答案 a 2对应学生204考向一 平行线等分线段成比例定理的应用【例1】►如图，F 为▱ABCD 边AB 上一点，连DF 交AC 于G ，延长DF 交CB 的延长线于E . 求证：DG ·DE ＝DF ·EG .证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，AD ＝BC ， ∵AD ∥BC ，∴DG EG ＝AD EC ，又∵AB ∥DC ，∴DF DE ＝BC EC ＝AD EC ，∴DG EG ＝DFDE ， 即DG ·DE ＝DF ·EG .利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．【训练1】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析由⎩⎨⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3，又AD AB ＝23，∴AB ＝92. 答案 92考向二 相似三角形的判定【例2】►如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 上任意点，△EFM ∽△CDM ，求证：△AEF ∽△ABD .证明 ∵△EFM ∽△CDM ，∴∠1＝∠2，∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABD .判定三角形相似的思路大致有以下几条：(1)已知条件，判定思路；(2)一对等角，再找一对等角或找夹边成比例； (3)两边成比例，找夹角相等；(4)含有等腰三角形，找顶角相等或找一对底角相等或找腰对应成比例． 【训练2】 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F .(1)求证：△ACB ∽△DCE ； (2)求证：EF ⊥AB .证明 (1)因为DC AC ＝CE BC ＝DE AB ＝23，所以△ACB ∽△DCE . (2)由△ACB ∽△DCE ，知∠B ＝∠E . 又∠BDF ＝∠CDE ，在Rt △CDE 中，∠E ＋∠CDE ＝90°，所以∠BDF＋∠B＝90°，所以∠EFB＝90°，即EF⊥AB.考向三相似三角形的性质【例3】►如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明∵E是Rt△ACD斜边中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴FBFD＝FDFC，∴FD2＝FB·FC.运用相似三角形的性质解决问题，主要考虑相似三角形的对应边、对应角、周长、面积之间的关系，多用于求某条线段的长度、求证比例式的存在、求证等积式的成立等，在做题时应注意认真观察图形特点，确定好对应边、对应角等．【训练3】如图，△ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线，P为AD上一点，CF∥AB，BP的延长线分别交AC，CF于点E，F，求证：BP2＝PE·PF.证明连接CP，∵△ABC为等腰三角形，AD为中线，∴BP＝CP，∠ABP＝∠ACP，∵AB∥CF，∴∠ABP＝∠F，∴∠F＝∠ACP.∵∠EPC为公共角，∴△PCE∽△PFC，∴PCPF＝PEPC，∴PC2＝PF·PE.又∵BP＝PC，∴BP2＝PF·PE.考向四直角三角形射影定理的应用【例4】►已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案9利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．【训练4】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD与△CBD的相似比为________．解析如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ， BD ＝3x (x ＞0)，∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∠A ＝∠BCD . ∴△ACD ∽△CBD .易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63.即相似比为6∶3. 答案6∶3对应学生355(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)一、填空题(每小题5分，共40分)1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝45，则CD ＝________，BC ＝________.解析 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得 AC ＝5，CD ＝AC 2－AD 2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154. 答案 3 1542. (2013·揭阳模拟)如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则EC ＝________. 解析 在Rt △ADB 中， DB ＝AB 2－AD 2＝7， 依题意得，△ADB ∽△ACE ， ∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD ＝27. 答案 273. (2013·茂名模拟)如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________. 解析 ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF ， ∴4EF ＝BC BC －BF，BC BF ＝12EF ，∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ， ∴BC BF ＝14＝12EF ，∴EF ＝3. 答案 34. (2013·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BF FC ＝________.解析 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在三角形BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为三角形BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BFFC ＝12. 答案 125. 如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ， 在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ， 又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3. 答案 1∶ 36.如图，AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，AH 交BF 于M ，则BM ＝________，CG ＝________. 解析 ∵AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，∴AB AD ＝14，BM DH ＝AB AD .∴BM 16＝14，∴BM ＝4. 取BC 的中点P ，作PQ ∥DH 交EH 于Q ，如图，则PQ 是梯形ADHE 的中位线，∴PQ ＝12(AE ＋DH )＝12(12＋16)＝14. 同理：CG ＝12(PQ ＋DH )＝12(14＋16)＝15. 答案 4 157. 在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ，S △FCD ＝5，BC ＝10，则DE ＝________.解析 过点A 作AM ⊥BC 于M ，由于∠B ＝∠ECD ，且∠ADC ＝∠ACD ，得△ABC与△FCD 相似，那么S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝4又S △FCD ＝5，那么S △ABC ＝20，由于S △ABC ＝12BC ·AM ，由BC ＝10，得AM ＝4，又因为DE ∥AM ，得DE AM ＝BD BM ，∵DM ＝12DC ＝52，因此DE 4＝55＋52，得DE ＝83. 答案 838. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .若DB ＝9，则BM ＝________. 解析 ∵E 是AB 的中点， ∴AB ＝2EB .∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形． ∴CB ∥DE ，∴⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM .∴DM BM ＝DEBF . ∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF . ∴DM ＝2BM .∴BM ＝13DB ＝3. 答案 3二、解答题(共20分)9．(10分)如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ，求证： (1)△ABC ≌△DCB ； (2)DE ·DC ＝AE ·BD .证明 (1)∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD . ∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB . (2)∵△ABC ≌△DCB .∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB .∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC . ∴∠DAC ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB.∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC . ∴∠EDA ＝∠DBC ，∴△ADE ∽△CBD . ∴DE ∶BD ＝AE ∶CD . ∴DE ·DC ＝AE ·BD .10．(10分)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC .求证： (1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC .证明 设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23.又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°. ∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝ADFB .∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°， ∴△ADE ∽△FBE ， ∴∠ADE ＝∠EBC .第2讲直线与圆的位置关系对应学生206考点梳理1．圆周角定理(1)圆周角定理及其推论①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．②推论(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆内接四边形的对角互补．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理及推论(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)推论：①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．4．弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5．与圆有关的比例线段圆中的比例线段1.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，∴∠BDC＝12∠BOC＝50°.答案50°2．(2012·湖北)如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D 作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．解析当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大．答案 23．(2012·北京)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC 交于点E，则()．A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.答案 A4. (2012·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析设圆的半径为r，则(3－r)(3＋r)＝1×3，即r2＝6，解得r＝ 6.答案 65. (2012·天津)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析 因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2，所以34＝2BD ，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以4x 2＝649，所以x ＝43. 答案 43对应学生207考向一 圆的切线的性质与判定【例1】►如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD . (1)求证：OC ∥AD ；(2)若AD ＝2，AC ＝5，求AB 的长． (1)证明 ∵直线CD 与⊙O 相切于点C ， ∴∠DCO ＝∠DCA ＋∠ACO ＝90°， ∵AO ＝CO ，∴∠OAC ＝∠ACO ， ∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠OAC ，∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD. (2)解连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，∵AD＝2，AC＝5，∴AB＝5 2.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．【训练1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径R＝5，BC＝8，求线段AP的长．(1)证明过点A作AE⊥BC，交BC于点E，∵AB＝AC，∴AE平分BC，∴点O在AE上．又∵AP∥BC，∴AE⊥AP，∴AP为圆O的切线．(2)解BE＝12BC＝4，∴OE＝OB2－BE2＝3，又∵∠AOP＝∠BOE，∴△OBE∽△OP A，∴BEAP＝OEOA，即4AP＝35，∴AP＝203.考向二弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又∵AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴BEAC＝AB BC.又∵AE∥BC，∴EFAF＝BEAC，∴ABBC＝EFAF.又∵AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴CDBC＝EFAF，∴58＝EF6，∴EF＝308＝154.答案15 4(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠BDC，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.考向三圆内接四边形性质的应用【例3】►(2013·辽宁三校联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.证明(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∵∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.(1)四边形ABCD的对角线交于点P，若P A·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆．(2)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若P A·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．以上两个命题的逆命题也成立．该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效．【训练3】如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O 的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2＝GE·GF.证明(1)如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°.又∵∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.又∵∠FDC＝∠ABC，∴∠FDC＝∠AEG.∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C，D，F，E四点共圆．(2)∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2＝GC·GD.由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF.∴△GCE∽△GFD.∴GCGF＝GEGD，即GC·GD＝GE·GF.∴GH2＝GE·GF.对应学生356(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1. 如图，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC＝12BC ，则sin ∠MCA ＝________.解析 由弦切角定理得，∠MCA ＝∠ABC ， sin ∠ABC ＝ACAB ＝AC AC 2＋BC2＝AC 5AC ＝55. 答案 552. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点．AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，∠DAB ＝80°，则∠ACO ＝________.解析 ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ， 又∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD . 由此得，∠ACO ＝∠CAD ， ∵OC ＝OA ，∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠CAD ＝∠CAO ，故AC 平分∠DAB .∴∠CAO ＝40°， 又∵∠ACO ＝∠CAO ，∴∠ACO ＝40°. 答案 40°3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝72°，⊙O 过A 、B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连接BD ，若BC ＝5－1，则AC ＝________.解析 由题易知，∠C ＝∠ABC ＝72°，∠A ＝∠DBC ＝36°，所以△BCD ∽△ACB ，又易知BD ＝AD ＝BC ，所以BC 2＝CD ·AC ＝(AC －BC )·AC ，解得AC ＝2. 答案 24. 如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于D ，则BDDA ＝________.解析 ∵∠C ＝90°，AC 为圆的直径， ∴BC 为圆的切线，AB 为圆的割线，∴BC 2＝BD ·AB ，即16＝BD ·5，解得BD ＝165， ∴DA ＝BA －BD ＝5－165＝95，∴BD DA ＝169. 答案 1695. 如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ， ∴△PCB ∽△P AD ， ∴PB PD ＝PC P A ＝BC DA ，∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 答案 666. (2012·陕西)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.解析 由题意知，AB ＝6，AE ＝1，∴BE ＝5.∴CE ·DE ＝DE 2＝AE ·BE ＝5.在Rt △DEB 中，∵EF ⊥DB ，∴由射影定理得DF ·DB ＝DE 2＝5. 答案 57．(2012·广东)如图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析 如图，连接OA .由∠ABC ＝30°，得∠AOC ＝60°，在直角三角形AOP 中，OA ＝1，于是P A ＝OA tan 60°＝ 3. 答案38. 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为________．解析 ∵AC 、AD 分别是两圆的切线， ∴∠C ＝∠2，∠1＝∠D ，∴△ACB ∽△DAB . ∴BC AB ＝AB BD ，∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝8＝22(舍去负值)． 答案 2 2 二、解答题(共20分)9．(10分)(2012·新课标全国)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ； (2)△BCD ∽△GBD .证明 (1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连结AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC . (2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF .由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD .所以∠BGD ＝∠BDG . 由BC ＝CD 知∠CBD ＝∠CDB . 而∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ， 故△BCD ∽△GBD .10．(10分)(2012·辽宁)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E . 证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ， 得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB . 从而AC AD ＝AB BD ， 即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝AD BD ， 即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论知，AC ＝AE .选修4－4坐标系与参数方程第1讲坐标系对应学生209考点梳理1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.考点自测1．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－2y －4x ＝0. 答案 x 2＋y 2－2y －4x ＝02．(2013·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立方程，得⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π43．(2012·上海)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.解析 在直线l 上任取一点，再利用正弦定理求直线的极坐标方程．在直线l 上取点P (ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定理得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝ρsin 5π6，化简得ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ，故f (θ)＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ. 答案 1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ4．(2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．解析 将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.答案 35．(2012·陕西)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 解析 直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3.答案3对应学生210考向一 极坐标和直角坐标的互化【例1】►(2013·广州测试)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为________________．解析 ∵点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，∴点A 的平面直角坐标为(3，1)，又∵直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，∴直线l 的方程为y －1＝(x －3)tan π3，即3x －y －2＝0，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1.答案 ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 【训练1】 (2013·佛山检测)在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是________．解析 由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 可得，ρcos θ＝1, ρsin θ＝－3，解得ρ＝2，θ＝2k π－π3(k ∈Z )，故点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π－π3(k∈Z )．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π－π3(k ∈Z )考向二 圆的极坐标方程的应用【例2】►(2013·广州测试)在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________.解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x ＝1，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，圆心(2,0)到直线x ＝1的距离等于1，因此|AB |＝24－1＝2 3. 答案 2 3解决此类问题的关键还是将极坐标方程化为直角坐标方程．【训练2】 (2013·深圳调研)在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为________．解析 由曲线C ：ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2－4y ＝0，x 2＋(y －2)2＝4，即曲线C ：ρ＝4sin θ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ 长度的最大值是4. 答案 4考向三 极坐标方程的综合应用【例3】►如图，在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹．解 设M (ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．求轨迹的方法与普通方程的方法相同，但本部分只要求简单的轨迹求法．【训练3】 从极点O 作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12，求点P 的轨迹方程． 解 设动点P 的坐标为(ρ，θ)，则M (ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝12ρ. 又M 在直线ρcos θ＝4上，∴12ρcos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ.这就是点P 的轨迹方程．对应学生357(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________．解析 ∵直线l 的极坐标方程可化为y ＝3，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为2.答案 22．(2013·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心C 的距离是________．解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为(0－23)2＋(2－2)2＝2 3. 答案 2 33．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－22sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析 由ρ＝6cos θ－22sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－22ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋22y ＝0，将其化为标准形式为(x －3)2＋(y ＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3. 答案 ρcos θ＝34．(2013·华南师大模拟)在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋(3)2＝2.答案 25．在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝8的距离的最大值是________．解析 把ρ＝4化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝16，把ρ(cos θ＋3sin θ)＝8化为直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d ＝82＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8. 答案 86．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2. 答案27．(2013·湛江模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，点P的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________．解析 圆C 的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x ＋1)2＋y 2＝1，点P 的直角坐标为(0,2)，圆C 的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2，则圆心到切线的距离为|－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34，即tan α＝34.易知满足题意的另一条切线的方程为x ＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为43. 答案 438．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析 注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径即可，即|3×1＋4×(－2)＋m |5＞1，|m －5|＞5，解得，m ＜0或m ＞10.答案 (－∞，0)∪(10，＋∞) 二、解答题(共20分)9．(10分)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判定直线l 和圆C 的位置关系．解 (1)由题意，直线l 的普通方程是y ＋5＝(x －1)tan π3，此方程可化为y ＋5sin π3＝x －1cos π3，令y ＋5sin π3＝x －1cos π3＝a (a 为参数)，得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12a ＋1，y ＝32a －5(a为参数)．如图，设圆上任意一点为Q (ρ，θ)，则在△QOM 中， 由余弦定理，得QM 2＝QO 2＋OM 2－2·QO ·OM cos ∠QOM ， ∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.化简得ρ＝8sin θ，即为圆C 的极坐标方程． (2)由(1)可进一步得出圆心M 的直角坐标是(0,4)， 直线l 的普通方程是3x －y －5－3＝0， 圆心M 到直线l 的距离d ＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋32＞4，所以直线l 和圆C 相离．10．(10分)(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y (－3≤y ≤3) 法二 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1， 从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3.第2讲 参数方程对应学生211考点梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通。
3.3(第10课时)相似三角形的性质和判定(提高练习2)(备用)
BC
提示： (1)△ABE∽△ACD
D E B
分析：△AED不可能与△DBC相似； (2)△AED∽△ABC。
C
6、如图, 在△ABC中, ∠C＝ 90°， BC＝ 8cm， 4AC－3BC＝ 0,点P从B点出发,沿BC方向以2cm/s速度 移动.点Q 从C点出发,沿CA方向以1cm/s速度移动.若 P,Q分别从B,C同时出发,经过多少秒时, △CPQ与 A △CBA相似? 提示： (1)△CPQ∽△CBA Q
A
A 图2 K G H B B E D F C B E D F C E n个 K A
H
K
G
图1 H
…
G
D
F
C
综合练习1(变式2）
12、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交 NH于E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形FGHN 的面积y与x的关系式。
相似三角形判定方法
知识回顾1
1、(定义法)三个角对应相等,且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形. 2、（判定定理1）三边对应成比例的两个三角形相似。 常 3、（判定定理2）两角对应相等的两个三角形相似。 用 4、（判定定理3）两边对应成比例且夹角相等的两 个
三角形相似 5、（特殊）斜边与一直角边对应成比例的两个直角三 角形相似
提示： (2)△CQP∽△CBA
B P C
6、如图, 在△ABC中, ∠C＝ 90°， BC＝ 8cm， 4AC－3BC＝ 0,点P从B点出发,沿BC方向以2cm/s速度 移动.点Q 从C点出发,沿CA方向以1cm/s速度移动.若 P,Q分别从B,C同时出发,经过多少秒时, △CPQ与 A △CBA相似? 提示： (1)△CPQ∽△CBA Q
相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线和三角形其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；（3）如果两个三角形的两条对应边之比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．AE AC AD AB = B ．DEBCAD AB = C ．∠B=∠D D ．∠C=∠AED如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=14CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对在△ABC 中，∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC ，则∠BCA 的度数为_____如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5如图，∠BAD=∠C，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE：AF=学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。
类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。
相似三角形的判定和性质
儒洋教育学科教师辅导讲义一．知识梳理【相似三角形的判定】要点1：相似三角形的判定定理（相似三角形与全等三角形判定方法的联系）要点2：常见的相似三角形的解题思路：（1）、深刻理解并掌握“平行截比例”、“平行截相似”、“比例出平行”等平行与相似的关系；（2）、增强识图能力，能够从已知图形中找出全部相似三角形，从中列出所需比例式；（3）、确定“中间比”，“中间积”，方法是找到两组有联系的比例式或两对相似三角形；（4）、准确完成等积式与比例式的互化，并可以依据图形变化比例式；（5）、没有平行怎么办？运用相似三角形的判定定理，或添加平行线；（6）、一对相似三角形可写出一个连比例，应择需而用或同时运用；（7）、添辅助线要能够达到“一线两相似”，“一线两比例”并能与其它知识兼顾，这是辅助线特征“一举两得”在相似形中的体现；（8）、熟悉下图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形例题讲解：例1：基础训练1. 如图,BD 、CE 是△ABC 的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）△ADE∽△ABC （B ）△DOE∽△COB （C ）△BOE∽△C OD （D ）△BOE∽△BDE2. 如图，O 是△ABC 的重心,29cm S ABC =∆,则BCO S ∆= .3. 如图在矩形ABCD 中,AB=2,CB=1,E 是DC 上一点,∠DAE=∠BAC，则EC 的长为 .图相关练习：1. D 、E分别在△ABC 的边BA 、BC 上，BD=1.5，DA=0.5，BE•BC=3，∠A+∠B=︒135 则∠BDE=度. 2. 如图，Rt△ABC 中,∠ACB=︒90，点E 是BC 的延长线的一点,EF⊥AB 于F,∠CGB=∠A.求证：CG•BE=EG•BG.3．△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.OED CBA4．如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足AEACDE BC AD AB ==，求证:①△ABD∽△ACE；②∠ABD=∠ACE.5．如图，点O 是ABC △的垂心(垂心即三角形三条高所在直线的交点)，联结AO 交CB 的延长线于点D ，联结CO 交AB 的延长线于点E ，联结DE. 求证：ODE ∆∽OCA ∆.【相似三角形的性质】要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例要点2：相似三角形的性质定理：相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方要点3例题讲解：例1：基础训练1. 如图△ABC 中,中线AE 、CD 相交于G ，则AG C S ∆∶DEG S ∆= .2. 如图ABC 中，G 是重心，AG 的延长线交BC 于D ，过点G 作GF∥AC,交BC 于F ，则DGF S ∆∶DAC S ∆= .3. Rt△ABC,∠ACB=︒90,AC=3,BC=4,正方形DEFG 内接于△ABC,则正方形的边长为 .4. 如图平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE∶CE=2∶3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 相交于点F ，则DEF S ∆∶BAF S ∆ 为（ ）（A ）2∶3 （B ）2∶5 （C ）4∶25 （D ）4∶9相关练习：1. 如图,已知梯形ABCD 的周长为16厘米,上底CD=3厘米,下底AB=7厘米,分别延长AD 和BC 交于点P ，求△PCD 的周长.2. 如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,ODC S ∆∶OBA S ∆=1∶4.求ODC S ∆∶OBC S ∆的值.（1题图） （2题图） （3题图）（4题图）强化练习：1． 如图，在ABC △中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作AF ∥BC 交ED 的延长线于点F ，联结AE CF ，． 求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形；（2）AE CE BE FG ⋅=⋅．2. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，CD AB ⊥，垂足为点D ，E 、F 分别是AC 、BC 边上的点，且13CE AC =，13BF BC =.（1）求证：AC CDBC BD =； （2）求EDF ∠的度数.3．已知：如图，△ABC 中M 、E 分别是AC 、AB 上的点，ME 、CB 延长线交于一点D ，且ED EM ACBC=。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形在几何学中是一个重要的概念，它们具有一些特殊的性质和判定条件。
本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形的性质有以下几个方面：1. 对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。
具体来说，如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。
2. 对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们一定是相似的。
具体来说，如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。
3. 高度比例相等：如果两个相似三角形之间的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。
换句话说，如果两个三角形的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。
二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么它们是相似的。
这是相似三角形的基本判定法。
2. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。
这是相似三角形的充要条件，也是最常用的判定法。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。
这是相似三角形的另一种判定法。
4. SAS判定法：如果两个三角形的两个对应边成比例，且夹角也相等，那么它们是相似的。
三、应用示例下面通过一个具体的示例来说明相似三角形的性质和判定方法。
假设有两个三角形ABC和XYZ，已知∠A = ∠X，∠B = ∠Y，且AB/XY = BC/YZ。
根据AA判定法可知，∠A = ∠X 和∠B = ∠Y，所以三角形ABC 与三角形XYZ相似。
根据对应边成比例可知，AB/XY = BC/YZ，所以三角形ABC与三角形XYZ相似。
因此，根据相似三角形的性质和判定方法，可以得出三角形ABC 与三角形XYZ是相似的。
结论：相似三角形具有相同形状但可能不同大小的特点。
判定两个三角形是否相似可以使用AA判定法、AAA判定法、SSS判定法和SAS判定法。
三角形的相似性质与判定
三角形的相似性质与判定三角形是几何中的基本形状之一，它具有许多重要的性质和特点。
其中一项重要的性质就是相似性质。
相似性质指的是两个或多个三角形具有相似的形状，但大小可能不同。
本文将探讨三角形的相似性质以及相似三角形的判定方法。
一、相似三角形的定义两个三角形相似的定义是：如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
换句话说，如果两个三角形的三个内角分别相等，且对应边的长度比为一个常数，那么它们是相似的。
二、相似三角形的性质相似三角形具有许多重要的性质，这些性质有助于我们进一步研究和应用三角形的知识：1. 边长比例性质：在相似三角形中，对应边的长度比是相等的。
比如说，如果一个三角形ABC与另一个三角形DEF相似，那么AB与DE的比、AC与DF的比、BC与EF的比都是相等的。
2. 角度对应性质：在相似三角形中，对应的角度是相等的。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角分别相等。
3. 高度比例性质：在相似三角形中，对应的高度（或称作高线）之比等于对应边长之比。
换句话说，如果一个三角形的两条边与另一个相似三角形的两条边成比例，那么它们的高度也是成比例的。
三、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有多种方法，这里介绍其中两种常用的方法：1. 三边比较法：如果两个三角形的三条边对应成比例，那么它们是相似的。
这种方法可通过确定三条边的长度，并计算它们的比例来判断。
2. 角度比较法：如果两个三角形的三个内角对应相等，那么它们是相似的。
这种方法可通过测量三个内角的大小，并比较它们的关系来判断。
值得注意的是，如果两个三角形仅满足其中一种判定条件，那它们并不一定是相似的。
相似性质需要同时满足对应边成比例和对应角相等这两个条件。
结论：三角形的相似性质与判定对于解决几何问题和应用数学都具有重要的意义。
通过理解相似性质，我们可以推导出许多有关三角形的重要结论，并应用于实际问题中。
在实际应用中，我们需要根据已知条件来判断两个三角形相似，进而利用相似的性质和定理解决问题。
相似三角形的性质和判定
教学内容： 相似三角形的性质和判定（一）学习目标：〖知识与技能〗1、理解并掌握相似三角形的概念，理解相似比的概念。
2、掌握相似三角形的判定定理1，并能运用它来判定两个三角形相似。
〖过程与方法〗引导学生分析相似三角形与全等三角形的性质和判定，通过比较抽象出相似三角形的性判定。
〖情感、态度与价值观〗通过数学类比分析，加强知识之间的联系，从而培养学生数形结合的思维方法，提高学生学习数学的兴趣。
学习重点：相似三角形的定义及判定定理1的应用学习难点：性质和判定定理1的应用教学媒体的运用：教材、三角板、课件PPT 。
学习过程：一．创设情境：1.三边对应 ,三角对应 的两个三角形叫全等三角形。
性质: 全等三角形的对应边 ，对应角 。
2.观察你们用一副三角板的形状与老师用的三角板的形状相同吗？二.自主学习1.如图: D 、E 分别是△ABC 的两边的中点， 则=AB AD ==）（）（ AE DE , ∠A=∠A , ∠ADE= , ∠AED= .这两个三角形三边对应边成比例,三对应角相等,形状相同.阅读课本P 71～72 回答下列问题:相似三角形的定义:三个角对应角 ，三边对应边 的两个三角形 叫作相似三角形。
相似三角形的对应边的比k 叫作__________△ADE ∽△ABC,相似比为k, 则△ABC ∽△ADE 的相似比为 .(1)两个三角形全等，它们相似吗？如果相似，相似比是多少？相似三角形的性质: 对应角 ，对应边 .2.观察图中的一对三角形， DE AB 与EF BC 与DFAC 的值相等吗？量一量，∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F 它们分别相等吗？△ABC 与△DEF 相似吗？相似三角形的判定(1)如果两个三角形的 ，那么这两个三角形相似三.合作交流1.如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式．2. 如图△ABC∽△DEF,∠B=350,∠D=780,AB=3.6,BC=4.8,DE=3.求∠A，∠ACB的度数及EF的长.3.已知如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC,AC的中点。
相似三角形的性质和判定
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：
①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似。
（8）、熟悉下图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形
四、【相似三角形的性质】
要点1：相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例
要点2：相似三角形的性质定理：
相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比
（3）、确定“中间比”，“中间积”，方法是找到两组有联系的比例式或两对相似三角形；
（4）、准确完成等积式与比例式的互化，并可以依据图形变化比例式；
（5）、没有平行怎么办？运用相似三角形的判定定理，或添加平行线；
（6）、一对相似三角形可写出一个连比例，应择需而用或同时运用；
（7）、添辅助线要能够达到“一线两相似”，“一线两比例”并能与其它知识兼顾，这是辅助线特征“一举两得”在相似形中的体现；
（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湘潭江声实验学校2013年下学期 九 年级 数学 学科集体备课稿纸
研讨时间： 9 月 3 日 第 1 周 星期 二 上课时间： 月 日 第 周 星期
执笔人 周光辉 执教者
及班级
组长签名 周光辉
单元 课题 图形的相似 本节课题 3.3相似三角形的性质和
判定（1）
课 型 新授课
教学
目标
1、了解相似三角形的定义，知道什么是相似比；
2、会用相似的条件“三边对应成比例的两个三角形相似”证明两个三角形相似；
3、进一步培养合情推理能力和初步的逻辑推理意识.
教学
重点
难点
重点：相似三角形的概念及相似三角形的判定定理1.
难点：相似三角形的判定定理的应用.
时量 教学流程及内容 教学策略 设计意图 旁 注
教师 活动 学生
活动
2分 10分 5分 3分 一、情境导入 1、相似图形有哪些特征？ 2、全等三角形与相似三角形有怎样的关系？ 3、怎样的两个三角形相似呢？ 二、自主学习 问题1：相似三角形 （1）阅读教材第71页“说一说”，思考下列问题： ①相似三角形的定义是什么? ②相似三角形如何表示？ ③若△ABC与△DEF相似，且相似比是K，那么△DEF与△ABC的相似比是多少？ （2）教师引导学生归纳： ①定义：三个角相等，三条边对应成比例的两个三角形相似；②表示方法：用符号“∽”表示，如果△ABC与△DEF相似，这里A与D，B与E，C与F分别对应，则可记作△ABC∽△DEF； ③相似比：相似三角形对应边的比叫相似比； 若△ABC与△DEF的相似比为K，则△DEF与△ABC的相似比为k1.即相似比带有顺序性. ④性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例. ⑤全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形. 练习：书P73第1题. 三、合作学习 例1、如图，已知'''CBA∽△ABC，并且 cmBA3''，cmAB4.2，cmBC6.1，7565CB，. 求：''CB的长，以及''AB，的度数. 练习：书P73第3题. 问题2：相似三角形的判定 探究：P71-72探究 小组内交流，总结得出结论：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 提问引入 教师巡视 教师引导学生归纳 规范解题格式 教师巡视 学生自学教材 学生度量交流归纳 帮助学生建立新旧知识之间
的联系，
引入新课
培养学生
自觉学习
的习惯
加深对三
角形相似
的理解
学生动手
度量，加
深对定理
的理解
B
CAB'C'
A'
6分 2分 12分 5分 例2、下图中的两个三角形是否相似？为什么？ 练习：书P73第2、4题. 四、课堂小结： 1、相似三角形的定义、性质； 2、相似三角形的判定定理及其运用 五、巩固练习： 1、已知111CBAABC∽,相似比32k，则ABBA11,若 cmCB1511，则cmBC. 2、ABC的各边长之比为2:5:6，与其相似的另一个'''CBA中的最大边的长为18㎝，那么它的最小边长为 ㎝. 3、若111CBAABC∽，10050BA，,则1C 度. 4、111CBAABC∽,且相似比为2:3，222111CBACBA∽，且相似比为5:6，则222CBAABC∽的相似比为 . 5、如图所示，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下边图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（ ） 6、如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，F是CD的四等分点，试判断： ①ABE与ECF是否相似？为什么？ ②ABE与AEF是否相似？为什么？ 7、如图，AEACDEBCADAB,求证：CAEBAD. 六、拓展延伸： 已知，在ABCRt与'''CBARt中，90‘CC, ''''CAACBAAB,试说明ABCRt∽'''CBARt. 教师点评规范解题步骤 教师巡视 帮助学困生 教师适当引导 独立完成再交流展示 学生归纳 学生独立完成 小组 合作交流 进一步加深对三角形相似判
定定理的
理解
加强教学
反思，帮
助学生整
理知识
进一步加
深对三角
形相似和
三角形相
似判定定
理1的理
解，同时
培养学生
应用意识
和能力
提升学生
分析问题
和解决问
题的能力
作业
布置
书P79习题3.3A组第1、2题；P81习题3.3B组第1题.
小组
评价
课后
反思
4cm
3.5cm
3cm
2.4cm
1.8cm
2.1cm
F
E
D
A
B
C
B
C
A
D
E
DC
BA
B
A
C
A
BC
D
E
F