2019届高三数学第一轮复习《函数的单调性与奇偶性》学案
最新高三教案-第2讲函数的单调性与奇偶性 精品
第4讲 函数的单调性与奇偶性解读大纲1、 了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。
2、 知识点：①能证明函数的单调性；②能判断函数的单调性；③求一些简单函数的单调区间；④能运用单调求不等式；⑤能判断函数的奇偶性；⑥能运用函数的奇偶性。
3、 注意事项：定义域优先典型例题一、函数的单调性例1、①证明函数13-=x y 在R 上递增②已知函数)(x f 是定义在R 上的增函数，)()()(x a f x f x F --=，试用定义证明F （x ）在R 上递增。
例2、判断下列函数的单调性：①x x f 211)(-= ②x x f a a log log )(=)10(≠>a a 且在区间),1(+∞上的单调性。
例3、求下列函数的单调区间：①111-+=x y ②b kx y += ③12+-=ax x y ④)41(log x y a -= ⑤x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=121 ⑥xx y 1+= ⑦21+-=x y例4、求函数x x y 123-=的减区间。
例5、定义在[-1，1]上的函数)(x f 是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-++-a f a a f ，求实数a 的取值范围。
二、函数的奇偶性例1、 判断下列函数的奇偶性：①()xx x f 221)(2+=； ②)1lg()(2++=x x x f ③);0(1lg lg )(22≠+=x x x x f ④xx x x f -+-=11)1()( ⑤x x y -+-=11例2、 若)(x f 是奇函数，且0>x 时，2)1lg()(x x x f ++=，求当0<x 时，)(x f 的解析式。
答案1、 函数的单调性例1、 证明略例2、 ①在定义域上单调递增 ②1>a 时，在),1(+∞单调递增；10<<a 时，在),1(+∞上单调递减。
例3、 ①),1(),1,(+∞-∞ ②0>k 时在R 上递增，0<k 时在R 上递减； ③在]2,(a -∞上递增，在),2(+∞a 上递减 ④1>a 时，递减，10<<a 时递减 ⑤在R 上递增⑥),1(),1,(+∞--∞上递增 在)1,0(),0,1(-上递减 ⑦),1(+∞上递增，在)1,(-∞上递减例4、 [-2，2]2、 函数的奇偶性例1、①偶 ② 奇 ③偶 ④非奇非偶 ⑤既奇又偶例2、)1ln()(2x x x f ---=。
高三一轮函数的奇偶性与单调性54页PPT
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·—孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
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高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性
第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那 么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」 考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。
高三数学一轮复习24.三角函数的性质学案
高三数学一轮复习 24.三角函数的性质学案【学习目标】1．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期． 2．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题． 预 习 案2. y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|. y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|. 3. (1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式． (2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数单调性，应利用复合函数单调性研究． (3)注意各性质应从图像上去认识，充分利用数形结合解决问题． 【预习自测】1．若函数y ＝cos(ωx －π6)(w >0)的最小正周期为π5，则w ＝________.2．比较下列两数的大小．(1)sin125°________sin152°；(2)cos(－π5)________cos 3π5；(3)tan(－3π5)________tan 2π5.3．(1)函数y ＝sin(x ＋π4)的单调递增区间是________ ；函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x对称性对称轴x ＝π2＋k πx ＝k π无 对称中心(k π，0)(π2＋k π，0) (k π2，0)(2)函数y＝tan(12x－π4)的单调递增区间是________ ．4．若y＝cos x在区间[－π，α]上为增函数，则α的取值范围是________．5．函数f(x)＝sin x cos x＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是 ( )A．π，1 B．π，2、 C．2π，1 D．2π，2探究案题型一：三角函数的周期性例1. 求下列函数的周期．(1)y＝2|sin(4x－π3)|； (2)y＝(a sin x＋cos x)2(a∈R)；(3)y＝2cos x sin(x＋π3)－3sin2x＋sin x cos x.拓展1. (1)f(x)＝|sin x－cos x|的最小正周期为________．(2)若f(x)＝sinωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是_____．题型二：三角函数的奇偶性例2.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cos(π2＋2x)c os(π＋x)； (2)f(x)＝x sin(5π－x) （3）f(x)＝sin(2x－3)＋sin(2x＋3)；（4）f(x)＝cos x－sin x1－sin x；（5）y＝sin(2x＋π2)；（6）y＝tan(x－3π)拓展2：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为 ( )A.3π4B.π4C．0 D．－π4题型三：三角函数的对称性例3.(1)函数f(x)＝sin(2x－π6)的对称中心为 .对称轴方程为．(2)设函数y＝sin2x＋a cos2x的图像关于直线x＝－π6对称，a= ．(3)函数y＝tan(x2＋π3)的图像的对称中心为__________．拓展3. (1)函数y＝sin(2x＋π3)的图像的对称轴方程可能是 ( )A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12(2)函数y＝2cos x(sin x＋cos x)的图像的一个对称中心的坐标是 ( )A．(3π8，0) B．(3π8，1) C．(π8，1) D．(－π8，－1)题型四：三角函数的单调性例4 (1)求函数y＝cos(－2x＋π3)的单调递减区间；(2)求函数y＝sin(π3－2x)的单调递减区间；(3)求y＝3tan(π6－x4)的最小正周期及单调递减区间；(4)求函数y＝－|sin(x＋π4)|的单调递减区间．拓展4：(1)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是A．[12，54] B．[12，34] C．(0，12] D．(0,2] ( )(2)求函数f(x)＝2sin x cos x－2cos2x＋2的单调区间．我的学习总结：（1）我对知识的总结 .（2）我对数学思想及方法的总结。
高考数学第一轮复习教案-专题2函数概念与基本初等函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二 函数概念与基本初等函数
一、考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 二、考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和 性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质 函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函 数的定 义：如果 对于函 数f(x)的定 义域内 任意一 个x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数f(x)就叫 做奇函 数.
一轮复习课时训练§2.2：函数的单调性与奇偶性
第二章§2：函数的单调性与奇偶性(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a)为偶函数，则a 等于A ．－2B ．－1C ．1D ．22．给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．函数y ＝f(x)对于任意x ，y ∈R ，有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x ＞0时，f(x)＞1，则下列结论正确的是A ．f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数B ．f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数C ．f(x)在R 上是减函数D ．f(x)在R 上是增函数4．设奇函数f(x)在[－1,1]上是单调增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t 2－2t ＋1，对所有的x ∈[－1,1]都成立，则t 的取值范围是A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)5．函数y ＝f(x)与y ＝g(x)有相同的定义域，且都不是常函数，对定义域中任意x ，有 f(x)＋f(－x)＝0，g(x)·g(－x)＝1，且g(x)≠1，则F(x)＝2f (x )g (x )－1＋f(x)为 A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．若函数f(x)＝(3m ＋1)x 2＋mx ＋3(x ∈R)为偶函数，则f(x)的单调减区间为________．7．若f(x)是定义在R 上的奇函数，对x ∈R ，总有f(x ＋32)＝－f(x)，则f(－32)＝________.8．已知一系列函数有如下性质：函数y ＝x ＋1x在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数； 函数y ＝x ＋2x在(0，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数； 函数y ＝x ＋3x在(0，3]上是减函数，在[3，＋∞)上是增函数； ……利用上述所提供的信息解决问题：若函数y ＝x ＋log 3m x(x>0)的值域是[2，＋∞)，则实数m 的值是________． 三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝x 2x ＋a(a ∈R)． (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当a ＝－1时，讨论函数f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由已知得函数y ＝x 2＋(1－a)x －a 是偶函数，得1－a ＝0，a ＝1.答案：C2．解析：∵y ＝x 12为幂函数， ∴在x ∈(0,1)上为增函数．对于y ＝2x ＋1，可表示为y ＝2·2x ，在定义域上为增函数． ∵y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上为减函数，y ＝|x －1|在(－∞，1)上为减函数，∴②③正确． 答案：B3．解析：设x 1＞x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1－x 2＋x 2)－f(x 2)＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)－1－f(x 2) ＝f(x 1－x 2)－1＞1－1＝0，∴f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)为增函数．答案：D4．解析：由已知得当x ∈[－1,1]时，f(x)的最大值为f(1)＝1.又f(x)≤t 2－2t ＋1对所有 x ∈[－1,1]恒成立，∴t 2－2t ＋1≥1.解得t ≤0或t ≥2.答案：D5．解析：由已知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝1g (x )， F(－x)＝2f (－x )g (－x )－1＋f(－x)＝－2f (x )1g (x )－1－f(x)＝－f (x )g (x )－f (x )1－g (x )＝f (x )g (x )＋f (x )g (x )－1 ＝f (x )g (x )－f (x )＋2f (x )g (x )－1＝f(x)＋2f (x )g (x )－1＝F(x)． ∴F(x)为偶函数．答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，从而得m ＝0，∴f(x)＝x 2＋3.∴f(x)的减区间为(－∞，0]．答案：(－∞，0]7．解析：由题意f(0)＝0，∴f(－32)＝－f(32)＝－f(32＋0)＝f(0)＝0. 答案：08． 解析：由题意知，y ＝x ＋log 3m x(x>0)在(0，log 3m]上是减函数，在[log 3m ，＋∞)上是增函数，即函数的最小值是log 3m ＋log 3m log 3m ＝2log 3m ，所以log 3m ＝1，解得m ＝3. 答案：3 三、解答题：本大题共2小题，共36分．9. （本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)若a ＝0，f(x)＝x(x ≠0)，f(x)为奇函数．若a ≠0，则f(x)的定义域为{x|x ≠－a}，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)方法一：a ＝－1时，f(x)＝x 2x －1.设2＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 21x 1－1－x 22x 2－1＝x 21x 2－x 21－x 22x 1＋x 22(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2(x 1－x 2)－(x 1－x 2)(x 1＋x 2)(x 1－1)(x 2－1) ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1) ＝(x 1－x 2)[(x 1－1)(x 2－1)－1](x 1－1)(x 2－1). ∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1－1＞1，x 2－1＞1，则(x 1－1)(x 2－1)－1＞0，∴f(x 1)－f(x 2)＜0， ∴f(x 1)＜f(x 2)， ∴f(x)在(2，＋∞)上为单调增函数．方法二：当a ＝－1时f(x)＝x 2x －1， f ′(x)＝2x (x －1)－x 2(x －1)2＝x (x －2)(x －1)2. ∵x>2，∴f ′(x)>0，∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数．10. （本小题满分18分（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵f(x)＝e x －(1e )x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－(1e)x 是增函数，∴f(x)是增函数． 由于f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝e －x －e x ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立⇔f(x 2－t 2)≥f(t －x)对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔(t ＋12)2 ≤(x ＋12)2min ⇔(t ＋12)2≤0⇔t ＝－12.故存在实数t ＝－12，满足题意．。
高一数学教案：《函数单调性与奇偶性》
高一数学教案：《函数单调性与奇偶性》函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性。
当函数f（x）的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f（x）也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。
学生总结规律.函数的奇偶性概念引入时，可设计一个课件，以的图象为例，让自变量互为相反数，观察对应的函数值的变化规律，先从具体数值开始，逐渐让在数轴上动起来，观察任意性，再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程，再得到等式时，就比较轻易体会它代表的是无数多个等式，是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题，也可借助课件将函数图象进行多次改动，帮助学生发现定义域的对称性，同时还可以借助图象（如）说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.【教学设计】教学目标1.使学生了解奇偶性的概念，回会利用定义判定简单函数的奇偶性.2.在奇偶性概念形成过程中，培养学生的观察，归纳能力，同时渗透数形结合和非凡到一般的思想方法.3.在学生感受数学美的同时，激发学习的爱好，培养学生乐于求索的精神.教学重点，难点重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判定难点是对概念的熟悉教学用具投影仪，计算机教学方法引导发现法【教学过程】一. 引入新课前面我们已经研究了函数的单调性，它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质，今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.对称我们大家都很熟悉，在生活中有很多对称，在数学中也能发现很多对称的问题，大家回忆一下在我们所学的内容中，非凡是函数中有没有对称问题呢?（学生可能会举出一些数值上的对称问题，等，也可能会举出一些图象的对称问题，此时教师可以引导学生把函数具体化，如和等.）结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题，而我们还曾研究过关于轴对称的问题，你们举的例子中还没有这样的，能举出一个函数图象关于轴对称的吗?学生经过思考，能找出原因，由于函数是映射，一个只能对一个，而不能有两个不同的，故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题，从形的特征中找出它们在数值上的规律.二. 讲解新课2.函数的奇偶性（板书）教师从刚才的图象中选出，用计算机打出，指出这是关于轴对称的图象，然后问学生初中是怎样判定图象关于轴对称呢?（由学生回答，是利用图象的翻折后重合来判定）此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数，函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化，再用数学符号表示.（借助课件演示令比较得出等式，再令，得到，详见课件的使用）进而再提出会不会在定义域内存在，使与不等呢?（可用课件帮助演示让动起来观察，发现结论，这样的是不存在的）从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个，都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义，不准确的地方教师予以提示或调整.（1）偶函数的定义:假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就叫做偶函数.（板书）（给出定义后可让学生举几个例子，如等以检验一下对概念的初步熟悉）提出新问题:函数图象关于原点对称，它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?（同时打出或的图象让学生观察研究）学生可类比刚才的方法，很快得出结论，再让学生给出奇函数的定义.（2）奇函数的定义: 假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就叫做奇函数.（板书）（由于在定义形成时已经有了一定的熟悉，故可以先作判定，在判定中再加深熟悉）前三个题做完，教师做一次小结，判定奇偶性，只需验证与之间的关系，但对你们的回答我不满足，因为题目要求是判定奇偶性而你们只回答了一半，另一半没有作答，以第（1）为例，说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.（从这个问题的解决中让学生再次熟悉到定义中任意性的重要）从（4）题开始，学生的答案会有不同，可以让学生先讨论，教师再做评述.即第（4）题中表面成立的= 不能经受任意性的考验，当时，由于，故不存在，更谈不上与相等了，由于任意性被破坏，所以它不能是奇偶性.教师由此引导学生，通过刚才这个题目，你发现在判定中需要注重些什么?（若学生发现不了定义域的特征，教师可再从定义启发，在定义域中有1，就必有1，有2，就必有2，有，就必有，有就必有，从而发现定义域应关于原点对称，再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?可以用（6）辅助说明充分性不成立，用（5）说明必要性成立，得出结论.（3）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.（板书）由学生小结判定奇偶性的步骤之后，教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数，有是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数，那么有没有这样的函数，它既是奇函数也是偶函数呢?若有，举例说明.经学生思考，可找到函数 .然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证实吗?例2. 已知函数既是奇函数也是偶函数，求证: .（板书）（试由学生来完成）证实: 既是奇函数也是偶函数，= ，且，= .，即 .证后，教师请学生记住结论的同时，追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个，经教师提示可发现，只是解析式的特征，若改变函数的定义域，如，，，，它们显然是不同的函数，但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类（4）函数按其是否具有奇偶性可分为四类: （板书）三. 小结1. 奇偶性的概念2. 判定中注重的问题四. 作业略五. 板书设计2.函数的奇偶性（1）偶函数定义（2）奇函数定义（3）定义域关于原点对称是函数例2. 小结具备奇偶性的必要条件（4）函数按奇偶性分类分四类【探究活动】（1）定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和，你能试证实之吗?（2）判定函数在上的单调性，并加以证实.在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题:。
函数的奇偶性、周期性与对称性 课件--2023届高三数学一轮复习
命题点3 利用奇偶性求函数值和最值
例4 （1）已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的
最大值为M，最小值为m，则M＋m＝____4____.
(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝
____4____.
(3)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的
则y＝f(x)的图象关于直线x＝ a＋b 轴对称. (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(2a－x)，
则y＝f(x)的图象关于点（a，0）中心对称.
(4)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，
则(5)y若＝函f(x数)的f(x图)满象足关f于(a＋点x)＋a＋f2(bb－，0x)＝中c心，对称. 则函数f(x)的图象关于点 a＋2 b，2c 中心对称.
(2)(多选)关于函数f(x)＝sin
x＋
1 sin
x
有如下四个命题，其中
正确的是
A.f(x)的图象关于y轴对称
√B.f(x)的图象关于原点对称 √C.f(x)的图象关于直线x＝π 对称 √D.f(x)的图象关于点(π，0)2对称
本节结束
谢谢
1－x 跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ 1＋x ，则下列函数
中为奇函数的是
A.f(x－1)－1
√B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1
D.f(x＋1)＋1
2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在 一 个 非 零 常 数 T ， 使 得 对 每 一 个 x∈D 都 有 x ＋ T∈D ， 且 __f_(x_＋__T__)＝__f_(_x，) 那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常 数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最__小__的正数，那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
高三数学第一轮总复习函数的单调性教案
新安中学2008届高三数学第一轮总复习函数的单调性教案课题：函数的单调性教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 教学过程： （一）主要知识：1．函数单调性的定义：如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。
2．设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在是减函数。
3．复合函数单调性的判断． （二）主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数； （4）单调函数的性质法；（5）图象法；（6）复合函数的单调性结论等 （三）例题分析：例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．例2．设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为 ．例4．（2004福建）定义在R 上的偶函数f x 满足2f x f x ，当3,4x 时，2f x x ，则（ ）11sinsincos223333sin1cos1sincos22A f f cosB f fC f fD f f例5．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．（五）高考回顾：考题1（2005山东）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（D ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x xf x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+ 考题2（2005上海） 若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上是( A )(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值考题3（2005天津）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（B ）A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(考题4 (2005重庆)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 (D )(A) (∞,2)； (B) (2,∞)； (C) (∞,2)⋃(2,∞)；(D) (2,2)。
第2章 第2节 第2课时函数的周期性--2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
[证明] 因为f(x)是奇函数，所以∀ x∈D，－x∈D， 且f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，
若0∈D，令x＝0，则f(0)＋f(－0)＝0，即f(0)＝0.若奇 函数f(x)在D上有最值，设f(x)max＝f(x0)，
则f(x0)≥f(x)(x∈D)， 所以f(－x0)＝－f(x0)≤－f(x) ＝f(－x)(－x∈D)， 即f(x)min＝f(－x0)，由f(x0)＋f(－x0)＝0， 得f(x)max＋f(x)min＝0.
基础自测
◇疑误辨析 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( × ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( × ) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函 数的周期.( √ ) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象 关于点(b，0)中心对称.( √ )
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－
1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是( A )
A.(－1，3)
B.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C.(－3，1)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
(2)由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)， 则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4， 则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4， 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， f(－1)＞1，所以f(1)＜－1， 所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3.故选A.
1.f(0)＝0既不是f(x)是奇 函数的充分条件，也不
是必要条件. 2.函数f(x)满足的关系 f(a＋x)＝f(b－x)表明的 是函数图象的对称性，
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函数的单调性与奇偶性
班别：_________姓名__________学号：__________
【教学目标】复习函数单调性和奇偶性，理解及综合应用函数的单调性和奇偶性
【教学重点】数形结合看函数的单调性与奇偶性，特殊值，抽象函数
【教学难点】数形结合意识，抽象函数的具体化
课前小测:
1．函数y＝－x2的单调减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
2.设偶函数f(x) 的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
3.如图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值为( )
A.32 B．－32 C．12 D．－12
4.若函数()fx是定义在R上的奇函数，则(0)f 。
5．函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则f(－3)与f(2)的大小关系是________________．
一、考点、热点回顾
知识点一 函数的单调性与最值
1.函数的单调性
增函数 减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1
区间D上是减函数
图象描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
知识点二 函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
2
函数()yfx的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像
2.要点诠释：
(1)奇偶性是整体性质；
(2)x在定义域中，那么x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
(3)fxfx的等价形式为：0fxfx，10fxfxfx，
fxfx的等价形式为：
0fxfx
，10fxfxfx；
(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有00f；
(5)若fx既是奇函数又是偶函数，则必有0fx；
(6)函数fx为奇函数图象关于原点对称；函数fx为偶函数图象关于y轴对称.
二、典型例题
1.若函数222)(mmxxxf
（1）写出f(x)的单调区间；
（2）若f(x)在),1[上是增函数，求m的取值范围
2. 定义在(1,1)上的奇函数()fx是减函数，且满足条件(1)(12)0fafa，求a的取值范围。
xyoxyoxyox
y
o
偶函数奇函数奇函数奇函数
3
3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当0x时，)1()(xxxf，求函数的解析式
三、课堂练习
1．已知函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．若偶函数)(xf在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．)2()1()23(fff B．)2()23()1(fff
C．)23()1()2(fff D．)1()23()2(fff
3．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
4．设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF在R上一定是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。
5．下列函数中,在区间0,1上是增函数的是( )
A．xy B．xy3 C．xy1 D．42xy
6．若函数2()(2)(1)3fxkxkx是偶函数，则)(xf的递减区间是 .
7.fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，2fxxx，求当0x时，fx的解析式.