矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用
由特征值的估计判断系统稳定性的方法 - 济南大学
由特征值的估计判断系统稳定性徐文敏学院：控制科学与工程学院专业：控制理论与控制工程学号：2009010206摘要：利用矩阵理论对系统的可行性和稳定性进行分析在工程当中具有非常重要的指导意义。
稳定是控制系统正常工作的首要条件, 也是控制系统的一个重要性能。
而控制系统稳定性的充要条件是其特征根均需具有负实部, 因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根, 并检验所求的根是否具有负实部的问题。
但对于3阶以上的系统, 要求解其特征方程式并非一件容易的事,而利矩阵理论中矩阵特征值的估计方法,只要判断系统方程特征值是否全部落在复平面的左半部分就可判断系统是否稳定，这样可以有效的避免设计的盲目性。
本文从矩阵理论的角度出发,利用矩阵特征值的估计,对系统设计的可行性和稳定性进行分析的方法。
一.所研究的问题自动控制,是指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置,使机器、设备或生产过程的某个工作状态或参数自动地按照预定的规律运行。
例如，无人驾驶飞机按照预定的飞行航线自动升降和飞行，这是典型的自动控制技术应用的结果。
对于一个自动控制系统的性能要求可以概括为三个方面：稳定性、快速性和准确性。
一个自动控制系统的最基本的要求是系统必须是稳定的，不稳定的控制系统是不能工作的；在系统稳定的前提下，希望控制过程(过渡过程)进行得越快越好；准确性即要求动态误差和稳态误差都越小越好。
所以在设计自动控制系统时，对系统稳定性的估计就显得十分重要。
如何判断系统是稳定的，有很多稳定性的判据，如劳斯稳定判据、赫尔维茨稳定判据、奈奎斯特稳定判据、李雅普诺夫稳定判据等；线性系统理论中主要是李亚普诺夫判据的应用。
李雅普诺夫稳定判据是通过系统的系统矩阵，判断系统矩阵的特征值实部的正负，判断系统是否稳定。
若系统矩阵的所有特征值均具有非正（负或零）实部，则系统稳定；否则系统不稳定。
二.基本概念1.特征值的估计矩阵特征值可以用复平面上的点来表示.当矩阵的阶数较高时,计算他的特征值一边比较困难,而对他的特征值的位置给出一个范围就是特征值的估计问题.2.线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性判据对于线性时不变系统.x Ax Bu，如果系统矩阵A的特征值具有非正实部实部为零或负，则系统稳定。
控制系统稳定性判别的矩阵测度分析法
控制系统稳定性判别的矩阵测度分析法
王东风
【期刊名称】《自动化与仪器仪表》
【年(卷),期】2001()3
【摘要】本文介绍了自动控制系统稳定性判别的一种新的分析方法———基于矩阵测度的分析方法 ,给出了系统稳定的充分条件 ,文章最后给出了算例分析。
【总页数】2页(P17-18)
【关键词】控制系统;稳定性;矩阵测度分析法
【作者】王东风
【作者单位】华北电力大学动力系
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.Bezout矩阵与多项式稳定性判别法的一种新证明 [J], 杨正宏
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3.控制系统稳定性判别的矩阵范数分析法 [J], 郝加臣;余发山;王红旗
4.体上矩阵稳定性及其判别准则 [J], 冯海亮;伍俊良
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雅克比矩阵在动力学系统中的应用探究
雅克比矩阵在动力学系统中的应用探究动力学系统是研究物体或系统运动的数学模型，它广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
雅克比矩阵是一种线性映射在局部的导数表示。
它在动力学系统的分析中起着重要的作用，本文将探究雅克比矩阵在动力学系统中的具体应用。
首先，雅克比矩阵可以用于描述系统的稳定性。
在动力学系统中，稳定性是一个重要的概念，它决定了系统是否会趋向于平衡态。
利用雅克比矩阵可以对系统的稳定性进行分析。
具体而言，通过计算雅克比矩阵的特征值，我们可以得到系统的特征值谱，从而了解系统的稳定性。
当特征值的实部全部小于零时，系统处于稳定状态；而当存在实部大于零的特征值时，系统则处于不稳定状态。
这种稳定性分析对于理解系统的演化和预测其长期行为具有重要意义。
其次，雅克比矩阵在动态模拟中扮演着重要角色。
动态模拟是对系统在不同条件下的演化进行预测和仿真的工具，它可以帮助我们了解系统的行为和相应的参数对系统的影响。
雅克比矩阵可以被用来计算系统的Jacobi算符，利用Jacobi算符可以推断系统的动态演化。
通过对雅克比矩阵进行线性化，可以将非线性系统转化为线性系统，进而对系统进行仿真和分析。
这种转化可以简化计算，提高模型的可行性。
此外，雅克比矩阵还具有在控制系统中应用的潜力。
控制系统是指通过设置输入信号以改变系统的运动状态和行为的系统。
雅克比矩阵可以帮助分析系统的控制特性，通过将系统的控制方程转化为雅克比矩阵的形式，我们可以计算控制系统的灵敏度矩阵和控制信息矩阵。
这些矩阵可以用于评估系统的控制性能和设计控制器。
通过分析雅克比矩阵的特征值和特征向量，我们可以更好地理解系统的控制特性，并进行系统优化和控制策略的设计。
最后，雅克比矩阵还可以用于分析自由摆系统。
自由摆是最简单的动力学系统之一，它由一个可转动的杆和一个质点组成。
通过对自由摆系统进行雅克比矩阵的计算，可以得到系统的本征值和本征模式。
本征值表示系统的固有频率，而本征模式描述了每个质点的摆动方式。
矩阵理论在李雅普洛夫稳定性分析上的应用
矩阵理论在李雅普洛夫稳定性分析上的应用矩阵理论在李雅普洛夫稳定性分析上的应用一引言一个自动控制系统要能正常的工作，必须首先是稳定的系统，即当系统受到外界干扰时，它的平衡被破坏但是在外界干扰去掉之后，它仍能够有能力自动地恢复到平衡态下继续工作，系统的这种性能称为稳定性。
例如，电压自动调节系统中保持电机电压为恒定的能力，电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。
也可以说，系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后，系统的状态变量或者输出变量的偏差量过渡过程的收敛性，用数学方法就是表示为：ε≤∆∞→|)(|lim t x n式中，)(t x ∆为系统被调量偏离其系统位置的变化量，ε为任意小的规定量。
如果系统在受到外界干扰后偏差量越来越大显然不是一个稳定的系统。
李雅普洛夫第二法也称为直接法，它的特点是通过定义李雅普洛夫函数，直接判断分析系统的稳定性。
二 李雅普洛夫意义下的稳定性定义 ：对于由状态方程),(t x f x =∙描述的系统对于任意给定的实数0>ε和任意给定的初始时刻0t ，都对应存在一个实数0),(0>t εδ使得对于从任意位于平衡态e x 的球域),(δe x S 的初始状态0x 出发的状态方程的解x 都位于球域),(δe x S 内，则称系统的平衡态e x 是李雅普洛夫意义下的稳定性。
李雅普洛夫稳定性示意图 李雅普洛夫不稳定性的示意图 1） 李雅普洛夫第二法的相关定理 矩阵论相关知识：x2O x1ε δ X(0) x2O x1 1 δ ε① 范数范数在数学中定义为度量n 维空间的点之间的距离。
在工程中常用的是2-范数，就欧几里得范数，其定义式为：∑=-=-ni i i x x x x 12,2,1221)( 其中的i x ,1和i x ,2分别为向量1x 和2x 的各分量。
② 各点组成的空间成为球域，记为),(0δx S 。
即),(0δx S 包含满足δ≤-20x x 的n 维空间中的各点x③ 定义：设对称矩阵P 为二次型函数)(x V 的权矩阵，当)(x V 分别为正定，负定，非负定，非正定与不定时，则对称阵P 相应的为正定，负定，非负定，非正定与不定。
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用矩阵不等式理论是现代数学中的一个重要分支，其在控制理论领域中扮演着重要角色。
本文将介绍矩阵不等式理论的基本概念，讨论其在控制理论中的应用，并探讨相关研究的前沿发展。
一、矩阵不等式理论的基本概念1.1 矩阵基础知识在讨论矩阵不等式理论之前，我们首先需要了解一些矩阵的基础知识。
矩阵是由一些数构成的矩形阵列，可以表示为$m\times n$的矩阵$A$：$A=[a_{ij}]_{m\times n}$，其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 矩阵不等式定义矩阵不等式是对矩阵中元素的一种约束条件。
常见的矩阵不等式有大于等于不等式、小于等于不等式、严格大于不等式和严格小于不等式。
比如对于两个矩阵$A$和$B$，$A\geq B$表示对应元素满足$a_{ij}\geq b_{ij}$。
二、矩阵不等式理论在控制理论中的应用2.1 线性矩阵不等式线性矩阵不等式是矩阵不等式理论的重要应用之一。
在控制理论中，通过线性矩阵不等式可以描述线性系统的性能和稳定性。
线性矩阵不等式的求解可以通过线性矩阵不等式方法或凸优化方法来实现。
2.2 非线性矩阵不等式除了线性矩阵不等式，非线性矩阵不等式也在控制理论中起到关键作用。
非线性矩阵不等式可以描述非线性系统的性能和稳定性。
然而，非线性矩阵不等式的求解相较于线性矩阵不等式更加复杂，需要运用数值计算和最优化等方法。
2.3 随机矩阵不等式随机矩阵不等式是指矩阵不等式中包含随机变量的情况。
在控制理论中，随机矩阵不等式可用于描述带有随机干扰的系统的性能和鲁棒稳定性问题。
随机矩阵不等式的求解方法包括最优化方法和随机矩阵计算方法。
三、矩阵不等式理论的前沿发展矩阵不等式理论在控制理论中的应用仍在不断发展。
近年来，针对矩阵不等式理论的研究趋势主要体现在以下几个方面：3.1 非线性矩阵不等式的求解算法改进由于非线性矩阵不等式的求解复杂度较高，需要运用数值计算和最优化等方法。
线性代数在自动控制系统中的应用
线性代数在自动控制系统中的应用自动控制系统是现代工程和科学中的一个重要领域。
它的主要目标是通过使用传感器和执行器，对物理过程进行监测和控制，以实现所期望的系统功能。
而线性代数作为数学的一个分支，对于自动控制系统的设计、分析和优化发挥着重要的作用。
本文将探讨线性代数在自动控制系统中的应用。
1. 状态空间模型在自动控制系统中，状态空间模型是一种常用的数学工具，用于描述系统的行为。
它是基于向量和矩阵的线性代数概念构建的。
状态空间模型可以将系统的状态表示为一个向量，并使用线性方程组来描述系统的演化。
通过状态空间模型，可以方便地分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质，以及设计控制器来实现所需的系统行为。
2. 矩阵运算线性代数中的矩阵运算在自动控制系统中也得到了广泛的应用。
在系统的动态建模过程中，矩阵运算可以用来描述系统的输入、输出关系。
例如，通过矩阵乘法可以表示系统的输入与状态之间的关系，进而得到系统的输出。
此外，矩阵运算还可以用于参数估计、滤波和优化等问题的求解。
3. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，也在自动控制系统中发挥了重要作用。
在系统的稳定性分析中，通过计算系统的特征值，可以判断系统是否稳定。
当特征值的实部全部为负时，系统是稳定的；当存在一个或多个特征值的实部为正时，系统是不稳定的。
此外，特征向量也可以用来描述系统的振荡特性和响应模式。
4. 卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器是一种重要的状态估计算法，广泛应用于自动控制系统中。
它基于线性代数的概念，通过对系统的测量和模型进行融合，提供对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器在飞行器导航、位置跟踪和信号处理等应用中得到了广泛使用，为实时系统提供了准确的估计结果。
5. 最小二乘法最小二乘法是线性代数中的一种常见优化方法，也在自动控制系统中有着广泛的应用。
在系统辨识和参数估计问题中，最小二乘法可以用来拟合模型和估计参数。
通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和，可以获得最优的拟合结果。
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。
本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。
1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。
该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。
2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。
它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。
3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。
4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。
该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。
总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。
矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用
矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用【摘要】在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用，随着科技的发展，自动控制理论跨入了一个全新的阶段——现代控制理论，它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题，而研究多变量系统的主要工具是矩阵理论。
因此，矩阵理论及其矩阵函数理论在现代控制理论中有着广泛而重要的应用。
本文主要介绍了矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用，重点讨论了两种李亚普诺夫方法。
【关键词】线性定常系统；非线性定常系统；矩阵函数；矩阵理论；雅可比矩阵1.引言一个自动控制系统要能正常工作，必须是一个稳定的系统。
例如，电压自动调节系统中保持点击电压为恒定的能力；电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。
稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰消失以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。
一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状态是否稳定。
简单地说，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能，它是系统的一个自身动态属性。
如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。
稳定性和能控性、能观测性一样，均是系统的结构性质。
稳定性是子弹控制系统能否正常工作的先决条件，因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首要问题。
1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。
该理论基于系统的状态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法，是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。
基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性，因此，经典控制理论中的稳定性一般指输出（外部）稳定性；状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性，且全面揭示了系统的内部特性，因此，借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态（内部）稳定性。
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矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用【摘要】在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用，随着科技的发展，自动控制理论跨入了一个全新的阶段——现代控制理论，它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题，而研究多变量系统的主要工具是矩阵理论。
因此，矩阵理论及其矩阵函数理论在现代控制理论中有着广泛而重要的应用。
本文主要介绍了矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用，重点讨论了两种李亚普诺夫方法。
【关键词】线性定常系统；非线性定常系统；矩阵函数；矩阵理论；雅可比矩阵1.引言一个自动控制系统要能正常工作，必须是一个稳定的系统。
例如，电压自动调节系统中保持点击电压为恒定的能力；电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。
稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰消失以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。
一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状态是否稳定。
简单地说，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能，它是系统的一个自身动态属性。
如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。
稳定性和能控性、能观测性一样，均是系统的结构性质。
稳定性是子弹控制系统能否正常工作的先决条件，因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首要问题。
1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。
该理论基于系统的状态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法，是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。
基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性，因此，经典控制理论中的稳定性一般指输出（外部）稳定性；状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性，且全面揭示了系统的内部特性，因此，借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态（内部）稳定性。
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法，即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。
李雅普诺夫第一法（简称间接法）是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。
对线性定常系统，只需解出全部特征根即可判断稳定性；对非线性系统，则采用微偏线性化的方法处理，即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性，故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。
李雅普诺夫第二法（简称直接法）的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。
该方法建立在能量观点的基础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动，其存储的能量将随时间增长而不断衰减，直至系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。
由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量”函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。
由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为直接法，其最大优点在于对任何复杂系统都适用，而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析，则更能显示出优越性。
2.李亚普诺夫稳定性的基本概念系统稳定性是动态系统的一个重要的、可以用定量方法研究和表示的定性指标。
它反映的是系统的一种本质特征。
这种特征不随系统变换而改变，但可通过系统反馈和综合加以控制。
这也是控制理论和控制工程的精髓。
在经典控制理论中，讨论的是在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题。
从经典控制理论知道，线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根，与初始条件和扰动都无关，而非线性系统则不然。
非线性系统的稳定性是相对于系统的平衡态而言的，我们很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。
对于非线性系统，其不同的平衡态有着不同的稳定性，故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。
对于稳定性的线性系统，由于只存在唯一的孤立平衡态，所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。
李亚普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。
它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。
2.1 平衡状态稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。
对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状态方程为),(.t x f x = （2-1-1）式中，x 为n 维状态向量，且显含时间变量t ；),(t x f 为线性或非线性、定常或时变的n 维向量函数，其展开式为 ),,,(21.t x x x f x n i i ，⋯=，n i ,,2,1⋯= （2-1-2）式（2-1-2）的解为),;()(00t x t t x φ= （2-1-3）式中，0t 为初始时刻；00)(x t x =为状态向量的初始值。
式（2-1-3）描述了式（2-1-1）在n 维状态空间的状态轨线。
若在式（2-1-1）所描述的系统中，存在状态点e x ，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，即0|.==e x x x ，该类状态点即为系统的平衡状态。
若系统式（2-1-1）存在状态向量e x ，对所有时间t 都使0),(≡t x f e （2-1-4）成立，则称e x 为系统的平衡状态。
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
式（2-1-4）为式（2-1-1）所描述系统平衡状态的方程。
可知，平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点（状态）。
由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态。
李亚普诺夫稳定性研究的是平衡态附近（领域）的运动变化问题。
若平衡态附近某充分小领域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的；若发散掉则称为不稳定的，若能维持在平衡态附近某个领域内运动变化则称为稳定的。
如图2-1-1所示3.李亚普诺夫第一法基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最后根据线性化方程的特征值判定原非线性系统的稳定性。
设非线性系统的状态方程为0),(),,(.≡=t x f t x f x e （3-1） 或写成),,,,(21.t x x x f x n i ⋯= , n i ，⋯=,2,1 （3-2）将非线性函数(.)i f 在平衡状态e x =0处附近展成泰勒级数，则有),,,,(),,,,(212211021t x x x f x x f x x f x x f f t x x x f n i n n i i i i n i ⋯+∂∂+⋯+∂∂+∂∂+=⋯-（3-3） 式中，io f 为常数；j i x f ∂∂为一次项系数，且),,,,(21t x x x f n i ⋯-为所有高次项之和。
由于0)0,0,0(0≡=⋯i i f t f ，，，故线性化方程为 Ax x =.（3-4） 式中 n n n n n nn n T x f x f x f x f x f x f x f x f x f x t x f A ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⋯∂∂∂∂∂∂⋯∂∂∂∂=∂∂= 212221212111),( （3-5）为雅可比矩阵。
现在我们讨论0=e x 的稳定性问题，李亚普诺夫证明了三个定理，给出了明确的结论： ① 如果线性化系统的系统矩阵A 的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态e x =0总是渐近稳定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。
② 如果线性化系统的系统矩阵A 特征值中，至少有一个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何，原非线性系统的平衡状态0=e x 总是不稳定的。
③ 如果线性化系统的系统矩阵A 有实部为零的特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原非线性系统平衡状态0=e x 的稳定性决定于高阶导数项，即可能不稳定，也可能稳定。
4.李亚普诺夫第二法由李雅普诺夫第一法的结论可知，该方法能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题，但对强非线性系统的稳定性判定则无能为力，而且该方法不易推广到时变系统。
下面讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析都适用的李亚普诺夫第二法。
它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。
由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味总能量对时间的导数为负定），直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。
李亚普诺夫第二法是建立在更为普遍意义基础上的，即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。
然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。
为了克服这个困难，李亚普诺夫定义了一个虚构的能量函数，称为李亚普诺夫函数。
当然，这个函数无疑比能量函数更为一般，且其应用也更广泛。
实际上。
任一标量函数只要满足李亚普诺夫稳定性定理的假设条件，都可以作为李亚普诺夫函数。
李亚普诺夫函数与n x x x ,,,21⋯和t 有关，我们用),,,,(21t x x x V n ⋯或者),(t x V 来表示李亚普诺夫函数。
如果李亚普诺夫函数中不含t ，则用),,,(21n x x x V ⋯或)(x V 表示。
在李亚普诺夫第二法中，),(t x V 和其对时间的全导数dt t x dV t x V ),(),(.=的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则。
这种间接方法不必直接求出给定非线性状态方程的解。
李亚普诺夫第二法的基本思想就是通过定义和分析一个在平衡态领域的关于运动状态的广义能量函数来分析平衡态的稳定性。
通过考察该能量函数随时间变化是否衰减来判定平衡态是渐近稳定，还是不稳定。
1.关于渐近稳定性可以证明：如果x 为n 维向量，且其标量函数)(x V 正定，则满足C x V =)( （4-1）的状态x 处于n 维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，这里C 为正常数。
此时，随着∞→x ,上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。
如果21C C <，则超曲面1)(C x V =完全处于超曲面2)(V C x =的内部。
对于给定的系统，若可求得正定的标量函数)(V x ，并使其沿轨迹对时间的全导数总为负定，则随时间的增加，)(V x 将取越来越小的C 值。
随着时间的进一步增长，最终)(V x 变为零，而x 也趋于零。
这意味着，状态空间的原点是渐近稳定的，李亚普诺夫主稳定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定的充分条件。