矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用

矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用

【摘要】在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用，随着科技的发展，自动控制理论跨入了一个全新的阶段——现代控制理论，它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题，而研究多变量系统的主要工具是矩阵理论。因此，矩阵理论及其矩阵函数理论在现代控制理论中有着广泛而重要的应用。

本文主要介绍了矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用，重点讨论了两种李亚普诺夫方法。

【关键词】线性定常系统；非线性定常系统；矩阵函数；矩阵理论；雅可比矩阵

1.引言

一个自动控制系统要能正常工作，必须是一个稳定的系统。例如，电压自动调节系统中保持点击电压为恒定的能力；电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。

稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰消失以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状态是否稳定。简单地说，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能，它是系统的一个自身动态属性。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。

稳定性和能控性、能观测性一样，均是系统的结构性质。稳定性是子弹控制系统能否正常工作的先决条件，因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首要问题。

1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法，是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。

基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性，因此，经典控制理论中的稳定性一般指输出（外部）稳定性；状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性，且全面揭示了系统的内部特性，因此，借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态（内部）稳定性。

李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法，即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。

李雅普诺夫第一法（简称间接法）是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统，只需解出全部特征根即可判断稳定性；对非线性系统，则采用微偏线性化的方法处理，即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性，故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。

李雅普诺夫第二法（简称直接法）的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动，其存储的能量将随时间增长而不断衰减，直至系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量”函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程就能直

接判断其稳定性，故又称为直接法，其最大优点在于对任何复杂系统都适用，而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析，则更能显示出优越性。

2.李亚普诺夫稳定性的基本概念

系统稳定性是动态系统的一个重要的、可以用定量方法研究和表示的定性指标。它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系统变换而改变，但可通过系统反馈和综合加以控制。这也是控制理论和控制工程的精髓。

在经典控制理论中，讨论的是在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题。从经典控制理论知道，线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根，与初始条件和扰动都无关，而非线性系统则不然。

非线性系统的稳定性是相对于系统的平衡态而言的，我们很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。对于非线性系统，其不同的平衡态有着不同的稳定性，故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。

对于稳定性的线性系统，由于只存在唯一的孤立平衡态，所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。

李亚普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。

2.1 平衡状态

稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状态方程为

),(.

t x f x = （2-1-1）

式中，x 为n 维状态向量，且显含时间变量t ；),(t x f 为线性或非线性、定常或时变的n 维向量函数，其展开式为 ),,,(21.

t x x x f x n i i ，⋯=，n i ,,2,1⋯= （2-1-2）

式（2-1-2）的解为

),;()(00t x t t x φ= （2-1-3）

式中，0t 为初始时刻；00)(x t x =为状态向量的初始值。

式（2-1-3）描述了式（2-1-1）在n 维状态空间的状态轨线。若在式（2-1-1）所描述的系统中，存在状态点e x ，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，即0|.==e x x x ，该类状态点即为系统的平衡状态。

若系统式（2-1-1）存在状态向量e x ，对所有时间t 都使

0),(≡t x f e （2-1-4）

成立，则称e x 为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。 式（2-1-4）为式（2-1-1）所描述系统平衡状态的方程。

可知，平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点（状态）。由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态。

李亚普诺夫稳定性研究的是平衡态附近（领域）的运动变化问题。若平衡态附近某充分小领域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的；若发散掉则称为不稳定的，若能维持在平衡态附近某个领域内运动变化则称为稳定的。如图2-1-1所示

3.李亚普诺夫第一法

基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最后根据线性化方程的特征值判定原非线性系统的稳定性。

设非线性系统的状态方程为

0),(),,(.≡=t x f t x f x e （3-1） 或写成

),,,,(21.

t x x x f x n i ⋯= , n i ，⋯=,2,1 （3-2）

将非线性函数(.)i f 在平衡状态e x =0处附近展成泰勒级数，则有

),,,,(),,,,(212211021t x x x f x x f x x f x x f f t x x x f n i n n i i i i n i ⋯+∂∂+⋯+∂∂+∂∂+=⋯-（3-3） 式中，io f 为常数；j i x f ∂∂为一次项系数，且),,,,(21t x x x f n i ⋯-

为所有高次项之和。 由于0)0,0,0(0≡=⋯i i f t f ，，

，故线性化方程为 Ax x =.

（3-4） 式中 n n n n n n

n n T x f x f x f x f x f x f x f x f x f x t x f A ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⋯∂∂∂∂∂∂⋯

∂∂∂∂=∂∂= 2122212

12111),( （3-5）