初等数论：不定方程与高斯函数
初等数论：不定方程与高斯函数
一、不定方程
不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
1．不定方程问题的常见类型：
（1）求不定方程的解；
（2）判定不定方程是否有解；
（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：
（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；
（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；
（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；
（5）无穷递推法。
以下给出几个求解定理：
（一）二元一次不定方程（组）
定义.形如ax+by=c(a,b,c ∈Z,a,b 不同时为零)的方程称为二元一次不定方程 定理1.方程ax+by=c 有解的充要条件是(a,b)|c ；
定理2.若(a,b)=1，且x 0，y 0为ax+by=c 的一个解，则方程全部解可以表示成 （t 为任意整数)。 定理2’..元一次不定方程a 1x 1+ a 2x 2+ …a n x n =c(a 1 ,a 2, …a n ,c ∈N) 有解的充要条件是 (a 1, …,a n )|c.
方法与技巧：
1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；
2．解元一次不定方程a 1x 1+ a 2x 2+ …a n x n =c
时，可先顺次求出，……，.
若 ，则方程无解；若|，则
00 t , y=y t
x x b a =+-
方程有解，作方程组：
求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
3．m个n元一次不定方程组成的方程组，其中m （二）高次不定方程（组）及其解法 1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组； 2．同余法：如果不定方程F(x1,…x n)=0有整数解，则对于任意m∈N，其整数解(x1,…x n)满足F(x1,…x n)≡0(mod m)，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石； 3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解； 4．无限递降法：若关于正整数的命题P(n)对某些正整数成立，设n0是使 成立的最小正整数，可以推出：存在，使得成立，适合证明不定方程无正整数解。 方法与技巧： 1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会； 2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试； 3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验， 求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式； 4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。 定理3 方程x 1+ …+x n =k （k ∈N +） （1）非负整数解有11n n k C -+-组 （2）当k ≥n 时，正整数解有11n k C --组 例题 1．求不定方程x 4+y 4+z 4=2x 2y 2+2y 2z 2+2z 2x 2+24的所有正整数解。 2．设k 是给定的正整数，k ≥2，求证：连续3个正整数的积不能是整数的k 次幂 3．确定方程44412 14...1999x x x +++=的全部非负整数解 4．求证下列数不能表示为若干连续整数的立方和 （1）38597 （2）36617 5．正整数n 不能被2，3整除，且不存在非负整数a ，b ，使得|23|a b n -=，求n 最小值 6．求22328x y +=的全部正整数解 7．求2222319890x xy y -+=的整数解 8．试证222530x xy z -++=无整数解 9.试求所有的正整数a ，b ，c ，使(1)(1)(1)|(1)a b c abc ---- 10．试证2222x y z xyz ++=无非零整数解 11．甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序参加淘汰赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰；胜者再与负方2号队员比赛……，直到一方队员全被淘汰，另一方才算胜利，形成一比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程有几种？ 12. m ，n ∈{1，2，……，2009}，222 ()1n mn m -+=，试求22n m +最大值 13.是否存在正整数m ，使得方程111m a b c a b c ++=++有无穷组正整数解？ 二、高斯函数[]x 1、高斯函数[]x 的定义 设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数(如0215=?? ????-，[]11263.0-=-)，则=y []x 称为高斯函数，也叫取整函数。 由定义，[][]1+<≤x x x ，故{}[]x x x -=≥0，称{x}为x 的小数部分。 2、高斯函数[]x 性质 1）x=[x]+{x},0≤{x}<1 ； [x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x ； 2）当21x x ≤时，有[][]21x x ≤； 3）对于任意实数x 、y ，有：[][][]x y x y +≤+，且 {}{}{}x y x y +≥+； 4）对于任意整数n ，有：[][]x n x n +=+； 5）[] x ?-=?? []()[]()是整数时当不是整数时当x x x x ,,1--- ； 6）对于任意正整数n 及实数x ，有：[]?? ????=??????n x n x ； 7）若x ∈R +,n ∈N *，则不超过x 的正整数中，是n 的倍数的数共有x n ?????? 个； 8）在n!的质因数分解式中，质数p 的指数是23n n n p p p ??????+++???????????? … 3、函数{}x y =性质 1）{}0=x 的充要条件是Z x ∈。 2）{}{}x x m =+的充要条件是Z m ∈。 3）若Z n ∈，N a ∈，()a r r aq n <≤+=0，则a r a n =??????。 例题 1.求1995！末尾0的个数 2. 求[1...+ ++ 3.求证：对于任意实数x 都有：[][][][]2......12x x nx nx n ≥ +++。 4.（1）找出一个实数x ，满足{}11x x ??+=???? （2）求证：满足上述等式的x 都不是有理数 5.求证：对任何自然数k （k ≥2），存在无理数r ，使得任何自然数m ， []1(mod k)m r ≡- 6.沿圆周按顺序依次写下1到N （N>2）的正整数，要求每对相邻的两位数按十进制至少有一个数字相同。求N 最小值 7.找出连续21个整数，使其每个数至少有一个素因子p （2≤p ≤13），且每个素因子至少是其中一个数的素因子 8 解方程：[]33=-x x （第20届莫斯科数学竞赛题） 9求方程[]{}x x x ?=2的正实根。 练习题 1．解不定方程x 2+y 2+z 2=x 2y 2 2．设k 是给定的正整数，k ≥2，求证：连续4个正整数的积不能是整数的k 次幂 3．求证：不定方程2(2)2m n x x +=+无正整数解 4．求81517x y z +=的全部正整数解 5．试求所有的正整数n ，使333222x y z nx y z ++=有正整数解 6. 在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器， 且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？ 7.当2≥n ()N n ∈时，=??????++++2222141312 1n ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 8、解方程：[]333=-x x 9.求证：对于任意n ∈N +，存在n 个连续正整数，它们都不是素数的整次幂 10、（08年全国高中数学联赛第二试第二题）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p 是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =???，且每个(1,2,)n a n =???都是()f x 的周期． 第七讲 不定方程 不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上．之前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程3419x +=只有一个解5x =，方程组25238x y x y +=??+=?只有一组解12x y =??=? ． 什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程25x y +=的解就不唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解．通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时．．．．．．．．．．．．．．，这个方程（或．．．．．．方程组）就会有无穷多个解．．．．．．．．．．．． ． 可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这无穷多个解都是正确的．但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对． 练一练 求下列方程的自然数解： （1）25x y +=； （2）238x y +=； （3）321x y +=； （4）4520x y +=． 本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这类方程就是“不定方程”． 形如ax by c +=（a 、b 、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解这样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下面结合例题来进行讲解． 例1． 甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请 问：张明共买了多少支铅笔？ 「分析」设张明买了甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支，可以列出不定方程：7350x y +=，其中x 和y 都是自然数．怎么求解呢？ 练习1、（1）求3535x y +=的所有自然数解；（2）求1112160x y +=的所有自然数解． 一般地，如果x m y n =??=?是ax by c +=的一组解，那么x m b y n a =+??=-? （当n a ≥时）也是ax by c +=的一组解．这是因为()()()()a m b b n a am ab bn ab am bn c ++-=++-=+=．另外，x m b y n a =-??=+? （当m b ≥时）也是ax by c +=的一组解，理由相同． 这条性质有什么用呢？我们以求2350x y +=的自然数解为例，我们容易看出它有 一组自然数解1010x y =??=?．应用上面的规律，x 每次增加3，y 每次减少2（只要y 还是自然数），所得结果仍然是2350x y +=的一组解，所以138x y =??=?、166x y =??=?、194x y =??=?、222x y =??=?、250x y =??=?都是2350x y +=的自然数解．另外x 每次减少3（只要x 还是自然数），y 每次增加2，所得结果也是2350x y +=的自然数解，所以712x y =??=?、414x y =??=?、116x y =??=? 也都是2350x y +=的自然数解．而且这样就已经求出了2350x y +=的所有自然数解，它们是： 116x y =??=?、414x y =??=?、712x y =??=?、1010x y =??=?、138x y =??=?、166x y =??=?、194x y =??=?、222x y =??=?、250x y =??=?． 这就告诉我们，在求形如ax by c +=（a 、b 、c 为正整数）的不定方程的自然数解时，我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的x 值每次变化b ，y 值每次变化a 得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证ax by +的大小不变）． 西南民族大学学报·自然科学版第33卷第2期 Journal of Southwest University for Nationalities ?Natural Science Edition Apr. 2007___________________________________________________________________ ___________________________ 收稿日期：2006-11-25 作者简介：付萍(1984-), 四川师范大学数学与软件科学学院2006级硕士研究生, 廖群英(1974-), 女, 河南师范大学副教授. 基金项目：四川省教育厅青年基金(2005B024)项目资助. 文章编号：1003-2843(2007)02-0295-04 高斯函数的一个重要性质 付萍1, 廖群英2, 李莎2 (1. 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066；2. 河南师范大学数学与信息科学学院, 河南新乡 453002) 摘 要： 从素数与合数两方面入手, 研究阶乘、整除及高斯函数三者间的关系, 归纳出高斯函数的一个重要性质：若n 是一个正整数, 则()()1!1n n n ?????+?? 是偶数. 关键词: 高斯函数; 素数; 合数 中图分类号: O156.1 文献标识码: A 1 引言 设x 为任一实数, 用[x ]表示不超过x 的最大整数, 称[x ]为高斯函数. 由定义立刻得到下列性质[1]： (1) [][]1x x x ≤<+, []1x x x ?<≤. (2) [][]n x n x +=+, n 是整数. (3) [][][]x y x y +≤+. (4) 当x 不是整数时, [][]1x x ?=??；当x 是整数时, [][]x x ?=?. (5) 若,a b 是任意两个正整数, 则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b ?????? . 1957年闵嗣鹤教授、严士健教授在文[1]中利用以上的性质(3)和(5)已解决了!n 的分解、组合数是整数等问 题. 2000年殷堰工老师[2]将!n 的标准分解式、 组合数是整数等结论很好地运用到数学竞赛中, 提供了解含阶乘整除问题的一种有效的方法. 本文进一步从素数与合数两方面入手, 对阶乘、整除及高斯函数三者间的关系进行分析, 最终得出高斯函数的一个重要性质, 即如下定理： 定理 设n 是一个大于零的整数, 则??????+?)1()!1(n n n 是偶数. 2 预备知识 为完成定理的证明, 先做以下的准备工作. 引理2.1[3](Wilson 定理) 设p 是素数, 则()()1!10mod p p ?+≡. 竞赛中的高斯函数与不定方程 一．高斯函数][x 数学竞赛试题中常常用高斯函数][x 的知识，具体包含： 一、 定义 设R x ∈，][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。函数][x y =的定义域为R ，值域为.Z 二、 性质 ][x 的应用范围很广，很多竞赛题要应用][x 的性质。 性质1。对任意,R x ∈都有}{][x x x +=，}({x 为x 的小数部分） 性质2。对任意,R x ∈都有 1][][1+<≤<-x x x x 性质3。对任意,,2 1 R x x ∈且21x x ≤；有][][21x x ≤ 性质4。 对任意Z n ∈和R x ∈，都有 ][][x n x n +=+ 性质5。 对任意的R y x ∈,，都有}{}{}{],[][][y x y x y x y x +≥++≤+ 性质6。0,0≥≥y x ，则][][][y x xy ?≥ 证：因为}{][x x x +=，}{][y y y += }){]})([{]([y y x x xy ++= 则][][][y x xy ?≥ 性质7。在!n 的质性质7。对任意正整数n 和任意实数,x 有 ].][[][n x n x = 证： 1][][+<≤n x n x n x 则)1]([][+<≤n x n x n x n 其中][n x n 与)1]([+n x n 都是整数，则 )1]([][][+<≤n x n x n x n 则 1][][][+<≤n x n x n x 所以 ].[]][[ n x n x =因数分解中，质数p 的指数是：][...][][2m p n p n p n +++ 二． 一次不定方程 在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a 通常称之为二元一次不定方程。 定理1：二元一次不定方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 有整数解的充分必要条件是 .|),(c b a 定理2：二元一次不定方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 若 1),(=b a 且 ),(0 y x 为其一组解，则其全部解为 ,0bt x x += at y y -=0 （t 为整数）。 三．高次不定方程 解高次不定方程难度大，且无定073222 =--+y x y x 法。但 对某些特别方程可通过特殊方法解。 例1：解下列不定方程 （1） ;982515=+y x （2） .1002515-=+-y x 高斯函数 一、知识概要 1、定义:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数,也叫取整函数。显然,[]y x =的定义域就是R ,值域就是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之与,即[]()01x x a a =+≤<,因此,[]x x ≤[]1x <+,这里,[]x 为x 的整数部分,而{}[]x x x =-为 x 的小数部分。 2、性质 1、函数[]y x =就是一个分段表达的不减的无界函数,即当12x x ≤时,有[][]12x x ≤; 2、[][]n x n x +=+,其中n Z ∈; 3、[][]11x x x x -<≤<+; 4、若[][]x y n ==,则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<; 5、对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+; 6、若0,0x y ≥≥,则[][][]xy x y ≥; 7、[][][]1 x x x ?--?-=?-?? 8、若n N + ∈,则[]x x n n ????=?????? ??;当1n =时,[][]x x ??=??; 9、若整数,a b 适合a bq r =+(0,,b q r >就是整数,0r b ≤<),则a q b ?? =???? ; 10、x 就是正实数,n 就是正整数,则在不超过x 的正整数中,n 的倍数共有x n ?? ???? 个; 下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{}x 的图像与性质、 对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质与特征、 (1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在x y =的图形的下方、 (2)由[]x y =的性质知[]x 的图像就是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形、 可见函数[]x y =就是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a ) 定理2 设[]x x x f -=)(,则)(x f 就是一有界、周期为1的非单调函数,其图像如(b )、 例1、方 程 []1x x =-实数根的个数 例2、函数()f x 定义在R 上,对任意x R ∈,有(1)()f x f x +>,则函数()f x 在R 上就是否 为增函数,请说明理由。 例3、作出函数为[sin ]y x =的图像、 例4、定义函数[],1,y x n n x n n N * ==≤<+∈,若 315 22 y <<,求实数 x 的取值范围。 例5、已知{}n a 就是首项为1,公比为q 的等比数列,121231n n n n n n P a a C a C a C +=++++L * (,2)n N n ∈>,2[]0 242 n n n n n n Q C C C C =++++L ,(其中[]t 表示不超过t 的最大整数,如[2.3]2=),如果数列{ }n n P Q 有极限,求公比q 的取值范围。 例6、已知{}n a 就是首项为0a 的非常数等差数列,] 2 ] 2 2[2 40242[n n n n n n P a a C a C a C =++++L , 1 ]112 1 ]12 2[ 355132[ n n n n n n n Q C a a C a C a C -+-+=++++L ,其中[]t 表示不超过t 的最大整数,如 [2.3]2=),求n n P Q + 例7、定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1 [1.3]2=-=-，,当[0,)()x n n N *∈∈时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ; (1)求通项n a ;(2)求{}n a 的前n 项的与n S ;(3)求90 n a n +的最小值。 例8、解方程56157 85x x +-??=? ??? 例9、解方程[]3 33x x -= (x 不就是整数时) (x 就是整数时) ()a () b 高斯函数_常见题型 一、常见题型与相关例题 1、 整数问题 例1、 在项数为1987的数列222121987,,,198719871987?????? ??????????????? 中有多少个不同的整数？ 2、 方程问题 方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。 例2、 解方程33[]3x x -=。 例3、 证明方程2345[][2][2][2][2][2]12345x x x x x x +++++=无实数解。 3、 恒等问题 这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如1().22n n n n N * +???? +=∈???????? 例4、（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x R ∈，则 1 0[]n k k x nx n -=? ?+=??? ?∑. 例5、已知,n N *∈求证：[1]41[42][43]n n n n n ++=+=+=+ 4、 不等问题 不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。 例6、设,x y R ∈，试证： （1）、[2][2][][][];x y x y x y +≥+++ （2）、[3] [3][][]2[]x y x y x y +≥+++. 注：与上面不等式相类似地还有 （3）、[4][4][][][2][2].x y x y x y y x +≥+++++ （4）、[5] [5][][][3][3].x y x y x y y x +≥+++++ 例7、设,,x R n N * ∈∈试证：1[] [][].n k kx n x nx k =≤ ≤∑ 例8、证明不等式[ ][][][2][2]ααββαβ+++≥+对任意不小于1的实数,αβ 立。 例9、求所有正整数n 使得2 2min()1991.k N n k k * ∈?? +=???? 高斯函数[x] 程乐根 1 一、定义 ,[][]R x R x x y x Z ∈=1、定义：设用表示不超过的最大整数。 通常称函数为取整函数，也叫高斯函数。显然，其定义域是，值域是。 {}=[]{}R [0,1)x x x y x x -=2、进一步，记则称函数为小数部分函数，它表示的是的小数部分， 显然，其定义域是，值域是。 2 二、高斯函数y=[x]的性质 121212121212**,1[]. [],,,[][]. ,[][],().,,[][][].,[][],(). [] ,[][],(). x R x x x y x x x R x x x x m Z m x m x x R x x R x x x x n N nx n x x R x x n N x R n n ?∈-<≤=?∈≤≤∈+=+∈∈+≥+∈≥∈∈=∈性质1：性质2：函数是不减的函数，即若则性质3：若则有其中性质4：若则性质5：若则其中性质6：若则其中3 二、高斯函数y=[x]的性质 **23,[1,][],![][][]... n N x x x n n n N n n n n p p p p ∈∈+++定理1：若是正实数，则在区间中内， 恰有个整数是的倍数。 定理2：：若则在的质因数分解式中， 质数的指数是4 三、函数y={x}的性质 *{}0. ,{}{},().,,, 0,{}{}. x x Z m Z m x x x R m aq r m Z a N m r r a a a =∈∈+=∈=+∈∈≤<=性质1：的充要条件是性质2：若则有其中性质3：若则53[] 3.(20) x x -=例1：解方程：第届莫斯科数学竞赛题6 基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2发展历史编辑本段 不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题， 公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3常见类型编辑本段 ⑴求不定方程的解； ⑵判定不定方程是否有解； ⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 4方程相关编辑本段 4.1一次不定方程 二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解，则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数}。 S（?2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。 埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： 一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 摘要 求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。 当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。 如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。 关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度 1、实验目的 1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提 高代数精度这一问题中的思想方法。 2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的 编程能力。 3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。 2、算法流程 下面介绍三种常见的Gauss型积分公式 1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式 勒让德（Legendre）多项式 如下定义的多项式 称作勒让德多项式。由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式 的系数相同。也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式 是在上带的n次正交多项式，而且 这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为 此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。 其中Gauss-Legendre求积公式的系数 高斯函数定理2 设f(x) x x，贝y f(x)是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b). 一、知识概要 1、定义：设x R，用x表示不超过x的最大整数。贝U y x称为高斯函数，也叫取整函数。显然， y x的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和， 即x x a 0 a 1，因此，x x x 1，这里，x为x的整数部分，而x x x 为x的小数部分。 2、性质 1、函数y x是一个分段表达的不减的无界函数，即当x1 x2时，有x1x2； 2、n x n x，其中n Z ; 3、x 1x x x 1; 4、若x y n ,则x n a, y n b,其中0a, b 5、对于「切实数x, y有x y x y ; 6、若x0,y0 ,则xy x y ; 7、x x 1(x不是整数时) x (x是整数时) 8若n N 5 x 则 x；当n 1时，x x n n 9、若整数a,b适合a bq r ( b 0,q,r是整数，Orb)，贝U - q ； b x 10、x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有 - 个； n 下面再来讨论高斯函数x的图像及x的图像和性质. 对于函数y x ,如何做出它的图像呢？我们先来分析一下高斯函数x的图像的基本性质和特征? (1) 由y x的性质知x的图形在y x的图形的下方? (2) 由y x的性质知x的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段，这组平行线段呈阶 梯形? 可见函数y x是一个不减(非单调)的非周期的函数，其图像如下(a) (b) 例1、方程[x] x 1实数根的个数 例2、函数f (x)定义在R上，对任意x R,有f(x 1) 为增函数， 请说明理由。 例3、作出函数为y [sin x]的图像. 例4、定义函数y x n, n x n 1, n N ,若— 2 f (x)，则函数f (x)在R上是否 x的取值范 围。 3度6度带高斯投影详解 选择投影的目的在于使所选投影的性质、特点适合于地图的用途，同时考虑地图在图廓范围内变形较小而且变形分布均匀。海域使用的地图多采用保角投影，因其能保持方位角度的正确。 我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，大于等于50万的均采用高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger)，这是一个等角横切椭圆柱投影，又叫横轴墨卡托投影(Transverse Mercator)；小于50万的地形图采用等角正轴割园锥投影，又叫兰勃特投影(Lambert Conformal Conic)；海上小于50万的地形图多用等角正轴圆柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)。一般应该采用与我国基本比例尺地形图系列一致的地图投影系统。 地图坐标系由大地基准面和地图投影确定，大地基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近，因此每个国家或地区均有各自的大地基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。我国参照前苏联从1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体建立了我国的北京54坐标系，1978年采用国际大地测量协会推荐的IAG 75地球椭球体建立了我国新的大地坐标系--西安80坐标系，目前GPS定位所得出的结果都属于WGS84坐标系统，WGS84基准面采用WGS84椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心的坐标系。因此相对同一地理位置，不同的大地基准面，它们的经纬度坐标是有差异的。 采用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范GB/T 8314-2001”）： 椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面，如前苏联的Pulkovo 1942、非洲索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky椭球体，但它们的大地基准面显然是不同的。在目前的GIS 商用软件中，大地基准面都通过当地基准面向WGS84的转换7参数来定义， 数学建模高斯扩散模 型 §4-2高斯扩散模式 ū —平均风速； Q—源强是指污染物排放速率。与空气中污染物质的浓度成正比，它是研究空气污染问题的基础数据。通常： （ⅰ）瞬时点源的源强以一次释放的总量表示； （ⅱ）连续点源以单位时间的释放量表示； （ⅲ）连续线源以单位时间单位长度的排放量表示； （ⅳ）连续面源以单位时间单位面积的排放量表示。 δy—侧向扩散参数，污染物在y方向分布的标准偏差，是距离y的函数，m； δz—竖向扩散参数，污染物在z方向分布的标准偏差，是距离z的函数，m； 未知量—浓度c、待定函数A(x)、待定系数a、b； 式①、②、③、④组成一方程组，四个方程式有四个未知数，故方程式可解。 二、高斯扩散模式 （一）连续点源的扩散 连续点源一般指排放大量污染物的烟囱、放散管、通风口等。排放口安置在地面的称为地面点源，处于高空位置的称为高架点源。 1. 大空间点源扩散 高斯扩散公式的建立有如下假设：①风的平均流场稳定，风速均匀，风向平直；②污染物的浓度在y、z轴方向符合正态分布；③污染物在输送扩散中质量守恒； ④污染源的源强均匀、连续。 图5－9所示为点源的高斯扩散模式示意图。有效源位于坐标原点o处，平均风向与x轴平行，并与x轴正向同向。假设点源在没有任何障碍物的自由空间扩散，不考虑下垫面的存在。大气中的扩散是具有y与z两个坐标方向的二维正态分布，当两坐 标方向的随机变量独立时，分布密度为每个坐标方向的一维正态分布密度函数的乘积。由正态分布的假设条件②，参照正态分布函数的基本形式式（5－15），取μ＝0，则在点源下风向任一点的浓度分布函数为： （5－16）式中 C—空间点（x，y，z）的污染物的浓度，mg/m3； A（x）—待定函数； σy、σz—分别为水平、垂直方向的标准差，即y、x方向的扩散参数，m。 由守恒和连续假设条件③和④，在任一垂直于x轴的烟流截面上有： （5－17） 式中 q—源强，即单位时间内排放的污染物，μg/s； u—平均风速，m/s。 将式（5－16）代入式（5－17）, 由风速稳定假设条件①，A与y、z无关，考虑到③和④，积分可得待定函数A（x）： （5－18） 将式（5－18）代入式（5－16），得大空间连续点源的高斯扩散模式 （5－19） 式中，扩散系数σy、σz与大气稳定度和水平距离x有关，并随x的增大而增加。当y＝0，z＝0时，A（x）＝C（x，0,0），即A（x）为x轴上的浓度，也是垂直于x轴截面上污染物的最大浓度点C max。当x→∞，σy及σz→∞，则C→0，表明污染物以在大气中得以完全扩散。 2．高架点源扩散 与高斯函数有关的高考压轴题 董永春 （成都戴氏高考中考肖家河总校数学组，四川成都，611000） 1高斯函数问题的提出 早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设用R,用[刘或表示不超过x的最大整数，并用〃｛” 〃表示兀的非负纯小数，则y = [x]称为高斯函数，也叫取整幣数。高斯函数[兀]的定义域是/?,值域为乙其图象是不连续的水平线段。在初中、尚屮数学竞赛屮经常岀现含有取整函数的问题。笔者在髙三复习时发现欧拉常数问题⑴在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。下面从一些考题去体会高斯函数。 2高斯函数有关的准备 我们只提出本文需要的一些性质x = [x] + x-l<[x] 对于③，市题意知—和益都是整数，故“+]=[——]> 本讲我们将研究全国数学联赛二试范围内初等数论所要求的最后一个专题：高斯函数][x y =. 实际上高斯函数就是取整函数，利用这个函数可以将以前很多需要大量描述才能说清楚的问题很简洁地描述和处理.我们想给出高斯函数的定义及若干性质: 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： ⑴ ][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ ⑵ 对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. ⑶ 对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. ⑷ ][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤；}{x y =是以1为周期的周期函数. ⑸ }{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中* ∈∈N n R x ,. ⑹ 1 1 [][][];{}{}{};[][],n n i i i i i x y x y x y x y x x x R ==+≥++≥+≥∈∑∑；特别地，].[][ b a n b na ≥ ⑺ ][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有1 1 [ ][],n n i i i i i x x x R + ==≥∈∏∏； 第14讲 格点与 高斯函数 14.1高斯函数 特别地，[][],,n n x x x R n N *+≤∈∈. ⑻ ]] [[][n x n x =，其中,x R n N *+∈∈. 以下给出高斯函数相关的几个重要定理： 定理一：* ∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][n x 个是n 的倍数. 定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是.][][][)!(3 2Λ+++=p n p n p n n p 定理三：（厄米特恒等式）][]1 []2[]1 [][,,nx n n x n x n x x N n R x =-+++++++∈∈Λ则 【例1】 请给出34！的质因子分解形式；并求其最后9位数. 董永春 (成都戴氏高考中考肖家河总校数学组, 四川成都，611000) 1 高斯函数问题的提出 早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设x ∈R ，用 [x ]或int (x )表示不超过x 的最大整数，并用"{}x "表示x 的非负纯小数,则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。高斯函数[x ]的定义域是R ,值域为Z ,其图象是不连续的水平线段。在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。笔者在高三复习时发现欧拉常数问题[1] 在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。下面从一些考题去体会高斯函数。 2 高斯函数有关的准备 我们只提出本文需要的一些性质[]{}x x x =+，[]1x x x -<≤[]1x <+， 1101010n n x x -????-????表示取x 的各分位小数。 3 高斯函数有关问题的解决 例 1 （2012四川16）记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=， [0.3]1-=-。设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[ ][ ]()2 n n n a x x x n N *++=∈，现有下 列命题： ①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2； ②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥ 时，1n x >； ④对某个正整数k ，若1k k x x +≥ ，则n x =。 其中的真命题有_①__③___④______。（写出所有真命题的编号） 分析：①显然成立，对于②，取3a =，12343,1,3,1,...x x x x ====为摆动数列，②错。 对于③，由题意知n a x ?????? 和n x 都是整数，故1[]1[ ]222n n n n n a a x x x x x +??++?? ??=≥- 高斯五点公式详细计算方法 A A R K 1= ，B B R K 1= , A B AB K K K -= 则p 点坐标如下： ??????+±+=∑ =2 2 1 2(cos i S AB i A A n i i A p V l l K lv K R l x x α ? ? ????+±+=∑ =2 21 2(sin i S AB i A A n i i A p V l l K lv K R l y y α p 点方位角: ) 2(2 S AB A A P l l K l K + ±=α α 式中：A α＝起始方位角 l ＝p 点到A 的距离 S l =曲线总长 P α＝p 点切线方位角 五节点系数 ： 28095 1184634425.051==R R 49683 2393143352.042==R R 4444 2844444444 .03 =R 046910070 .0151=-=V V 2307653449 .0142=-=V V 5.03=V 四节点系数：R 1＝R 4＝0.1739274266 R 2＝R 3＝0.3260725774 V 1=1-V 4=0.0694318442 V 2=1-V 3=0.3300094782 三节点系数：R 1＝R 3＝0.27777778 R 2＝0.44444444 V1＝1-V 3＝0.1127016654 V 2=0.5 其中: A r A A K l R l l K ==π180 r S AB r B A S B A S AB l K l R R l R R l l l K ) 2() (9022 2 2 = -= π (其中 高斯函数[]X 的应用及其推广 郭胜红 （甘肃建筑职业技术学院，甘肃 兰州 730050） 摘 要 给出了高斯函数的定义、性质、函数图象的特征，讨论了其应用，并将其做了推广. 关键词 高斯函数,广义高斯函数 (一)高斯函数[]x 的一些性质 高斯函数[]x ,在数论中是一种极为重要的函数,但它的运用却并不仅限于在数论中,在数学的许多分支及其它学科领域中有广泛的应用,均显示了该函数的优越性.本文主要从高斯函数的定义出发类比讨论了广义高斯函数的一些基本性质及其有关的积分问题,并给了一些关于广义高斯函数的例子. 定义1 ,R x ∈[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数[]x y =称为高斯函数. 我们记{}[]x x x -=称为x 小数部分, {}10≤≤x . 由高斯函数的定义立刻可以得到如下简单的性质: 定理1 设R y x ∈,,我们有 (1) [][]1+≤≤x x x . (2) 若,y x ≤则[][]y x ≤. (3) [][]x n x n +≤+. (4) [][][]?? ??--∈-=-) (1 )(Z x x Z x x x (5) [][][]y x y x +≤+. (6) [][][]y x y x -≤-或[]1+-y x . (7) [][][][][]y y x x y x +++≥+22. 下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{} x 的图像和性质. 对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质和特征. (1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在 x y =的图形的下方. (2) 由[]x y =的性质知[]x 的图像是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形. 可见函数[]x y =是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下 (a) (a) 定理2 设[]x x x f -=)(，则)(x f 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如 (b). (b) (二)高斯函数的拓广 下面讨论广义高斯函数的问题 定义2 假定函数)(x f 为定义在区间I 上 高斯型隶属函数属于模糊控制算法 模糊控制-隶属函数(2006-9-26 12:10:00) 【收藏】【评论】【打印】【关闭】 %典型隶属函数仿真程序：3_2.m %Membership function clear all; clear all; for (M=1:1:6) %M=6; if M==1 %(高斯型隶属函数） x=0:0.1:10; y=gaussmf(x,[2 5]); % figure(1); subplot(3,2,1);% plot(x,y,'k'); xlabel('x');ylabel('y'); title('Guassian membership function'); elseif M==2 %(广义钟型隶属函数) x=0:0.1:10; y=gbellmf(x,[2 4 6]); % figure(1); subplot(3,2,2);%分割图形窗口 plot(x,y,'b'); xlabel('x');ylabel('y'); title('General Bell membership function'); elseif M==3 %(S型隶属函数) x=0:0.1:10; y=sigmf(x,[2 4]); % figure(3); subplot(3,2,3);% plot(x,y,'g'); xlabel('x');ylabel('y'); title('S membership function'); elseif M==4 %(梯型隶属函数) x=0:0.1:10; y=trapmf(x,[2 5 7 8]); % figure(4); subplot(3,2,4);% plot(x,y,'r'); xlabel('x');ylabel('y'); title('Trapezoid membership function'); elseif M==5 %(三角型隶属函数) x=0:0.1:10; y=trimf(x,[3 6 8]); % figure(5); subplot(3,2,5);% plot(x,y,'c'); xlabel('x');ylabel('y'); title('Triangle membership function'); elseif M==6 %(z型隶属函数) x=0:0.1:10; y=zmf(x,[3 7]); % figure(6); subplot(3,2,6);% plot(x,y,'m'); xlabel('x');ylabel('y'); title('Z membership function') ; end 高斯函数 一、 知识概要 1， 定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。 2，性质 1，函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2，[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3，[][]11x x x x -<≤<+； 4，若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5，对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6，若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥； 7，[][][]1 x x x ?--?-=? -?? 8，若n N + ∈，则[]x x n n ???? =? ????? ??；当1n =时，[][]x x ??=??； 9，若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ??=???? ； （x 不是整数时） （x 是整数时） 10，x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ?????? 个； 11，设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有： ()()12!m m m n n n p n p n p p p p +?????? =+++≤高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程
高斯函数的一个重要性质
高斯函数与不定方程
高斯函数
高斯函数_常见题型
高斯函数
不定方程的解法
Gauss型积分公式
高斯函数
20.3度6度带高斯投影详解
数学建模高斯扩散模型培训资料
高斯函数有关的高考压轴题.doc
高一联赛班春季班第14讲初等数论——格点与高斯函数
高斯函数有关的高考压轴题
高斯五点公式详细计算方法
高斯函数
高斯型隶属函数
高斯函数讲义-----学生用