高考数学试题分类汇编完整版

2011年高考数学试题分类汇编:函数与导数

一、选择题

1.(安徽理3) 设()f x 是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,()f x x x 2

=2-,则()f 1= (A )-3 (B) -1 (C)1 (D)3 【答案】A

【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属容易题. 【解析】2

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(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A. 2.(安徽理10) 函数()()m n f x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则m ,n 的值可能是

(A )1,1m n ==

(B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==

【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用,考查函数图像,考查思维的综合能力.难度大.

【解析】代入验证,当1,2m n ==,()()()f x ax x n x x x 232

=1-=-2+g ,则

()()f x a x x 2'=3-4+1,由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知,121

,13

x x ==,结合图像可知

函数应在10,3?

? ???递增,在1,13?? ???递减,即在13x =取得最大值,由()()f a 21111=?1-=3332

g ,知a 存在.故选B.

3.(安徽文5)若点(a,b)在lg y x = 图像上,a ≠1,则下列点也在此图像上的是 (A )(

a 1,

b ) (B) (10a,1-b) (C) (

a

10

,b+1) (D)(a2,2b) 【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算,考查对数函数的图像与对应点的关系.

【解析】由题意lg b a =,lg lg b a a 2

2=2=,即(

)

2

,2a b 也在函数lg y x = 图像上.

应用题

1.(四川理9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7

辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车虚配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车虚配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z= A .4650元 B .4700元 C .4900元 D .5000元 【答案】C

【解析】由题意设派甲,乙,x y 辆,则利润450350z x y =+,得约束条件080712

10672219

x y x y x y x y ≤≤??≤≤?

?+≤??+≥?+≤??画出可行域在12219x y x y +≤??

+≤?的点7

5

x y =??=?代入目标函数4900z =

2.(湖北理10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,

这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位:太贝

克)与时间t (单位:年)满足函数关系:

30

0()2

t

M t M -

=,其中M 0为t=0时铯137的

含量。已知t=30时,铯137含量的变化率是-10In2(太贝克/年),则M (60)= A .5太贝克 B .75In2太贝克 C .150In2太贝克 D .150太贝克 【答案】D 3.(北京理)。根据统计,一名工作组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

???

???

?

≥<=A

x A

c A x x c x f ,,

,)((A ,C 为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A

件产品用时15分钟,那么C 和A 的值分别是 A .75,25 B .75,16 C .60,25 D .60,16 【答案】D 4.(陕西理)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距

10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米)。 【答案】2000 5.(湖北理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等

差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升。 【答案】

6766

6.(湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥

上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明;当20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (Ⅰ)当0200x ≤≤时,求函数()v x 的表达式;

十五、选修4

1.(山东理4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集是

A .[-5,7]

B .[-4,6]

C .(][),57,-∞-+∞U

D .(][),46,-∞-+∞U

【答案】D

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2.(北京理5)如图,AD ,AE ,BC 分别与圆O 切于点D ,E ,F , 延长AF 与圆O 交于另一点G 。给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA ; ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ~△ADG 其中正确结论的序号是 A .①② B .②③ C .①③ D .①②③

【答案】A

3.(安徽理5)在极坐标系中,点θρπ

cos 2)3

,

2(=到圆的圆心的距离为

(A )2 (B )942

π+

(C )9

12π+ (D )3 【答案】D

4.(北京理3)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A .(1,

)2

π

B .(1,)2

π

-

C . (1,0)

D .(1,π)

【答案】B

5.(天津理11)已知抛物线C 的参数方程为28,

8.x t y t ?=?=?

(t 为参数)若斜率为1的

直线经过抛物线C 的焦点,且与圆()2

2

2

4(0)x y r r -+=>相切,

则r =________.

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6.(天津理12)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB

延长线上一 点,且::4:2:1.DF CF AF FB BE ==

=若CE 与圆相切,则

线段CE 的长为__________.

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十三、推理与证明、创新题

1.(天津理4)对实数a 和b ,定义运算“?”:,1,

, 1.

a a

b a b b a b -≤??=?

->?设函数

()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点,

则实数c 的取值范围是

A .(]3,21,2??-∞-?- ??

? B .(]3,21,4??-∞-?-- ?

??

C .111,,44????-?+∞ ? ?????

D .311,,44????--?+∞ ???????

【答案】B

2.(山东理12)设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312

A A A A λ=u u u u v u u u u v

(λ∈R ),1412

A A A A μ=u u u u v u u u u v

(μ∈R ),且

1

1

μ

+

=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知平

面上的点C ,D 调和分割点A ,B 则下面说法正确的是

A .C 可能是线段A

B 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点

C .C ,

D 可能同时在线段AB 上 D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D

3.(湖北理9)若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =,则称a 与b 互补,记

(,),a b a b ?=-,那么(),0a b ?=是a 与b 互补的

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A B .充分而不必要的条件 C .充要条件 D .即不充分也不必要的条件 【答案】C 4.(福建理15)设V 是全体平面向量构成的集合,若映射:f V R →满足:对任意向量a=(x 1,

y 1)∈V ,b=(x 2,y 2)∈V ,以及任意λ∈R ,均有 ((1))()(1)(),f a b f a f b λλλλ+-=+- 则称映射f 具有性质P 。 现给出如下映射: ①12:,(),,(,);f V R f m x y m x y V →=-=∈

②222:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=+=∈

③33:,()1,(,).f V R f m x y m x y V →=++=∈ 其中,具有性质P 的映射的序号为________。(写出所有具有性质P 的映射的序号) 【答案】①③

5.(湖南理16)对于*n N ∈,将n 表示12100121222...22k k k k k n a a a a a ---=?+?+?++?+?,

当0i =时,1i a =,当1i k ≤≤时, 1a 为0或1.记()I n 为上述表示中a i 为0的个数(例如:021012,4120202I =?=?+?+?),故(1)0I =, (4)2I =),则 (1)(12)I =________________;(2) ()

1

2

m

I n n =∑________________;

【答案】2 1093

6.(北京理8)设()0,0A ,()4,0B ,()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD

内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数()

N t

七、统计

一、选择题 1.(四川理1)有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:

[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是

A .

16

B .

13

C .

12

D .

23

【答案】B

【解析】从31.5到43.5共有22,所以221663

P ==。 2.(陕西理9)设(1x ,1y ),(2x ,2y ),…,(n x ,n y )是变量x 和y 的n 个样本点, 直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以

下结论中正确的是

A .x 和y 的相关系数为直线l 的斜率

B .x 和y 的相关系数在0到1之间

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C .当n 为偶数时,分布在l 两侧的样本点的个数一定相同

D .直线l 过点(,)x y

【答案】D

3.5 根据上表可得回归方程???y bx a =+中的?b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元 【答案】B

4.(江西理6)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),

(13,5);变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则

A .210r r <<

B .210r r <<

C .210r r <<

D .21r r = 【答案】C

5.(湖南理4

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由()()()()()2

2n ad bc K -=算得,()2

2110403020207.8K ??-?=≈.

参照附表,得到的正确结论是

A .再犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”

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六、算法初步

1.(天津理3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为

A.3 B.4

C.5 D.6

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【答案】B

2.(全国新课标理3)执行右面的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是

(A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040

【答案】B

3.(辽宁理6)执行右面的程序框图,如果输入的n是4,则输出的P

(A)8

(B)5

(C)3

(D)2

【答案】C

4.(北京理4)执行如图所示的程序框图,输出的s值为

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十、数列 一、选择题

1.(天津理4)已知{}n a 为等差数列,其公差为-2,且7a 是3a 与9a 的等比中项,n S 为

{}n a 的前n 项和,*n N ∈,则10S 的值为

A .-110

B .-90

C .90

D .110 【答案】D

2.(四川理8)数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈.

若则32b =-,1012b =,则8a =

A .0

B .3

C .8

D .11 【答案】B

【解析】由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法

21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=?==L

3.(四川理11)已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+,当[

)0,2x ∈时,

2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈,且{}n a 的前n 项和为

n S ,则lim n n S →∞

=

A .3

B .

5

2

C .2

D .

32

【答案】D

【解析】由题意1

(2)()3

f x f x +=

,在[22,2]n n -上, 2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213

n

n n n n

n f x n f x n f x a S S --=======?=?=-L 4.(上海理18)设{}n a 是各项为正数的无穷数列,i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积(1,2,i =L ),

则{}n A 为等比数列的充要条件为 A .{}n a 是等比数列。

B .1321,,,,n a a a -L L 或242,,,,n a a a L L 是等比数列。

C .1321,,,,n a a a -L L 和242,,,,n a a a L L 均是等比数列。

九、平面向量

一、选择题

1.(四川理4)如图,正六边形ABCDEF 中,BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r

=

A .0

B .BE u u u r

C .A

D u u u r D .CF uuu r

【答案】D

【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

2.(山东理12)设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若13

12

A A A A

λ=u u u u v u u u u v

(λ∈R ),1412

A A A A μ=u u u u v u u u u v

(μ∈R ),且

1

1

μ

+

=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知平

面上的点C ,D 调和分割点A ,B 则下面说法正确的是

A .C 可能是线段A

B 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点

C .C ,

D 可能同时在线段AB 上 D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D

3.(全国新课标理10)已知a ,b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题

12:||1[0,

)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3

p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3

p a b π

θπ->?∈ 其中真命题是

(A ) 14,p p (B ) 13,p p (C ) 23,p p (D ) 24,p p 【答案】A

4.(全国大纲理12)设向量a ,b ,c 满足a =b =1,a b g =12

-

,a c b c --=060,则c 的最大值等于 A .2 B

C

D .1 【答案】A

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5.(辽宁理10)若a ,b ,c 均为单位向量,且0=?b a ,0)()(≤-?-c b c a ,则||c b a -+的

最大值为

(A )12- (B )1 (C )2 (D )2 【答案】B

6.(湖北理8)已知向量a=(x +z,3),b=(2,y-z ),且a ⊥ b .若x ,y 满足不等式1x y +≤,则z 的取值范围为 A .[-2,2] B .[-2,3] C .[-3,2] D .[-3,3] 【答案】D

7.(广东理3)若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则(2)c a b ?+= A .4 B .3 C .2 D .0 【答案】D

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8.(广东理5)已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D

由不等式组02x y x ?≤≤?

≤??

≤?给定。若

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1.(重庆理9)高为

2

4

的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形,点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为

A .

2

4

B .

2

2

C .1

D 2

【答案】C

2.(浙江理4)下列命题中错误的是

A .如果平面αβ⊥平面,那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B .如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C .如果平面αγ⊥平面,平面βγ⊥平面,=l αβ?,那么l γ⊥平面

D .如果平面αβ⊥平面,那么平面α内所有直线都垂直于平面β

【答案】D

3.(四川理3)1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A .12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ? B .12l l ⊥,23//l l ?13l l ⊥ C .233////l l l ?1l ,2l ,3l 共面

D .1l ,2l ,3l 共点?1l ,2l ,3l 共面

【答案】B

【解析】A 答案还有异面或者相交,C 、D 不一定 4.(陕西理5)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 A .283π-

B .83

π- C .82π- D .

23

π

1.(重庆理8)在圆06222=--+y x y x 内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为

A .25

B .210

C .

D .220

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【答案】B

2.(浙江理8)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22

1:14

y C x -=有公共的焦点,1

C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点,若1C 恰好将线段AB 三等分,则

A .2

132a =

B .213a =

C .2

12

b = D .22b =

【答案】C

3.(四川理10)在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-,22x =的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆2

2

5536x y +=相切,则抛物线顶点的坐标为

A .(2,9)--

B .(0,5)-

C .(2,9)-

D .(1,6)-

【答案】C

【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为

(2)y a x b =-+,则2

2

3651(2)

b a =+- 又25

64(2,9)(2)y x ax b a y a x b ?=+-?=-?=?--?

=-+?

4.(陕西理2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =-,则抛物线的方程是

A .2

8y x =- B .2

8y x = C .2

4y x =-

D .2

4y x =

【答案】B

5.(山东理8)已知双曲线22

221(0b 0)x y a a b

-=>,>的两条渐近线均和圆

C:2

2

650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为

A .22

154x y -=

B .22145x y -=

C .22136x y -=

D .22

163

x y -=

八、概率 一、选择题

1.(浙江理9)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率

A .

15 B .25 C .3

5

D

4

5

【答案】B

2.(四川理1)有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:

[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是

A .

16 B .13 C .12 D .23

【答案】B

【解析】从31.5到43.5共有22,所以221

663

P =

=。 3.(陕西理10)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是

A .

1

36

B .19

C .

5

36

D .16

【答案】D

4.(全国新课标理4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A )

13 (B ) 12 (C )23 (D )34

【答案】A

5.(辽宁理5)从1,2,3,4,5中任取2各不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P (B ︱A )= (A )

18 (B )14 (C )25 (D )12

【答案】B

6.(湖北理5)已知随机变量ξ服从正态分布(

)2

2N ,a ,且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ

<2)= A.0.6 B .0.4 C .0.3 D .0.2

【答案】C

7.(湖北理7)如图,用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且1A 、

2A 至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0.

9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为

十二、复数

1.(重庆理1)复数2

3

4

1i i i i

++=-

A .1122

i --

B .1122

i -+

C .1122i -

D .1122

i +

【答案】C

2.(浙江理)把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位,若1,(1)z i z z =++?r

则= A .3-i B .3+i C .1+3i D .3 【答案】A

3.(天津理1)i 是虚数单位,复数

131i i

--= A .2i +

B .2i -

C .12i -+

D .12i --

【答案】B

4.(四川理2)复数1i i

-+=

A .2i -

B .

12

i C .0

D .2i

【答案】A

【解析】12i i i i i

-+=--=- 5.(山东理2)复数z=22i i

-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

【答案】D

6.(全国新课标理1)(1)复数

212i i +=-

(A )35

i - (B ) 35i (C )i - (D )i 【答案】C

7.(全国大纲理1)复数1z i =+,z 为z 的共轭复数,则1zz z --= A .2i - B .i - C .i D .2i

【答案】B

8.(辽宁理1)a 为正实数,i 为虚数单位,

2=+i

i

a ,则=a (A )2 (B

(C

(D )1

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【答案】B

9.(江西理1)若i z i

1+2=

,则复数

z =

A . i -2-

B . i -2+

C . i 2-

D . i 2+

【答案】D

10.(湖南理1)若,a b R ∈,i 为虚数单位,且()a i i b i +=+则 A .1a =,1b = B .1,1a b =-= C .1,1a b =-=- D .1,1a b ==-

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