高考数学试题分类汇编完整版

2011年高考数学试题分类汇编：函数与导数

一、选择题

1.（安徽理3） 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2

=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）3 【答案】A

【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题. 【解析】2

(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A. 2.(安徽理10) 函数()()m n f x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是

（A ）1,1m n ==

(B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==

【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.

【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232

=1-=-2+g ，则

()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121

,13

x x ==，结合图像可知

函数应在10,3?

? ???递增，在1,13?? ???递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=?1-=3332

g ，知a 存在.故选B.

3.（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是 （A ）（

a 1，

b ） (B) (10a,1-b) (C) (

a

10

,b+1) (D)(a2,2b) 【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.

【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 2

2=2=，即(

)

2

,2a b 也在函数lg y x = 图像上.

应用题

1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7

辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C

【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件080712

10672219

x y x y x y x y ≤≤??≤≤?

?+≤??+≥?+≤??画出可行域在12219x y x y +≤??

+≤?的点7

5

x y =??=?代入目标函数4900z =

2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，

这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝

克）与时间t （单位：年）满足函数关系：

30

0()2

t

M t M -

=，其中M 0为t=0时铯137的

含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为

???

???

?

≥<=A

x A

c A x x c x f ,,

,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A

件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距

10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等

差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】

6766

6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥

上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式;

十五、选修4

1.（山东理4）不等式|5||3|10x x -++≥的解集是

A ．[-5，7]

B ．[-4，6]

C ．(][),57,-∞-+∞U

D ．(][),46,-∞-+∞U

【答案】D

2.（北京理5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ， 延长AF 与圆O 交于另一点G 。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③

【答案】A

3.（安徽理5）在极坐标系中，点θρπ

cos 2)3

,

2(=到圆的圆心的距离为

（A ）2 （B ）942

π+

（C ）9

12π+ （D ）3 【答案】D

4.（北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A ．(1,

)2

π

B ．(1,)2

π

-

C ． (1,0)

D ．(1，π)

【答案】B

5.（天津理11）已知抛物线C 的参数方程为28,

8.x t y t ?=?=?

（t 为参数）若斜率为1的

直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2

2

2

4(0)x y r r -+=>相切，

则r =________.

6.（天津理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB

延长线上一 点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ==

=若CE 与圆相切，则

线段CE 的长为__________.

十三、推理与证明、创新题

1．（天津理4）对实数a 和b ，定义运算“?”：,1,

, 1.

a a

b a b b a b -≤??=?

->?设函数

()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，

则实数c 的取值范围是

A ．(]3,21,2??-∞-?- ??

? B ．(]3,21,4??-∞-?-- ?

??

C ．111,,44????-?+∞ ? ?????

D ．311,,44????--?+∞ ???????

【答案】B

2．（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312

A A A A λ=u u u u v u u u u v

（λ∈R ），1412

A A A A μ=u u u u v u u u u v

（μ∈R ），且

1

1

2λ

μ

+

=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平

面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是

A ．C 可能是线段A

B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点

C ．C ，

D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D

3.（湖北理9）若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记

(,),a b a b ?=-，那么(),0a b ?=是a 与b 互补的

A B ．充分而不必要的条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要的条件 【答案】C 4.（福建理15）设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量a=（x 1，

y 1）∈V ，b=（x 2，y 2）∈V ，以及任意λ∈R ，均有 ((1))()(1)(),f a b f a f b λλλλ+-=+- 则称映射f 具有性质P 。 现给出如下映射： ①12:,(),,(,);f V R f m x y m x y V →=-=∈

②222:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=+=∈

③33:,()1,(,).f V R f m x y m x y V →=++=∈ 其中，具有性质P 的映射的序号为________。（写出所有具有性质P 的映射的序号） 【答案】①③

5.（湖南理16）对于*n N ∈,将n 表示12100121222...22k k k k k n a a a a a ---=?+?+?++?+?,

当0i =时，1i a =,当1i k ≤≤时, 1a 为0或1．记()I n 为上述表示中a i 为0的个数（例如：021012,4120202I =?=?+?+?）,故(1)0I =, (4)2I =）,则 （1）(12)I =________________;（2） ()

1

2

m

I n n =∑________________;

【答案】2 1093

6.（北京理8）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD

内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()

N t

七、统计

一、选择题 1．（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是

A ．

16

B ．

13

C ．

12

D ．

23

【答案】B

【解析】从31.5到43.5共有22，所以221663

P ==。 2.（陕西理9）设（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）是变量x 和y 的n 个样本点， 直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以

下结论中正确的是

A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率

B ．x 和y 的相关系数在0到1之间

C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同

D ．直线l 过点(,)x y

【答案】D

3.5 根据上表可得回归方程???y bx a =+中的?b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63．6万元 B ．65．5万元 C ．67．7万元 D ．72．0万元 【答案】B

4.（江西理6）变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），

（13，5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则

A ．210r r <<

B ．210r r <<

C ．210r r <<

D ．21r r = 【答案】C

5.（湖南理4

由()()()()()2

2n ad bc K -=算得，()2

2110403020207.8K ??-?=≈．

参照附表，得到的正确结论是

A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

六、算法初步

1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为

A．3 B．4

C．5 D．6

【答案】B

2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是

（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040

【答案】B

3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P

是

（A）8

（B）5

（C）3

（D）2

【答案】C

4.（北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

十、数列 一、选择题

1．（天津理4）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为

{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为

A ．-110

B ．-90

C ．90

D ．110 【答案】D

2．（四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．

若则32b =-，1012b =，则8a =

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11 【答案】B

【解析】由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法

21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=?==L

3．（四川理11）已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[

)0,2x ∈时，

2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为

n S ，则lim n n S →∞

=

A ．3

B ．

5

2

C ．2

D ．

32

【答案】D

【解析】由题意1

(2)()3

f x f x +=

,在[22,2]n n -上， 2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213

n

n n n n

n f x n f x n f x a S S --=======?=?=-L 4．（上海理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =L ），

则{}n A 为等比数列的充要条件为 A ．{}n a 是等比数列。

B ．1321,,,,n a a a -L L 或242,,,,n a a a L L 是等比数列。

C ．1321,,,,n a a a -L L 和242,,,,n a a a L L 均是等比数列。

九、平面向量

一、选择题

1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r

=

A ．0

B ．BE u u u r

C ．A

D u u u r D ．CF uuu r

【答案】D

【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13

12

A A A A

λ=u u u u v u u u u v

（λ∈R ），1412

A A A A μ=u u u u v u u u u v

（μ∈R ），且

1

1

2λ

μ

+

=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平

面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是

A ．C 可能是线段A

B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点

C ．C ，

D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D

3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

12:||1[0,

)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3

p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3

p a b π

θπ->?∈ 其中真命题是

（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A

4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12

-

，

,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B

C

D ．1 【答案】A

5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的

最大值为

（A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B

6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D

7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D

8.（广东理5）已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D

由不等式组02x y x ?≤≤?

≤??

≤?给定。若

1.（重庆理9）高为

2

4

的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为

A ．

2

4

B ．

2

2

C ．1

D 2

【答案】C

2.（浙江理4）下列命题中错误的是

A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ?，那么l γ⊥平面

D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

【答案】D

3.（四川理3）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ? B ．12l l ⊥，23//l l ?13l l ⊥ C ．233////l l l ?1l ，2l ，3l 共面

D ．1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面

【答案】B

【解析】A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定 4.（陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A ．283π-

B ．83

π- C ．82π- D ．

23

π

1.（重庆理8）在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为

A ．25

B ．210

C ．

D ．220

【答案】B

2.（浙江理8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线22

1:14

y C x -=有公共的焦点，1

C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则

A ．2

132a =

B ．213a =

C ．2

12

b = D ．22b =

【答案】C

3.（四川理10）在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆2

2

5536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为

A ．(2,9)--

B ．(0,5)-

C ．(2,9)-

D ．(1,6)-

【答案】C

【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为

(2)y a x b =-+，则2

2

3651(2)

b a =+- 又25

64(2,9)(2)y x ax b a y a x b ?=+-?=-?=?--?

=-+?

4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是

A ．2

8y x =- B ．2

8y x = C ．2

4y x =-

D ．2

4y x =

【答案】B

5.（山东理8）已知双曲线22

221(0b 0)x y a a b

-=＞，＞的两条渐近线均和圆

C:2

2

650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为

A ．22

154x y -=

B ．22145x y -=

C ．22136x y -=

D ．22

163

x y -=

八、概率 一、选择题

1.（浙江理9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

A ．

15 B ．25 C ．3

5

D

4

5

【答案】B

2.（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是

A ．

16 B ．13 C ．12 D ．23

【答案】B

【解析】从31.5到43.5共有22，所以221

663

P =

=。 3.（陕西理10）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是

A ．

1

36

B ．19

C ．

5

36

D ．16

【答案】D

4.（全国新课标理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）

13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34

【答案】A

5.（辽宁理5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= （A ）

18 （B ）14 （C ）25 （D ）12

【答案】B

6.（湖北理5）已知随机变量ξ服从正态分布(

)2

2N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ

＜2）＝ Ａ．0．6 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．2

【答案】C

7.（湖北理7）如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且1A 、

2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0．

9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为

十二、复数

1．（重庆理1）复数2

3

4

1i i i i

++=-

A ．1122

i --

B ．1122

i -+

C ．1122i -

D ．1122

i +

【答案】C

2．（浙江理）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++?r

则= A ．3-i B ．3+i C ．1+3i D ．3 【答案】A

3．（天津理1）i 是虚数单位，复数

131i i

--= A ．2i +

B ．2i -

C ．12i -+

D ．12i --

【答案】B

4.（四川理2）复数1i i

-+=

A ．2i -

B ．

12

i C ．0

D ．2i

【答案】A

【解析】12i i i i i

-+=--=- 5.（山东理2）复数z=22i i

-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】D

6.（全国新课标理1）（1）复数

212i i +=-

（A ）35

i - （B ） 35i （C ）i - （D ）i 【答案】C

7.（全国大纲理1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i

【答案】B

8.（辽宁理1）a 为正实数，i 为虚数单位，

2=+i

i

a ，则=a （A ）2 （B

（C

（D ）1

【答案】B

9.（江西理1）若i z i

1+2=

，则复数

z =

A ． i -2-

B ． i -2+

C ． i 2-

D ． i 2+

【答案】D

10.（湖南理1）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则 A ．1a =，1b = B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==-