高考文科数学分类汇编专题九解析几何

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【高考数学】专题九 解析几何第二十六讲 双曲线(含答案)

【高考数学】专题九  解析几何第二十六讲 双曲线(含答案)

A. 4 3 3
B.2 3
C.6
D.4 3
11. (2015 重庆)设双曲线
x2 a2

y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的右焦点是 F
,左、右顶点分别是 A1,
A2 ,
过 F 做 A1A2 的垂线与双曲线交于 B, C 两点,若 A1B ⊥ A2C ,则双曲线的渐近线的斜
率为
A.± 1 2
B.± 2 2

y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B,且|
AB |=
4 | OF (| O 为原点),
则双曲线的离心率为
(A) 2
(B) 3
(C)2
(D) 5
2010-2018 年
一、选择题
1.(2018 浙江)双曲线 x2 − y2 = 1的焦点坐标是 3
A. (− 2, 0) , ( 2, 0)
x1 3
B. 1 2
C. 2 3
D. 3 2
6.(2017
新课标Ⅱ)若 a
1 ,则双曲线
x2 a2

y2
= 1的离心率的取值范围是
A. ( 2, +)
B. ( 2, 2)
C. (1, 2)
D. (1, 2)
7.(2017
天津)已知双曲线
C. ± 1
D.± 2
12.(2014 新课标 1)已知 F 是双曲线 C :x2 − my2 = 3m(m 0) 的一个焦点,则点 F 到 C
的一条渐近线的距离为
A. 3
B.3
C. 3m
D. 3m
13.(2014 广东)若实数 k 满足 0 k 9 ,则曲线 x2 − y2 = 1与曲线 x2 − y2 = 1的

2022年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)

2022年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)

2022年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)一、选择题1.(2022·全国Ⅰ文,10)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为()A.2in40°B.2co40°C.D.答案D解析由题意可得-=tan130°,所以e=====.2.(2022·全国Ⅰ文,12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1C.+=1答案B解析由题意设椭圆的方程为+=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或B.+=1D.+=1下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则inθ==.在等腰三角形ABF1中,co2θ==,因为co2θ=1-2in2θ,所以=1-22,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1,故选B.3.(2022·全国Ⅱ文,9)若抛物线y2=2p某(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p等于()A.2B.3C.4D.8答案D解析由题意知,抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.4.(2022·全国Ⅱ文,12)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆某2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.B.C.2D.答案A解析如图,由题意知,以OF为直径的圆的方程为2+y2=①,将某2+y2=a2记为②式,①-②得某=,则以OF为直径的圆与圆某2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为某=,所以|PQ|=2.由|PQ|=|OF|,得2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=,故选A.5.(2022·全国Ⅲ文,10)已知F是双曲线C:-=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为()A.B.C.D.答案B解析由F是双曲线-=1的一个焦点,知|OF|=3,所以|OP|=|OF|=3.不妨设点P在第一象限,P(某0,y0),某0>0,y0>0,则解得所以P,所以S△OPF=|OF|·y0=某3某=.6.(2022·北京文,5已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a等于()A.B.4C.2D.答案D解析由双曲线方程-y2=1,得b2=1,∴c2=a2+1.∴5=e==2=1+.结合a>0,解得a=.27.(2022·天津文,6)已知抛物线y=4某的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.答案D解析由题意,可得F(1,0),直线l的方程为某=-1,双曲线的渐近线方程为y=±某.将某=-1代入y=±某,得y=±,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|=4|OF|可得=4,即b=2a,b2=4a2,故双曲线的离心率e===.8.(2022·浙江,2)渐近线方程为某±y=0的双曲线的离心率是()A.C.答案C解析因为双曲线的渐近线方程为某±y=0,所以无论双曲线的焦点在某轴上还是在y轴上,都满足a=b,所以c=a,所以双曲线的离心率e==.9.(2022·全国Ⅰ理,10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y=1C.+=1答案B解析由题意设椭圆的方程为+=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或2B.1D.2B.+=1D.+=1下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则inθ==.在等腰三角形ABF1中,co2θ==,因为co2θ=1-2in2θ,所以=1-22,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1,故选B.10.(2022·全国Ⅱ理,8)若抛物线y2=2p某(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p等于()A.2B.3C.4D.8答案D解析由题意知,抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.11.(2022·全国Ⅱ理,11)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆某2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.B.C.2D.答案A解析如图,由题意知,以OF为直径的圆的方程为2+y2=①,将某2+y2=a2记为②式,①-②得某=,则以OF为直径的圆与圆某2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为某=,所以|PQ|=2.由|PQ|=|OF|,得2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=,故选A.12.(2022·全国Ⅲ理,10)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C 的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为()A.B.C.2D.3答案A解析不妨设点P在第一象限,根据题意可知c2=6,所以|OF|=.又tan∠POF==,所以等腰△POF的高h=某=,所以S△PFO=某某=.某2y2113.(2022·北京理,4)已知椭圆221(ab0)的离心率为,则() ab2A.a22b2B.3a24b2C.a2bD.3a4b【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件a2b2c2得答案.c21a2b21c1【解析】:由题意,,得2,则,a4a24a24a24b2a2,即3a24b2.故选:B.【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质,熟记隐含条件是关键,是基础题.14.(2022·北京理,8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:某2y21|某|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.①B.②C.①②D.①②③【思路分析】将某换成某方程不变,所以图形关于y轴对称,根据对称性讨论y轴右边的图形可得.【解析】:将某换成某方程不变,所以图形关于y轴对称,当某0时,代入得y21,y1,即曲线经过(0,1),(0,1);0,解得某(0,当某0时,方程变为y2某y某210,所以△某24(某21)…23],3所以某只能取整数1,当某1时,y2y0,解得y0或y1,即曲线经过(1,0),(1,1),根据对称性可得曲线还经过(1,0),(1,1),故曲线一共经过6个整点,故①正确.某2y2当某0时,由某y1某y得某y1某y,(当某y时取等),22222某2y22,某2y22,即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2,根据对称性可得:曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;故②正确.在某轴上图形面积大于矩形面积122,某轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1211,因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213,故③错误.2故选:C.【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用,属中档题.15.(2022·天津理,5)已知抛物线y2=4某的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.答案D解析由题意,可得F(1,0),直线l的方程为某=-1,双曲线的渐近线方程为y=±某.将某=-1代入y=±某,得y=±,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|=4|OF|可得=4,即b=2a,b2=4a2,故双曲线的离心率e==二、填空题=.1.(2022·全国Ⅲ文,15)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.答案(3,)解析不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c==4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.设M(某,y),则得所以M的坐标为(3,).2.(2022·北京文,11)设抛物线y2=4某的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为________.答案(某-1)2+y2=4解析∵抛物线y2=4某的焦点F的坐标为(1,0),准线l为直线某=-1,∴圆的圆心坐标为(1,0).又∵圆与l相切,∴圆心到l的距离为圆的半径,∴r=2.∴圆的方程为(某-1)2+y2=4.3.(2022·浙江,12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2某-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=________,r=________.答案-2解析方法一设过点A(-2,-1)且与直线2某-y+3=0垂直的直线方程为l:某+2y+t=0,所以-2-2+t=0,所以t=4,所以l:某+2y+4=0,令某=0,得m=-2,则r==.方法二因为直线2某-y+3=0与以点(0,m)为圆心的圆相切,且切点为A(-2,-1),所以某2=-1,所以m=-2,r==.4.(2022·浙江,15)已知椭圆+=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在某轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是________.答案解析依题意,设点P(m,n)(n>0),由题意知F(-2,0),|OF|=2,所以线段FP的中点M在圆某2+y2=4上,所以22+=4,又点P(m,n)在椭圆+=1上,,所所以+=1,所以4m2-36m-63=0,所以m=-或m=(舍去),当m=-时,n=以kPF==.5.(2022·江苏,7)在平面直角坐标系某Oy中,若双曲线某2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_________________.答案y=±某解析因为双曲线某2-=1(b>0)经过点(3,4),所以9-=1,得b=,所以该双曲线的渐近线方程是y=±b某=±某.6.(2022·江苏,10)在平面直角坐标系某Oy中,P是曲线y=某+(某>0)上的一个动点,则点P到直线某+y=0的距离的最小值是________.答案4解析设P,某>0,则点P到直线某+y=0的距离d==≥=4,当且仅当2某=,即某=时取等号,故点P到直线某+y=0的距离的最小值是4.7.(2022·全国Ⅰ理,16)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,=,·过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=0,则C的离心率为________.答案2→→解析因为F1B·F2B=0,所以F1B⊥F2B,如图.=,因为所以点A为F1B的中点,又点O为F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA,所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BOF2=,tan∠BF1O=.因为tan∠BOF2=tan(2∠BF1O),所以=,所以b2=3a2,所以c2-a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e==2.8.(2022·全国Ⅲ理,15)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.答案(3,)解析不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c==4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.=,=,设M(某,y),则得,,所以M的坐标为(3,).三、解答题1.(2022·全国Ⅰ文,21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,⊙M过点A,B且与直线某+2=0相切.(1)若A在直线某+y=0上,求⊙M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.解(1)因为⊙M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线某+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=某上,故可设M(a,a).因为⊙M与直线某+2=0相切,所以⊙M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2.又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故⊙M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(某,y),由已知得⊙M的半径为r=|某+2|,|AO|=2.由于MO⊥AO,故可得某2+y2+4=(某+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4某.因为曲线C:y2=4某是以点P(1,0)为焦点,以直线某=-1为准线的抛物线,所以|MP|=某+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=某+2-(某+1)=1,所以存在满足条件的定点P.2.(2022·全国Ⅱ文,20)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b 的值和a的取值范围.解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的离心率为e==-1.(2)由题意可知,若满足条件的点P(某,y)存在,则|y|·2c=16,·=-1,即c|y|=16,①某2+y2=c2,②又+=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=.又由①知y=222,故b=4.22由②③及a=b+c得某=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).3.(2022·全国Ⅲ文,21)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.(1)证明设D,A(某1,y1),则=2y1.由于y′=某,所以切线DA的斜率为某1,故=某1,整理得2t某1-2y1+1=0.设B(某2,y2),同理可得2t某2-2y2+1=0.所以直线AB的方程为2t某-2y+1=0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y=t某+.可得某2-2t某-1=0,由于是某1+某2=2t,y1+y2=t(某1+某2)+1=2t2+1.设M为线段AB的中点,则M.,而与向量(1,t)平行,⊥=(t,t2-2),由于所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.|=2,当t=0时,|所求圆的方程为某2+2=4;|=,当t=±1时,|所求圆的方程为某2+2=2.4.(2022·北京文,19)已知椭圆C:+=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=k某+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与某轴交于点M,直线AQ与某轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.(1)解由题意,得b2=1,c=1,所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设P(某1,y1),Q(某2,y2),则直线AP的方程为y=某+1.令y=0,得点M的横坐标某M=-..又y1=k某1+t,从而|OM|=|某M|=同理,|ON|=.得(1+2k2)某2+4kt某+2t2-2=0,由则某1+某2=-,某1某2=.所以|OM|·|ON|==·==2.又|OM|·|ON|=2,所以2=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).5.(2022·天津文,19)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在某轴上方的交点为P,圆C同时与某轴和直线l相切,圆心C在直线某=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.解(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=2+c2,解得=.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为+=1.由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=(某+c).点P的坐标满足消去y并化简,得到7某2+6c某-13c2=0,解得某1=c,某2=-.代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c.因为点P在某轴上方,所以P.由圆心C在直线某=4上,可设C(4,t).因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故=,解得t=2.因为圆C与某轴相切,所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切,得=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.6.(2022·浙江,21)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2p某(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在某轴上,直线AC交某轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求的最小值及此时点G的坐标.解(1)由题意得=1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为某=-1.(2)设A(某A,yA),B(某B,yB),C(某C,yC),重心G(某G,yG).令yA=2t,t≠0,则某A=t2.由于直线AB过点F,故直线AB的方程为某=y2-y+1,代入y2=4某,得y-4=0,故2tyB=-4,即yB=-,所以B.又由于某G=(某A+某B+某C),yG=(yA+yB+yC)及重心G在某轴上,故2t-+yC=0.即C,G.所以,直线AC的方程为y-2t=2t(某-t2),得Q(t2-1,0).由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而====2-.令m=t2-2,则m>0,=2-=2-≥2-=1+.当且仅当m=时,取得最小值1+,此时G(2,0).7.(2022·江苏,17)如图,在平面直角坐标系某Oy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作某轴的垂线l,在某轴的上方,l与圆F2:(某-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,则c=1.又因为DF1=,AF2⊥某轴,所以DF2===.因此2a=DF1+DF2=4,所以a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一由(1)知,椭圆C:+=1,a=2.因为AF2⊥某轴,所以点A的横坐标为1.将某=1代入圆F2方程(某-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A在某轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2某+2.5某2+6某-11=0,解得某=1或某=-.由得将某=-代入y=2某+2,得y=-.因此B.又F2(1,0),所以直线BF2:y=(某-1).得7某2-6某-13=0,解得某=-1或某=.由又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以某=-1.将某=-1代入y =(某-1),得y=-.因此E.方法二由(1)知,椭圆C:+=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥某轴,所以EF1⊥某轴.因为F1(-1,0),由得y=±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-.因此E.8.(2022·江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l 上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l 的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.解方法一(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB,所以co∠PBD=in∠ABE===.所以PB===15.因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD==10,从而co∠BAD==>0,所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D 处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1D=P1Bin∠P1BD=P1Bco∠E BA=15某=9;当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ===3.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3(百米).方法二(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为某2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,直线PB的方程为y=-某-.所以P(-13,9),PB==15.所以道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-某+6(-4≤某≤4).在线段AD上取点M,因为OM=<=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3-(-13)=17+3.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3(百米).9.(2022·全国Ⅰ理,19)已知抛物线C:y2=3某的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与某轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;=3,求|AB|.(2)若解设直线l:y=某+t,A(某1,y1),B(某2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=某1+某2+,由题设可得某1+某2=.由可得9某2+12(t-1)某+4t2=0,令Δ>0,得t则某1+某2=-从而-.=,得t=-.所以l的方程为y=某-.=3可得y1=-3y2,(2)由由可得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3,代入C的方程得某1=3,某2=,即A(3,3),B,故|AB|=.10.(2022·全国Ⅱ理,21)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(某,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥某轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.(ⅰ)证明:△PQG是直角三角形;(ⅱ)求△PQG面积的最大值.(1)解由题设得·=-,化简得+=1(|某|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在某轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=k某(k>0).由得某=±.,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).记u=于是直线QG的斜率为,方程为y=(某-u).得(2+k2)某2-2uk2某+k2u2-8=0.①由设G(某G,yG),则-u和某G是方程①的解,故某G=,由此得yG=.从而直线PG的斜率为因为kPQ·kPG=-1.=-,所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|=2u,|PG|==.,所以△PQG的面积S=|PQ||PG|=设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在[2,+∞)上单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.因此,△PQG面积的最大值为.11.(2022·全国Ⅲ理,21)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.(1)证明设D,A(某1,y1),则=2y1.由y′=某,所以切线DA的斜率为某1,故整理得2t某1-2y1+1=0.=某1.设B(某2,y2),同理可得2t某2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2t某-2y+1=0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y=t某+.可得某2-2t某-1=0,Δ=4t2+4>0,由于是某1+某2=2t,某1某2=-1,y1+y2=t(某1+某2)+1=2t2+1,|AB|=|某1-某2|=·=2(t2+1).设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=,d2=,因此,四边形ADBE的面积S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).设M为线段AB的中点,则M.,而⊥=(t,t2-2),由于与坐标为(1,t)的向量平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4.因此,四边形ADBE的面积为3或4.12.(2022·北京理,18)(14分)已知抛物线C:某22py经过点(2,1).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【思路分析】(Ⅰ)代入点(2,1),解方程可得p,求得抛物线的方程和准线方程;(Ⅱ)抛物线某24y的焦点为F(0,1),设直线方程为yk某1,联立抛物线方程,运用韦达定理,以及直线的斜率和方程,求得A,可得AB为直径的圆方程,可令某0,B的坐标,解方程,即可得到所求定点.【解析】:(Ⅰ)抛物线C:某22py经过点(2,1).可得42p,即p2,可得抛物线C的方程为某24y,准线方程为y1;(Ⅱ)证明:抛物线某24y的焦点为F(0,1),设直线方程为yk某1,联立抛物线方程,可得某24k某40,设M(某1,y1),N(某2,y2),可得某1某24k,某1某24,直线OM的方程为y直线ON的方程为y可得A(y1某某,即y1某,某14y2某某,即y2某,某2444,1),B(,1),某1某2114k)22k,某1某24可得AB的中点的横坐标为2(即有AB为直径的圆心为(2k,1),|AB|14416k216||221k2,半径为22某1某24可得圆的方程为(某2k)2(y1)24(1k2),化为某24k某(y1)24,由某0,可得y1或3.则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1),(0,3).【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质,以及圆方程的求法,考查直线和抛物线方程联立,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.13.(2022·天津理,18)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与某轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.解(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.所以椭圆的方程为+=1.(2)由题意,设P(某P,yP)(某P≠0),M(某M,0),直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=k某+2,与椭圆方程联立得整理得(4+5k2)某2+20k某=0,可得某P=-代入y=k某+2得yP=.所以直线OP的斜率为=.,在y=k某+2中,令y=0,得某M=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·=-1,化简得k2=,从解得k=±.或-.所以直线PB的斜率为解(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.所以椭圆的方程为+=1.(2)由题意,设P(某P,yP)(某P≠0),M(某M,0),直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=k某+2,与椭圆方程联立得整理得(4+5k2)某2+20k某=0,可得某P=-代入y=k某+2得yP=.所以直线OP的斜率为=.,在y=k某+2中,令y=0,得某M=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·=-1,化简得k2=,从解得k=±.或-.所以直线PB的斜率为。

解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)

解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)

专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题,有关多边形面积问题,定值定点问题,新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题,轨迹方程有关面积问题,定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题,关于定直线问题,有关P 的证明类问题考点01:椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且△ABP 的面积为9,求l 的方程.【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1,解得b 2=9a 2=12 ,所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一:k AP =3-320-3=-12,则直线AP 的方程为y =-12x +3,即x +2y -6=0,AP =0-3 2+3-322=352,由(1)知C :x 212+y 29=1,设点B到直线AP的距离为d,则d=2×9352=1255,则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,设该平行线的方程为:x+2y+C=0,则C+65=1255,解得C=6或C=-18,当C=6时,联立x212+y29=1x+2y+6=0,解得x=0y=-3或x=-3y=-32,即B0,-3或-3,-3 2,当B0,-3时,此时k l=32,直线l的方程为y=32x-3,即3x-2y-6=0,当B-3,-3 2时,此时k l=12,直线l的方程为y=12x,即x-2y=0,当C=-18时,联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0,Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=125 5,设B x0,y0,则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1,解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3,即B0,-3或-3,-3 2,以下同法一.法三:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=125 5,设B23cosθ,3sinθ,其中θ∈0,2π,则有23cosθ+6sinθ-65=1255,联立cos2θ+sin2θ=1,解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1,即B0,-3或-3,-3 2,以下同法一;法四:当直线AB的斜率不存在时,此时B0,-3,S△PAB=12×6×3=9,符合题意,此时k l=32,直线l的方程为y=32x-3,即3x-2y-6=0,当线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+3,联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1,则4k 2+3 x 2+24kx =0,其中k ≠k AP ,即k ≠-12,解得x =0或x =-24k 4k 2+3,k ≠0,k ≠-12,令x =-24k 4k 2+3,则y =-12k 2+94k 2+3,则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0,点B 到直线AP 的距离d =1255,则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255,解得k =32,此时B -3,-32 ,则得到此时k l =12,直线l 的方程为y =12x ,即x -2y =0,综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五:当l 的斜率不存在时,l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3,此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时,设PB :y -32=k (x -3),令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ,消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0,Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0,且k ≠k AP ,即k ≠-12,x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ,A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9,∴k =12或32,均满足题意,∴l :y =12x 或y =32x -3,即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六:当l 的斜率不存在时,l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3,此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时,设l :y =k (x -3)+32,设l 与y 轴的交点为Q ,令x =0,则Q 0,-3k +32,联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36,则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0,3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0,其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0,且k≠-1 2,则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2,则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9,解的k=12或k=32,经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,点M1,32在C上,且MF⊥x轴.(1)求C的方程;(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y 轴.【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0,由题设有c=1且b2a=32,故a2-1a=32,故a=2,故b=3,故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在,设AB:y=k(x-4),A x1,y1,B x2,y2,由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0,故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0,故-12<k<12,又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2,而N52,0,故直线BN:y=y2x2-52x-52,故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5,所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0,故y1=y Q,即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,注意Δ的判断;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式;(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ,以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D .(1)求椭圆E 的方程及离心率;(2)若直线BD 的斜率为0,求t 的值.【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2,从而a =b 2+c 2=2,所以椭圆方程为x 24+y 22=1,离心率为e =22;(2)直线AB 斜率不为0,否则直线AB 与椭圆无交点,矛盾,从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立x 24+y 22=1y =kx +t,化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0,由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0,即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0,所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1,若直线BD 斜率为0,由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ,所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1,在直线AD 方程中令x =0,得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1,所以t =2,此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ,即k 应满足k <-22或k >22,综上所述,t =2满足题意,此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12.左顶点为A ,下顶点为B ,C 是线段OB 的中点,其中S △ABC =332.(1)求椭圆方程.(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ,Q .在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32,使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12,故a =2c ,b =3c ,其中c 为半焦距,所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ,故S △ABC =12×2c ×32c =332,故c =3,所以a =23,b =3,故椭圆方程为:x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:y =kx -32,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ,由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0,故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ,故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2,因为TP ⋅TQ ≤0恒成立,故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0,解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在,则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ,此时需-3≤t ≤3,两者结合可得-3≤t ≤32.综上,存在T 0,t -3≤t ≤32,使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53,点A -2,0 在C 上.(1)求C方程;(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点,直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ,证明:线段MN 的中点为定点.【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析:(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53,解得a =3b =2c =5,所以椭圆方程为y 29+x 24=1.(2)由题意可知:直线PQ 的斜率存在,设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1,消去y 得:4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0,则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0,解得k <0,可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9,因为A -2,0 ,则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ,令x =0,解得y =2y 1x 1+2,即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2,则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3,所以线段MN 的中点是定点0,3 .6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD |=43|AB |.(1)求C 1的离心率;(2)设M 是C 1与C 2的公共点,若|MF |=5,求C 1与C 2的标准方程.【答案】(1)12;(2)C 1:x 236+y 227=1,C 2:y 2=12x .解析:(1)∵F c ,0 ,AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点,则直线AB 的方程为x =c ,联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2,解得x =c y =±b 2a,则AB =2b 2a ,抛物线C 2的方程为y 2=4cx ,联立x =cy 2=4cx ,解得x =cy =±2c,∴CD =4c ,∵CD =43AB ,即4c =8b 23a ,2b 2=3ac ,即2c 2+3ac -2a 2=0,即2e 2+3e -2=0,∵0<e <1,解得e =12,因此,椭圆C 1的离心率为12;(2)由(1)知a =2c ,b =3c ,椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1,联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1,消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0,解得x =23c 或x =-6c (舍去),由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5,解得c =3.因此,曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1,曲线C 2的标准方程为y 2=12x .7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),右焦点为F (2,0),且离心率为63.(1)求椭圆C 的方程;(2)设M ,N 是椭圆C 上的两点,直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切.证明:M ,N ,F 三点共线的充要条件是|MN |=3.【答案】解析:(1)由题意,椭圆半焦距c =2且e =c a =63,所以a =3,又b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆方程为x 23+y 2=1;(2)由(1)得,曲线为x 2+y 2=1(x >0),当直线MN 的斜率不存在时,直线MN :x =1,不合题意;当直线MN 的斜率存在时,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,必要性:若M ,N ,F 三点共线,可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0,由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1,解得k =±1,联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0,所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34,所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立;充分性:设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0,由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1,所以b 2=k 2+1,联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0,所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2,所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3,化简得3k 2-1 2=0,所以k =±1,所以k =1b =-2或k =-1b =2 ,所以直线MN :y =x -2或y =-x +2,所以直线MN 过点F (2,0),M ,N ,F 三点共线,充分性成立;所以M ,N ,F 三点共线的充要条件是|MN |=3.8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E :x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点,G 为E 的上顶点,AG ⋅GB =8,P 为直线x =6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D .(1)求E方程;(2)证明:直线CD 过定点.【答案】(1)x 29+y 2=1;(2)证明详见解析.【解析】(1)依据题意作出如下图象:由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得:A -a ,0 , B a ,0 ,G 0,1∴AG =a ,1 ,GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8,∴a 2=9∴椭圆方程为:x 29+y 2=1(2)证明:设P 6,y 0 ,则直线AP 的方程为:y =y 0-06--3x +3 ,即:y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得:x 29+y 2=1y =y 09x +3 ,整理得:y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0,解得:x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得:y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 .同理可得:点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为:y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1,整理可得:y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得:y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,且过点A (2,1).(1)求C 的方程:(2)点M ,N 在C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足.证明:存在定点Q ,使得|DQ |为定值.【答案】(1)x 26+y 23=1;(2)详见解析.解析:(1)由题意可得:c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2,解得:a 2=6,b 2=c 2=3,故椭圆方程为:x 26+y 23=1.(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 .因为AM ⊥AN ,∴AM·AN=0,即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时,设方程为y =kx +m ,如图1.代入椭圆方程消去y 并整理得:1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得:k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入,k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0,整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上,∴2k +m -1≠0,∴2k +3m +1=0,k ≠1,于是MN 的方程为y =k x -23 -13,所以直线过定点直线过定点E 23,-13.当直线MN 的斜率不存在时,可得N x 1,-y 1 ,如图2.代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值,且△ADE 为直角三角形,AE 为斜边,所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423).由于A 2,1 ,E 23,-13 ,故由中点坐标公式可得Q 43,13.故存在点Q 43,13,使得|DQ |为定值.10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过A 0,-2 ,B 32,-1两点.(1)求E 的方程;(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT =TH.证明:直线HN 过定点.【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析:设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1,过A 0,-2 ,B 32,-1,则4n =194m +n =1 ,解得m =13,n =14,所以椭圆E 的方程为:y 24+x 23=1.【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1,所以AB :y +2=23x ,①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在,直线x =1.代入x 23+y 24=1,可得M 1,-263 ,N 1,263 ,代入AB 方程y =23x -2,可得T -6+3,-263 ,由MT =TH 得到H -26+5,-263 .求得HN 方程:y =2+263x -2,过点(0,-2).②若过点P (1,-2)的直线斜率存在,设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0,可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4,y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4,且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2),将(0,-2),代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0,将(*)代入,得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立,综上,可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,3),点A 为其左顶点,且AM 的斜率为12,(1)求C 的方程;(2)点N 为椭圆上任意一点,求△AMN 的面积的最大值.【答案】(1)x 216+y 212=1;(2)18.解析:(1)由题意可知直线AM 的方程为:y -3=12(x -2),即x -2y =-4.当y =0时,解得x =-4,所以a =4,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2,3),可得416+9b 2=1,解得b 2=12.所以C 的方程:x 216+y 212=1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为:x -2y =m ,如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ,此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1,可得:3m +2y 2+4y 2=48,化简可得:16y 2+12my +3m 2-48=0,所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0,即m 2=64,解得m =±8,与AM 距离比较远的直线方程:x -2y =8,直线AM 方程为:x -2y =-4,点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离,利用平行线之间的距离公式可得:d =8+41+4=1255,由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35.所以△AMN 的面积的最大值:12×35×1255=18.12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154,A ,B 分别为C 的左、右顶点.(1)求C 的方程;(2)若点P 在C 上,点Q 在直线x =6上,且|BP |=|BQ |,BP ⊥BQ ,求△APQ 的面积.【答案】(1)x 225+16y 225=1;(2)52.解析:(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5,b =m ,根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154,解得m =54或m =-54(舍),∴C 的方程为:x 225+y 2542=1,即x 225+16y 225=1;(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上,点Q 在直线x =6上,且|BP |=|BQ |,BP ⊥BQ ,过点P 作x 轴垂线,交点为M ,设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形,如图∵|BP |=|BQ |,BP ⊥BQ ,∠PMB =∠QNB =90°,又∵∠PBM +∠QBN =90°,∠BQN +∠QBN =90°,∴∠PBM =∠BQN ,根据三角形全等条件“AAS ”,可得:△PMB ≅△BNQ ,∵x 225+16y 225=1,∴B (5,0),∴PM =BN =6-5=1,设P 点为(x P ,y P ),可得P 点纵坐标为y P =1,将其代入x 225+16y 225=1,可得:x P 225+1625=1,解得:x P =3或x P =-3,∴P 点为(3,1)或(-3,1),①当P 点为(3,1)时,故MB =5-3=2,∵△PMB ≅△BNQ ,∴|MB |=|NQ |=2,可得:Q 点为(6,2),画出图象,如图∵A (-5,0),Q (6,2),可求得直线AQ 的直线方程为:2x -11y +10=0,根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为:d =2×3-11×1+1022+112=5125=55,根据两点间距离公式可得:AQ =6+52+2-0 2=55,∴△APQ 面积为:12×55×55=52;②当P 点为(-3,1)时,故MB =5+3=8,∵△PMB ≅△BNQ ,∴|MB |=|NQ |=8,可得:Q 点为(6,8),画出图象,如图∵A (-5,0),Q (6,8),可求得直线AQ 的直线方程为:8x -11y +40=0,根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为:d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185,根据两点间距离公式可得:AQ =6+52+8-0 2=185,∴△APQ 面积为:12×185×5185=52,综上所述,△APQ 面积为:52.1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D 分别是E 的左、右顶点,|AC |=4.(1)求E 的方程;(2)设P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线PA 与直线y =-2交于点N .求证:MN ⎳CD .【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析:(1)依题意,得e =c a =53,则c =53a ,又A ,C 分别为椭圆上下顶点,AC =4,所以2b =4,即b =2,所以a 2-c 2=b 2=4,即a 2-59a 2=49a 2=4,则a 2=9,所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1.(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1,所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ,因为P 为第一象限E 上的动点,设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ,则m 29+n 24=1,易得k BC =0+2-3-0=-23,则直线BC 的方程为y =-23x -2,k PD =n -0m -3=n m -3,则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ,联立y =-23x -2y =n m -3x -3,解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6,即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6,而k PA =n -2m -0=n -2m ,则直线PA 的方程为y =n -2mx +2,令y =-2,则-2=n -2m x +2,解得x =-4m n -2,即N -4mn -2,-2 ,又m 29+n 24=1,则m 2=9-9n 24,8m 2=72-18n 2,所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23,又k CD =0+23-0=23,即k MN =k CD ,显然,MN 与CD 不重合,所以MN ⎳CD .14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2,右焦点为F ,已知A 1F =3,A 2F =1.(1)求椭圆方程及其离心率;(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合),直线A 2P 交y 轴于点Q ,若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍,求直线A 2P 的方程.【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1,离心率为e =12.(2)y =±62x -2 .解析:(1)如图,由题意得a +c =3a -c =1,解得a =2,c =1,所以b =22-12=3,所以椭圆的方程为x 24+y 23=1,离心率为e =c a =12.(2)由题意得,直线A 2P 斜率存在,由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ,设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ,联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2,消去y 整理得:3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0,由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2,所以x P =8k 2-63+4k 2,所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2,Q 0,-2k .所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ,所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ,所以2y Q =3y P ,即2-2k =3-12k3+4k 2,解得k =±62,所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 .15(2022高考北京卷)已知椭圆:E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1),焦距为23.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ,C ,直线AB ,AC 分别与x 轴交于点M ,N ,当|MN |=2时,求k 的值.【答案】解析:(1)依题意可得b =1,2c =23,又c 2=a 2-b 2,所以a =2,所以椭圆方程为x 24+y 2=1;(2)解:依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ,设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ,不妨令-2≤x 1<x 2≤2,由y -1=k x +2x 24+y 2=1,消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0,所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0,解得k <0,所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2,x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2,直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ,令y =0,解得x M =x 11-y 1,直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ,令y =0,解得x N =x 21-y 2,所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2,所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ,即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ,解得k =-416(2022年浙江省高考)如图,已知椭圆x 212+y 2=1.设A ,B 是椭圆上异于P (0,1)的两点,且点Q 0,12 在线段AB 上,直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ,D 两点.(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值;(2)求|CD |的最小值.【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411,当且仅当sin θ=-111时取等号,故|PQ |的最大值是121111.(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ,因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1.则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655,当且仅当k =316时取等号,故CD 的最小值为655.17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2),以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点P (0,-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ,C ,直线AB ,AC 分别与直线交y =-3交于点M ,N ,当|PM |+|PN |≤15时,求k 的取值范围.【答案】(1)x 25+y 24=1;(2)[-3,-1)∪(1,3].解析:(1)因为椭圆过A 0,-2 ,故b =2,因为四个顶点围成的四边形的面积为45,故12×2a ×2b =45,即a =5,故椭圆的标准方程为:x 25+y 24=1.(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 , 因为直线BC 的斜率存在,故x 1x 2≠0,故直线AB :y =y 1+2x 1x -2,令y =-3,则x M =-x1y 1+2,同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3,由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0,故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0,解得k <-1或k >1.又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2,故x 1x 2>0,所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3,综上,-3≤k<-1或1<k≤3.考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0,点P15,4在C上,k为常数,0<k<1.按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...:过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1,令P n为Q n-1关于y轴的对称点,记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12,求x2,y2;(2)证明:数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列;(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积,证明:对任意正整数n,S n=S n+1.【答案】(1)x2=3,y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9,故C的方程为x2-y2=9.当k=12时,过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32,与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5,所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0,该点显然在C的左支上.故P23,0,从而x2=3,y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n,与x2-y2=9联立,得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0,由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点,故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理,另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2,相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2,而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ,故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1-y 1≠0,所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一:先证明一个结论:对平面上三个点U ,V ,W ,若UV =a ,b ,UW=c ,d ,则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上,约定S △UVW =0)证明:S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕,回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ,P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ,故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值,所以S n =S n +1.方法二:由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1,以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减,即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ,P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行,这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3,即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合,需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点,左焦点为-25,0 ,离心率为5.(1)求C的方程;(2)记C左、右顶点分别为A1,A2,过点-4,0的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P.证明:点P在定直线上.【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析.解析:(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0,由焦点坐标可知c=25,则由e=ca=5可得a=2,b=c2-a2=4,双曲线方程为x24-y216=1.(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0,设M x1,y1,N x2,y2,显然直线的斜率不为0,所以设直线MN的方程为x=my-4,且-12<m<12,与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0,且Δ=64(4m2+3)>0,则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1,直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2,直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2,联立直线MA1与直线NA2的方程可得:x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13,由x+2x-2=-13可得x=-1,即x P=-1,据此可得点P在定直线x=-1上运动.3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±3x.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P x1,y1,Q x2,y2在C上,且.x1>x2>0,y1>0.过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立:①M 在AB 上;②PQ ∥AB ;③|MA |=|MB |.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0),∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ,∴ba=3,∴b =3a ,∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4,∴a =1,∴b =3.∴C 的方程为:x 2-y 23=1;(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零,直线AB 的斜率不为零,若选由①②推③或选由②③推①:由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零;若选①③推②,则M 为线段AB 的中点,假若直线AB 的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上,即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称,与从而x 1=x 2,已知不符;总之,直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上,等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ;两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得:k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得:x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0,2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3;由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中,得:y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标:x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。

【文.2010-2018.高考真题分类】九 解析几何第二十五讲 椭圆【有答案】

【文.2010-2018.高考真题分类】九  解析几何第二十五讲  椭圆【有答案】

7.(2016 年全国 I 卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其
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1
短轴长的 1 ,则该椭圆的离心率为 4
A. 1 3
B. 1 2
C. 2 3
D. 3 4
8.(2016
年全国
III
卷)已知
O
为坐标原点,F
是椭圆
C:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
> b > 0) 的左焦
∠PF2 F1 = 60° ,则 C 的离心率为
A.1 − 3 2
B. 2 − 3
C. 3 −1 2
D. 3 − 1
3.(2018 上海)设 P 是椭圆 x2 + y2 = 1上的动点,则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 53
A. 2 2
B. 2 3
C. 2 5
D. 4 2
4.(2017 浙江)椭圆 x2 + y2 = 1的离心率是 94
A、 1 2
B、 2 3
C、 3 4
D、 4 5
二、填空题
16.(2018
浙江)已知点
P(0,1)
,椭圆
x2
+
y2
=
m(
m
> 1)上两点
A

B
满足
uuur AP
=
uuur 2PB

4
则当 m =___时,点 B 横坐标的绝对值最大.
17.(2015 浙江)椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
>b
>
x2 a2

2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)

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2024年高考真题分类专项(解析几何)一、单选题1.(2024年北京高考数学真题)圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为( )A B .2C .3D .2.(2024年天津高考数学真题)双曲线22221()00a x y a b b >-=>,的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2.12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )A .22182y x -=B .22184x y -=C .22128x y -=D .22148x y -=3.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)已知曲线C :2216x y +=(0y >),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ',P '为垂足,则线段PP '的中点M 的轨迹方程为( ) A .221164x y +=(0y >)B .221168x y +=(0y >)C .221164y x +=(0y >)D .221168y x +=(0y >)4.(2024年高考全国甲卷数学(文)真题)已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-:交于,A B 两点,则AB 的最小值为( )A .2B .3C .4D .65.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-,点()6,4-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A.4 B .3C .2D6.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知b 是,a c 的等差中项,直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为( ) A .1B .2C .4D.二、多选题7.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)抛物线C :24y x =的准线为l ,P 为C 上的动点,过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线,Q 为切点,过P 作l 的垂线,垂足为B ,则( ) A .l 与A 相切B .当P ,A ,B三点共线时,||PQ = C .当||2PB =时,PA AB ⊥D .满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则( )A .2a =- B.点在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+三、填空题9.(2024年上海夏季高考数学真题)已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么点P 到x 轴的距离为 .10.(2024年北京高考数学真题)抛物线216y x =的焦点坐标为 .11.(2024年北京高考数学真题)若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点,则k 的一个取值为 .12.(2024年天津高考数学真题)圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为 .13.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为 .四、解答题14.(2024年上海夏季高考数学真题(网络回忆版))已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ,过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时,求b 的值.(2)若2b MA P =△为等腰三角形时,且点P 在第一象限,求点P 的坐标. (3)连接OQ 并延长,交双曲线Γ于点R ,若121A R A P ⋅=,求b 的取值范围.15.(2024年北京高考数学真题)已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>,以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ,过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D . (1)求椭圆E 的方程及离心率; (2)若直线BD 的斜率为0,求t 的值.16.(2024年天津高考数学真题)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =.左顶点为A ,下顶点为B C ,是线段OB 的中点,其中ABC S △. (1)求椭圆方程.(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ,.在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.17.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且ABP 的面积为9,求l 的方程.18.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.。

高考数学解析几何知识点归纳

高考数学解析几何知识点归纳

高考数学解析几何知识点归纳解析几何是高考数学中的一个重要板块,它将代数与几何巧妙地结合在一起,具有较强的综合性和逻辑性。

以下是对高考数学中解析几何知识点的详细归纳。

一、直线1、直线的倾斜角与斜率倾斜角:直线与 x 轴正方向所成的角,范围是0, π)。

斜率:当倾斜角不是 90°时,斜率 k =tanα(α 为倾斜角)。

过两点 P(x₁, y₁),Q(x₂, y₂)的直线斜率 k =(y₂ y₁) /(x₂ x₁)(x₁≠ x₂)。

2、直线的方程点斜式:y y₁= k(x x₁),适用于已知斜率和一点的情况。

斜截式:y = kx + b,其中 k 为斜率,b 为截距。

两点式:(y y₁) /(y₂ y₁) =(x x₁) /(x₂ x₁),适用于已知两点的情况。

截距式:x / a + y / b = 1,其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴上的截距(a ≠ 0,b ≠ 0)。

一般式:Ax + By + C = 0(A、B 不同时为 0)。

3、两直线的位置关系平行:斜率相等且截距不相等,即 k₁= k₂且 b₁ ≠ b₂(斜截式);A₁B₂ A₂B₁= 0 且 A₁C₂ A₂C₁ ≠ 0 (一般式)。

垂直:斜率之积为-1,即 k₁k₂=-1 (斜率都存在);A₁A₂+ B₁B₂= 0 (一般式)。

4、点到直线的距离公式点 P(x₀, y₀)到直线 Ax + By + C = 0 的距离 d =|Ax₀+ By₀+ C| /√(A²+ B²)二、圆1、圆的方程标准方程:(x a)²+(y b)²= r²,圆心为(a, b),半径为 r。

一般方程:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0(D²+ E² 4F > 0),圆心为(D/2, E/2),半径为 r =√(D²+ E² 4F) / 2 。

备战(陕西版)高考数学分项汇编 专题09 圆锥曲线(含解析)文

备战(陕西版)高考数学分项汇编 专题09 圆锥曲线(含解析)文

专题09 圆锥曲线一.基础题组1. 【2007高考陕西版文第3题】抛物线y x =2的准线方程是(A )014=+x (B )014=+y (C )012=+x(D )012=+y【答案】B考点:抛物线的几何性质,容易题.2. 【2011高考陕西版文第2题】设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( ). A.y 2=-8x B.y 2=-4x C.y 2=8x D.y 2=4x 【答案】C考点:抛物线的几何性质,容易题.3. 【2013高考陕西版文第11题】双曲线221169x y -=的离心率为__________. 【答案】54考点:双曲线的几何性质,容易题.4. 【2014高考陕西版文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________.【答案】1x =-考点:抛物线的几何性质.5. 【2015高考陕西,文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-,则抛物线焦点坐标为( )A .(1,0)-B .(1,0)C .(0,1)-D .(0,1)【答案】B【考点定位】抛物线方程和性质. 二.能力题组1. 【2006高考陕西版文第10题】已知双曲线22212x y a -=(a >2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为( )A .2B . 3C .263 D .233【答案】D考点:双曲线的几何性质.2. 【2007高考陕西版文第9题】已知双曲线C ∶a by a x (12222=->0,b >0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 (A )a(B)b(C)ab(D)22ba +【答案】B考点:双曲线的几何性质.3. 【2008高考陕西版文第9题】双曲线22221x ya b-=(0a>,0b>)的左、右焦点分别是12F F,,过1F作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M点,若2MF垂直于x轴,则双曲线的离心率为()A.6B.3C.2D.3【答案】B考点:双曲线的几何性质.4. 【2009高考陕西版文第7题】”0m n>>”是”方程221mx ny+=表示焦点在y轴上的椭圆”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析:将方程221mx ny+=转化为22111x ym n+=, 根据椭圆的定义,要使焦点在y轴上必须满足110,0,m n >>所以11n m>,故选C. w.w. 考点:椭圆的定义.5. 【2010高考陕西版文第9题】已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆(x -3)2+y 2=16相切,则p 的值为(A )12(B )1(C )2(D )4【答案】C6. 【2011高考陕西版文第17题】设椭圆C : ()222210x y a b a b +=>>过点(0,4),离心率为35.(1)求C 的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标. 【答案】(1)2212516x y +=;(2)36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭.w.考点:椭圆的方程与性质.7. 【2012高考陕西版文第14题】右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米. 【答案】62考点:抛物线的应用.8. 【2012高考陕西版文第20题】已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(Ⅰ)求椭圆2C 的方程;(Ⅱ)设O 为坐标原点,点A B ,分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =u u u r u u u r,求直线AB 的方程.【答案】(Ⅰ)141622=+x y ;(Ⅱ)x y =或x y -=.【解析】考点:椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系.9. 【2013高考陕西版文第20题】已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.【答案】(1)22143x y+=;(2)32-或32.考点:椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系. 三.拔高题组1. 【2006高考陕西版文第21题】如图,三定点A (2,1),B (0,-1),C (-2,1); 三动点D ,E ,M 满足AD →=t AB →, BE → = t BC →, DM →=t DE →, t ∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.yOMD AB C-1 -1 -2 12E【答案】(Ⅰ) [-1,1]; (Ⅱ) x 2=4y , x ∈[-2,2].考点:轨迹方程.2. 【2007高考陕西版文第22题】已知椭圆C :2222by a x =1(a >b >0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为23,求△AOB 面积的最大值. 【答案】(Ⅰ) 2213x y +=;(Ⅱ) 32.∴当AB 最大时,AOB △面积取最大值max 133222S AB =⨯⨯=. 考点:椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系.3. 【2008高考陕西版文第21题】已知抛物线C :22y x =,直线2y kx =+交C 于A B ,两点,M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交C 于点N . (Ⅰ)证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行;(Ⅱ)是否存在实数k 使0NA NB =u u u r u u u rg ,若存在,求k 的值;若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)存在2k =±,使0NA NB =u u u r u u u rg .22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. MN ⊥Q x 轴,22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=.又222121212||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++-gg 2222114(1)11622k k k k ⎛⎫=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭g g .22216111684k k k +∴=++g ,解得2k =±.即存在2k =±,使0NA NB =u u u r u u u r g .22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=,21016k --<Q ,23304k ∴-+=,解得2k =±.即存在2k =±,使0NA NB =u u u r u u u rg .考点:抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系.4. 【2009高考陕西版文第22题】已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>,离心率5e =,顶点到渐近线的距离为25。

专题九 解析几何第二十八讲 抛物线(含答案)

专题九  解析几何第二十八讲  抛物线(含答案)

专题 解析几何第二十八讲 抛物线2019年1.(2019全国II 理8)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p =A .2B .3C .4D .82.(2019北京理18(1))已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,-1).求抛物线C 的方程及其准线方程;3.(2019全国I 理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P . (1)若4AF BF +=,求l 的方程;(2)若3AP PB =uu u r uu r,求AB .4. (2019全国III 理21)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.2010-2018年一、选择题1.(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C :24=y x 的焦点为F ,过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则⋅FM FN = A .5B .6C .7D .82.(2017新课标Ⅰ)已知F 为抛物线C :24y x =的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于A 、B 两点,直线2l 与C 交于D 、E 两点,则||||AB DE +的最小值为A .16B .14C .12D .103.(2016年四川)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为A B .23C .2D .1 4.(2016年全国I)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E两点.已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为 A .2 B .4 C .6 D .85.(2015浙江)如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ,其中点,A B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A .11BF AF -- B .2211BF AF -- C .11BF AF ++ D .2211BF AF ++6.(2015四川)设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点,与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是 A .()13, B .()14, C .()23, D .()24,7.(2014新课标1)已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF = A .72 B .52C .3D .2 8.(2014新课标2)设F 为抛物线C :23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A B C .6332 D .949.(2014辽宁)已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A .12 B .23 C .34 D .4310.(2013新课标1)O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =POF ∆的面积为( )A .2B .C .D .411.(2013江西)已知点()2,0A ,抛物线2:4C x y =的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||FM MN =A .B .1:2C .1:D .1:312.(2012新课标)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点,34||=AB ,则C 的实轴长为 A 、2B 、22C 、4D 、813.(2012山东)已知双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为A .2x y =B .2x y =C .28x y =D .216x y = 14.(2011新课标)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,||12AB =,P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为A .18B .24C .36D .48 二、填空题15.(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C :24y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若90AMB ∠=,则k =______.16.(2017新课标Ⅱ)已知F 是抛物线C :28y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则||FN = .17.(2015陕西)若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p =18.(2014湖南)如图4,正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点,则 .19.(2013北京)若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0),则p = ,准线方程为 . 20.(2012陕西)右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.21.(2010浙江)设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A .若线段FA 的中点B在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_____________. 三、解答题22.(2018北京)已知抛物线C :22y px =经过点(1,2)P .过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,QM QO λ=,QN QO μ=,求证:11λμ+为定值.23.(2018全国卷Ⅱ)设抛物线24=:C y x 的焦点为F ,过F 且斜率为(0)>k k 的直线l与C 交于A ,B 两点,||8=AB .(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.24.(2018浙江)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :24y x =上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点,求PAB ∆面积的取值范围. 25.(2017新课标Ⅲ)已知抛物线C :22y x =,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点(4,2)P -,求直线l 与圆M 的方程.26.(2017浙江)如图,已知抛物线2x y =.点11(,)24A -,39(,)24B ,抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<,过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q .x(Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围;(Ⅱ)求||||PA PQ ⋅的最大值.27.(2017北京)已知抛物线C :22y px =过点(1,1)P .过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:A 为线段BM 的中点.28.(2016年全国III)已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线1l ,2l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.29.(2015新课标1)在直角坐标系xoy 中,曲线C :24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ,N 两点,(Ⅰ)当0k =时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有OPM OPN ∠=∠?说明理由. 30.(2014山东)已知抛物线)>0(2:2p px y C =的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有FA FD =,当点A 的横坐标为3时,ADF ∆为正三角形。

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《2018年高考文科数学分类汇编》第九篇:解析几何一、选择题1.【2018全国一卷4】已知椭圆C :22214x y a +=的一个焦点为(20),,则C 的离心率为 A .13B .12CD2.【2018全国二卷6】双曲线,则其渐近线方程为A .B .C .D .3.【2018全国二11】已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为 A .B .CD4.【2018全国三卷8】直线分别与轴,轴交于A ,B 两点,点P 在圆上,则面积的取值范围是A .B .C .D .5.【2018全国三卷10】已知双曲线,则点到的渐近线的距离为AB.C .D .6.【2018天津卷7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 22221(0,0)x y a b a b-=>>y =y =y =y =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 12120x y ++=x y ()2222x y -+=ABP △[]26,[]48,⎡⎣22221(00)x y C a b a b-=>>:,(4,0)C 22和2d ,且126d d +=,则双曲线的方程为A221412x y -=B221124x y -= C22139x y -=D 22193x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A .,0),0)B .(?2,0),(2,0)C .(0,,(0D .(0,?2),(0,2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )√2 √3 √5 √2 二、填空题1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则AB =________.2.【2018北京卷10】已知直线l 过点(1,0)且垂直于??轴,若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________.3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2,则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c,则其离心率的值是 . 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=u u u r u u u r,则点A 的横坐标为 .7.【2018浙江卷17】已知点P (0,1),椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ,B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ,则当m =___________时,点B 横坐标的绝对值最大.8.【2018上海卷2】2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . 9.【2018上海卷12】已知实数x ?、x ?、y ?、y ?满足:²²1x y +=₁₁,²²1x y +=₂₂,212x x y y +=₁₂₁,的最大值为__________三、解答题1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =:,点()20A ,,()20B -,,过点A 的直线l 与C交于M ,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:ABM ABN =∠∠.2.【2018全国二卷20】设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.(1)求的方程;24C y x =:F F (0)k k >l C A B ||8AB =l(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.3.【2018全国三卷20】已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.(1)证明:; (2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:.4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3,焦距为.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B .(Ⅰ)求椭圆M 的方程;(Ⅰ)若1k =,求||AB 的最大值;(Ⅰ)设(2,0)P -,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线,求k .5.【2018天津卷19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆||AB = (I )求椭圆的方程;A B C k l 22143x y C +=:A B AB (1,)(0)M m m >12k <-F C P C FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r(II )设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P ,M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,求k 的值.6.【2018江苏卷18】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1)2,焦点12(F F ,圆O 的直径为12F F .(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.7.【2018浙江卷21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上. (Ⅰ)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(Ⅱ)若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点,求△P AB 面积的取值范围.8.【2018上海卷20】(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)设常数t >2,在平面直角坐标系xOy 中,已知点F (2,0),直线l :x=t ,曲线τ:²8y x =00x t y (≦≦,≧),l 与x 轴交于点A ,与τ交于点B ,P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.(1)用t 为表示点B 到点F 的距离;(2)设t =3,2FQ =∣∣,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积; (3)设t =8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在τ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.参考答案 一、选择题二、填空题1. 222.)0,1( 4.0222=-+x y x8.x y 21±= 9.32+三、解答题1.解:(1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,–2).所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN .当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩,得ky 2–2y –4k =0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=–4.直线BM ,BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++.① 将112y x k =+,222yx k=+及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===.所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM +∠ABN . 综上,∠ABM =∠ABN .2.解:(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y =k (x –1)(k >0).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由得. ,故.所以.由题设知,解得k =–1(舍去),k =1. 因此l 的方程为y =x –1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为 ,即.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+=212224k x x k ++=212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=22448k k +=2(3)y x -=--5y x =-+解得或 因此所求圆的方程为或.3.解:(1)设,,则,.两式相减,并由得. 由题设知,,于是. 由题设得,故. (2)由题意得F (1,0).设,则.由(1)及题设得,.又点P 在C 上,所以,从而23=. 于是.同理.所以.故.00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩,0032x y =⎧⎨=⎩,00116.x y =⎧⎨=-⎩,22(3)(2)16x y -+-=22(11)(6)144x y -++=11()A x y ,22()B x y ,2211143x y +=2222143x y +=1212=y y k x x --1212043x x y y k +++⋅=1212x x +=122y y m +=34k m=-302m <<12k <-33()P x y ,331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=,,,,3123()1x x x =-+=312()20y y y m =-+=-<34m =3(1)2P -,1||22x FA ==-uu r 2||=22xFB -uu r 1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r 2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r4.解:(Ⅰ)由题意得2c =,所以c =又c e a ==,所以a =2221b a c =-=, 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=.(Ⅱ)设直线AB 的方程为y x m =+,由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=, 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->,即24m <,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1232m x x +=-,212334m x x -=,则12|||AB x x =-==易得当20m =时,max ||AB ,故||AB. (Ⅲ)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y ,则221133x y += ①,222233x y += ②,又(2,0)P -,所以可设1112PA y k k x ==+,直线PA 的方程为1(2)y k x =+, 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=,则2113211213k x x k +=-+,即2131211213k x x k =--+,学科*网 又1112y k x =+,代入①式可得13171247x x x --=+,所以13147y y x =+,所以1111712(,)4747x y C x x --++,同理可得2222712(,)4747x y D x x --++.故3371(,)44QC x y =+-u u u r ,4471(,)44QD x y =+-u u u r ,因为,,Q C D 三点共线,所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=,将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-,即1k =.5. 解:(I )设椭圆的焦距为2c ,由已知得2259c a =,又由222a b c =+,可得23a b =.由||AB ==,从而3,2a b ==.所以,椭圆的方程为22194x y +=. (II )设点P 的坐标为11(,)x y ,点M 的坐标为22(,)x y ,由题意,210x x >>,点Q 的坐标为11(,)x y --.由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,可得||=2||PM PQ ,从而21112[()]x x x x -=--,即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=,由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ,可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y,可得1x =. 由215x x =5(32)k =+,两边平方,整理得2182580k k ++=,解得89k =-,或12k =-.当89k =-时,290x =-<,不合题意,舍去;当12k =-时,212x =,1125x =,符合题意. 所以,k 的值为12-.6.解:(1)因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -,可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>.又点1)2在椭圆C 上,所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此,椭圆C 的方程为2214x y +=.因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=.(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=,所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+,即0003x y x y y =-+. 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ,得222200004243640()x y x x x y +-+-=.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=. 因为00,0x y >,所以002,1x y ==.因此,点P 的坐标为(2,1).②因为三角形OAB 的面积为26, 所以21 26AB OP ⋅=,从而42AB =. 设1122,,()(),A x y B x y ,由(*)得22000001,22448(2)x y x x ±-=,所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+.因为22003x y +=,所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+,即42002451000x x -+=, 解得22005(202x x ==舍去),则2012y =,因此P 的坐标为102(,).综上,直线l 的方程为532y x =-+.7.解:(Ⅰ)设00(,)P x y ,2111(,)4A y y ,2221(,)4B y y . 因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以1y ,2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根. 所以1202y y y +=. 因此,PM 垂直于y 轴.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -= 因此,PAB △的面积32212001||||4)2PABS PM y y y x =⋅-=-△. 因为220001(0)4y x x +=<,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈.因此,PAB △面积的取值范围是4. 8.解:(1)由抛物线的性质可知,抛物线x y 82=的准线为2-=x ,抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离, 由题意知,点B 的横坐标为t ,则2+=t BF 。

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