2015年南阳市秋期期中考试高二数学(文)试题
2015-2016年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带答案
2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题1．（5分）在等差数列{a n}中，a1=21，a7=18，则公差d=（）A．B．C．﹣ D．﹣2．（5分）在△ABC中，若sinA=cosB=，则∠C=（）A．45°B．60°C．30°D．90°3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．2a﹣2b＜0 D．＞4．（5分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．5．（5分）如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于﹣1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A．﹣＜m＜B．﹣2＜m＜0 C．﹣2＜m＜1 D．0＜m＜16．（5分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，其公比q≠1，且b i ＞0（i=1，2，3，…），若a1=b1，a11=b11，则（）A．a6=b6B．a6＞b6C．a6＜b6D．a6＞b6或a6＜b67．（5分）平面区域如图所示，若使目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A．B．1 C．D．48．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a112，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或79．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣12 D．a＜﹣1210．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为（）A．10 B．9 C．8 D．712．（5分）设等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和为S n，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是（）A．（] B．（]C．（﹣∞，4]D．（3，+∞）二、填空题13．（5分）设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则q=．14．（5分）在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于．三、解答题（共7小题，满分80分）15．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．16．（10分）已知数列{a n}满足数列{b n}的前n项和S n=n2+2n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．17．（10分）已知关于x的不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc≥0．18．（12分）已知三角形ABC中，A为锐角，且b=2asinB（1）求A，（2）若a=7，三角形ABC的面积为10，求b+c的值．19．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．（1 ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2 ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低．20．（12分）三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，（1）求证A=（2）若三角形ABC的外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的前n项的和S n=a n﹣×2n+1+（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求首项a1（Ⅱ）证明数列{a n+2n}是等比数列并求a n．2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）在等差数列{a n}中，a1=21，a7=18，则公差d=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：由等差数列的通项公式可得a7=a1+6d，∴18=21+6d，解得d=．故选：D．2．（5分）在△ABC中，若sinA=cosB=，则∠C=（）A．45°B．60°C．30°D．90°【解答】解：△ABC中，若sinA=cosB=，则∠B=60°，∴∠A=30°，∠C=90°，故选：D．3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．2a﹣2b＜0 D．＞【解答】解：A 不正确，如a=﹣3，b=﹣1，显然a2＜b2不成立．B 不成立，如a=﹣3，b=1时，显然a2b＜ab2不成立．D不正确，如a=﹣3，b=1时，＞显然不成立．∵函数y=2x在定义域R上是个增函数，∴2a＜2b，∴2a﹣2b＜0，故选：C．4．（5分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：由等比数列的求和公式和通项公式可得：==，故选：C．5．（5分）如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于﹣1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A．﹣＜m＜B．﹣2＜m＜0 C．﹣2＜m＜1 D．0＜m＜1【解答】解：令f（x）=x2+（m﹣1）x+m2﹣2，则由题意可得，求得0＜m＜1，故选：D．6．（5分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，其公比q≠1，且b i ＞0（i=1，2，3，…），若a1=b1，a11=b11，则（）A．a6=b6B．a6＞b6C．a6＜b6D．a6＞b6或a6＜b6【解答】解：由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6．∵公比q≠1，b i＞0，∴b1+b11＞2=2b6，∴2a6＞2b6，即a6＞b6，故选：B．7．（5分）平面区域如图所示，若使目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A．B．1 C．D．4【解答】解：∵z=x+ay（a＞0），∴y=﹣x+，∵目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，∴﹣=k AB==﹣，∴a=，故选：A．8．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a112，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或7【解答】解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选：C．9．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣12 D．a＜﹣12【解答】解：原不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0化为：a＜2x2﹣8x﹣4，只须a小于y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值时即可，∵y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值是﹣4．则有：a＜﹣4．故选：A．10．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=，所以△ABC的面积等于或．故选：D．11．（5分）已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴2a+b＞0∵，∴2a+b=4（2a+b）（）=4（5+）≥36，∵不等式2a+b≥4m恒成立，∴36≥4m，∴m≤9，∴m的最大值为9，故选：B．12．（5分）设等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和为S n，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是（）A．（] B．（]C．（﹣∞，4]D．（3，+∞）【解答】解：∵等差数列{a n是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，∴4a1+6d≥10 ①5a1+10d≤15 ②（﹣1）①+②a5≤50＜d≤1，由②得，a3≤3，∴故选：A．二、填空题13．（5分）设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则q=﹣2．【解答】解：记等比数列{a n}的通项为a n，则a n+1=a n•q，a n+2=a n•q2，又∵S n+1、S n、S n+2成等差数列，∴S n﹣S n+1=S n+2﹣S n，即﹣a n•q=a n•q+a n•q2，∴q2+2q=0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．14．（5分）在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图3个顶点是（1，0），（1，2），（﹣1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值1，此时a+2b=1，∵a＞0，b＞0，∴由不等式知识可得：1≥∴ab，当且仅当a=，b=时，取等号∴ab的最大值等于故答案为：三、解答题（共7小题，满分80分）15．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．16．（10分）已知数列{a n}满足数列{b n}的前n项和S n=n2+2n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解（1）∵∴数列{a n}是以1为首项以3为公办的等比数列∴∵S n=n2+2n当n≥2时，b n=s n﹣s n﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）=2n+1当n=1时，b1=s1=3适合上式∴b n=2n+1（2）由（1）可知，c n=a n b n=（2n+1）•3n﹣1∴T n=3•1+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣13T n=3•3+5•32+…+（2n+1）•3n两式相减可得，﹣2T n=3+2（3+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n=3=2n•3n∴17．（10分）已知关于x的不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc≥0．【解答】解：（Ⅰ）由题得a＜0且，是方程ax2+5x+c=0的两个实数根则=﹣，=，解得a=﹣6，c=﹣1，（Ⅱ）由a=﹣6，c=﹣1，原不等式化为﹣x2+（6+b）x﹣b≥0，即（6x﹣b）（x﹣1）≤0．①当即b＞6时，原不等式的解集为[1，]；②当=1即b=6时，原不等式的解集为{1}；③当1即b＜6时，原不等式的解集为[，1]；综上所述：当即b＞6时，原不等式的解集为[1，]；当b=6时，原不等式的解集为{1}；当b＜6时，原不等式的解集为[，1]；18．（12分）已知三角形ABC中，A为锐角，且b=2asinB（1）求A，（2）若a=7，三角形ABC的面积为10，求b+c的值．【解答】解：﹙1﹚由正弦定理知a=2RsinA，b=2RsinB，∴×2RsinB=2×2RsinAsinB，sinB≠0，∴sinA=且A为锐角，∴A=60°（2）∵S=bcsinA=bc×=10，∴即解得：bc=40，∴由余弦定理可求得：49=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣120，∴b+c=13．19．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．（1 ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2 ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低．【解答】解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f（x）=400×（2x+2×）+248×2x+80×162=1296x++12960=1296（x+）+12960≥1296×2×+12960=38880（元），当且仅当x=（x＞0），即x=10时取等号．∴当长为16.2 米，宽为10 米时总造价最低，最低总造价为38 880 元．（2）由限制条件知，∴10≤x≤16设g（x）=x+（10≤x≤16）．g（x）在[10，16]上是增函数，∴当x=时，g（x）有最小值，即f（x）有最小值．∴当长为16 米，宽为10米时，总造价最低．20．（12分）三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，（1）求证A=（2）若三角形ABC的外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵a（cosB+cosC）=b+c，∴由余弦定理可得：a+a=b+c，∴整理可得：（b+c）（a2﹣b2﹣c2）=0，∵b+c＞0，∴a2=b2+c2，∴A=，得证．（2）∵三角形ABC的外接圆半径为1，A=，∴a=2，∴b+c=2（sinB+cosB）=2sin（B+），∵0，＜B+＜，∴2＜b+c，∴4＜a+b+c≤2，∴三角形ABC周长的取值范围是：（4，2+2]．21．（12分）设数列{a n }的前n 项的和S n =a n ﹣×2n +1+（n=1，2，3，…） （Ⅰ）求首项a 1（Ⅱ）证明数列{a n +2n }是等比数列并求a n ．【解答】（I ）解：∵S n =a n ﹣×2n +1+（n=1，2，3，…）， ∴当n=1时，a 1=S 1=﹣+，解得a 1=2．（II ）证明：当n ≥2时，S n ﹣1=﹣+， 可得a n =a n ﹣×2n +1+﹣（﹣+），化为：a n =4a n ﹣1+2n ． ∴=，∴数列{a n +2n }是等比数列，首项为4，公比为4． ∴a n +2n =4n ， ∴a n =4n ﹣2n ．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)-Word版含解析
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．B．D．C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1D．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在f（x）上是增函数C． f（x）是周期函数 D． f（x）的值域为时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．B．D．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）复数z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i（i为虚数单位），则z2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：∵z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i，∴z2====1﹣i所对应的点（1，﹣1）在第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4B．3C．2D．1考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用a4•a14=（a9）2，各项为正，可得a9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．解答：解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故答案为：3．点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．4．（5分）已知向量的模为2，=（1，﹣2），条件p：向量的坐标为（4，2），条件q：⊥，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合向量垂直和坐标之间的关系，即可得到结论．解答：解：若向量的坐标为（4，2），则•=4﹣2×2=4﹣4=0，此时⊥，即充分性成立．若⊥，设=（x，y），则x﹣2y=0，即x=2y，∵向量的模为2，∴x2+y2=20，由，解得或，即=（4，2）或（﹣4，﹣2），即必要性不成立，故p是q的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量之间的关系是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．考点：数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义，求出b的值，然后利用裂项法即可求出数列的前n项和．解答：解：∵f（x）=bsinx，∴f′（x）=bcosx，则f′（）=bcos=，∵图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，∴切线斜率k==，解得b=1．∴a n=n2+bn=a n=n2+n=n（n+1），则==﹣，∴数列{}的前2014项和S2014的值为1﹣=1﹣，故选：D．，点评：本题主要考查数列和的计算，根据导数的几何意义求出b=1是解决本题的关键，求出数列的通项公式，利用裂项法是解决本题的突破．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解答：解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k=，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在f（x）上是增函数C． f（x）是周期函数 D． f（x）的值域为，当x＞0时，值域为（1，+∞），∴函数的值域为，由此可得函数g（x）=sin2x=f（x﹣），∴将函数f（x）的图象右移个单位，即可得到g（x）=sin2x的图象．故选：A点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，确定其解析式并讨论函数图象的平移．着重考查了三角函数的图象与性质、函数图象平移公式等知识，属于中档题．9．（5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f （2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a考点：利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用．分析：根据x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x），可得g（x）=在（1，+∞）上单调增，由于，即可求得结论．解答：解：∵x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）∴f′（x）（x﹣1）﹣f（x）＞0∴′＞0∴g（x）=在（1，+∞）上单调增∵∴g（）＜g（2）＜g（3）∴∴∴c＜a＜b故选A．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键．10．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5D．6考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将条件+=5进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值．解答：解：由于正数x，y满足+=5，则3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2+2×=5，当且仅当=，即y=2x，即+=，∴x=，y=时取等号．故3x+4y的最小值是5，故选：C点评：本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．11．（5分）已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题；数形结合．分析：根据题意画出图形，在边BC上任取一点E，连接AE，根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得k=，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形．解答：解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选A点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量的减法的三角形法则的应用，及平面几何中两点之间垂线段最短的应用，利用了数形结合的思想，要注意数学图形的应用可以简化基本运算．12．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，+∞）D．a∈R且a≠0，a≠﹣1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先将条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”转化成f'（x）=﹣1无解，然后求出2sinxcosx+2a=﹣1有解时a的范围，最后求出补集即可求出所求．解答：解：∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1即f'（x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是a＜﹣1或a＞0故选B．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，解题的关键是对条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的理解，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为1．考点：对数的运算性质；基本不等式．专题：计算题．分析：由给出的对数等式得到a，b均为正数，且ab=，然后直接利用基本不等式求最值．解答：解：由log a4b=﹣1，得：a＞0，b＞0，，即ab=．所以a+b．当且仅当a=b=时上式取“=”．所以a+b的最小值为1．故答案为1．点评：本题考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值的方法，利用基本不等式求最值，要注意“一正、二定、三相等”，此题是基础题．14．（5分）O为△ABC所在平面内的一点，若，则O必是△ABC的重心．（填写“内心”、“重心”、“垂心”、“外心”之一）考点：三角形五心．专题：计算题；平面向量及应用．分析：取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，由条件和共线向量定理，即可得到AD为中线，同理延长BO交AC于F，则F也为中点，即可得到O是重心．解答：解：取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，∵=，又，∴==2，∴A，O，D，E四点共线，即AD是中线，同理延长BO交AC于F，则F也为中点，∴O是重心．故答案为：重心点评：本题考查平面向量的运用，考查向量加法的平行四边形法则，同时考查三角形的重心定义，属于中档题．15．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=，（n≥2），则a6=．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由题设知﹣=﹣，可知数列{}为等差数列，首项为1，公差d=﹣=4﹣1=3，故=3n﹣2，继而求出a6，解答：解：∵a1=1，a2=，（n≥2），∴﹣=﹣，∴数列{}为等差数列，首项为1，公差d=﹣=4﹣1=3，∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∵{a n}正项数列，∴a6=，故答案为：点评：本题考查数列的递推式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质和应用．16．（5分）给出下列四个命题：①∀x∈R，e x≥ex；②∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立；③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；④已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则l3＞a3+b3+c3；其中正确命题的序号是①②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；解三角形；简易逻辑．分析：①，令f（x）=e x﹣ex，利用导数可求得当x=1时，f（x）=e x﹣ex取得极小值，也是最小值，从而可判断①；②，依题意得：e x0==，易判断当＜x＜2时，e x0＞0，从而判断②；③在△ABC中，依题意，利用两角和的正切公式可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，可判断③；④画出长方体，标出数据，利用作差法可判断④．解答：解：①，令f（x）=e x﹣ex，则f′（x）=e x﹣e，当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）=e x﹣ex在即2sinωxcosϕ=0恒成立∴cosϕ=0，又∵0≤ϕ≤π，∴（3分）又其图象上相邻对称轴之间的距离为π∴T=2π∴ω=1∴f（x）=cosx（6分）（II）∵原式=（10分）又∵，∴（11分）即，故原式=（12分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题．18．（12分）设曲线f（x）=x2+1和g（x）=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出两曲线的交点，再分别求得导数及切线的斜率，求得切线方程，再由两直线的方向向量，运用夹角公式，即可得到所求值．解答：解：由，得x3﹣x2+x﹣1=0，即（x﹣1）（x2+1）=0，∴x=1，∴交点为（1，2）．又f'（x）=2x，∴f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在交点处的切线l1的方程为y﹣2=2（x﹣1），即y=2x，又g'（x）=3x2+1．∴g'（1）=4．∴曲线y=g（x）在交点处的切线l2的方程为y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2．取切线l1的方向向量为，切线l2的方向向量为，则．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，同时考查两直线的夹角问题，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．考点：余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c 成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b2和ac及cosB的值，即可得到a+c的值．解答：解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（6分）（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵活运用余弦定理及等比数列的性质化简求值，是一道中档题．20．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a n2=2S n﹣a n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有b n+1＞b n成立．考点：数列与函数的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得，当n≥2时，，两式相减得，由此能求出．（Ⅱ）由已知得要使得b n+1＞b n恒成立，只须，由此能推导出λ=﹣1对所有的n∈N*，都有b n+1＞b n成立．解答：解：（Ⅰ）∵n∈N*时，，…①当n≥2时，，…②…（2分）由①﹣②得，即，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=1（n≥2），…（4分）由已知得，当n=1时，，∴a1=1．…（5分）故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．∴．…（6分）（Ⅱ）∵，∴，…（7分）∴=2×3n﹣3λ•（﹣1）n﹣1•2n．要使得b n+1＞b n恒成立，只须．…（8分）（1）当n为奇数时，即恒成立．又的最小值为1，∴λ＜1．…（9分）（2）当n为偶数时，即恒成立．又的最大值为，∴…（10分）∴由（1），（2）得，又λ≠0且λ为整数，…（11分）∴λ=﹣1对所有的n∈N*，都有b n+1＞b n成立．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．21．（12分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在，运用已知表达式，以及奇函数的定义，即可得到所求表达式；（2）由f（x+4）=f（x），则f（x）是以4为周期的周期函数，将f（24）的自变量运用周期转化到（﹣1，0）的区间，再代入，即可得到所求值．解答：解：（1）令x∈，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．点评：本题考查函数的奇偶性及运用：求解析式，考查函数的周期性及运用：求函数值，考查运算能力，属于中档题．22．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．解答：解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）＞0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴解得．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为点评：本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．。
河南省南阳市2015-2016学年高二上学期期终质量评估数学(文)试题(扫描版)
2015年秋期高中二年级期终质量评估数学试题（文）参考答案一、选择题1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．A 8. D 9. B 10．D 11．A 12．C二、填空题13．7 14．1 15．16. 1(,1)4三、解答题17．解析：(1)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a =⎧⎨=⎩,所以11164182(8)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩. 解得,111,2a d ==. ……………4分所以{}n a 的通项公式为12n n a +=.…………5分 (2)1222(1)1n n b na n n n n ===-++, ……7分 所以2222222()()()122311n n S nn n =-+-++-=++ . …………10分 18．解析：(1)由已知条件得cos 2A ＋3cos A ＝1，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，………4分解之得cos A ＝12 (cos A ＝－2舍去)，由000180A <<得A ＝60°,∴角A 的大小为60°……6分(2)由面积公式S ＝12bcsin A ＝53，及b ＝5得c ＝4.………………………………8分根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A 得a 2＝21.又因为正弦定理中a sin A ＝2R ，所以(2R)2＝a 2sin 2A ＝28.………………………………10分由正弦定理可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，∴sin Bsin C ＝bc 4R 2＝57.∴sin Bsin C 的值为57.………………………12分19．解析：(1)若a ＝1，则f(x)＝3x －2x 2＋ln x ，该函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－(4x ＋1)(x －1)x (x>0)．………………2分当x ∈(0,1)，f ′(x)>0时，函数f(x)＝3x －2x 2＋ln x 单调递增． 当x ∈(1，＋∞)，f ′(x)<0时，函数f(x)＝3x －2x 2＋ln x 单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．……………6分 (2)f ′(x)＝3a －4x ＋1x，若函数f(x)在区间[2,4]上为单调递增函数，即在区间[2,4]上，f ′(x)＝3a －4x ＋1x ≥0，即3a －4x ＋1x ≥0在[2,4]上恒成立．………8分即3a ≥4x －1x . 令h(x)＝4x －1x ，因为函数h(x)在[2,4]上单调递增， 所以()()max 6344h x h ==， 即3a ≥634，…………10分 解之得4021a <≤,∴实数a 的取值范围为4|021a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.…………………………………………12分20．解析：(1)∵F(1,0)，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1），…………………………1分设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由22(1)4y x y x =-⎧⎨=⎩得x 2－3x ＋1＝0，………3分 ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1. …………4分 ∴|AB|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 25. ∴|AB|的大小为5………………6分 (2)证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由214x my y x=+⎧⎨=⎩得y 2－4my －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4…………10分 OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＋y 1y 2 ＝m 2y 1y 2＋m(y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4m 2＋4m 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →是一个定值．……………12分 21. 解析：(1)f ′(x)＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a.曲线y ＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－1，所以a ＝2 …………………4分(2)证明：由(1)知，f(x)＝x 3－3x 2＋2x ＋2. 设g(x)＝f(x)－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(2－k)x ＋4.由题设知2－k>0. 当x ≤0时，g ′(x)＝3x 2－6x ＋2－k>0，g(x)单调递增， g(－1)＝k －2<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根． …………………8分 当x>0时，令h(x)＝x 3－3x 2＋4， 则g(x)＝h(x)＋(2－k)x>h(x)．h ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增， 所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根． ………………………………………11分 综上，g(x)＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个 交点． ……………………………………………………………………12分 22．解析：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，F(c,0)，则c ＝1，因为AF →·FB →＝(a ＋c)(a －c)＝a 2－c 2＝1，所以a 2＝2，b 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.……………………………4分(2)假设存在直线l 符合题意，由题意知k MF ＝1－00－1＝－1，故可设直线l 的方程为：y ＝x ＋n ， 代入x 22＋y 2＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－2＝0，则Δ＝16n 2－24(n 2－1)＞0，解得n 2＜3. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－43n ，x 1x 2＝2n 2－23， …………………………………………8分FP →·MQ →＝(x 1－1，y 1)·(x 2，y 2－1)＝(x 1－1)x 2＋(y 2－1)y 1＝2x 1x 2＋(n －1)(x 1＋x 2)＋n 2－n ＝0，即3n 2＋n －4＝0，……………………………………………………………………10分解得n ＝1或n ＝－43，当n ＝1时，P 或Q 与M 重合，所以n≠1，所以n ＝－43.所以满足题意的直线l 存在，其方程为：y ＝x －43.………………………………12分。
河南省南阳市高二数学下学期期中试题 文
2013年春期南阳市部分示范高中期中考试高二数学（文科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是 A ．6B ．C ．D ．3．用演绎法证明函数3y x =是增函数时的小前提是 A ．增函数的定义B ．函数3y x =满足增函数的定义C ．若12x x <，则12()()f x f x <D ．若12x x>，则12()()f x f x >4”按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 A ．62n -B ．82n -C ．62n +D ．82n +5. 所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电. 属于哪种推理？ A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理6．有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是 A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．①③④ 7．求S=1+3+5+……+101的流程图程序如右图所示， 其中①应为 A ．101?A =B ．101?A ≤…①② ③C ．101?A >D ．101?A ≥8．在线性回归模型y bx a e =++中，下列说法正确的是 A ．y bx a e =++是一次函数B ．因变量y 是由自变量x 唯一确定的C ．因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e 的产生D ．随机误差e 是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e 的产生9．某单位为了了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为 A ．58千瓦时 B ．66千瓦时 C ．68千瓦时 D ．70千瓦时10．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行 则正确的结论是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④11．若定义运算：()()a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，例如233⊗=，则下列等式不能成立的是 A ．a b b a ⊗=⊗B ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗C ．222()a b a b ⊗=⊗D ．()()()c a b c a c b ⋅⊗=⋅⊗⋅（0c >）12．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法 C ．①—综合法，②—反证法 D ．①—分析法，②—反证法 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为__ __ ．14. 计算：2(21)122++=，3(31)1232+++=，4(41)12342++++=， ……，(1)1232n n n +++++=．以上运用的是什么形式的推理？ __ __ ．15. 下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是__ __ ．16．观察下列式子：212311+=，313422+=，414533+=，515644+=，……，归纳得出一般规律为 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本题满分10分）第17届亚运会将于2014年9月18日至10月4日在韩国仁川进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱. (1)根据调查数据制作2×2列联表；(2)（参考公式：22()()()()()nad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.） 18．(本小题满分12分)已知z 为复数，且|z|2＋(z ＋z )i ＝3－i2＋i(i 为虚数单位)，求z.19.（本小题满分12分）（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.（2）已知0,n ≥<.20．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝2an2＋an ，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想． 21．（本题满分12分）下表是某班英语及数学成绩的分布表，已知该班有50名学生，成绩分1至5五个档次．如：表中所示英语成绩为4分，数学成绩为2分的学生有5人．现设该班任（1）求m=4，n=3的概率；（2）求在m ＞3，或m=3的条件下，n=3的概率； （3）若m=2，与n=4是相互独立的，求a 、b 的值．22．(本小题满分12分)在一段时间内，某种商品价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表：(1)画出散点图；(2)求出y 对x 的线性回归方程ˆy bx a =+；(3)如果价格定为1. 9万元，预测需求量大约是多少．(结果精确到0.01 t)参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑,a y bx =-.高二文科数学参考答案 一．选择题：(每小题5分)1.D .2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 C 9 C 10 B 11 C 12 A 二．填空题：(每小题5分)13.2 ，14.归纳推理，15. ① ③ 16. 11(1)(2)n n n nn +++=++三．解答题:17. （本题满分10分） 解:(1)(2)2230(10866) 1.1575 2.706(106)(68)(106)(68)χ⨯⨯-⨯=≈<+⨯+⨯+⨯+所以不能认为性别与喜爱运动有关.18. (本小题满分12分) 解：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)， 代入上述方程得x2＋y2＋2xi ＝1－i ，∴x2＋y2＝1且2x ＝－1，解得x ＝－12且y ＝±32. ∴复数z ＝－12±32i.19（1）证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°， 即均小于60°， （2分）则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，故假设不成立 .原命题成立 . （2<需证22<需证n n n 212+>+ 需证n n n 2)1(22+>+ 需证n n n n 21222+>++， 只需证1>0 因为1>0显然成立，所以原命题成立 .20(本小题满分12分)解：在数列{an}中，∵a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝24，a4＝2a32＋a3＝25，…∴猜想{an}的通项公式为an ＝2n ＋1.证明如下：∵a1＝1，an ＋1＝2an 2＋an ，∴1an ＋1＝2＋an 2an ＝1an ＋12，即1an ＋1－1an ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是以1a1＝1为首项，12为公差的等差数列， ∴1an ＝1a1＋n －12＝n ＋12，∴数列{an}的通项公式为an ＝2n ＋1.21(本小题满分12分) 解：（1）“43m n ==，”的意思是：学生的英语成绩为4分，数学成绩为3分，由表可知，这样的学生共有7人，故所求概率为750；（2）由表可知：在3m >或3m =的条件下，3n =的学生人数共有178+=人，而总数为35人，故所求概率为835；（3）因为2m =与4n =是相互独立的，所以(24)(2)(4)P m n P m P n =====，，1631505050b b a b +++++=⨯，且50473a b +=-=，解得2a =，1b =．22 (本小题满分12分) 解：(1)散点图如下图所示.(2)x ＝1.8，y ＝7.4，∑i ＝15xiyi ＝62，∑i ＝15x2i ＝16.6，b ＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－4.60.4＝－11.5，a ＝y －b x ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.所以线性回归方程为y ＝－11.5x ＋28.1.(3)当价格定为1.9万元，即x ＝1.9时，y ＝－11.5×1.9＋28.1＝6.25.所以商品价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.。
2014-2015年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．222．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a25．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．169．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．1811．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为．14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为海里/时．16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选：C．2．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）【解答】解∵三角形ABC有两解，∴ABsin30°＜BC＜4，∴2＜BC＜4，故选：B．3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：因为不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），所以a=b＞0，所以等价于（x+1）（x﹣2）＞0，所以x＜﹣1或x＞2故选：A．4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D 不正确故选：B．5．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°【解答】解：∵△ABC中，S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，且S=，∴absinC=abcosC，整理得：sinC=cosC，即tanC=1，则∠C=45°，故选：A．6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=3n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=3n﹣1+3n﹣2+…+31+1==．故选：C．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【解答】解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）=＜0，则A+B∈（，π），即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故选：A．8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．16【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．故选：C．9．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）【解答】解：x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，即a=﹣x在在区间（1，+∞）上有解令y=﹣x，则y′=﹣﹣1＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∴y=﹣x在（1，+∞）上是递减函数故y＜y（1）=1，故函数的值域为：（﹣∞，1），故a的取值范围是：（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．18【解答】解：由＜﹣1，可得＜0，由它们的前n项和S n有最大可得数列的d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴使得S n＞0的n的最大值n=19．故选：C．11．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：=≥4当且仅当取等号即取等号．∴的最小值为4故选：D．12．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，∴a1=s1=3，当n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，故a n=．∴b n=（﹣1）n a n =，∴数列{b n}的前50项和为（﹣3+4）+（﹣6+8）+（﹣10+12）+…（﹣98+100）=1+24×2=49，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为（1，0]∪[2，3）．【解答】解：不等式组解不等式①得1＜x＜3，解不等式②得x≤0，或x≥2，故不等式组的解集为（1，0]∪[2，3），故答案为；（1，0]∪[2，3），14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．【解答】解：∵3是9m与3n的等比中项，∴9m•3n=（3）2，即32m+n=33，即2m+n=3，∴+=（+）（2m+n）=（3+）≥，当且仅当n=m时取等号∴+的最小值为．故答案为：．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为20（﹣）海里/时．【解答】解：由题意知PM=20海里，∠PMB=15°，∠BMN=30°，∠PNC=45°，∴∠NMP=45°，∠MNA=90°﹣∠BMN=60°，∴∠PNM=105°，∴∠MPN=30°，∵sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=，∴在△MNP中利用正弦定理可得，解得：MN=10（﹣）海里，∴货轮航行的速度v==20（﹣）海里/小时．故答案为：20（﹣）16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=n2n．【解答】解：由于a n=f（2n）则a n+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2n f（2）+2f（2n）=2a n+2×2n∴a n+1∴∴数列{}是以为首项公差为1的等差数列∴∴a n=n2n三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0，∴，解得a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+（n﹣1）×2=2n﹣12．（2）∵等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===﹣3，∴{b n}的前n项和公式：S n==2﹣2（﹣3）n．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．∴2x2+bx+c=0的两根为0，5∴∴b=﹣10，c=0∴f（x）=2x2﹣10x；（2）要使对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）max ≤2﹣t即可∵f（x）=2x2﹣10x=2，x∈[﹣1，1]，∴f（x）max=f（﹣1）=12∴12≤2﹣t∴t≤﹣1019．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．【解答】解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，又△ABC的面积为，∴acsin60°=，即ac=4，∵ac=22，∴a、2、c成等比数列；（2）在△ABC中，根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，∴b≥2，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b，当且仅当a=c时，等号成立，∴L≥4+2=6，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC周长的最小值为6，∵a=c，B=60°，∴此时△ABC为等边三角形．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？【解答】解：由题意得，，∵30≤v1≤100，4≤v2≤20∴由题设中的限制条件得9≤x+y≤14于是得约束条件目标函数p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）=131﹣3x﹣2y（6分）做出可行域（如图），当平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p最小．所以当x=10，y=4，即v1=30，v2=12.5时，p min=93元（12分）（没有图扣2分）21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为a1+2a2+3a3+…+na n=所以a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n=（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1﹣1分）两式相减得na n=所以=3（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以na n=2•3n﹣2（n≥2）﹣﹣﹣﹣（3分）故a n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知当n≥2n2a n=2n•3n﹣2当n≥2时，T n=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴3T n=3+4•31+…+2（n﹣1）•3n﹣2+2n•3n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）两式相减得（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又∵T1=a1=1也满足上式，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以T n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）a n≥（n+1）λ等价于λ≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由（1）可知当n≥2时，设f（n）=，则f （n +1）﹣f （n ）=＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴，又及，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴所求实数λ的取值范围为λ≤﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +bx -b-ab 45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
河南省南阳市2015—2016学年高二文科数学下学期期中考试(精编完美版)
河南省南阳市2015—2016学年高二数学(文)下学期期中质量评估一、选择题1.i 为虚数单位，(1－i1＋i)²＝ 。
A .1B .－1C .－iD .i2.在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A .－1B .0C .12D .13.数列2,5,11,20，x ，47，…中的x 等于( ) A .28 B .32 C .33 D .274.对变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A .变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B . 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C .变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D . 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 5.设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A .5 B .－5 C .－4＋i D . －4－i6.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A .恒为负值B .恒等于零C .恒为正值D .无法确定正负7.四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ⑴y 与x 负相关且y =2.347x －6.423 ⑵y 与x 负相关且y =－3.476x ＋5.648 ⑶y 与x 正相关且y =5.437x ＋8.493⑷y与x正相关且y=－4.326x－4.578其中一定不正确的结论的序号是( )A. ⑴⑵B. ⑵⑶C.⑶⑷D. ⑴⑷8.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于( )A. [－6,－2]B. [－5,－1]C. [－4,5]D. [－3,6]9.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x³＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x³＋ax＋b＝0没有实根B. 方程x³＋ax＋b＝0至多有一个实根C. 方程x³＋ax＋b＝0至多有两个实根D. 方程x³＋ax＋b＝0恰好有两个实根10.登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高－2x＋a(a∈R).由此估计山高为72km处气温的度数为( )A.－10B.－8C.－6D.－411.已知z1，z2，z3∈C，下列结论正确的是( )A.若z1²＋z2²＋z3²＝0，则z1＝z2＝z3＝0B.若z1²＋z2²＋z3²＞0，则z1²＋z2²＞－z3²C.若z1²＋z2²＞－z3²，则z1²＋z2²＋z3²＞0D.若—z1＝－z1(—z为复数z的共轭复数)，则z1为纯虚数.12.已知“整数对”按如下规律排列成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是.A.(5,7)B. (7,5)C. (2,10)D. (10,1)二、填空题13.已知函数f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f(f n(x))，n∈N*，则f2016(x)的表达式为 。
南阳市年高二下期中质量评估数学试题(理)有答案
2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭，三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分） （Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i 8i(34i)3224i 52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(x f x e x x R =-+∈）得()2x f x e '=-，………（2分）令()20xf x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分） 故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分）(Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22xg x e x '=-+，………（7分）由(Ⅰ) 知()22xg x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分） 于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分）而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221x e x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ， 221PQ a x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以220012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分） （Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22kb +=……①.当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++()33g ∴=，即33k b +=……②， 由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分） 下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分） （2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分） （Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--， 设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分） 如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分）因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3， 所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+，所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意2x e >恒成立.……（5分） 令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分） 令()()2ln 2h x x x x e =-->，则()11'10x h x x x-=-=>， 所以函数()h x 在()2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e >=->，可得()'0g x >故函数()ln 1x x xg x x +=-在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223333,411e g x g e e e >==+∈--……………（11分） ()2k g e ∴≤故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。
河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中质量评估数学(理)试题_Word版含答案
南阳市2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）一．选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数2(1)1ii++的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60o”时，应假设A ．三个内角都不大于60oB ．三个内角都大于60oC ．三个内角至多有一个大于60oD ．三个内角至多有两个大于60o3. 用数学归纳法证明aa a a a n n --=++++++111322Λ（*,1N n a ∈≠），在验证当1n =时，等式左边应为A ． 1B ．1+aC ．21+a a +D ．231+a a a ++ 4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(e)ln f x xf x '=+，则(e)=f ' A ．1 B ．－1 C ．－e －1D ．－e 5．设圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的高为A B C D ．36．若220a x dx =⎰,230b x dx =⎰,2sin c xdx =⎰,则,,a b c 的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b << 7．已知函数()12()ln ,(2f x xg x x a a ==+为常数），直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1，则a 的值为 A ． 1 B ． 12-C ． 1-D ．2 8．将正奇数按照如下规律排列，则2015所在的列数为第1列 第2列 第3列 第4列 ……第1行： 1第2行： 3 5第3行： 7 9 11第4行： 13 15 17 19 ……A.16B.17C.18D.199.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是10．已知函数3()()f x x x m =-在x=2处取得极小值，则常数m 的值为 A ． 2 B ． 8 C ． 2或8 D ．以上答案都不对11．函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导数，(1)f -=2，对任意x ∈R，'()f x >2， 则()f x >2x+4的解集为A ．(-l ，1)B ．(-1，+∞)C ．(- ∞，-1)D ．(-∞，+∞)12．定义在R 上的可导函数()f x ，且()f x 图象连续不断，'()f x 是()f x 的导数，当x≠0时，()'()f x f x x +>0，则函数1()()g x f x x=+的零点的个数 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 0或2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.若等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ，则数列{nnS }为等差数列，公差为d 2.类似地，若正项等比数列{b n }的公比为q,前n 项积为T n ，则数列为等比数列，公比为_________. 14.由曲线y =，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 15．若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是16．已知()2g x mx =+，22234()x f x x x -=-，若对任意的x 1∈[-1,2]，总存在x 2，使得12()()g x f x >，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知复数22(232)(32)i z m m m m =--+-+． （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是纯虚数；（Ⅱ）当0m =时，化简252iz z ++．A ．B ．C ．D ．18.( 本小题满分12分)已知函数()22()xf x e x x R =-+∈. (Ⅰ)求()f x 的最小值；(Ⅱ)求证：0x >时，221x e x x >-+.19( 本小题满分12分）已知点P 在曲线21y x =-上，它的横坐标为(0)a a >，过点P 作曲线2y x =的切线.（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求证：由上述切线与2y x =所围成图形的面积S 与a 无关20．( 本小题满分12分) 设()111123n a n N n*=++++∈L ，是否存在一次函数()g x ，使得 ()()12311n n a a a a g n a -++++=-L 对2n ≥的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论.21．（本小题满分12分） 设函数3221(),()243f x x ax axg x x x c =--=++. （Ⅰ）试问函数)(x f 能否在1-=x 时取得极值？说明理由；（Ⅱ）若,1-=a 当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，求c 的取值范围.22．( 本小题满分12分)已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3. （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，求k 的最大值.2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA 二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭，三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分） （Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i 8i(34i)3224i 52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(xf x e x x R =-+∈）得()2x f x e '=-，………（2分）令()20xf x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分） 故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分） (Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22xg x e x '=-+，………（7分） 由(Ⅰ) 知()22xg x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分） 于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分） 而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221xe x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ，221PQ a x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以220012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分） （Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-L 对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=Q 即22k b +=……①. 当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++Q()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分） 下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分） （2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-L 对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++L L()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++Q L ，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭L ，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-L 都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分） （Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--， 设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：由此可知：F （x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分）如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点， 所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分） 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3， 所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+，所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意2x e >恒成立.……（5分）令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分） 令()()2ln 2h x x x x e =-->，则()11'10x h x x x-=-=>， 所以函数()h x 在()2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e >=->，可得()'0g x > 故函数()ln 1x x x g x x +=-在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223333,411e g x g e e e >==+∈--……………（11分） ()2k g e ∴≤故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。
高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案
高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案高二年级下学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数 $2-i$ 与 $2+i$ 的商为（）A。
$1-\frac{4}{5}i$。
B。
$\frac{33}{43}+\frac{4}{5}i$。
C。
$1-\frac{1}{5}i$。
D。
$1+\frac{1}{5}i$2.设有一个回归方程为 $y=2-2.5x$，则变量 $x$ 增加一个单位时（）A。
$y$ 平均增加 $2.5$ 个单位。
B。
$y$ 平均减少$2.5$ 个单位。
C。
$y$ 平均增加 $2$ 个单位。
D。
$y$ 平均减少 $2$ 个单位3.所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（）.A。
类比推理。
B。
演绎推理。
C。
合情推理。
D。
归纳推理4.点 $M$ 的极坐标 $(5,\frac{2\pi}{3})$ 化为直角坐标为（）A。
$(-\frac{5\sqrt{3}}{2},-2)$。
B。
$(2,-2)$。
C。
$(-\frac{5}{2},2)$。
D。
$(2,2)$5.用反证法证明命题“若 $a^2+b^2=0$，则 $a$、$b$ 全为$0$（$a$、$b\in R$）”，其假设正确的是（）A。
$a$、$b$ 至少有一个不为 $0$。
B。
$a$、$b$ 至少有一个为 $0$。
C。
$a$、$b$ 全不为 $0$。
D。
$a$、$b$ 中只有一个为 $0$6.直线 $y=2x+1$ 的参数方程是（$t$ 为参数）（）A。
$\begin{cases}x=t^2\\y=2t^2+1\end{cases}$。
B。
$\begin{cases}x=2t-1\\y=4t+1\end{cases}$。
C。
$\begin{cases}x=t-1\\y=2t-1\end{cases}$。
D。
$\begin{cases}x=\sin\theta\\y=2\sin\theta+1\end{cases}$7.当 $\frac{2}{3}<m<1$ 时，复数 $m(3+i)-(2+i)$ 在复平面内对应的点位于（）A。
河南省南阳市五校2015-2016学年高二第二次联考数学(文)试题 含答案
a c cb b a 1,1,1+++2016年春期五校第二次联考高二年级文科数学试题命题学校：桐柏一高 命题人:刘慎英 审题人：王存国一：选择题（共12个小题，每题5分，共60分)1。
已知i 是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2.已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8y 1。
3 1.8 5.6 6.1 7。
4 9。
3=0。
95x+a ，则a=（ ）A ．1。
30B ．1。
45C ．1。
65D ．1.803。
设复数132i z =+，21i z =-，则122z z +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54.设a,b ，c 大于0,则3个数的值（ ）A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于25.已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=。
若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ． a a b b '<'<ˆ,ˆ 6。
在极坐标系中，圆θρcos 2=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A 。
)(0R ∈=ρθ和2cos =θρ B. )(2R ∈=ρπθ和2cos =θρ C 。
)(2R ∈=ρπθ和1cos =θρ D 。
)(0R ∈=ρθ和1cos =θρ 7.执行如图所示的程序框图,欲使输出的S>11，则输入整数n 的最小值（ ）A 。
3B 。
4C 。
5 D.68.已知函数，那么x 1 2 3 4 5 6 y0 2 1 3 3 4=A.1 B 。
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2015年南阳市秋期期中考试高二数学试题答案（文）
一.选择题：DACCD BACAD CA 二.填空题：13. 81 14. 2- 15. 81 16. 4
3
三.解答题：
17.解：（1）由题意得a n ＝3n-1 ………………………………2分 由数列{}n b 满足b 1＝s 1＝3 ……………3分
当n ≥2时，b n ＝s n －s n －1＝2n ＋1
∴b n ＝2n ＋1（n ∈N ＋）…………………………………6分 （2）由（1）得c n ＝（2n ＋1）·3n －1 ∴Tn ＝3＋5·3+7·32＋…＋（2n －1）·3n －2＋（2n ＋1）·3n －1 ① ∴3Tn ＝ 3·3＋5·32＋…＋（2n －1）·3n －1＋（2n ＋1）·3n ② ①－② －2Tn ＝－2n ·3n
∴Tn ＝n ·3n ………………10分
18.（1）由题意得a ＜0，且31，2
1
是方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=-=+a c a
21·3152131 解得⎩⎨⎧-=-=16c a …………………4分 （2）由（1）知原不等式可化为－6x 2＋（6＋b ）x －b ≥0，
即（6x －b ）（x －1）≤0 ……………6分
①当6
b ＞1，即b ＞6时，原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤≤61 b x x ………8分
②当6
b
＝1，即b ＝6时，原不等式的解集为{}1=x x ……………………10分 ③当
6b ＜1，即b ＜6时，原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤16x b x ……12分 19. (本小题共12分)
解：（1） 由B a b sin 23=
⇒2sin sin B A B =
⇒sin A =
,又A 是锐角，所以60A =︒ …………………………………6分 （2
）由面积公式1sin 2S bc A ===40bc ⇒=，………8分
又由余弦定理：2222cos 4913a b c bc A b c =+-=⇒+=………………12分
20.
21.
（22）解：（I ）由 ,3,2,1 ,32
231341=+⨯-=
+n a S n n n ① 得 3
2
43134111+⨯-==a S a
所以 a 1=2 ………………4分 （Ⅱ）再由①有 ,3,2 ,3
2
2313411=+⨯-=--n a S n n n ② 将①和②相减得
,3,2 ),22(3
1
)(34111=-⨯--=
-=+--n a a S S a n n n n n n n 整理得 ,3,2 ),2(4211=+=+--n a a n n n n ，
因而数列}2{n n a +是首项为a 1+2=4，公比为4的等比数列，…………8分 即n n n n a 44421=⨯=+-，n=1，2，3，…，
因而 ,24n n n a -= n=1，2，3，…， ……………………12分。