中点弦问题
椭圆中点弦问题
椭圆中点弦问题椭圆中点弦问题是一个关于椭圆的数学问题，也可以被称为“椭圆中心弦”或“椭圆最大弦”问题。
它涉及如何找出椭圆上一条最长的弦，该弦以椭圆的中心为中点。
椭圆是一种广泛使用的几何图形，可以用来描述许多天然景观和人造物体的形状。
椭圆的形状可以表示为一个复杂的方程，它的形状取决于该方程的参数。
对于椭圆来说，椭圆中心弦问题就是找到以椭圆中心为中点的最长弦。
要解决椭圆中点弦问题，首先要了解椭圆的方程形式。
椭圆的方程可以表示为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，a和b分别代表椭圆的长轴和短轴，可以用来描述椭圆的形状。
椭圆的中心是 (h，k)，它可以使用以下方程表示：$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$其中，r 是椭圆的半径，它是由a和b决定的。
要求椭圆中心弦的长度，可以使用另一种方程来描述椭圆：$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$该方程将椭圆和中心弦结合起来，可以用来求解椭圆中心弦的长度。
使用这种方程，可以将椭圆中心弦问题转化为求解一元二次方程的问题，即：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$求解该方程，可以得到椭圆中心弦的端点，即：$$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$$当椭圆中心弦的端点确定时，可以使用勾股定理求解椭圆中心弦的长度：$$L=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$椭圆中点弦问题是一个重要的几何问题，也是一个相当有趣的数学难题。
它不仅考验几何基础知识，还考验学生的推理能力。
本文介绍了椭圆中心弦问题的基本思想，并详细介绍了解决该问题的方法，希望能够对学生的学习有所帮助。
椭圆中点弦问题
解析几何中的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是高考的一个热点问题。
在处理这类问题时，一般以如下几种方法入手：①代点相减得出中点坐标和斜率之间的关系；②设而不求，结合根与系数关系得出中点坐标表示；③借助直线参数方程中t 的几何意义入手处理弦中点问题。
特别注意的是，此类问题需要判断直线与曲线是否相交。
【引理】斜率为k 的直线l 交椭圆22221x y a b+=)0(>>b a 于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 的中点为00(x ,y )M ，则22ab k k OM-=⋅，当椭圆焦点在y 轴上时有22b a k k OM-=⋅.一、已知弦中点的弦的直线方程【例1】设直线l 交椭圆2212x y +=于,A B 两点，且,A B 的中点为1(1,)2M ，求直线l 的方程。
【解法一】直线l 斜率不存在的情况显然不可能，所以设直线1:(1)2l y k x -=- 代入椭圆方程，整理得222113()2()0224k x k k x k k +--+--=设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212()212k k x x k -+=+，又因为1(1,)2M 所以1221()21122k k x x k -+==+，解得1k =-，经检验此时0∆> 所以3:2l y x =-+【解法二】设1122(,),(,)A x y B x y ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+121222222121y x y x两式相减得0))((2))((21212121=-+++-y y y y x x x x由,A B 的中点为1(1,)2M 得，0)(2)(22121=-+-y y x x ，即1-=k 所以3:2l y x =-+二、求弦中点的轨迹方程【例2】 已知椭圆19422=+y x ，一组平行直线的斜率是23，当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段中点在同一条直线上。
中点弦问题
70.2 85.1 61.7 93.6 72.3 80.9 13题 14题 15题 16题
90
89
76
80
例题1、已知椭圆 x2 y2 1, 求过点P(1 , 1)且被
2
22
点P平分的弦所在直线方程
方法总结：点差法； 设而不求，参数法
A
M
B
基本题型二：过定点的弦和平行弦的中点的轨迹
例2、已知椭圆 x2 y2 1 2
(1)过点P(2, 0)引椭圆的割线，求割线被 椭圆截得的弦的中点的轨迹方程 （2）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程
M A
B
A
M
B
基本题型三：曲线上的点关于直线的对称问题
例3、已知椭圆C:x2 y2 1,试确定m的取值范围， 43
对于直线l : y 4x m,椭圆上存在两个不同的点关 于这条直线对称
A
M B
基本题型四：涉及中点弦的综合性问题
例4、已知中心在原点，一焦点为F(0，50 )的 椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标
若动点P在直线l上，过点P作直线交椭圆C于M , N 两点，使得PM=PN，再过点P作直线l MN, 证明： 直线l恒过定点，并求出该定点的坐标。
10月周测选择、填空错误率统计
1题 2题 3题 4题 5题 6题
85.7 93.4 91.5 83.0 100 93.6
7题 8题 9题 10题 11题 12题
中点弦问题
思路整理归纳： 直线和圆锥曲线相交所得弦中点的问题是解析几
何的重要内容之一，也是高考热点之一，这类问题 一般会有以下四种类型： 1、求中点弦所在方程问题 2、过定点的弦和平行弦中点的轨迹问题 3、曲线上的点关于直线的对称问题 4、与中点弦有关圆锥曲线的综合性问题
关于圆锥曲线的中点弦问题_图文
一、求中点弦所在直线方程问题
一、求中点弦所在直线方程问题
二、求弦中点的轨迹方程问题
二、求弦中点的轨迹方程问题
三、弦中点的坐标问题
三、弦中点的坐标问题
如果，你觉得以上解答还不够简单的话，
那……
请记住几个重要结论：
一、求中点弦所在直线方程问题
பைடு நூலகம்
二、求弦中点的轨迹方程问题
三、弦中点的坐标问题
关于圆锥曲线的中点弦问题_图文.ppt
关于圆锥曲线的中点弦问题
• 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几 何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题 。这类问题一般有以下三种类型：
• （1）求中点弦所在直线方程问题； • （2）求弦中点的轨迹方程问题； • （3）求弦中点的坐标问题。
• 其解法有代点相减法（点差法）、设而不求法、 参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的 根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点) 坐标为A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)是线段AB 的中点。
若存在这样的直线 I ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)故直线 AB: y 12(x 1)y 1 2(x 1) 由 2 y 2消去y ，得2x 2 4x 3 0x12 2(4)4 2 3 8 0评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题 中判断点的M 位置非常重要。
(1)若中点M 在圆锥曲线内，则被点 M 平分的弦一般存在；(2)若 中点M 在圆锥曲线外，则被点 M 平分的弦可能不存在。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹2 2例3、已知椭圆 ——1的一条弦的斜率为 3，它与直线x75 25点M 的坐标。
x 2例1、过椭圆乞162y1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 4 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
M (2, 1)为AB 的中点X 1 X 2 4 y 1 y 2 2 又A 、 B 两点在椭圆上，则2 X14y2 .2 2 16，X24y 2两式相减得(才 X 22) 4( y.2 y 2) 0于是(x 1X 2)(X 1 X 2)4(y 1y 2)( y 1 y 2) 0 y 1y 2 X 1 X 241x-i x 24( y 1 y 2)4 22即k AB1，故所求直线的方程为y 11-(x 2)，即2216x 2y 4 0。
第10课时 中点弦弦中点问题
1 弦的中点的横坐标为 2 ，求椭圆的方程。
完成练习册 预习 双曲线及其标准方程
5
4
作业本作业
1 y2 x2 x 1 1.已知椭圆 75 25 的一条弦的斜率为 3， 它与直线 的交点恰为这 2
条弦的中点 M ，求点 M 的坐标。
y2 x2 2.已知椭圆 1 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。 75 25
3.已知中心在原点，一焦点为 F (0, 50 ) 的椭圆被直线 l : y 3x 2 截得的
2
问题探究
点差法的应用
x2 y2 [例 2] 过椭圆 1 内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所 16 4
在直线的方程。
3
归纳延伸
处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程 .利 用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出 弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.
【学习目标】 1.理解直线与椭圆的位置关系． 2.能利用设而不求思想和点差法解决中点弦、弦中点问题．
1
问题探究
Байду номын сангаас
设而不求思想的应用
x 2 y2 【例】已知椭圆 ＋ ＝1 和点 P 4,2)，直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A 、B 两点. 36 9 1 ①当直线 l 的斜率为 时，求线段 AB 的长度； 2 ②当 P 点恰好为线段 AB 的中点时，求 l 的方程 .
最新最全的高考数学压轴题之点差法(中点弦)问题
最新最全的高考数学压轴题之点差法（中点弦）问题圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一、自主证明1、定理在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.同理可证，在椭圆12222=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.2、定理在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅.同理可证，在双曲线12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.3、定理在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.题型归纳：一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
中点弦问题
中点弦问题：例题:已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得： ()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．练习:椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,52212221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,从而b 2=a 2－c 2=4,所以椭圆C 的方程为4922y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.因为A ，B 关于点M 对称.所以.29491822221-=++-=+k k k x x 解得98=k ，所以直线l 的方程为,1)2(98++=x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且,1492121=+yx①,1492222=+yx②①-②得.04))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为98，所以直线l 的方程为y －1＝98（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.最值例题E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1）当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值．解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩ （2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩， 则 5.AF BF +=（3）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((1663t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠=练习：已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP j ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+uu u r uu r uuu r uu u r r .（I）设4t θ<<求向量OF 与FP 的夹角uu v u u v 的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由34sin cos ,sin 34||||,sin ||||2132θθθθt FP OF FP OF ==⋅⋅⋅=由得，得.34tan t=θ…………………………………………………………………3分],0[3tan 1344πθθ∈<<∴<< t ∴夹角θ的取值范围是（3,4ππ）………………………………………………………………6分（2）0000(,),=(,),(,0).P x y FP x c y OF c -=设则2000000(,)(,0)()1)1||||2OFP OF FP x c y c x c c t c x S OF y y c∆∴⋅=-⋅=-==∴==⋅==±…………………………………………………………………………………………8分||OP ∴= 10分∴当且仅当)32,32(,,62||,2,343±===c cc 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33=+=∴ 或)1,2()1,0()32,32(33-=+-=OM …………12分 椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a或2171,2171171)01()22()01()22(222222+=+=∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为1121622=+y x .或12171217922=+++y x …………14分练习：已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ；（Ⅲ）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由． 解（Ⅰ）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ，所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为1222=+y x ．（Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2m ax )1()1()(+=-=a f x f ；当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2m ax +==a a f x f ；当1>-a ，即1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2m ax )1()1()(-==a f x f ．所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,1)(2a a a a a a a d ．（Ⅲ）当10<<a 时,)22,(2a a P -±,于是)1(22121a a S -=,2222+=a S ,（12分）若正数m 满足条件，则)22()1(22122+≤-a m a a ，即)1(4)1(222+-≥a a a m ， 22222)1(8)1(+-≥a a a m ，令2222)1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12-=t a ， 于是641431411328123818)2)(1()(22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=t t t t t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641)]([m ax =a f ，即6412≥m ，81≥m ．所以，m 存在最小值81．定值、定点、例题：已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为D 是AB的中点．（1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ，① 当|PQ |＝3时，求直线l 的方程；② 设点E (m ，0)是x 轴上一点，求当PE uu u v ·QE uu uv 恒为定值时E 点的坐标及定值．解：(1)设D (x ，y )，A (a ，a )，B (b ，－b ),∵ D 是AB 的中点， ∴x ＝2a b+，y ＝2a b -，∵ |AB |＝∴(a －b )2＋(a ＋b )2＝12，∴(2y )2＋(2x )2＝12∴点D 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝3.(2) ①当直线l 与x 轴垂直时，P (1，Q (1，此时|PQ |＝当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由于|PQ |＝3，所以圆心C 到直线l，解得k ＝.故直线l 的方程为y ＝(x －1). ②当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)， 由消去y 得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－3＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则由韦达定理得x 1＋x 2＝2221k k +，x 1x 2＝2231k k -+，则PE＝(m －x 1，－y 1)，QE ＝(m －x 2，－y 2)，∴PE ·QE ＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－2221mk k +＋2231k k -+＋k 2 (2231k k -+－2221k k +＋1)＝2222(21)31m m k m k --+-+要使上式为定值须22213m m m ---＝1，解得m ＝1，∴PE ·QE 为定值－2，当直线l 的斜率不存在时P (1，Q (1，由E (1，0)可得PE ＝(0，QE ＝(0，∴PE ·QE＝－2，综上所述当E (1，0)时，PE ·QE为定值－2.例题：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上存在一点P 到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距 离相等．（I ）求椭圆的离心率e 的取值范围；（II ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）若直线:l y kx m =+与（II ）中所述椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点2A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标．解:（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)P x y ，则|PF |=a ex +，∴a ex +=2a x c-， 整理得：2()()a a c x c a c -=+，而x a ≤，∴2()()a a c a c a c -≤+11e ≤<（II ）3,1a c a c +=-=，3,1,22===∴b c a ，∴椭圆的方程为22143x y +=．（Ⅲ）设2222(,),(,)A x y B x y ，联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=．则22222212221226416(34)(3)0,3408,344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪=-+->+-⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩即 又22221222121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++-+-+=-， ∵椭圆的右顶点为222(2,0),,A AA BA ⊥，2212(2)(2)0,x x y y ∴--+=1212122()40,y y x x x x ∴+-++=2222223(4)4(3)1640,343434m k m mk k k k--∴+++=-++2271640,m mk k ∴++=解得：1222,7k m k m =-=-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾． 当227k m =-时，l 的方程为2()7y k x =-， 直线过定点2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
中点弦问题
5( x2 x1 )( x2 x1 ) 9( y2 y1 ) 0 x1 x2 2 y1 y2 2 5( x2 x1) 9( y2 y1 ) y2 y1 5 x2 x1 9 5 x 9 y 14 0
作业P43练习B 1
18 k ( k 1) 9 k 2 5
练习.已知椭圆5x2+9y2=45 判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
Байду номын сангаас
5 k 9 5x 9 y 1 4 0
2 2 5 x 9 y 1 1 45(1) 2 2 5 x2 9 y2 45( 2) ( 2) (1)
2 2
将（1）式代入（2）式得
(16k 4) x 32k (1 2k ) x 64k 64k 48 0
2 2 2
设A(x1, y1），B（x1, y1 ), M为AB的中点
由
中点坐标公式得
x1 x2 2 ，x1 x2 4 2
由韦达定理有
32 k (1 2k ) x1 x2 4 2 16 k 4
（2）点差法：设两端点坐标，代 入曲线方程相减可求出弦的斜率。 设而不求（将弦AB的斜率看成一个 整体）kAB=(y2－y1)/(x2－x1)
方法2是解决中点弦的常用解法
y 1 k ( x 1) 2 2 5 x 9 y 45 (9k 2 5) x 2 1 8k (1 k ) x 9k 2 3 6 0 x1 x2 2
例3:过椭圆x2/16＋y2/4＝1内一点M(2,1) A M 平分，求弦 引一条弦 AB ，使 AB 被点 M AB所在直线的方程。 B
圆锥曲线中点弦问题
圆锥曲线中点弦问题
点弦问题在微积分领域中是重要的一项研究，它涉及坐标几何、微积分和数学分析学。
本
文旨在深入研究圆锥曲线上的点弦问题。
圆锥曲线是二维坐标系中最重要的曲线，它的几何形状是圆锥面截面形式的曲线，其形状
随其参数的变化而变化。
点弦问题可以理解为寻找并定义由固定的一系列点组成的半弦曲线，具体点的位置和形状
受其中的点的影响。
如果在一个圆锥曲线上，这些点按一定的规则排列，半弦曲线的形状
和位置就可以推导出来，这就是所谓的“点弦问题”，也可以称为“半弦曲线构造问题”。
在解决圆锥曲线上点弦问题时，首先讨论的是构成曲线的点的位置，其次是参数的估计和
形状的推算。
采用曲面的本地坐标系，将点坐标改写成相对曲面的相对点，通过微分几何
计算求解曲线等价参数。
在定义曲线形状之前，要求由曲面本身和控制点确定的曲线，该
曲线必须能与控制点重合，同时满足曲线的连续条件。
最后，圆锥曲线上点弦问题的解决可以采用数值解法，有效地计算构成曲线的点，根据不
同的输入参数得到不同的曲线结果。
总之，研究圆锥曲线上的点弦问题是十分重要的，它不仅涉及坐标几何、微积分和数学分
析学，而且还可以有助于深入了解圆锥曲线上的数学知识。
研究者需要运用有关的数学理
论和实践技术来解决这一问题，从而使其在教学和科学研究方面都得到正确地解释和应用。