点差法求解中点弦问题

点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦

MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00a

b x y k MN

-=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122

2222

1221 b y a x b y a x )2()1(-，

得.022

122

1=-+-b

y a x x

.22

12121212a

b x x y y x x y y -=++?--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=

.22a b x y k MN -=?∴ 【定理2】在双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是

弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00a

b x y k MN

=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122

222222

1221 b y a x b y a x

)2()1(-，得.02

122

1=---b

y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++?--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN

==++--= .2

00a b x y k MN =?∴ 【定理3】在抛物线)0(22

≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k M N

=?0.

证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有?????==)

2(.2)

1(,2222121 m x y m x y

)2()1(-，得).(2212

221x x m y y -=-.2)(121

2m y y x x y y =+?--∴

又0121

22,y y y x x y y k MN =+--=

.m y k MN =?∴0.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.

一、椭圆

1、过椭圆x 216＋y 2

4＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的

方程．

【解】法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，

代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)

又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )

4k 2＋1

∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1.解得k ＝－1

2，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.

法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.

又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 2

2)＝0，

即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，

即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－1

2(x －2)，即x ＋2y －4＝0.

2、已知椭圆

=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．

【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则

=1，①

=1，②

②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．

由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）

∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；

3、（2013秋?启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的

中点的横坐标为，则椭圆方程为

=1 ．

【解答】解：设椭圆

=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①

又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，

由

，得，

∴AB 的斜率k==﹣?=﹣?=3∵

=﹣1，∴a 2=3b 2②

联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：

=1故答案为：=1．

4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+b

y a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22

=e ，

右准线方程为2=x .

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3

2||22=

+F F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得???

????====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点

为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3

2||22=

+F F 得：3

26||2=

F .∴.926)1(2

2=+-y x ①

若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F F F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a

b x y k MN

-=?得：

.211-=?+x y x y ∴).(21

22x x y +-=② ②代入①，得.9

)(21)1(22

=+-

-x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32

-=x .

由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11

±=+=

x y

k ∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .

6、（2009秋?工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线

的交点恰为这条弦的

中点M ，则点M 的坐标为

．

【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则

，

两式相减，得

=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），

=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，

∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），

∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．

7、如图，在DEF R t ?中，25||,2||,90=+=?=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：122

22=+b

y a x ，以E 、F

为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若点K 满足，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且||||=，若存在，求出直线l 解：（Ⅰ）略： .31=

2=+y

（Ⅱ）分析：∵||||=，

设MN 的中点为H ，则MN KH ⊥，此条件涉及到弦MN 的中点及弦MN 的斜率，故用“点差法” 设),(),,(),,(002211y x H y x N y x M ，直线l 的斜率为k （)0≠k ，则 12432

1=+y x ① 12432

2=+y x ② 由①－②得：

0430))((4))((30021212121=+?=+-++-k y x y y y y x x x x 又∵||||NK MK =，则MN KH ⊥，∴

121

0-=?-

k x y ，从而解得23

,20

0-==y k x ，点

),(00y x H 在椭圆内，则

214113422

0<<-?

2210x y a b a b

+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为

椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.

证明

设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，

则22

11221x y a b +=，（1）2222221x y a b +=，（2）

()()12-得：2222

121222x x y y a b

--=-，

()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()

21212

21212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP

y y k x x +=

+，221

AB OP

b k k a ∴=-?，22AB OP b k k a ∴?=-（定值）. 二、双曲线

1、过点P (4,1)的直线l 与双曲线x 24

－y 2

＝1相交于A 、B 两点，且P 为AB 的中点，求l 的方程．

[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 2

1＝1，x 224－y 22＝1，两式相减得： 1

4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∵P 为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2. ∴y 2－y 1

x 2－x 1

＝1，即所求直线l 的斜率为1，∴l 方程为y －1＝x －4，即x －y －3＝0.

2、设A 、B 是双曲线x 2－y

2＝1上的两点，点N (1,2)是线段AB 的中点，(1)求直线AB 的方程；

(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ [分析] 要证明A 、B 、C 、D 四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A 、B 、C 、D 四点共圆，则∵CD 垂直平分AB ，据圆的性质知，圆心在直线CD 上，∴CD 中点M 为圆心，只要证明|AM |＝|MB |＝|CM |＝|MD |即可．

[解析] (1)依题意，可设直线AB 方程为y ＝k (x －1)＋2，由?????

x 2－y 2

＝1，y ＝k (x －1)＋2，

得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －(2－k 2)－2＝0① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵x 1、x 2是方程①的两个不同的实根，所以2－k 2≠0. 由韦达定理得，x 1＋x 2＝2k (2－k )2－k 2.由N (1,2)是AB 的中点得，x 1＋x 22＝1.

即k (2－k )＝2－k 2.解得k ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.

(2)由?

????

y ＝x ＋1，

x 2－y

22＝1，得x 2－2x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (3,4)，B (－1,0)．∵CD 是线段AB 的垂直平分线，所以CD 所在直线方程为y ＝－x ＋3.

?????

由x 2－y 2

2＝1，y ＝－x ＋3，

得x 2＋6x －11＝0. 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，CD 的中点为M (x 0，y 0)．由韦达定理，得x 3＋x 4＝－6，x 3x 4＝－11. 从而x 0＝1

2(x 3＋x 4)＝－3，y 0＝－x 0＋3＝6.

|CD |＝(x 3－x 4)2

＋(y 3－y 4)2

)＝2(x 3－x 4)2

＝2[(x 3＋x 4)2－4x 3x 4]＝410，

|CM |＝|MD |＝210.∵|MA |＝|MB |＝

(x 0－x 1)2＋(y 0－y 1)2＝210.

∴A 、B 、C 、D 四点到M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆． 3、已知双曲线的方程为x 2

－y 2

＝1.

试问：是否存在被点B (1,1)平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由． [分析] 易判断出点B (1,1)在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90°.

[解析] 解法一：设被B (1,1)所平分的弦所在的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程x 2－y 22＝1，得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.∴Δ＝[－2k (k －1)]2－4(k 2－2)(k 2－2k ＋3)>0.

解得k <3

2，且x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2.∵B (1,1)是弦的中点，

∴

k (k －1)k 2－2

＝1，∴k ＝2>32.故不存在被点B (1,1)所平分的弦．解法二：设存在被点B 平分的弦MN ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．

则x 1

＋x 2

＝2，y 1

＋y 2

＝2，且???

x 2

1－y 212

＝1，

①

x 22

－y

2＝1.

②

①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－1

2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2

＝2，故直线MN ：y －1＝2(x －1)．

由?

????

y －1＝2(x －1)，

x 2－y

22＝1，消去y 得，2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝－8<0. 这说明直线MN 与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在． [点评] 由本题可以看到：

如果点B 在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在．如果点B 在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在．因此，点B 在内部无需检验，点B 在外部必须检验．

关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分为双曲线外部．

4、设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．

（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；

（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线

4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．

解：

（Ⅰ）由24y =-得)3

2(322

=x y ， ∴3=p ，抛物线的顶点是)0,3

，准线是

3213223=

+-=x .∴在双曲线C 中，???????

==.

321,322c

a c . ∴.1,3122

==b a

∴双曲线C 的方程为1322=-y x .

（Ⅱ）由???=-+=.

13,122

2y x x y 得：0242

=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .

∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=?--+=-++=x x x x k AB .

（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平

分线. 因而k a 1-=，从而41:'

+-=x k y l . 设线段AB 的中点为),(00y x P .由2

200a b x y k AB =

?得：30

x y k ，∴003x ky =.① 由41

00+?-

=x k

y 得：k x ky 400+-=.②,由①、②得：3,00==y k x . 由100+=kx y 得：132

+=k ，∴2±=k .又由???+==-.

1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k

直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点， ∴)3(8422--=?k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴符合题意的k

的值存在，2±=k .

5、(

))

()()22

11221 ,6 ,0 , 513

.y x A x y B C x y F AC -=在双曲线的一支上有不同的三点，，，与焦点12的距离成等差数列证明线段的垂直平分线经过某一点,并求出该点坐标.

()()2222121122121212AC 121212121212 261213121213, 13121213,12 k

1313

y 2 213 6, 2y y y x y x x x y y x x

x x y y y y x x x x x y x x x +=?=-=?-=?+-+===-+++?

?-=-- ?+??-=-

++解:依题意有，则，13故AC 的中垂线方程为，

13即由方程知其必.??

???

25经过定点0,2

三、抛物线

1．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x －4y －3＝0 B ．x ＋4y ＋3＝0 C ．4x ＋y －3＝0

D ．4x ＋y ＋3＝0

[答案] C ，[解析] 设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2.

∵A 、B

在抛物线上，∴y 21＝8x 1，y 2

2＝8x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，

∴

y 1－y 2

x 1－x 2

＝－4，∴直线AB 方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0. 2．若点(3,1)是抛物线y 2

＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. [答案] 2

[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，

∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.

3．过点Q (4,1)作抛物线y 2

＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求弦AB 所在的直线方程． [答案] 4x －y －15＝0

[解析] 解法一：设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 2

1＝8x 1，①

y 22＝8x 2，② x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③ ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2

，∴k ＝4.

∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.

4、（2004?福建）如图，P 是抛物线C ：y=x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ．（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求

的取值范围．

【分析】（1）设M （x 0，y 0），欲求点M 的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P ，Q 与中点M 的关系结合中点坐标公式求解，（2）欲

的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另

外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决．【解答】解：（Ⅰ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），M （x 0，y 0），依题意x 1≠0，y 1＞0，y 2＞0．

由y=x 2，①得y'=x ．∴过点P 的切线的斜率k=x 1， ∴直线l 的斜率k l =﹣=﹣，∴直线l 的方程为y ﹣x 12=﹣（x ﹣x 1），②

联立①②消去y ，得x 2+

x ﹣x 12﹣2=0．

∵M 是PQ 的中点∴x 0==﹣

，y 0=x 12﹣

（x 0﹣x 1）

消去x 1，得y 0=x 02++1（x 0≠0），∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+

+1（x ≠0）．

方法二：设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、M （x 0，y 0），依题意知x 1≠0，y 1＞0，y 2＞0．由y=x 2，① 得y ′=x ．∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1，∴直线l 的斜率k l =﹣=﹣

，

直线l 的方程为y ﹣x 12=﹣

（x ﹣x 1）．②

方法一：联立①②消去y ，得x 2+

x ﹣x 12﹣2=0．∵M 为PQ 的中点，

∴x 0==﹣，y 0=x 12﹣

（x 0﹣x 1）．消去x 1，得y 0=x 02+

+1（x 0≠0），

∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+

+1（x ≠0）．

（Ⅱ）设直线l ：y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T （0，b ）．分别过P 、Q 作PP'⊥x 轴，QQ'⊥x 轴，垂足分别为P'、Q'，则

．

由y=x 2，y=kx+b 消去x ，得y 2﹣2（k 2+b ）y+b 2=0．③

则y 1+y 2=2（k 2+b ），y 1y 2=b 2．∴

=|b|（

）≥2|b|

=2|b|

=2．

∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴

的取值范围是（2，+∞）．

5、例（05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线2

2x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.

解：（Ⅰ）y x 212

，∴)8

,0(,41F p =.设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的

焦点F.若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，k

k AB 1-=. 由

p x k AB

=?01得：410=

-kx ，∴k

x 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：

0004181y y kx +=+-=，4

0-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.

综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102

,12),18,3(),2,1(2

10210=+=-=+=

-y y y x x x B A 由

p x k AB

=?01得：4

k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(4

++=

x y ，即.0414=+-y x 6、243(0),y x y kx k ==+≠若抛物线上存在关于直线对称的两点求k 的取值范围.

()()()()()()()()

22112211221200121212121200000002

: ,,30,4,4,4421

,. 4, . 233

23, 2 4AB A x y B x y y kx k y x y x y y AB p x y y y y y x x k x x y y y y k

y y k y kx x k k p =+≠==-∴+-=-=====--+-∴=-=+∴=

=--∴<解设，是抛物线上关于直线对称的两点则设的中点又

点在抛物线内部,-2k ()()()()23232332, 20

0,230, 130, 1,0,230, 130, 1,-10.

k k k k k k k k k k k k k k k k k k ?

?--++< ??

?>++<∴+-+<<-<++>∴+-+>>-<<即当则即无解. 当则即故7、已知AB 是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.

求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.

证明

设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，则22

11221x y a b

+=，（1）2222221x y a b +=，（2）

()()12-得：2222

121222x x y y a b

--=-，

()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP y y k x x +=

+，221

AB OP

b k k a ∴=-?，22AB OP b k k a ∴?=-（定值）.

8、已知ABC ?的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ?的重心G 是抛物

线的焦点，求直线BC 的方程.

解由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共线，且

2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是0

022812

820

x y +?=??+?

+?=??+，解得00114x y =??=-?，()11,4M ∴-. 设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-.又21132y x =，（1）22232y x =，（2）

()()12-得：()22121232y y x x -=-，1212123232

BC y y k x x y y -∴=

===--+-.

BC ∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=

关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例(曹文红)

关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例湖北省宜昌市夷陵中学曹文红 [问题背景] 圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的一类常见问题。对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为),(),,(2211y x B y x A ，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。为此，我专门设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，通过师生互动、合作探究的方式，使教学过程生动活泼，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的根源，找到了简便易行的检验方法，收到了较好的教学效果。 [案例实录] 1、创设情景，提出问题师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。下面请大家看问题1：已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆19 362 2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程。问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。 2、自主探索，暴露思维学生求解的同时，教师在行间巡视，发现生1很快得出了结果，于是请生1上台板书：生1：解：设直线l 与椭圆交点为),(),,(2211y x B y x A ，则有3642 121=+y x ，3642222=+y x ，

(完整版)用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22 121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB

1.中点弦问题(点差法)

圆锥曲线常规题型方法归纳与总结 ①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。解题策具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法( 点差法)：若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A(x i ，yj 、B(X 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。 (3)y 2=2px( p>0)与直线 I 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 M(x o ,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p. 经典例题讲解一、求以定点为中点的弦所在直线的方程 2 2 例1、过椭圆x 匚 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线 16 4 的方程。解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2) M (2,1)为 AB 的中点 x 1 x 2 4 y 1 y 2 2 2 2 2 2 ，消去四如: 2 (1)笃 a 2 y b 2 1( a x o 2 阶 o 。 a b 2 2 (2)笃 y 2 1( a a b X o yo, o 2 a b 严 b 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o ),则有 0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

中点弦问题(基础知识)

圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； ②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； ③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！ 1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 2、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。例4、已知椭圆125 752 2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 3、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为 2 1，求椭圆的方程。 ∴所求椭圆的方程是125 752 2=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13 42 2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 典题妙解例1 设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足 1()2OP OA OB =+ ，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点 M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .

点差法求椭圆中点弦

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。本文用这种方法作一些解题的探索。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）

点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题【定理1】在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N 两点的坐标分别为、，则有，得又【定理2】在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又【定理3】在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN 的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又、、注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在、一、椭圆 1、过椭圆＋＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于 A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程．【解】法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x

1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝、∵P为弦AB的中点，∴2＝＝、解得k＝－，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0、法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB 的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2、又∵ A、B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝ 16、两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0、∴＝＝－，即kAB＝－、∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0、 2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．∵P为弦AB 的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为： x+y=0．（﹣＜x＜）∴点P的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x＜）； 3、（xx秋?启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，5）的椭圆被直线3x﹣y﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a＞b＞0），则a2﹣b2=50①又设直线3x﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）∵x0=，∴代入直线方程得y0=﹣2=﹣，由，得，∴AB

点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。【定理1】在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22a b x y k MN -=?∴ 【定理2】在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN =?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 222222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02 2 2 2 122 22 1=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++?--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .2 2 00a b x y k MN =?∴ 【定理3】在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k M N =?0.

高中数学解题方法系列：解析几何中的点差法解中点弦问题

高中数学解题方法系列：点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、) ,(22y x B )1,2(M 为AB 的中点∴4 21=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，16 42222=+y x 两式相减得0 )(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、) ,(22y x B 则221=+x x ，221=+y y

解-点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用教案资料

“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有?????==)2(.2)1(,2222121ΛΛΛΛmx y mx y )2()1(-，得).(2212 221x x m y y -=- .2)(121 212m y y x x y y =+?--∴ 又01212122,y y y x x y y k MN =+--= Θ. m y k MN =?∴0. 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN =?01 . 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零. 例1．抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（） A. 12-=x y B. )1(22-=x y C. 2 12-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x . 由m y k MN =?得： 21=?-y x y ，整理得：)1(22-=x y .

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例 1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为、为的中点又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。例 2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程例 3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即点的坐标为。例

4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例 5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立 ①②解得，所求椭圆的方程是四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例 6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得例 7、已知抛物线C: 和直线为使抛物线上存在关于对称的两点，求的取值范围。解：设抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，线段的中点为，则，①，②① －②可得：＝，即由于，所以，故，即，即。又因为在直线上，所以，因为在抛物线开口内，所以，故，所以。即的取值范围是。策略：本题需要根据弦中点位置求的取值范围，如果不考虑位置，可能得出错误的结果。请务必小心。

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN =?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 222222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=---b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y =++?--∴ 又.22,0 0021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .2200a b x y k MN =?∴ 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN =?. 典题妙解例1 已知双曲线13 :2 2 =-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.

第7讲-点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221ΛΛΛΛb y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ.22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 典题妙解例1 设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足 1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点 M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 ) ,(11y x A 、),(2 2 y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆 14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(1 1 y x A 、),(2 2 y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴4 2 1 =+x x 2 21=+y y Θ 又A 、B 两点在椭圆上，则16 42 121 =+y x ，16 42 222 =+y x 两式相减得0 )(4)(2 22 12 22 1 =-+-y y x x 于是0))((4))((2 1 2 1 2 1 2 1 =-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1 244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y

即21- =AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即0 42=-+y x 。例2、已知双曲线 1 2 2 2 =-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(1 1 y x A 、),(2 2 y x B 则2 21 =+x x ，2 2 1 =+y y 1 2 2 12 1=-y x ，12 2 222 =-y x 两式相减，得 ))((2 1 ))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22 12 1=--= x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得0 3422 =+-x x ∴ 8324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在

高中数学中点弦问题的解题方法

高中数学中点弦问题的解题方法会泽县茚旺高级中学杨顺武解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。“中点弦”问题是一类很典型、很重要的问题. 一、方法介绍（解圆锥曲线的中点弦问题的方法有）：第一种方法：联立消元法即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。第二种方法:点差法即设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。第三种方法：导数法即如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB 中点M 相切（如下图）。此时缩小的曲线方程如()()()2 2 2 tR b x a x =-+-， () () 12 2 2 2 =± tb y ta x ，两边对x 求导，可发现并不改变原方程求导的结果。因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是x y '在中点处的值。二、题型示例题型一以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆 14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

解法一：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(2 22 12 22 1=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1 244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21- =AB k ，故所求直线的方程为)2(2 1 1--=-x y ，即042=-+y x 。法二：由题意知所求中点弦斜率一定存在，设为k ，则该弦方程为()21-=-x k y ()?????=+ -=-14 16212 2 y x x k y 消去y 得例2.已知双曲线方程，求以A （2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点B （1，1），能否作直线，使与所给双曲线交于P 、Q 两点，且点B 是弦PQ 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。解：对两边求导，得（1）以A （2，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为（2）以B （1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为即。

点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有?????==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y )2()1(-，得).(2212221x x m y y -=- 又0121 2122,y y y x x y y k MN =+--= . m y k MN =?∴0. 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN =?01 . 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零. 典题妙解例1 抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（） A. 12-=x y B. )1(22-=x y C. 2 12-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x . 由m y k MN =?得： 21=?-y x y ，整理得：)1(22-=x y . ∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B.

高三用点差法解中点弦问题专题教案

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题江夏一中郭飞教学目标：知识与技能（1）能解决弦中点等有关问题；（2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。过程与方法（1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题；（2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。情感态度与价值观（1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。（2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。教学重点：点差法适用范围教学难点：（1）弦中点问题的求解思路灵活运用（2）双曲线的中点弦存在性问题；（3）弦中点的轨迹应在曲线内。教学方法师生互动探究式教学法引言：我们把不能解决的案子，称为悬案。在圆锥曲线中也有三大弦案:中点弦、直角弦、焦点弦。今天我们学的就是中点弦。一、求过定点被定点平分的弦所在直线的方程例1、过椭圆22 1164x y +=内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，则这条弦所在的直线方程请学生口述过程，找到处理这种问题的所在方法解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A ()11,x y ，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 14) 2(82221+-= +k k k x x ，又M 为AB 的中点，所以214) 2(422 221=+-=+k k k x x ，解得12k =-，故所求直线方程为042=-+y x 。解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点，

圆锥曲线中点弦问题(点差法) - 精讲

关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。二、求弦中点的轨迹方程问题例2、过椭圆136 642 2=+y x 上一点A （-8，0）作直线交椭圆于P 、Q 两点，求PQ 中点的轨迹方程。例3、已知双曲线122 2 =-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。例4、已知椭圆125 752 2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

三、弦中点的坐标问题例5 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。例6、已知椭圆125 752 2=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。四、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例7、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为2 1，求椭圆的方程。五、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例8、已知椭圆13 42 2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。