北京大学2011年考研试题

北京大学2011年数学分析考研试题
1.用确界存在定理证明：
设I 是一个区间，如果()f x 是I 上的连续函数，则()f x 是一个区间 2.设在()f x 在()0,1连续且可导，()f x 在()0,1上有界，()0
lim x f x →不存在
求证：存在数列{}n x ，()0,1n x ∈，lim 0n n x →∞
=，使得()0n f x '=.
3.设I 是一个区间，()f x 在I 上连续，如果()f x 可导. 求证：()f x 也可导.
4.构造两个以2π为周期的函数，使其Fourier 级数在[]0,π上一致收敛于0. 例如：()0f x ≡，()[]
[]{
2
0,0,sin ,,0x x g x πθπ∈∈-=
，()()[]
[]{
0,0,,,0m x x x x h x πππ∈+∈-=
5.求证：()f x 在[]0,1上可积，其充要条件是()(),F x y f x =在[][]0,10,1⨯上可积
6.设(),f x y 在其定义域中的某个点处各方向的方向导数都存在，且存在三个方向上的方向导数值相且不等于0，证明(),f x y 在该点处不可微.
7.设D 为2R 上的无界闭集，试构造一个连续函数(),f x y ，使它在一个由光滑曲线所围成 的无界闭区域D 上的二重积分(),D
f x y dxdy ⎰⎰发散.
8.设n D R ⊂是一个凸区域，:n T D R →，
()T x 在D 上有连续二阶偏微分，其Jaccobi 矩阵正定，求证：1）.()T x 是单射；
2）.对任意,x y D ∈，x y ≠，有()()(),0T x T y x y -->
9.设0n a >,级数1
n n a ∞
=∑收敛，试证：2
12lim 111n n
n a a a →∞++⋅⋅⋅存在.
10.设()n f x 在[],a b 上连续且可导，且(){}'n f x 在[],a b 上一致有界，并且(){}n f x 点收敛于()f x ，()()lim n n f x f x →∞
=，[],x a b ∈.
试证：1）()f x 在[],a b 上连续.2）(){}n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x .
部分参考答案：
8、证明 对,x y D ∈，
有
1
100()()((1))((1))()d
T x T y T tx t y dt JT tx t y x y dt dt -=+-=+--⎰
⎰， 由于()JT x 在所有n x R ∈点处正定， 得,x y D ∈，x y ≠，有
()()(),T x T y x y --
1
0()((1))()0T x y JT tx t y x y dt =-+-->⎰，
故原结论成立.
9.证明：利用几何-算数平均不等式得
1
212111111
n n n
a a a n a a a ++⋅⋅⋅+≥⋅⋅⋅， 于是 2
12120111n n n
n n a a a a a a <
≤⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+
1212212!!
n
n n n n
a a na n n a a na n n n ++⋅⋅⋅+=
⋅⋅⋅≤， 已知 l i m !
n
n n
e n →∞
= ， 由1
n n a ∞
=∑收敛，知122lim
0n
n a a na n
→∞++⋅⋅⋅+=，
故有2
12lim
0111n n
n a a a →∞
=++⋅⋅⋅+ .
10、Osgood 定理。