概率统计习题详解
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概率论与数理统计习题及答案
24.15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛
中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.
【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第
二次取出的3球均为新球} 由全概率公式,有
3
0()()()i i i P B P B A P A ==∑
3312321
333699689679
6333333331515151515151515
C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+?+?0.089=
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X 的密度函数为
f (x )=???
??<≥.
100,0,100,1002x x x
求:(1) 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;
(2) 在(1)中这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3) F (x ). 【解】
(1) 150
2100
1001
(150)d .3
P X x x ≤==?
33128
[(150)]()327
p P X =>==
(2) 1223
12
4C ()33
9
p == (3) 当x <100时F (x )=0
当x ≥100时()()d x
F x f t t -∞=?
100100()d ()d x
f t t f t t -∞=+?? 2100
100100
d 1x
t t x
==-? 故 1001,100
()0,
0x F x x x ?-≥?=?
? 42.设随机变量X 的分布函数为
F (x )=??????
?≥<≤<≤--<.3,
1,31,8.0,
11,4.0,1,
0x x x x 求X 的概率分布.
(1991研考)
【解】由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系,可知X 的概率分布为
1
13.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为
(1)求关于X 和关于Y 的边缘分布; (2) X 与Y 是否相互独立? 【解】(1)X 和Y 的边缘分布如下表
(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===?0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立
19.设随机变量(X ,Y )的分布律为
(1) 求P {X =2|Y =2},P {Y =3|X =0}; 【解】(1){2,2}
{2|2}{2}
P X Y P X Y P Y =====
=
5
{2,2}
0.051
,0.252
{,2}
i P X Y P X i Y ====
=
===∑ {3,0}
{3|0}{0}
P Y X P Y X P X =====
=
3
{0,3}
0.011
;0.033
{0,}
j P X Y P X Y j ====
=
===∑
5.设随机变量X 的概率密度为
f (x )=??
???≤≤-<≤.,0,21,2,
10,其他x x x x
求E (X ),D (X ).
【解】12
201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-???
2
1
3
32011 1.33x x x ??
??=+-=???????
?
12
22320
1
7
()()d d (2)d 6
E X x f x x x x x x x +∞
-∞
==+-=
?
?? 故 221()()[()].6
D X
E X E X =-=
1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X .估计P {10 1i i X X ==∑ 22222221111117 ()123456, 6666662 11111191 ()123456, 6666666 i i E X E X =?+?+?+?+?+?==?+?+?+?+?+?= 从而 2 2 2 91735 ()()[()].6212 i i i D X E X E X ??=-=-= ??? 又X 1,X 2,X 3,X 4独立同分布. 从而4 4 117()()()414,2 i i i i E X E X E X =====?=∑∑ 4 4 1 1 3535()()()4.123 i i i i D X D X D X =====? =∑∑ 所以 2 35/3 {1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥- ≈ 10. 对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量, 设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相与独立,且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数X 超过450的概率? (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】(1) 以X i (i =1,2,…,400)记第i 个学生来参加会议的家长数.则X i 的分布律为 易知E (X i =1.1),D (X i )=0.19,i =1,2,…,400. 而400 i i X X =∑,由中心极限定理得 400 400 1.1 ~(0,1).i X N -?=∑近似地 于是{450}1{450}1P X P X >=-≤≈-Φ 1(1.147)0.1357.=-Φ = (2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B 由拉 普拉斯中心极限定理得 {340(2.5)0.9938.P Y ≤≈Φ=Φ= 11.设总体X ~f (x )=(1),01; 10, .x x θθθ?+<<>-??其中其他 X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本,求θ的矩估计量及极大似然估计量. 【解】(1) 1 10 1 ()()d (1)d ,2 E X xf x x x x θθθθ+∞ +-∞ +==+= +? ? 又 1 (),2 X E X θθ+== + 故 21 ?1X X θ -=- 所以θ的矩估计量 21 ?.1X X θ-=- (2) 似然函数 1 1(1) 01(1,2,,) ()()0n n n i i i i i x x i n L L f x θθθ==?+<<=?===??? ∏∏其他. 取对数 11 ln ln(1)ln (01;1), d ln ln 0,d 1n i i i n i i L n x x i n L n x θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑ 所以θ的极大似然估计量为1 ?1.ln n i i n X θ==-- ∑ 17. 设总体X 的概率密度为 f (x ,θ)=, 01,1, 12,0,. x x θθ<?-≤?? 其他 其中θ是未知参数(0<θ<1),X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值x 1,x 2,…,x n 中小于1的个数.求: (1) θ的矩估计; (2) θ的最大似然估计. 解 (1) 由于 1 2 01(;)d d (1)d EX xf x x x x x x θθθ+∞ -∞==+???- 133 (1)222 θθθ=+-=-. 令32X θ-=,解得32 X θ=-, 所以参数θ的矩估计为 3 2 X θ= -. (2) 似然函数为 1()(;)(1)n N n N i i L f x θθθθ-===-∏, 取对数,得 ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+-- 两边对θ求导,得 d ln ().d 1L N n N θθθθ -=-- 令 d ln () 0,d L θθ =得 N n θ=, 所以θ的最大似然估计为 N n θ= . 《概率论与数理统计》练习题7答案7 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、设随机事件A 、B 互斥,(), (),P A P P B q ==则()P A B =( )。 A 、q B 、1q - C 、 p D 、1p - 答案:D 2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5,从中任取3个灯泡使用,则在使用500小时之后无一损坏的概率为:( )。 A 、 18 B 、2 8 C 、38 D 、 4 8 答案:A 3、设ξ的分布函数为1()F x ,η的分布函数为2()F x ,而12()()()F x aF x bF x =-是某随机 变量ζ的分布函数,则, a b 可取( )。 A 、32, 55a b = =- B 、2 3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13 , 22 a b ==- 答案:A 4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为: 则下列各式正确的是( )。 A 、{}1P ξη== B 、{}14 P ξη== C 、{}12 P ξη== D 、{}0P ξη== 答案:C ^^ 5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。 A 、() () 2 2 E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2 2 E E E ξηξη-? D 、()E E E ξηξη-? 答案:D 6、设随机变量ξ在11,22?? -???? 上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。 A 、0 B 、1 C 、 1π D 、2π 答案:A 7、设12100,,,ξξξ???服从同一分布,它们的数学期望和方差均是2,那么 104n i i P n ξ=?? <<≥???? ∑( )。 A 、 12 B 、212n n - C 、12n D 、1 n 答案:B 8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2(, )N μσ的样本( )。 A 、2 11~(,)n i i X X N n μσ==∑ B 、2 11()~(0, )n i X N n n σμ=-∑ C 、22 2111()~(1)n i i X n n μχσ=?--∑ D 、22 21 11()~()n i i X X n n χσ=?-∑ 答案:B 9、样本12(,, , )n X X X ,2n >,取自总体ξ,E μξ=,2D σξ=,则有( )。 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 统计与概率经典例题(含答案及解析) 1.(本题8分)为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况,在一次数学检测中,从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查,并将调查结果绘制成如下图表: ⑴表中a和b所表示的数分别为:a= .,b= .; ⑵请在图中补全频数分布直方图; ⑶如果把成绩在70分以上(含70分)定为合格,那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名? 2.为鼓励创业,市政府制定了小型企业的优惠政策,许多小型企业应运而生,某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量,并将结果绘制成如下两种不完整的统计图: (1)某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家.请将折线统计图补充完整; (2)该镇今年3月新注册的小型企业中,只有2家是餐饮企业,现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况,请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率. 3.(12分)一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球,小球除颜 色外完全相同,为估计该口袋中四种颜色的小球数量,每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回,重复多次试验,汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图. 根据以上信息解答下列问题: (1)求实验总次数,并补全条形统计图; (2)扇形统计图中,摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度? (3)已知该口袋中有10个红球,请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量.4.(本题10分)某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况,从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况,将统计结果列出如下的表格,并绘制成如图所示的扇形统计图,其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%. 类别科普类教辅类文艺类其他册数(本)128 80 m 48 (1)求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数; (2)该校2014年八年级有500名学生,请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本? 5.(10分)将如图所示的版面数字分别是1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上(“A”看做是“1”)。 (1)从中随机抽出一张牌,牌面数字是偶数的概率是;(3分) (2)从中随机抽出两张牌,两张牌面数字的和是5的概率是;(3分)(3)先从中随机抽出一张牌,将牌面数字作为十位上的数字,然后将该牌放回并重新洗匀,再随机抽取一张,将牌面数字作为个位上的数字,请用画树形图的方法求组成的 填空题(每小题4分,共32分). 1.设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2.设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题(每小题4分,共32分). 1.设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2.设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3.设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4.若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5.设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6.设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________. 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B ) A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。( C ) A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A ) A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计( A ) A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为( C ) (A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/8 概率论与数理统计复习题(1) 一. 填空. 1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独立,则=-)(B A P ;若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0,则=-)(B A P 。 2.)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ,则=)(B P 。 3.设),(~2σμN X ,且3.0}42{ },2{}2{=<<≥= 长度愈 愈好。但当增大置信水平时,则相应的置信区间长度总是 。 二.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1;乙河流泛滥的概率为0.2;当甲河流泛滥时,乙河流泛滥的概率为0.3,试求: (1)该时期内这个地区遭受水灾的概率; (2)当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 三.高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立),每发炮弹击中敌机的概率均为0.3,又知若敌机中一弹,其坠毁的概率是0.2,若敌机中两弹,其坠毁的概率是0.6,若敌机中三弹则必坠毁。(1)求敌机被击落的概率;(2)若敌机被击落,求它中两弹的概率。 四. X 的概率密度为? ??<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32。(1)求常数k 和c ;(2) 求X 的分布函数F(x); 五. (X,Y )的概率密度 ???<<<<+=otherwise ,02 0,42 ),2(),(y x y kx y x f 。求 (1)常数k ;(2) X 与Y 是否独立;(3)XY ρ; 六..设X ,Y 独立,下表列出了二维随机向量(X ,Y )的分布,边缘分布的部分概率,试 将其余概率值填入表中空白处. 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是( ). (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式( )成 立. (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数,则对任意b a <,有 X a P <(≤=)b ( ). (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( ). 作业2(修改2008-10) 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 概率统计试题分析 1 一、填空题 1、已知3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ,求( )P A B = 0.2 。 2、设X 和Y 相互独立,都在区间[1,3]上服从均匀分布,记事件 }{}{a Y B a X A >=≤=,,且7 ()9 P A B = ,则常数 a = 5733 a =或。 3、某机构有一个9人组成的顾问小组,如每个顾问提出正确意见的概率是7.0,现在该机构对某事可行与否征求各位顾问的意见, 并按多数人意见做出决策,做出正确决策的概率= (写出计算表达式)9 9950.70.3k k k k C -=??∑ 4、设(0,1)X U :,则2ln Y X =-的概率密度为 21, 0()2 00 y Y e y f y y -?>?=??≤? 5、如果存在常数)0(,≠a b a , 使()1P Y aX b =+=,且 +∞< 22 1 1(1)~(4)n i i n X χ=-∑ 8、设∧ θ是θ的无偏估计,()0D θ∧ >,则比较大小2 ()E θ∧ > 2 θ 二、(10分)对有100名学生的班级考勤情况进行评估,从课堂上随机点了10位同学的名字,如果班上学生的缺勤人数从0到2是等可能的,并且已知该班考核为全勤,计算该班实际上确实全勤的概率。 解 设i A 表示实际缺勤人数0,1,2i =,所以1 ()3 i P A = 设B 表示点名为全勤(优秀)1010010100 ()i i C P B A C -=,0,1,2i = 0002 ()() 110 ()0.369298 ()() i i i P A P B A P A B P A P B A == = =∑ 三、(12分)设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为: ()201,02 ,3 xy x x y f x y ?+ <<<=???其它 , 试求:(1)()()X Y f x f y 与;(2)X Y 与是否独立?(3)求()1<+Y X P 解 (1) 222 0201 ()2() 330 X xy x x dy x x f x ?<<+=+?=????其它 120110()() 3360 Y xy y x dx y f y ?<<2 +=+?=????其它 (2)因()()(,),X Y f x f y f x y ≠,X Y 故与不独立. 《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的 概率为__________. 答案: 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票,则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案:D 2、如果,A B 为任意事件,下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容,则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立,则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容,则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案:B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?,则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案:A 4、设,ξη相互独立,并服从区间[0,1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0,2]上的均匀分布, B 、ζξη=-服从[- 1,1]上的均匀分布, C 、{,}Max ζξη=服从[0,1]上的均匀分布, D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案:D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案:B 6、设1ξ,2ξ都服从区间[0,2]上的均匀分布,则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案:B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=,则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案:D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本,其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ,则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案:A 9、在参数的区间估计中,给定了置信度,则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定; B 、将由有关随机变量的分布唯一确定; C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取; D 、可以任意规定。 答案:C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β,则必有( )。 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3) 浙 江 工 业 大 学 概 率 统 计 期 末 试 卷 ( A ) (2009 ~ 2010 第 一 学 期) 2010-1-14 任课教师 学院: 班级: 上课时间:星期 ____,_____节 学号: 姓名: 一、选择题(每题 2 分 , 共 10 分) 1. n 个 随 机 变 量 X i (i 1,2,3, , n) 相 互 独 立 且 具 有 相 同 的 分 布 , 并 且 E( X i ) a , D( X i ) b , 则这些随机变量的算术平均值 X 1 n 的数学期望和方差分别 X i n i 1 为 ( ) ( A ) a , b ( B ) a , b ( C ) a , b ( D ) a , b 2 2. n n 2 n n 设 X 1 , X 2 , , X 500 为独立同分布的随机变量序列 , 且 X 1 ~ B(1, p) , 则下列不正确的为 ( ) 1 500 500 ~ B(500, p) (A) X i p (B) X i 500 i 1 i 1 500 ( ) ( ) P a X i b (C) i 1 500 b 500 p a 500 p (D) P a X i b Φ Φ . i 1 500 p(1 p) 500 p(1 p) 3. 设0 P( A) 1,0 P(B) 1, P(A | B) P( A | B ) 1, 则 ( ) (A) P( A | B) P(A) (B) B A (C) AB (D) P( AB) P( A)P(B) 4. 如果随机变量 X ,Y 满足 D( X Y) D ( X Y ) , 则必有 ( ) (A) X 与 Y 独立 (B) X 与Y 不相关 (C) DY 0 (D) DX 5. 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件 , 则下列结论中肯定正确的是 ( ) (A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相 容 (C) P( AB) P( A)P(B) ; (D) P( A B) P( A) P(B) 二、填空题(每空 3 分 , 共 30 分) 1. 设 X ~ N (1, 1/ 2), Y ~ N (0, 1/ 2) , 且相互独立 , Z X Y , 则 P(Z 0) 的值为 ( 结果用正态分布函数 表示 ). 已知二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ,; ,, 010104),(y x xy y x f 则X 与Y 相互独立 【解:由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 , ; ,, 010104),(y x xy y x f 可得两个边缘密度函数分别为: ?? ?<<==?∞+∞ -其他。, ; , 0102),()(x x dy y x f x f X ?? ?<<==? ∞ +∞ -其他。 , ; , 0102),()(y y dx y x f y f Y 从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ?=,所以X 与Y 相互独立。 ■12、设二维随机变量(X , Y ) ~4,01,01 (,)0,xy x y f x y <<<=?? 其它,求 (1) X 的边缘密度函数()X f x ; (2)概率()P Y X ≥; ■13、某供电站供应该地区1000户居民的用电,各户用电相对独立,已知每户日用电量(单位:度)服从[6,12]上的均匀分布,求这1000户居民日用电量超过9100度的概率。 ■14、在次品率为0.3的一大批产品中任取400件,利用中心极限定理计算取得的400件产品中次品数在110与125之间的概率。 ■15、一大批种子的良种率为0.9,从中任取500粒,求良种数超过460粒的概率。 ■12、【解:(1)当01x ≤≤时,1 ()(,)42,X f x f x y dy xydy x +∞ -∞ = ==? ? 故2,01 ()0,X x x f x others ≤≤?=? ? 当01y ≤≤时,1 ()(,)42,Y f y f x y dx xydx y +∞ -∞ = ==? ? 故2,01 ()0,Y y y f y others ≤≤?=?? (2)因为(,)()()X Y f x y f x f y = 故X 与Y 是相互独立 (3)2 1 1 000()440.52 x x P X Y dx xydy x dx >===??? ()1()0.5P Y X P X Y ≥=->=】 《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1.事件的关系 2.运算规则(1)(2)(3)(4) 3.概率满足的三条公理及性质:(1)(2)(3)对互不相容的事件,有(可以取)(4)(5) (6),若,则,(7)(8) 4.古典概型:基本事件有限且等可能 5.几何概率 6.条件概率(1)定义:若,则(2)乘法公式:若为完备事件组,,则有(3)全概率公式: (4) Bayes公式: 7.事件的独立 性:独立(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分 布 1.离散随机变量:取有限或可列个值,满足(1),(2)(3)对 任意, 2.连续随机变量:具有概率密度函数,满足(1)(2); (3)对任意, 4.分布函数,具有以下性质(1);(2)单调非降;(3)右连续;(4),特别;(5)对离散随机变量,; (6)为连续函数,且在连续点上, 5.正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数,则有(1);(2);(3) 若,则;(4)以记标准正态分布的上侧分位 数,则 6.随机变量的函数(1)离散时,求的值,将相同的概率相加;(2)连续,在的取值范围内严格单调,且有一阶连续导 数,,若不单调,先求分布函数,再求导。第三章随机向量 1.二维离散随机向量,联合分布列,边缘分布,有(1);(2 (3), 2.二维连续随机向量,联合密度,边缘密度,有 (1);(2)(4)(3);,3.二维均匀分布,其中为的面积 4.二维正态分布 且; 5.二维随机向量的分布函数有(1)关于单调非降;(2)关 于右连续;(3);(4),,;(5);(6)对 二维连续随机向量, 6.随机变量的独立性独立(1) 离散时独立(2)连续时独立(3)二维正态分布独立,且 7.随机变量的函数分布(1)和的分布的密度(2)最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1.期望 (1) 离散时 (2) 连续 时, ;,; (3) 二维时, (4); (5);(6);(7)独立时, 2.方差(1)方差,标准差(2); (3);(4)独立时, 3.协方差 (1);;;(2)(3);(4)时, 称不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价;(5) 4.相关系数;有, 5.阶原点矩,阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1.Chebyshev不等式 2.大数定律 3.中心极限定理(1)设随机变量独立同分布, 或,或 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中 随机地取一个球,求取到红球的概率。 一.填空题(每空题2分,共计60分) 1、A 、B 是两个随机事件,已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ,则=)B A (p 0.6 , =)B -A (p 0.1 ,)(B A P ?= 0.4 , =)B A (p 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2只,则第一次、 第二次取红色球的概率为: 1/3 。(2)若有放回地任取2只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 9/25 。(3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 21/55 。 3、设随机变量X 服从B (2,0.5)的二项分布,则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5),E(X+Y)= 50 ,方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15.现从由甲厂、 乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 (1)抽到次品的概率为: 0.12 。 (2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为: 0.5 . 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右,则=a 0.1, =)(X E 0.4, Y X 与的协方差为: - 0.2 , 2Y X Z +=的分布律为: 6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ,9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 , (~,12N Y X Y 则+= 5 , 16 )。 7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立,则: =-)2(Y X E - 4 ,=-)2(Y X D 6 。 8、设2),(125===Y X Cov Y D X D ,)(,)(,则=+)(Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本,X 为样本均值,2S 为样本方差。则:~X N (8 , 8/13 ), ~16252 S )25(2χ, ~5 2/8s X - )25(t 。概率统计练习题答案
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