第十五章 虚位移原理(修改后)
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第十五章 虚位移原理
F r F
i i
Ni
ri 0
如果质点系具有理想约束，则约束力在虚位移中所作的虚功和 为零，即 FNi ri 0 WFi Fi ri 0 （15-1）
西南交大一般力学教研室
动力学：第十五章 虚位移原理原理
所以可得结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分 必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所 作的虚功的和为零。这个结论称为虚位移原理，也称虚功原 理，式（15-1）又称虚功方程。该方程也可写成解析式：
x A r cos , y A r sin xB r cos l 2 r 2 sin 2 , y B 0
广义坐标选定后， 质点系中每一质点的直 角坐标都可表示为广义
坐标的函数。
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动力学：第十五章 虚位移原理原理
例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
西南交大一般力学教研室
动力学：第十五章 虚位移原理原理
一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其 自由度为 k 3n s 通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选 择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方 程方便得多。 用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可取线位移（x, y, z, s 等） 也可取角位移（如 ,, 等）。在完整约束情况下，广义坐标的 数目就等于自由度数目。 一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、 q2、……、qk 为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表 为广义坐标的函数。
f j ( x1, y1, z1,, xn , yn , zห้องสมุดไป่ตู้ ) 0 ( j 1,2,, s)
第十五章 虚位移原理(2)
第十五（1）章 虚位移原理虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。
虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学的基础。
本书只介绍虚位移原理的工程应用，而不按分析力学的体系追求其完整性和严密性。
§15-1 约束·虚位移·虚功1．约束及其分类在第一章，我们将限制物体位移的周围物体称为该物体的约束。
为研究上的方便，现将约束定义为：限制质点或质点系运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。
我们从不同的角度对约束分类如下。
（1）几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
例如图15-1所示单摆，其中质点M 可绕固定点O 在平面Oxy 内摆动，摆长为l 。
这时摆杆对质点的限制条件是：质点M 必须在以点O 为圆心、以l 为半径的圆周上运动。
若以x ，y 表示质点的坐标，则其约束方程为222l y x =+。
又如，质点M 在图15-2所示固定曲面上运动，那么曲面方程就是质点M 的约束方程，即()0,,=z y x f又例如，在图15-3所示曲柄连杆机构中，连杆AB 所受约束有：点A 只能作以点O 为圆心，以r 为半径的圆周运动；点B 与点A 间的距离始终保持为杆长l ；点B 始终沿滑道作直线运动。
这三个条件以约束方程表示为()()0222222==-+-=+B A B A B A A y l y y x x r y x上述例子中各约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。
在力学中，除了几何约束外，还有限制质点系运动情况的运动学条件，称为运动约束。
例如，图5-4所示车轮沿直线轨道作纯滚动时，车轮除了受到限制其轮心A 始终与地面保持距离为r 的几何约束r y A =外，还受到只滚不滑的运动学的限制，即每一瞬时有0=-ϖr v A上述约束就是运动约束，该方程即为约束方程。
理论力学课件 虚位移原理
f k ( x i ) 0, i 1 ,2 , ,3 n ； k 1,2, , r (约束数 )
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。
虚位移原理
约束及其分类
O θ l
y
在约束方程中用严格的等号表示的约束为双 面约束.这种约束如能限制物体向某一方向运动 这种约束如能限制物体向某一方向运动, 面约束 这种约束如能限制物体向某一方向运动 则必能限制向相反方向运动. 则必能限制向相反方向运动
O θ l y
A(x,y) x
左图中摆锤A的约束方程为 x2 + y2 ≤ l 2
n
∑ Ni δri = 0
i =1
Theoretical Mechanics
§ 15-1 约束虚位移虚功 15- 约束虚位移 (2)光滑接触面
N
光滑接触面的约束反力恒垂直 δr 于接触面的切面 , 而被约束质点的 虚位移总是沿着切面的 , 即N ⊥ δr ∴ Nδr = 0 (3)连接两刚体的光滑铰链 δr N
y
C
B
y
A
θ
x
x
rB = (x + l cosθ) i + (y + l sinθ) j rC = [x + l cos(θ+60o)] i + [y + l sin(θ+60o)] j 显然用三根长为 l 的刚杆铰接的三角形结构可 以视为一根刚杆.
Theoretical Mechanics
§ 15-1 约束虚位移虚功 15- 约束虚位移
Theoretical Mechanics
§ 15-1 约束虚位移虚功 15- 约束虚位移
例题15-6.物块B搁置于三棱体A上,摩擦不计.画出 系统由静止开始运动后物块B的实位移和虚位移.
δr δr A
dr A
对于非定常约束 , 由于它的位置或形状随时 间而改变 ,而虚位移与时间无关 , 实位移却与时 间有关 ,所以微小的实位移不再是虚位移之一.
第十五部分虚位移原理
FB
3 2
Fctg
k 0ctg
例三. 求图示组合梁的支座B 处的约束反力.
P
q
M
A
B
C
D
已知: q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m
E
ll
l
l
l
88
4
4
4
P
Q
Q
M
A
B
C
D
解: 为便于计算, 将均布载荷 等效简化成集中力.
Q q l 800N
n
n
整个质点系便有:
F i ri F Ni ri 0
i1
i1
n
对于理想约束:
F Ni ri 0
i1
n
F i ri 0
i1
( 充分性从略 )
◆:两种常 用的形式:
(1)矢量式
F i
ri
0
(几何法用)
(2) 直角坐标式
( Fix xi Fiy yi Fiz zi ) 0 (解析法用)
E
4
ll l l l l
l
88 8 8 8 8
4
P A
Q
B
C
Q M
D
ll l l l l
l
88 8 8 8 8
4
P
Q
Q
M
A FB B
C
D
ll l l l l
l
88 8 8 8 8
4
q=400N/m , P = 200N .
M = 200 m.N . l = 8m
第十五章虚位移原理
F 2l δφ
F'
B
A
W
FN s 2Fl 0
2π
s
h
h s 2π
δs FN
FN h W (2Fl 2π ) 0
FN h 2 Fl 0 2π
1 FN 4π Fl h
例题
第15章 虚位移原理
例 题 1
例题
第15章 虚位移原理
2 1 2 1
2
2 1
y
x22 y22 l32 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) l
2 2 2
l2 m1
m2 （x ，y ） 2 2
l3 x
l1
（x1，y1）
例3：曲柄连杆机构 约束方程为：
2 2 xA yA r2
y
r φ
A （xA，yA） l
B x （xB，yB）
xC
xC
例题
第15章 虚位移原理
例 题 7
已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有 AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点G作用一铅直方向的力F，求 支座B的水平约束反力FBx。
sin ( ) M FAr cos FB r 0 cos
例：图示平面等腰三角形机构，在C点作用主动力P,系统 处于平衡，求A、B两处的约束反力。
A、B两处共有4个反力，应逐个求之。 先求哪个反力，则解除该方向的约束，代 之以对应的反力。暂时不求的则不要解除， 仍保持原约束的性质。
力学小魔术
一根重为F的均质杆简支于A,B支座上，支座的反力 分别为F/2。如果突然将支座B撤去，显然在重力矩 作用下AB杆将绕A点顺时针转动而掉下。现在，允 许在AB杆上采取一些措施，但不能对系统施加绕A 点的外力矩，使得在支座B撤去后，AB杆仍能维持 水平而不掉下。你能做到吗？
F'
B
A
W
FN s 2Fl 0
2π
s
h
h s 2π
δs FN
FN h W (2Fl 2π ) 0
FN h 2 Fl 0 2π
1 FN 4π Fl h
例题
第15章 虚位移原理
例 题 1
例题
第15章 虚位移原理
2 1 2 1
2
2 1
y
x22 y22 l32 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) l
2 2 2
l2 m1
m2 （x ，y ） 2 2
l3 x
l1
（x1，y1）
例3：曲柄连杆机构 约束方程为：
2 2 xA yA r2
y
r φ
A （xA，yA） l
B x （xB，yB）
xC
xC
例题
第15章 虚位移原理
例 题 7
已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有 AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点G作用一铅直方向的力F，求 支座B的水平约束反力FBx。
sin ( ) M FAr cos FB r 0 cos
例：图示平面等腰三角形机构，在C点作用主动力P,系统 处于平衡，求A、B两处的约束反力。
A、B两处共有4个反力，应逐个求之。 先求哪个反力，则解除该方向的约束，代 之以对应的反力。暂时不求的则不要解除， 仍保持原约束的性质。
力学小魔术
一根重为F的均质杆简支于A,B支座上，支座的反力 分别为F/2。如果突然将支座B撤去，显然在重力矩 作用下AB杆将绕A点顺时针转动而掉下。现在，允 许在AB杆上采取一些措施，但不能对系统施加绕A 点的外力矩，使得在支座B撤去后，AB杆仍能维持 水平而不掉下。你能做到吗？
虚位移原理
1 1 3 2 Q Q M 0 2 2 4 l
FA 850 N
P
Q
Q
M
rE
A B C D
若求 E处支座反力, 则 系统的虚位移分析如 图示.
FE
l 4
E
q=400N/m , P = 200N .
M = 200 m.N . l = 8m
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
第十五章 虚位移原理
虚位移的英文名词是 virtual displacement . 意 思是‘ 可能的位移’. 不管是‘ 虚’ 也好, 还 是‘ 可能 ’ 也好, 它的力学含义是: 仅为约束 条件所允许的位移.
引言
质点被约束在某一平面上, 其 上有力的作用.
显然, 在此平面上有无限多为 约束所允许的 位移.
FBx B F1'yC F1yG FyG 0
式中 F1 = F1'= kδ0
2 FB l sin k 0 l cos 3k 0 l cos 3 Fl cos 0 FB 3 Fctg k 0 ctg 2
F1
y
在图示坐标下 E
D
F1'
k
yG 3l sin yC l sin x B 2 l cos
ix
·C A θ θ B
( F
FB
x
x i Fiy yi ) 0
yG 3l cos yC l cos x B 2l sin
f ( xi , yi , zi ) 0 或
f ( x, y, z ) 0
2. 虚位移
定义: 在给定瞬时, 质点系在约束条件允许下所能实现的任意假想 的无限小的位移.
理论力学15-2虚功原理N
1 x B yC tan 2 1 [ FCy F ( tan )]yC 0 2 δyC 是任意的，∴ 1 FCy F tan ( ) 2
F
x B
y
x
若用几何法分析虚位移： 几何法分析虚位移，无需 对AB 杆，δrB方向如图， 设定坐标系。 由协调关系，δyC方向如图。 两虚位移在BC杆方向投影应相等： rB cos(2 90) rC cos(90 ) rB sin 2 rC sin 两虚位移关系： rC 2rB cos 用虚功方程 (FCy视为主动力) FCy (rC ) F (rB cos(90 )) 0
2 rD rE 3
3 r2 rE 4
四) 用虚功方程 ( Fi ri ) 0 10 r1 FD (rD ) 6 r2 3(- ) 0 3rE rE rE 2rE rD r1 r2
3 3 6 4 1 2 3 1 [10 FD ( ) 6 3( )]rE 0 3 3 4 6 FD 11(kN ) ( )
四、虚位移原理应用
一) 用虚位移原理求平衡位置的主动力
基本步骤： 1. 受力分析 画出全部可作虚功的主动力； 2. 虚位移分析 1) 变分法：建坐标系，列出虚位移点的坐标， 进行变分计算，建立虚位移之间的关系。 2) 几何法：根据虚位移的协调关系及虚位移的 投影关系，建立虚位移之间的关系。 3. 使用虚位移原理：
若求B点约束反力，虚位移图？
若求A点约束反力，虚位移图？
二) 用虚位移原理求平衡时的约束反力 虚位移原理是作用于质点系上所有主动力在任 何虚位移中所作虚功之和为零。 它与约束反力无关，似乎无法求约束反力。 若用该原理求约束反力，可沿所求约束反力方 向解除相应约束，并用一假想的主动力代替。 再用虚位移原理，求出该假想施加的“主动 力”，仍可得到对应的约束反力。
F
x B
y
x
若用几何法分析虚位移： 几何法分析虚位移，无需 对AB 杆，δrB方向如图， 设定坐标系。 由协调关系，δyC方向如图。 两虚位移在BC杆方向投影应相等： rB cos(2 90) rC cos(90 ) rB sin 2 rC sin 两虚位移关系： rC 2rB cos 用虚功方程 (FCy视为主动力) FCy (rC ) F (rB cos(90 )) 0
2 rD rE 3
3 r2 rE 4
四) 用虚功方程 ( Fi ri ) 0 10 r1 FD (rD ) 6 r2 3(- ) 0 3rE rE rE 2rE rD r1 r2
3 3 6 4 1 2 3 1 [10 FD ( ) 6 3( )]rE 0 3 3 4 6 FD 11(kN ) ( )
四、虚位移原理应用
一) 用虚位移原理求平衡位置的主动力
基本步骤： 1. 受力分析 画出全部可作虚功的主动力； 2. 虚位移分析 1) 变分法：建坐标系，列出虚位移点的坐标， 进行变分计算，建立虚位移之间的关系。 2) 几何法：根据虚位移的协调关系及虚位移的 投影关系，建立虚位移之间的关系。 3. 使用虚位移原理：
若求B点约束反力，虚位移图？
若求A点约束反力，虚位移图？
二) 用虚位移原理求平衡时的约束反力 虚位移原理是作用于质点系上所有主动力在任 何虚位移中所作虚功之和为零。 它与约束反力无关，似乎无法求约束反力。 若用该原理求约束反力，可沿所求约束反力方 向解除相应约束，并用一假想的主动力代替。 再用虚位移原理，求出该假想施加的“主动 力”，仍可得到对应的约束反力。
虚位移原理虚功原理
第十五章虚位移原理（静动法）§15-1 约束、虚位移、虚功一、约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方程称为约束方程。
1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。
2、定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定常约束。
3、其余分类约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形式的约束称非完整约束，否则为完整约束。
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束），约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束。
二、虚位移在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。
虚位移的表示方法：ϕδδ,x r 一般表示法线位移角位移三、虚功力在虚位移中作的功称虚功。
即：rF W δδ⋅=θδδsin x F W =()ϕδδF M W z =或四、理想约束如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。
∑∑=⋅==0i Ni Ni N r F W W δδδ§15-2 虚位移原理一质点系在力的作用下处于平衡状态某质点受力如图示，且：=+Ni i F F NiF iF 0=⋅+⋅=i Ni i i i r F r F W δδδ为该质点设定虚位移且i r δir δ∑∑=⋅+⋅0i Niiir Fr F δδ且=∴∑iWδ虚功方程虚位移原理所表达出的原理虚位移原理（虚功原理）：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。
()∑=++0i zi i yi ixiz F y F xF δδδ投影后的解析式为：例1：图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅直向上的力Ｆ，求：支座Ｂ的水平约束力。
lGEDGCBCDCEAC======解:解除B 端水平约束,以力代替,如图(b)Bx F 0=+=G B Bx F y F x F w δδδθδθδδθδθθcos 3,sin 2sin 3,cos 2l y l x l y l x G B G B =-===由虚位移原理得：各虚位移关系为：带入虚功方程得：()0cos 3sin 2=⋅+-θδθθδθl F l F Bx θcot F F Bx 23=如图在CG 间加一弹簧，刚度K ，且已有伸长量，仍求。
第十五章 虚位移原理
第十五章
虚位移原理
质点系可分为自由质点系和非质点系。如果质点系的各质点不受任何限制，可以在空 间自由运动， 它们的运动轨迹决定于质点系的外力和内力， 则这种质点系称为自由质点系。 例如，各星体组成的太阳系。如果质点系的各质点受到一定限制，在空间不能自由运动， 它们的位置或速度必须遵循一定的限制条件，则这种质点系称为非自由质点系。例如，用 刚杆连接的两质点，它们之间的距离保持不变。在工程实际中，经常遇到的是非自由质点 系。 静力学中，以静力学公理为基础，以矢量分析为特点，通过主动力与约束力的关系表 达了刚体的平衡条件，称为矢量静力学（Vectorial statics）或刚体静力学。刚体的平衡条 件对于任意非自由质点系来说，只是必要的，并非充分的。 本章讨论的虚位移原理（Principle of virtual displacement） ，是用数学分析的方法研究 任意非自由质点系的平衡问题，平衡条件表现为主动力在系统的虚位移上所做虚功的关 系。虚位移原理给出任意非自由质点系平衡的必要与充分条件，是解决质点系平衡问题的 普遍原理，可称为分析静力学（Analytical statics） 。 §15-1 约束及其分类
f j ( x1 , y1 , z1 ; "; xn , y n , z n ) = 0
§15-2 1．虚位移（Virtual displacement）
( j = 1, 2, ", s )
（15-3）
虚位移与自由度
由于约束的限制，非自由质点或质点系中的质点，其运动不可能完全自由。即约束限 制了质点某些方向的位移，但也容许质点沿另一些方向的位移。因此，我们定义： 质点或质点系在给定位置（或瞬时） ，为约束所容许的任何无限小位移，称为质点或 质点系在该位置的虚位移。质点的虚位移记为
虚位移原理
质点系可分为自由质点系和非质点系。如果质点系的各质点不受任何限制，可以在空 间自由运动， 它们的运动轨迹决定于质点系的外力和内力， 则这种质点系称为自由质点系。 例如，各星体组成的太阳系。如果质点系的各质点受到一定限制，在空间不能自由运动， 它们的位置或速度必须遵循一定的限制条件，则这种质点系称为非自由质点系。例如，用 刚杆连接的两质点，它们之间的距离保持不变。在工程实际中，经常遇到的是非自由质点 系。 静力学中，以静力学公理为基础，以矢量分析为特点，通过主动力与约束力的关系表 达了刚体的平衡条件，称为矢量静力学（Vectorial statics）或刚体静力学。刚体的平衡条 件对于任意非自由质点系来说，只是必要的，并非充分的。 本章讨论的虚位移原理（Principle of virtual displacement） ，是用数学分析的方法研究 任意非自由质点系的平衡问题，平衡条件表现为主动力在系统的虚位移上所做虚功的关 系。虚位移原理给出任意非自由质点系平衡的必要与充分条件，是解决质点系平衡问题的 普遍原理，可称为分析静力学（Analytical statics） 。 §15-1 约束及其分类
f j ( x1 , y1 , z1 ; "; xn , y n , z n ) = 0
§15-2 1．虚位移（Virtual displacement）
( j = 1, 2, ", s )
（15-3）
虚位移与自由度
由于约束的限制，非自由质点或质点系中的质点，其运动不可能完全自由。即约束限 制了质点某些方向的位移，但也容许质点沿另一些方向的位移。因此，我们定义： 质点或质点系在给定位置（或瞬时） ，为约束所容许的任何无限小位移，称为质点或 质点系在该位置的虚位移。质点的虚位移记为
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δre
θ δrr M θ B A
δrC
本章基本内容
§15－1 约束•虚位移•虚功
§15－2 虚位移原理
§15－1 约束•虚位移•虚功
一、约束及其分类 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。
将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。
例如： O
y
φ
x
ι
r
O M(x,y)
A(xA, yA)
ι
B(xB, yB) x
y
平面单摆约束方程
解：给虚位移
, s,
W
F
FN s 2Fl 0
与 s
满足如下关系：
s 2 h FN h WF 2Fl 2 0
因 是任意的 ，故
FN h 2 Fl 0 2
4 l FN F h
这里弹性力 FC=FG=kδ0 虚功方程：
y
B
FBx δ xB FC δ yC
δyG δyC θ
- FG δ yG F δ yG 0
同前例，求出δxB、 δyC 、δyG，代入虚功 方程，即可求出结果： (b)
D
F G FG
FC C
θ
E B
A
x FBx
3 FBx F cot k 0 cot 2
mi
Fi δri FNi
Fi δ ri FNi δ ri 0 Fi δ r i FNi δ r i 0
理想约束
Fi δ r i 0 或 δ WFi 0
FNi δ r i 0
目录
结论：
具有理想约束的质点系，平衡的充分必要条件是：作 用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和 等于零。即
三、虚功 力在虚位移中上所作的功称为虚功，记为 W 。
W F r W Xx Yy Zz
如右图 F的虚功为F• δrB，是负 功；M的虚功为M • δφ，是正功。 四、理想约束
O
y
A δr A
M
δφ
δrB B F x
如果在质点系的任何虚位移上，所有约束反力的虚功之 和等于零，则称这种约束为理想约束。 质点系受有理想约束的条件： WN WNi FN i ri 0
应用虚位移原理的条件是质点系有理想约束，但
也可以用于有摩擦的情况，只要把摩擦力当主动力， 在虚功方程中计入摩擦力的虚功。
理想约束的典型例子如下：
1、光滑支承面
δr
2、光滑铰链
FN δr
FŃ
FN
WN FN r 0
' WN FN r F r 0
N
3、刚体在粗糙面上的纯滚动
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分 符号 表示虚位移。如下两例中的δφ ，δrA，δrB都是虚位移。
y O
φ
x δφ δs
A δr A
M δφ
(+) O
δrB B F
x
y
M
虚位移与真正运动时发生的实位移不同。
实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，与约束有 关，与时间、主动力、运动的初始条件有关。实位移是实际发 生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的，与约束有关。 实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值； 虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念， 完全与时间无关。 在定常约束下，微小的实位移必然是 虚位移之一。虚位移视约束，可以有多个， 甚至无穷多个。 在非定常约束下，虚位移是将时间固定 后，约束所允许的虚位移，而实位移是不能 固定时间的。微小实位移不再是虚位移之一。 对于无限小的实位移，一般用微分符号表示， 例如dr，dx，dφ，…等。
D
C θ θ δx
B
E
B
x
FBx
例2 在上例的基础上，如果在C、G两点之 间连接一自重不计、刚度系数为k得弹簧，如 图(a)示。在图示位置弹簧已有伸长量δ0，其 它条件不变，仍求支座B; > > >
C
θ θ
E
解：将支座B 的水平约束解除，去掉弹簧， (a) 均代之以力，如图(b)。 A
例4 如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构 在图示位置平衡时，主动力偶矩M与主动力F之间的关系。 解：系统的所有约束都是理想约束。 1、几何法：使OA杆发生虚位移δθ ，则 点C有水平虚位移δrC ， 由δWF=0 ，有： δra M FrC 0 (a) 取滑块B为动点，动系固接在OA上，
FArA FBrB 0
而
rA sin rB cos
FA FB tan
(FA FB tan ) rA 0
A、B两点的虚位移在AB 连线上的投影相等
y
2、解析法
由虚位移原理，列虚功方程：
A yA
O
FA
FAyA FBxB 0
而
ι
A
δrA
FA P
ι
φ
O
FArA FBrB 0 rA rB FA FB 0 dt dt FAv A FB vB 0
由速度投影定理：
vA
δrB vB x FB B
FA FB tan
v A sin vB cos
也可用速度瞬心法求速度之间的关系。
例15-4 如图所示机构，不计各构件自重 与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动 力偶矩Ｍ与主动力Ｆ之间的关系。
( Fi FNi ) δ ri Ri δ ri 0
对质点系： ( Fi FNi ) δ r i 0
理想约束下， FNi δ r i 0
Fi δ r i 0
与前题条件矛盾
故 Fi δ r i 0 时质点系必处于平衡。
虚位移原理的应用
例1、如图(a)所示结构，各杆自重不计，在G点作用一铅直向上 的力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE= 。求支座B的水平约束力。 F 解：将支座B 的水平约束解除，代之以相应的 G 约束反力 FBx ，把此力当作主动力，如图(b)。 用解析法。建立如图所示坐标系。 则
D E
C A y θ δyG θ F G B
M(x,y)
x2 y 2 l 2
双侧约束
x2+y2 ≤ l2
单侧约束
式为
f j ( x1 , y1 ,z1; ;xn , yn ,zn )0
( j 1,2, ,s)
（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）
二、虚位移 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的 任意无限小的位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。
4）单侧约束和双侧约束 只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧 约束。在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动 限制的约束称为双侧约束。 O x 即，双侧约束的约束方 程为等式，单侧约束的约束 方程为不等式。 本章只讨论定常的双侧几 何约束，其约束方程的一般形 φ
刚杆
x
ι
O
φ ι
绳
y
M(x,y) y
Fi δ r i 0 或（ δ WFi 0 ）
解析式：
( Fxiδ xi Fyiδ yi Fziδ zi ) 0
上述结论称为虚位移原理，又称为虚功原理，上面各 式又称为虚功方程。
下面证明虚位移原理的必要性与充分性。
证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有
Fi δ r i 0
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它应用功的概念分析系统的平 衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。该原理叫做虚 位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此， 将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的 动力学普遍方程。为求解复杂动力学问题提供另一普遍方法， 是分析力学的基础。
1、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 4、求平衡构架内二力杆的内力。
例15-1 如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB上 作用一在水平面内的力偶( F , F )，其力偶 矩 M 2Fl ，螺杆的导程为 h 。 求：机构平衡时加在被压物体上的力。
φ
xB FB B x
x B l cos , y A l sin
xB l sin , y A l cos
( FA cos FB sin ι 0 )
故
FA FB tan
y
3、虚速度法
为求虚位移之间的关系， 可以用所谓的“虚速度法”。 由虚功方程
当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约 y 束条件称为运动约束。 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。 几何约束： 运动约束： v A
ω A
或
r 0 ( x A r 0)
yA r
r
C
vA x
2)定常约束和非定常约束 约束条件不随时间变化的约束称为定常约束;当约束条 件随时间变化时称为非定常约束。
xB 2cosθ，yG 3sinθ δ xB 2sin θ ， yG 3cosθ δ 虚功方程： FBx δ xB F δ yG 0
将δ
(a)
xB， yG 代入上式，得 δ
FBx (2sin θ ) F (3cosθ ) 0 (b) 3 A 解得 FBx F cot 2
WN ( FN F ) rC 0
θ δrr M θ B A
δrC
本章基本内容
§15－1 约束•虚位移•虚功
§15－2 虚位移原理
§15－1 约束•虚位移•虚功
一、约束及其分类 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。
将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。
例如： O
y
φ
x
ι
r
O M(x,y)
A(xA, yA)
ι
B(xB, yB) x
y
平面单摆约束方程
解：给虚位移
, s,
W
F
FN s 2Fl 0
与 s
满足如下关系：
s 2 h FN h WF 2Fl 2 0
因 是任意的 ，故
FN h 2 Fl 0 2
4 l FN F h
这里弹性力 FC=FG=kδ0 虚功方程：
y
B
FBx δ xB FC δ yC
δyG δyC θ
- FG δ yG F δ yG 0
同前例，求出δxB、 δyC 、δyG，代入虚功 方程，即可求出结果： (b)
D
F G FG
FC C
θ
E B
A
x FBx
3 FBx F cot k 0 cot 2
mi
Fi δri FNi
Fi δ ri FNi δ ri 0 Fi δ r i FNi δ r i 0
理想约束
Fi δ r i 0 或 δ WFi 0
FNi δ r i 0
目录
结论：
具有理想约束的质点系，平衡的充分必要条件是：作 用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和 等于零。即
三、虚功 力在虚位移中上所作的功称为虚功，记为 W 。
W F r W Xx Yy Zz
如右图 F的虚功为F• δrB，是负 功；M的虚功为M • δφ，是正功。 四、理想约束
O
y
A δr A
M
δφ
δrB B F x
如果在质点系的任何虚位移上，所有约束反力的虚功之 和等于零，则称这种约束为理想约束。 质点系受有理想约束的条件： WN WNi FN i ri 0
应用虚位移原理的条件是质点系有理想约束，但
也可以用于有摩擦的情况，只要把摩擦力当主动力， 在虚功方程中计入摩擦力的虚功。
理想约束的典型例子如下：
1、光滑支承面
δr
2、光滑铰链
FN δr
FŃ
FN
WN FN r 0
' WN FN r F r 0
N
3、刚体在粗糙面上的纯滚动
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分 符号 表示虚位移。如下两例中的δφ ，δrA，δrB都是虚位移。
y O
φ
x δφ δs
A δr A
M δφ
(+) O
δrB B F
x
y
M
虚位移与真正运动时发生的实位移不同。
实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，与约束有 关，与时间、主动力、运动的初始条件有关。实位移是实际发 生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的，与约束有关。 实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值； 虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念， 完全与时间无关。 在定常约束下，微小的实位移必然是 虚位移之一。虚位移视约束，可以有多个， 甚至无穷多个。 在非定常约束下，虚位移是将时间固定 后，约束所允许的虚位移，而实位移是不能 固定时间的。微小实位移不再是虚位移之一。 对于无限小的实位移，一般用微分符号表示， 例如dr，dx，dφ，…等。
D
C θ θ δx
B
E
B
x
FBx
例2 在上例的基础上，如果在C、G两点之 间连接一自重不计、刚度系数为k得弹簧，如 图(a)示。在图示位置弹簧已有伸长量δ0，其 它条件不变，仍求支座B; > > >
C
θ θ
E
解：将支座B 的水平约束解除，去掉弹簧， (a) 均代之以力，如图(b)。 A
例4 如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构 在图示位置平衡时，主动力偶矩M与主动力F之间的关系。 解：系统的所有约束都是理想约束。 1、几何法：使OA杆发生虚位移δθ ，则 点C有水平虚位移δrC ， 由δWF=0 ，有： δra M FrC 0 (a) 取滑块B为动点，动系固接在OA上，
FArA FBrB 0
而
rA sin rB cos
FA FB tan
(FA FB tan ) rA 0
A、B两点的虚位移在AB 连线上的投影相等
y
2、解析法
由虚位移原理，列虚功方程：
A yA
O
FA
FAyA FBxB 0
而
ι
A
δrA
FA P
ι
φ
O
FArA FBrB 0 rA rB FA FB 0 dt dt FAv A FB vB 0
由速度投影定理：
vA
δrB vB x FB B
FA FB tan
v A sin vB cos
也可用速度瞬心法求速度之间的关系。
例15-4 如图所示机构，不计各构件自重 与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动 力偶矩Ｍ与主动力Ｆ之间的关系。
( Fi FNi ) δ ri Ri δ ri 0
对质点系： ( Fi FNi ) δ r i 0
理想约束下， FNi δ r i 0
Fi δ r i 0
与前题条件矛盾
故 Fi δ r i 0 时质点系必处于平衡。
虚位移原理的应用
例1、如图(a)所示结构，各杆自重不计，在G点作用一铅直向上 的力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE= 。求支座B的水平约束力。 F 解：将支座B 的水平约束解除，代之以相应的 G 约束反力 FBx ，把此力当作主动力，如图(b)。 用解析法。建立如图所示坐标系。 则
D E
C A y θ δyG θ F G B
M(x,y)
x2 y 2 l 2
双侧约束
x2+y2 ≤ l2
单侧约束
式为
f j ( x1 , y1 ,z1; ;xn , yn ,zn )0
( j 1,2, ,s)
（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）
二、虚位移 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的 任意无限小的位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。
4）单侧约束和双侧约束 只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧 约束。在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动 限制的约束称为双侧约束。 O x 即，双侧约束的约束方 程为等式，单侧约束的约束 方程为不等式。 本章只讨论定常的双侧几 何约束，其约束方程的一般形 φ
刚杆
x
ι
O
φ ι
绳
y
M(x,y) y
Fi δ r i 0 或（ δ WFi 0 ）
解析式：
( Fxiδ xi Fyiδ yi Fziδ zi ) 0
上述结论称为虚位移原理，又称为虚功原理，上面各 式又称为虚功方程。
下面证明虚位移原理的必要性与充分性。
证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有
Fi δ r i 0
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它应用功的概念分析系统的平 衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。该原理叫做虚 位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此， 将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的 动力学普遍方程。为求解复杂动力学问题提供另一普遍方法， 是分析力学的基础。
1、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 4、求平衡构架内二力杆的内力。
例15-1 如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB上 作用一在水平面内的力偶( F , F )，其力偶 矩 M 2Fl ，螺杆的导程为 h 。 求：机构平衡时加在被压物体上的力。
φ
xB FB B x
x B l cos , y A l sin
xB l sin , y A l cos
( FA cos FB sin ι 0 )
故
FA FB tan
y
3、虚速度法
为求虚位移之间的关系， 可以用所谓的“虚速度法”。 由虚功方程
当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约 y 束条件称为运动约束。 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。 几何约束： 运动约束： v A
ω A
或
r 0 ( x A r 0)
yA r
r
C
vA x
2)定常约束和非定常约束 约束条件不随时间变化的约束称为定常约束;当约束条 件随时间变化时称为非定常约束。
xB 2cosθ，yG 3sinθ δ xB 2sin θ ， yG 3cosθ δ 虚功方程： FBx δ xB F δ yG 0
将δ
(a)
xB， yG 代入上式，得 δ
FBx (2sin θ ) F (3cosθ ) 0 (b) 3 A 解得 FBx F cot 2
WN ( FN F ) rC 0