二阶偏微分方程的可约性

科技信息　ｏ　ｍＴｉＪ￣稿０　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２００８年第３Ｏ期　二阶偏微分方程的可约性　程小静　Ｉ陕西理工学院数学系　陕西汉中７２３００１）　

【摘要】本文利用ＫＡＩＶＩ迭代法证明了该方程（１．１）是可约的。　【关键词】拟周期；解析；有界；稳定性　Ｒｅｄｕｅｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｅｃｏｎｄ　Ｏｒｄｅｒ　Ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＣＨＥＮＧ　Ｘｉａｏ－ｊｉｎｇ　ｆＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｓｈａｎｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｎｚｈｏｎｇ，７２３００１）　【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｂｙ　ＫＡＭ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ（１．１）ｉＳ　ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ．　【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］ｑｕａｓｉ—ｐｅｒｉｏｄｉｃ；ａｎａｌｙｔｉｃ；ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　

１．引言　对于偏微分方程，在多数情况下，难于研究它的各种性质，因而对　其进行定性研究，在力学及动力学中得到广泛的应用。本文研究了带　有拟周期系数的二阶偏微分方程：　ｆ　一‰＋ｃ（ｆ）　＿。。　ｆ１．１１　【

ｕ（ｆ，ｏ）＝“（￡，２仃）＝Ｏ　、　

其中ｃ（ｔ）＝ａ＋ｅｃ。（ｆ），０为常数，ｃ－（ｆ）是充分光滑的以∞为频率的拟周　期函数。假设频率　＝　，…　０满足Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ条件：　

Ｉ　￣ｏｔ＋ｋ　叶　ｒ　Ｏ）ｒ　Ｉ卉　其中Ｃ和ｒ＞ｙ＋ｌ是两常数．令　

ｕ：　ｇ　）中　）。　其中中　是　｛ｙ，　一　、　（１．１）　【　Ｏ）＝ｙ（２丌）：Ｏ　的对应Ａ　的特征函数。　本文旨在利用ＫＡＭ迭代法以直接的方法去寻求偏微分方程转化　为常微分方程，从而使原本复杂的问题变得简化。　预备知识　引理１【ｌ】对于特殊的ｓ—Ｌ问题Ｉ通常称为施拉姆一刘维尔边值问题　简称Ｓ－Ｌ问题）（１．１）　，其特征值Ａ　＝笔　＝Ｉ，２，…），对应的特征函数　∽＝Ｂ，ｓｉｎ—　ｎ　ｎ＝１，２，…），其中曰ｎ是无穷多个相互独立的任意常数。　引理２ｔ　对于边值问题（１．１），利用变换ｕ＝　），可将边值问题　（１．１）化成常微分方程的问题；　）＋【ｃ（￡）＋ＡＪｚ『（ｆ）＝Ｏ，ｔ∈Ｒ　其中Ｔｅ　＝　），　＝｛　（　ｏ））：　，Ｊ∈互＿ｌ　ｌ２：∑　ｆ　【，＝１　把ｆ１．２１化成如下的等价形式：　今Ａ＝一　叶　ｌ　１　叶入２　ｌ　・ｌ，Ｙ（ｔ）＝－ｃ—Ｏ）　叶　１　｝　＝　）：　ｇ　０）　ｇ２（　）　！　●　ｇ　）　；　其中Ａ和】，均是由无穷维对角分块阵组成，则（１．２）变为　＝　＋　ｙ（　）　（１．３）　易见系统（１．３）因　的不同而包含了无穷多个相互独立的方程，这　里以　＝孚（ｎ＝１，２，…）为例进行讨论，其它类似。　定理１　设紧集ｒ　ｃ　且ｍｅａｓＤ．ｏ＞０，ｃ　）是以　∈ｆ　为频率的　拟周的线性右界算子，且在带形区域６ｏ＞Ｏ内解析，则对足够小的常数　（　≥ｏ），了Ｑ，Ｑｃｎｏ且，　∞（　＝（　（１一Ｏ（　，而且对足够小的　常数ｓ’＝　１。＞Ｏ，使得对Ｖ　（０，　），系统（１．３）是可约的。即存在一拟　周期变换　＝尸　）　，使（１＿３）变为　＝ＢＶ　（１．４）　＇　其中Ｂ是常值矩阵Ｅｌｌａ—ＢＩＩ＝Ｏ＠）。　２．定理１的证明　定理１的证明是根据牛顿迭代的方法消去扰动项ｅＹ（ｔ）。在介绍　迭代引理前，先引进一些记号。　在下面的叙述中用Ｃ，Ｃ。，Ｃ２，…表示估计中出现的正数，用Ｑ表示　拟周期函数ｌ，（ｆ）的壳，Ｑ表示Ｑ在ｒ－环面上的平均。对于矩阵值函数Ｙ　），定义　ＩＩＹＩＩ。：＝ｓｕｐ　ＩＩＹ（ｔ）ｌｌ　∈Ｄ　用ｍ表示迭代的步骤，设　（１）ｓ　表示第１ｎ步迭代前扰动大小序列且　‘　伽　例如：ｐ＝ｌ／，。　（２）　表示第ｍ步后度量解析区域大小序　—　１＋…＋ｍ－￣）１２　Ｊ＝１　ｊ－＝（ｍ＞Ｉ１）。　（３）　ｍ＝　㈤＝｛　Ｅ（Ｃ／２￣ｒＺ）Ｓ：ｌｌｍＯＩ＜￣６　。　（４）Ｃ（ｍ）表示具有Ｃ　ｍ　形式的常数。　设ｎ　Ⅱ。）Ⅱ　Ｄ…　Ⅱ　是　中闭集，令Ⅱ　Ｃｎ一是由第三部分　得出的。设０　是Ⅱ　的ｑ　复邻域，１＝０，１，２，…，ｍ．假设经过ｍ一１步牛顿一　

迭代，得到一拟周期的线性微分方程：　

：　＋　，∞）　（２．１）　满足下面的条件：　

１）ｍ＇Ａ　ｌ＝Ａ＋　Ｑ１（　＋…＋∞　ｌＱ（　ｍ≥２，Ａ庐Ａ［ｓ　ｓ　】　～　～　（１＋÷　‘　

其中　）在０　内有界、解析且ｌｌ　ｌｌ≤１，／＝１　，ｍ一１。　：ｙ　）的壳Ｑ在区域Ｕｒｎ－　ｘＯｍ－。有界解析且｝ｆＱ　（ｐ　）ｌ１　。－＜１　

设Ａ　册．。＋ｓ　，　则（２．１）变为：　

：似　）　其中　）＝ｙ　一　。　据【１］欲寻求一序列变换：Ｘ＝（Ｅ＋　单）ｙ，Ｅ是单位阵，使（２．１）变　

为：　ｘ＝（Ａ　Ｏ　¨）　满足条件　）　和　２）　。。　引理２．１（迭代引理）假设满足条件　）　和　，则存在一拟周期　

的Ｌ—Ｐ变换　＝　＋ｓ　）　，其中　（ｆ）是以　为频率拟周期的线性　

有界的且壳Ｐ在区域ＵｍＸＯ￣内有界、解析，Ｎ／／￣（２．１）式为：　＝　，　。

ｌ，肼－　））　（２．２）　

其中』４　和ｙ　。满足条件　。）　和　－。　证明将（２．１）式改写成：　

＝　（ｆ）　（２．３）　其中Ｗ　）＝ｌ，　）一Ｑ　，Ａｍ＝Ａ　ｍ．　＋　，把Ｗ　写成傅氏级数的形式：　

：（　。　。审　，ｍ）ｅ　（２．４）　其中Ｏ　）是Ｑ二（　；　关于０的傅氏系数，设　＝（　／　）ｌｌｎ８　ｌ，其　中６　册．。—　，令　科技信息　Ｏ木刊重稿Ｏ　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２００８年第３０期　Ｑ　（　ｍ）＝。　０　，　Ｖ一　（２．５）　Ｑ：（悱　蠹　仃　（２．６）　故Ｑｍ（；ｔｏ）＝Ｑｍ　（　；　）＋Ｑ　（口　）　（２．７）　ＳＵ　ＩＩＱ￣２（Ｏ　）ｌ　Ｊ　≤ｃ（ｍ）ｓ　（２．８）　

事实上．１ｌ　；　≤．　

０　（ｋ；ｗ）ｌｌ　Ｉ“　

≤∑ｅ　。　：ｓ　∑ｅ　。　

＝Ｇ　）　然后利用变换：Ｘ：（Ｅ＋ｓ　Ｐｒｏ！ｔ））ｖ，　

其中Ｅ是　中的单位阵。将（２．３）式变为：　矿：　＋ｓ　）一・　旦　＋　一旦　）＋ｓ　。　。　（２．９）　

）Ｌ　其中ｓ　。Ｗ　：　：＋ｓ　：　毕　（２．１Ｏ）　

令（　卑）一ｔ　ｓ　卑　：卑））＝Ａ　（２－１１）　入　整理得卑　卑一＝　ｙａｍ＋ｗｏ　（２．１２）　

为解此方程考虑到：　ｍ．　卑一卑Ａ　（２＿１３）　

）Ｌ　其中Ｐ是　）的壳，　

）＝。　．　（　，　）ｅ“　（２．１４）　（ｖｑ￣－＜ｋ．（ｃＪ）Ｅ—Ａ　＋．Ｐｚ！ｋ）ａ，　：Ｏ　（　），ｏ＜　＜＾　（２．１５）　

因Ａ　是对角阵。故　（　）＝—广—　——一Ｏ　（２．１６）　：　Ｉ（　．　）　Ｉ　

当∞∈０　时，　

，ｗ）ｌｌ　≤　Ｉ（　．ｍ）　－ａ　［－Ｉｌｌ０ｍ　≤ｆｍ２Ｍ￣ｌｋｐ＋２／ｒ）ｅ一。　‘　≤　ｍ）　（２　Ｉ７）　最终结果需要用到引理３．３，则　Ｏ）＝　－ｔ，ｗ２ｔ　，∞　；∞）是（２．１２）的　

解．Ｉ￣Ｔ（２．１７），（２．１０），易见ｌｌＱ　ｌＩＩ　≤１，证毕。　定理１的证明　易见方程（２．１）当ｍ＝ｌ时，满足条件∞　，事实　上，对于适当的ｓ，　２）　总会成立。因此根据引理２．１存在一序列　变换　：（Ｅ＋ｅｍ　犁）　，　：１—２，　

使得　的壳）在　内有界、解析，ｌＩ卑ＩＩ　≤ｃ（ｍ）。　设Ｕ￣ｘＯ　×Ｄｍ则对于所有的ｐｍｍ＝１—２，）在区域Ｕ￣ｘＯ　上　都有定义，设　中　ｍ）…．。　＋ｓ　）…．。幢＋　）。　＋　，曼（　）　

ｃｐ（ｔ，　）…．。（胁　Ｐｍ（　）。　－　。（胁：　）。　旦　）　

注：ｌｉＥ＋ｓ　旦　ｌｌ　≤１＋ｓ仉ｃ㈤≤１＋２一。　）Ｌ　

设　：　（　）　，因为ｓ　ＩｔＱ　ｌｌ　≤ｓ，　＋ｏ，当ｍ—　，变换７１：中Ｏ）　，把　方程（１．３）变成　膏＝ＢＸ　（２．１８）　其中曰　∑　。再由引理３．２定理１证毕　３．有关估计　设Ⅱ　Ｏ≤Ｚ≤ｍ一１）是　的一紧子集序列，１２＝ＩＩｏＤⅡ　…ＤⅡ　－，　表示Ⅱ　的复ｑ　ｚ邻域（／＝０，…，ｍ一１，）。因为　

』４　（　）＝Ａ＋　ｌＱｌ（∞）＋・一＋　Ｑ　）　（３．１）　其中Ｑ　）是实的解析（对应区域　内实的角变量）Ｊ￣ｌｌＱｔ　）ｌｌ‘≤　１，设　。　Ｒ　＝（ｃｏ∈Ⅱ　１　ｌ（　，　）＋Ａ　一Ａ　Ｉ＜ｒ／ｍ　ｔｋＰ＋＝Ｍｄ　

Ⅱｍ＝Ｈ一”Ｕ　Ｒ　ｍ　其中朋ｍ＝Ｉ１ｎｓ　Ｉ／（６￣　是第ｉｎ步傅氏系数的序数。　引理３．１　Ｒ　的测度满足：　ｍｅａｓＲ￣，　≤ｃ（ｒ）　证明　因为Ｉ　）＋０忙）ｌ广　＜＜１，又因为当　时，　Ｒ　＝｛∞ＥⅡ　ｌｌ（　，∞）１＜ｒ／ｍ￣ｌｋ１＂＋２Ｍａ｝　结论自然成立。　当ｉ≠　时，因为　ｌｊ　＝一　ｉ２　ｌ　ｃ＂Ｍｍ，　

其中ｃ，＿（　１）ｃ否则，若ｆ孚一　ｆ＜ｃ　，可以证明Ｒ　＝　，因为　满足条件的∞不存在。所以ｃ　≥ｌＡ　－Ａ　Ｄ（　）ｌ￣＞ｍａｘ｛ｉｄ｝　根据引理３．４，有，　≤手　≥≤ｃ（ｒ）。　证毕。　引理３．２设Ｈ　＝ｆ３Ⅱ　，则ｍｅａｓＨ　＝（ｍ￣ｒｌｏ）（１－ｏ＠。　引理３．３对８＞０。ｖ＞Ｏ，下面的不等式成立：　∑　Ｉｋｌ　≤（　）　（１＋ｅ）　

引理３．４设ｆ是Ｒ中的一个区间Ｊｒ，为的闭集，假设　—Ｃ是ｋ　次连续可微的，设ｒｈ＝｛ｘ　Ｅ　ｒ：ｌｇ（ｘ）ｌ≤＾】，ｈ＞０如果对于某一常数ｄ＞０及任　上　一　∈下，贝４　Ｍｅａｓｒｈ＜￣ｃｈ　其中ｃ＝２（２＋３＋…＋ｋ＋ｄ－　）。　

４．结论　本文把迭代应用于动力系统，并利用ＫＡＭ迭代解决了偏微分方　程中带有拟周期系数的方程的可约化问题，并为研究偏微分方程的性　质提供了一种直接的方法。　

【参考文献】　［１］迟东璇，程小静，梁玉梅．带有拟周期系数的二阶线性波方程平衡点的稳定性　明．２００８，２９（２）１６０一ｔ６２．　［２］Ｄ．Ｎ　Ｕ－ｎｅｚ　ａｎｄ　Ｒ．Ｏｒｔｅｇａ，Ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔｓ　ａｎｄ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｈｉｌｌ’Ｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｚ．Ａｎｇｅｗ．Ｍａｔｈ．Ｐｈｙｓ［Ｊ１．５　１（２０００），８９０—９１　１．　［３］Ｒ．Ｏｒｔｅｇａ，Ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｈｉｌｌ’Ｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ＳＩＡＭ　Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．（５）２５（１９９４），１３９３—１４０１．　［４　３Ｔ同仁，李承治．常微分方程教程【Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００５，２５０—２５８．　

作者简介：程小静（１９８２一）女，硕士，讲师，主要从事动力系统等方面的研　※基金项目：陕西理工学院学校科研资助．编号：ＳＬＧＱＤＯ７２４。　［责任编辑：翟成梁］　１５