2020届黄浦区高三二模数学试卷(高清打印版)
2020年上海市浦东新区高三二模数学试卷(精校Word版含答案)
2020年上海市浦东新区高三二模数学试卷（精校Word 版含答案）2020.05考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，否则一律得零分．1．设全集}{U=0,12，，集合}{A=01，，则∁U A ． 2．96、100、95、108、115，则这组数据的中位数为 ． 3，则()=-11f．4．若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈、），则=+q p ．5．若两个球的表面积之比为4:1则这两个球的体积之比为 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 ．7．若二项式()421x+展开式的第4则()=++++∞→nn x x x x Λ32lim ．8．已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.9．从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人发言.假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果事件A 和事件B 的概率相等，则=m ．10．已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 ．11．如图，在ABC ∆中，AB 中点，P 为CD，若ABC ∆的面的最小值为 .12．已知数列{}{},n n ab 满足111a b ==，对任何正整数n则数列{}n c 的前2020项之和为 .二、选择题（ 本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线（ ）A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在 15 ①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④则正确结论的序号是（ ）A ．① ②B ．② ③ ④C ．① ③ ④D ．① ② ④CAP DBC 1A 1D 1 B 1E DFCBA16．设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径，那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ） A ．711949⋅ B ．7021949⋅ C ．702371949⋅⋅ D ．702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转ο120得到的．（1）求此几何体的体积； （2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2）在ABC ∆中，c b a 、、分别为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x b f x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.AE DC BFP在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是椭圆右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，、P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF 、l 、2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210(N )*+++-->∈i i i i a a a a i ，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：① 等差数列：Λ,,,,,54321；② （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有，求首项1a 的取值范围.高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C {}2 ．2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 100 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f1 ．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p 0 ．5.41:则这两个球的体积之比为 81: ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 相交 ． 7. 若二项式()421x +展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→n n x x x x Λ32lim 51．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是__12222=-y x __________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m 10 ．10. 已知函数()()2222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 {1} ．11. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 2 . 12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .【解】()112+2nn n n n n n a b a b a b +++=⇒+=，11122n n n n n n n a b a b a b -++=⇒+=，12333n n n n c +=⋅=-，2021202033S =-二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( B )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( C )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21； ④不等式xcos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581.则正确结论的序号是 ( D )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④ 16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( C )A ． 711949⋅B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转ο120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【解答】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形．…………（4分）所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ．………（7分）z（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C -．所以，()222--=,,FP ，()231--=,,.…………………（11分）设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则=αcos()()()()()()()()()222222231222223212-++-⋅-++--⨯-+⨯+-⨯-=426+=.…………（13分） 所以，异面直线FP 与CA 所成角为426+=αarccos.…………（14分） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角CB A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值． 【解答】（1）由已知cos sincosααββ=………… (2分)因而cos(+)=cos cos sin sin αβαβαβ-==…………（6分） （2）法一：（正弦定理）由已知，,cos 422C C C π===………….(7分) 34sinsin()sin()455B A C A π=+=+=+=…………(10分) 222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- …………(14分) 法二：（余弦定理）2222cos a c b bc A -=-，因而由已知得2428sin 88152cos =5sin 555b cb B b bc A bc c c C λλ-⨯-⇒==-=-=-=-法三：（余弦定理、正弦定理）cos cos()4B C π=-+=因而由余弦定理得：2222222cos cos cos 2cos b a c ac B a c B b C c a b ab C ⎧=+-⨯⇒=+=+⎨=+-⨯⎩同理2222222cos 4cos cos 522cos a b c bc A b c A a C c c a b ab C⎧=+-⨯⇒=+=+⎨=+-⨯⎩得7,5c a b =得221=2a c bc λ-=-法四：（射影定理）可得cos cos 102a c Bb C =+=+，4cos cos 5b c A a C c =+=下同解法二19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x b f x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围． 【解答】（1）法一：因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件②． …………（6分）法二：由条件②可知()[]12144,1242x f x x x x =-+≥⇔∈． 因为[]34,12∉，所以当12b =时不满足条件②．…………（6分）法三：由条件②可知()2x f x ≥在[]3,6上恒成立，所以2max144b x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭， 解得394b ≤，所以当12b =时不满足条件②．…………（6分） (注：如果证明了当12b =时满足条件①得2分)（2）法一：由条件①可知，()f x 在[]3,6上单调递增，则对任意1236x x ≤<≤时，有1212121212124()()44()0444x x x x b b bf x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+--+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即1240x x b +>⇔1214b x x >-恒成立，所以94b ≥-；…………（10分）由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式1442x b x x -+≥在[]3,6上恒成立，所以2max 139444b x x ⎛⎫≤-+= ⎪⎝⎭…………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）法二：由条件①可知，()44x bf x x-+在[]3,6上单调递增，所以当0b ≥时，满足条件；当0b <时，得3≤904b ⇔-≤<，所以94b ≥-…………（10分）由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，所以34436446b b ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，得394b ≤ …………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解答】（1）由12AF +AF2a =，从而a =椭圆方程为2212x y +=. ………… (4分) （2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. ………… (6分)设:1l x my -=，与椭圆方程联立可得22(2)210m y my ++-=，设,因此12222m y y m +=-+，12212y y m =-+. ………… (8分)由12120x x y y +=，可得22212122212(1)()11022m m m y y m y y m m +++++=--+=++， 解得2m =±210x y ±-=.………… (10分)（3） 设:l y kx b =+，由122k k k +=，可得1212211y y k x x +=--， 即1212211kx b kx bk x x +++=--. 化简可得1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x +-+-=--， 即12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符，因此122x x +=.………… (12分) 联立直线与椭圆方程，222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+> ①由1224221kb x x k +=-=+，可得，2212k b k +=-② ………… (14分) 将②代入①，2221421,2k k k >+>；再由11(2)2b k k=-+，可得，(,22)(22,)b ∈-∞-⋃+∞. ………… (16分)21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：Λ,,,,,54321； ② 等比数列：Λ1618141211,,,,--； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195n n a a +-=，求首项1a 的取值范围. 【解答】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；………… (2分)② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列. ………… (4分) （2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列； 若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)充分性：下面用数学归纳法证明：若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.（1）当1n =时，，112111a a a a a =>=， 213112a aa a a a =<=， 1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>>………… (8分) 321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立………… (9分)（2）若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,k k k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<， 212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立……… (10分)根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）()2111955n n n n a a a a +-=--， ()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----，………… (11分) ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----，………… (12分)[1]若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时522n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；………… (14分)[2]若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭；………… (16分)若522n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211953,52n n a a +⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2,2n a ∈-.若53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈.所以()(12,2a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()(2,2n a ∈-U ………… (18分)。
上海市黄埔区第二次高考模拟数学试卷参考答案
上海市黄埔区第二次高考模拟数学试卷&参考答案（完卷时间：120分钟满分：150分）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．函数22y x x-的定义域是．2．若关于,x y的方程组10420ax yx ay+-=⎧⎨+-=⎩，有无数多组解，则实数a=_________．3．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为．4．已知复数134iz=+，2iz t=+(其中i为虚数单位)，且12z z⋅是实数，则实数t 等于．5．若函数3 (0),()1 (0)xx a xf xa x-+<⎧=⎨+≥⎩(a>0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是．6．设变量,x y满足约束条件212x yx yy+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，，，则目标函数2z x y=-+的最小值为．7. 已知圆22:(4)(3)4C x y-+-=和两点(, 0), (, 0)(0)A mB m m->，若圆C上至少存在一点P，使得90APB∠=︒，则m的取值范围是．8. 已知向量π(cos(), 1)3aα=+，(1,4)b=，如果a∥b，那么πcos(2)3α-的值为．9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．10．若将函数()f x =π|sin()|(0)8x ωω->的图像向左平移π12个单位后，所得 图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 ．11．三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是 ．12．对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列．设1(01)b m m =<<，对任意正整数n 都有111)1(01) (n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤，，若数列{}n b是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是 ．(只要求填写满足条件的一个m 值即可)二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．下列函数中，周期为π，且在ππ[]42，上为减函数的是（ ）A ．y = sin(2x +π)2B ．y = cos(2x +π)2C ．y = sin(x +π)2D ．y = cos(x +π)214．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 （ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=22 （第14题图）32C ．430x y ±=D ．340x y ±=16．如图所示，2π3BAC ∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于点,D E ， AD 1=，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP x AD y AE =+(,)x y ∈R ，则x y +的取值范围是 （ ）A ．[1,423]+B ．[423,423]-+C ．[1,23]+D ．[23,23]-+三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，AB AC ⊥，D E F ,,分别是111,,A B CC BC 的中点． （1）求证：AE DF ⊥；（2）求AE 与平面DEF 所成角的大小及点A 到平面DEF 的距离．18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．（第16题图）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos b C a A c B 成等差数列．（1）求角A 的大小；（2）若a =6b c +=，求AB AC +的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如果一条信息有n 1,)n n >∈N （种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p ，则称H =12()()()n f p f p f p ++（其中()f x =log ,a x x -(0,1)x ∈）为该条信息的信息熵．已知11()22f =．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A 、中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP PO ⊥．（1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆M 于,D E 两点，且121k k =，求证：直线DE 恒过一个定点．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()0,()0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”． （1）试判断函数21()f x x =与122()f x x =是否是“L 函数”；（2）若函数()31(31)x x g x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 为“L 函数”，且(1)1f =，求证：对任意1(2,2)(*)N k k x k -∈∈，都有1()()f x f x->22x x-．xy参考答案与评分标准一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）1. [0 2]，； 2. 2； 3.1-； 4.34； 5.2[ 1)3，； 6. 4-；7. [3 7]，；8. 78；9.37； 10.32；11.4(0,]3； 12. 52-（或312-，或31-）．二、选择题：（每题5分）13.A 14.D 15. C 16. B三、解答题：（共76分）17．解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、1AA 为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知(0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(1,1,0)A D E F--，故(2,0,1),(1,0,2)AE DF=-=--，…………………4分由2(1)1(2)0AE DF⋅=-⨯-+⨯-=，可知AE DF⊥，即AE DF⊥．…………………6分（2）设(,,1)n x y=是平面DEF的一个法向量，又(1,0,2)(1,1,1)DF EF=--=-，，xy zO故由20,10,n DF x n EF x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得2,3,x y =-⎧⎨=⎩ 故(2,3,1)n =-． (9)分 设AE 与平面DEF 所成角为θ，则||5sin 14||||14n AE n AE θ⋅===⋅， (12)分所以AE 与平面DEF 所成角为 点A 到平面DEF 的距离为sin AE θ⋅= …………………14分18．解：（1）由cos ,cos ,cos b C a A c B 成等差数列，可得cos cos 2cos b C c B a A =+， …………………2分故sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A =+，所以sin()2sin cos B C A A =+， ………4分 又A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，故sin 2sin cos A A A =， 又由(0,π)A ∈，可知sin 0A ≠，故1cos 2A =，所以π3A =． …………………6分（另法：利用cos cos b C c B a =+求解） （2）在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 3b c bc π+-=， (8)分即2218b c bc +-=，故2()318b c bc +-=，又6b c +=，故6bc =，………………10分所以2222()2AB AC AB AC AB AC AB AC ==++⋅++22||||2||||cos AB AC AB AC A =++⋅ (12)分22c b bc =++2()30b c bc =+-=，故30AB AC =+ …………………14分19．解：（1）由11()22f =，可得111log 222a -=，解之得2a =. …………………2分由32种情形等可能，故1(1,2,,32)32k P k ==， ……………………4分所以21132(log )53232H =⨯-=， 答：“谁被选中”的信息熵为5． ……………………6分（2）n A 获得冠军的概率为111111111+)1(1)24222n n n ----++=--=(，……………8分 当1,2,k =,1n -时，2()2log 22k k k k k f p --=-=，又11()2n n n f p --=， 故111231124822n n n n H ----=+++++， ……………………11分1112211+248222n n n n n n H ----=++++， 以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-，故422n H =-，答：“谁获得冠军”的信息熵为422n -． ……………………14分20．解：（1）由 AP OP ⊥，可知1AP OP k k ⋅=-，又A 点坐标为(,0),a -故1122111+22a ⋅=---，可得1a =， (2)分 因为椭圆M 过P 点，故211+144b =，可得213b =， 所以椭圆M 的方程为22113y x +=． ……………………………4分 （2）AP 的方程为01110122y x -+=--+，即10x y -+=， 由于Q 是椭圆M 上的点，故可设(cos )Q θθ， (6)所以12APQS∆= (8)分)16πθ++当2()6k kθπ+=∈Z，即2()6k kπθπ=-∈Z时，APQS∆取最大值．故APQS∆14．……………………………10分法二：由图形可知，若APQS∆取得最大值，则椭圆在点Q处的切线l必平行于AP，且在直线AP的下方．…………………………6分设l方程为(0)y x t t=+<，代入椭圆M方程可得2246310x tx t++-=，由0∆=，可得t=，又0t<，故t= (8)分所以APQS∆的最大值1124==． (10)分（3）直线AD方程为1(1)y k x=+，代入2231x y+=，可得2222111(31)6310k x k x k+++-=，21213131A Dkx xk-⋅=+，又1Ax=-，故21211313Dkxk-=+，21112211132(1)1313Dk ky kk k-=+=++， (12)分同理可得22221313Ekxk-=+，222213Ekyk=+，又121k k=且12k k≠，可得211kk=且11k≠±，所以212133Ekxk-=+，12123Ekyk=+，112211122211122112231323133(1)313E DDEE Dk ky y k k kkx x k k kk k--++===---+-++，直线DE的方程为21112222213()k k ky x--=-， (14)令0y =，可得22112211133(1)21313k k x k k -+=-=-++． 故直线DE 过定点(2,0)-． ………………16分（法二）若DE 垂直于y 轴，则,E D E D x x y y =-=，此时221222111133D E D D D E D D y y y y k k x x x y =⋅===++-与题设矛盾． 若DE 不垂直于y 轴，可设DE 的方程为+x ty s =，将其代入2231x y +=，可得222(3)210t y tsy s +++-=，可得22221,33D E D E ts s y y y y t t --+=⋅=++，………12分 又12111(1)(1)D E D ED E D E y y y y k k x x ty s ty s =⋅==++++++， 可得22(1)(1)()(1)0D E D E t y y t s y y s -+++++=， ………………14分故2222212(1)(1)(1)033s tst t s s t t ---++++=++，可得2s =-或1-，又DE 不过A 点，即1s ≠-，故2s =-．所以DE 的方程为2x ty =-，故直线DE 过定点(2,0)-． ………………16分21．解：（1）对于函数21()f x x =，当0,0t s >>时，2211()0,()0f t t f s s =>=>， 又222111()()()()20f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以111()()()f s f t f s t +<+， 故21()f x x =是“L 函数”. ………………2分对于函数2()f x =1t s ==时，222()()2()f t f s f t s +=>=+，故2()f x =不是“L 函数”. ………………4分（2）当0,0t s >>时，由()31(31)x x g x a -=-+-是“L 函数”，可知()31(31)0t t g t a -=-+->，即(31)(3)0t t a -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤． ………………6分由()()()g t g s g t s +<+，可得+3331(3331)0s t s t s t s t a ------++--+>， 故(31)(31)(3)0+s t s t a +-->，又(31)(31)0t s -->，故30+s t a +>， 由30+s t a +>对一切正数,s t 恒成立，可得10a +≥，即1a ≥-． ………………9分综上可知，a 的取值范围是[11] -，． ………………………10分（3）由函数()f x 为“L 函数”， 可知对于任意正数,s t ， 都有()0,()0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+， 令s t =，可知(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >， ………………………12分 故对于正整数k 与正数s ，都有112(2)(2)(2)(2)2()k k k k k k f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅>， ………………………………14分(1)1f =，16分18分。
上海市2020届高三模拟考试2数学试题 Word版含解析
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|1,A x y x x R ==-∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可． 【详解】解：由A 中1y x =-10x -，解得：1x ，即{|1}Ax x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.若函数()1f x x =，()1g x x x -，则()()f x g x +=__________． 【答案】11x +-(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果. 【详解】()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan 2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：α是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴==-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题． 4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】 由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >,∴9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线2sec (2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec 2tan xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ），可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______. 【答案】34【解析】 【分析】 化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t . 【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++,∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+,∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ，记2i iM AB AP =⋅（1,2,,10i =），则1210M M M +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ， 直线33B C 的方程为3(6)y x =--， 可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=， 即有233i i i i M AB AP x =⋅=+ 3(3)18i i x y =+=，则12101810180M M M++⋯+=⨯=．故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa xf x a ax x x⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x≤的解集为(],3,-∞则实数a的取值范围为___________.【答案】(]1,3【解析】【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a>，且1a≠，设函数21()21xa xf xx x x⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x的解集是(-∞，3]，当1x时，2|2|3x x-，可得2323x x--，解得13x ；当1x<，即(,1)x∈-∞时，3xa，不等式恒成立可得13a<．综上可得13a<．∴实数a的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.已知*n N∈，从集合{}1,2,3,,n中选出k（k∈N,2k≥）个数12,,,kj j j，使之同时满足下面两个条件：①121kj j j n≤<<≤；②1i ij j m+-≥（1,2,,1i k=-），则称数组()12,,k j j j 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m的组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=，故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题． 二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =．故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题． 15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x ，||1y ，可得||2z ，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x ，||1y ，则||2z ，故充分性不成立；由||1z ，则221x y+，所以||1x ，||1y ，即必要性成立．所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( )A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-,即有()()()2121f x f x x x αα--<<-, 令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+,则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos126AB AC AB AC π⋅==，可得83AB AC =ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin )B B B B B =+ 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12= 又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==，∴83AB AC =∴111sin 2622ABC S AB AC π∆==⨯=考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价． 【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，221201216h =-=cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2， 故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值．【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤，所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线30x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由. 【答案】（1）2a =22（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x 3得到x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-，于是C D 0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=>⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y（2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB 121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =- 于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++.【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列； （2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论． 【详解】（1）证明：112n n n S a a +=，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=， 又11a =，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n nb b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k nb b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>， 2211(1)2c m c c -∴==-，232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯，3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m ---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅ 1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
上海市黄浦区2020届高三二模数学卷(含答案)
yxO PA BC Q 上海市黄浦区2020届高三二模数学卷2020年5月一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．若集合{1,2,3,4,5}A =，2{|60}B x x x =−−<，则A B ∩=.2．函数22cos 2y x =+的最小正周期为．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选户.4．若直线1:350l ax y +−=与2:210l x y +−=互相垂直，则实数a的值为.5．如果sin 3α=−，α为第三象限角，则3πsin()2α+=.6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为.7．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为.8．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[2,0]−，则(1)f −=.9．当,x y 满足270101x y x y x +−−−，， 时，|2|x y a − 恒成立，则实数a 的取值范围是.10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为．11．已知a R ∈，函数22(0)()1(0)a x f x xx x+> = +≤ ，若存在不相等的实数123,,x x x ，使得11()f x x =22()f x x =33()2f x x =−，则a 的取值范围是．12．点A 是曲线y =(2)y ≤上的任意一点，(0,2)P −,(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ．则下列结论：（1）||||AP AQ −为定值；（2）||QB ||BC +为定值5；（3）||||||PA ABBC ++为定值5+.其中正确结论的序号是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．“函数()()f x x R ∈存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（）..A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件14．设12,z z 是复数,则下列命题中的假命题是（）..A 若12||0z z −=,则12z z =.B 若12z z =,则12z z =.C 若||||21z z =,则2112··z z z z =.D 若12||||z z =,则2122z z =15.已知e f ,是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅= ，21n f a n ⋅=+ ，n b 是向量f 与n a夹角的正切值，则数列{}n b 是（）..A 单调递增数列且1lim 2n n b →∞=.B 单调递减数列且1lim 2n n b →∞=.C 单调递增数列且lim 2n n b →∞=.D 单调递减数列且lim 2n n b →∞=16．如图，直线l ⊥平面α,垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，, A D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC l ⊥，则下列判断：①点O 到棱BC 中点E1+；②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为（）..A ①②都正确.B ①②都错误.C ①正确，②错误.D ①错误，②正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱椎P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，90,BAC ∠=D E F 、、分别是棱AB BC CP 、、的中点，1AB BC ==,2PA =．（1）求异面直线PB 与DF 所成的角；（2）求点P 到平面DEF 的距离．图①图②18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设1122(,),(,)A x y B x y 是函数21log 21xy x =+−的图像上任意两点，点00(,)M x y 满足OM = 1()2OA OB + ．（1）若012x =，求证：0y 为定值；（2）若212x x =，且01y >，求1x 的取值范围，并比较1y 与2y 的大小．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园.如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点,E F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上．（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域1111A B C D 为花卉展览区．如图②所示，矩形1111A B C D 的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点11,A B 分别在,OE OF 上，点11,C D 在扇形的弧上.某同学猜想：当矩形1111A B C D 面积最大时，两矩形1111A B C D 与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展览区1111A B C D 面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知点,A B 分别是椭圆2222 :1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 且点A 是圆:Γ222((0)x y r r +=>的圆心．动直线:l y kx =与椭圆交于,P Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，()OS OP R λλ+=∈，且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于,G H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =，求r 的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若数列{}n a 与函数()f x 满足：①{}n a 的任意两项均不相等，且()f x 的定义域为R ；②数列{}n a 的前n 的项的和()n n S f a =对任意的*n N ∈都成立，则称{}n a 与()f x 具有“共生关系”.（1）若*2()n n a n N =∈,试写出一个与数列{}n a 具有“共生关系”的函数()f x 的解析式；（2）若()f x ax b =+与数列{}n a 具有“共生关系”，求实数对(,)a b 所构成的集合,并写出n a 关于,,a b n 的表达式；（3）若2()f x x cx h =++,求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有‘共生关系’”的充要条件是“点(,)c h 在射线11()216xy =≤上”.参考答案与评分标准一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）1.{1,2}；2.π；3.56；4.6−；5.13；6.；7.221520x y −=；3；9.[4+)∞，；10.2735；11.(,4)−∞−；12.①②.二、选择题：（每题5分）13.B ；14.D ；15.A ；16.C.三、解答题：（共76分）17．（1）如图，分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0)(0,1,0)(0,0,2)A B C P ,,，11(,0,0),(0,,1)22D F ,故11(1,0,2),(,,1),22BP DF =−=− ……2分所以cos ,BP DF <>= …………4分可得,6BP DF <>= ，故异面直线PB 与DF所成的角为.…………6分（另法:先证明,DF EF DE EF ⊥，然后在直角DEF △中，可求得所成角为5arctan5）.（2）同（1）建立空间直角坐标系，则111(0,,0),(,,1),222DE DF − ………7分设(,,1)n x y = 是平面DEF 的一个法向量，则00n DE n DF ⋅= ⋅=，，可得102111022y x y= −++= ，，解得20x y = = ，，所以(2,0,1)n = ，………11分又1(0,,1)2PF =−，P 到平面DEF 的距离5||5||PF n d n ⋅==．.…………14分18．（1）由1()2OM OA OB =+ ，可知01211()22x x x =+=，即121x x +=，…………2分1212012222121211111()(log log )(1log 2221212(1)(1)+x x x x y y y x x x x =+=+++=−−−−，故12022111(1log 22+x x y x x =为定值.…………………6分（2）由122x x =，01y >，可得1122112log log 1112x x x x +>−−，…………………7分它等价于1111121111110,2120,0,122333102222112x x x x x x x x x x x << >⇔<<⇔−+ << −+< ⋅>−− 解得1x的取值范围是1)2.…………………11分此时由111111120112(1)(12)x x x x x x x −−=<−−−−，可知111120112x x x x <<−−，故112211112log log 21212+x x x x <+−−，即12y y <.…………………14分19．（1）设2 EOF θ∠=，则BFO θ∠=，在直角OBF △中，，124,402BO AB OF BC ====，3sin 5OB OF θ==，3arcsin 5θ=，…………………3分可得扇形的面积21133402arcsin 1600arcsin 1030255S =⋅⋅=≈平方米，所以扇形花园的面积约为1030平方米.………………6分（2）在图2中，连1OC ，设11(0)FOC OC r ααθ∠=<<=,，则在11OB C △中，由111sin sin B C OC αθ=，可得11sin sin r B C αθ=，又112sin()C D r θα=−，34sin cos 55θθ==，所以矩形1111A B C D 的面积21111sin 2sin()sin r S B C C D r αθαθ=⋅=⋅−…………………9分22210sin (sin cos cos sin )(6sin cos 8sin )33r r αθαθαααα−=−216004(3sin 24cos 24)arcsin )4]335r ααα+−=+−，当且仅当4π2arcsin 52α+=，即1π4(arcsin )2252θα=−=时，2S 取最大值，2S 的最大值为16003，所以花卉展览区1111A B C D 面积的最大值为16003平方米.………12分当1111A B C D 的面积最大时，2θα=，此时11112sin()64862sin ,sin 5405sin C D r CD r B C BC θαθαθ−===== ，从而两矩形长和宽之比相等，所以两矩形的形状相同，即该同学的猜想是正确的.…………………14分20.解：（1）由题意知，a =6,3=可得1b =，…………………3分故椭圆方程为2212x y +=.…………………4分（2）设π,sin )([0,2P ααα∈，则cos ,sin )S αλα，………………6分代入直线AB1y =，可得(cos sin )1λαα+=，故1cos sin λαα==+，故当且仅当α取π4时，λ取最小值.………8分此时点P 的坐标为22，直线l的方程为0x =，故63r =.…………10分（3）由||||QG PH =，可得||||PQ GH =，将y kx =代入椭圆C 的方程，可得22(12)2k x +=，即x =||PQ =又A 到直线l ，故||GH =，，…………………13分可得22222222222(1)422(1)+2112112k k k k r k k k k +++==+−++++，令2222112[1,2)11k z k k +==−∈++，则212(2[23)r z z=+−∈,，故r 的取值范围是.…………………16分21.解：（1）由2nn a =，可知12(12)222212n n n n S a +−==−=−−，所以与数列{}n a 具有“共生关系”函数()f x 的解析式可以是()22f x x =−.……4分（2）由题意得n n S aa b =+，令1n =，可得11a aa b =+，即1(1)a a b −=，①若10a b =≠,，此式不成立，不合题意；若10a b ==,，由22S a =，可得10a =，又33S a =，可得20a =，与{}n a 任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意.………5分②若1a ≠，可得11b a a=−，若0b =，则由111a S aa ==与1222a a S aa +==，可得120a a ==，不合题意.若0b ≠，0a =，则n S b =，当2n ≥时，0n a =，不合题意.…………6分若0b ≠，0,1a ≠，则n S b =，由n n S aa b =+，+1+1n n S aa b =+，可得1+1+1n n n n n a S S aa aa +−−，即11n n a a a a +=−，此时数列{}n a 是首项为1b a−，公比为1a a −的等比数列，又{}n a 的任意两项均不相等，故11a a ≠±−，可知12a ≠，……8分所以实数对(,)ab 所构成的集合为1{(,)|0,1,,2a b a ≠且0,R}b a b ≠∈其中,，且11(11(1)n n n n b a baa a a a −−=⋅=−−−.……10分（3）(必要性)法一:若{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列,且它与()f x 具有“共生关系”,则由2n n n S a ca h =++，2+1+1+1n n n S a ca h =++，可知221+1+1+1+11()()()n n n n n n n n n n n a S S a a c a a a a a a c ++=−=−+−=−++，……11分故11[2(21)]a nd d a n d c +=+−+，即2112(2)a nd d n da d cd +=+−+恒成立，故2112,2d d ada d cd = =−+ ，解得12c d ==，……13分又由211112n a S a a h ==++，可得21102n a a h −+>，由1404h ∆=−≥，可知116h ≤.所以点(,)c h 在射线11()216x y =≤上.……14分法二：若{}n a 是等差数列，且它与()f x 具有“共生关系”,设(0)n a dn m d =+≠，则由2n n n S a ca h =++,可知2(1)()()2n n dmn dn m c dn m h ++=++++，……11分所以2222((2)()22d dn m n d n md cd n m cm h ++=+++++恒成立，故2212220d d d m md cd m cm h =+=+=++，，，可得211,022c d m m h ==++=且有实根，……13分即1404h ∆=−≥，可知116h ≤.所以点(,)c h 在射线11()216x y =≤上.……14分(充分性)若点(,)c h 在射线11()216x y =≤上，则11,216c h =≤，又方程211112a a a h =++等价于211102a a h −+=，1404h ∆=−≥，且1a =1a =，它显然是正数且满足1(1)S f =，……16分令+112n n a a −=,则22+1+111(1)()()()22n n n n f n f n a a a a +−=+−++1+1+1+111()(+)(2)22n n n n n n a a a a a a =−+==，故当2n ≥时，12(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]n n S a aa f f f f f f n f n =+++=+−+−++−− ()f n =，这里的无穷数列{}n a ，公差为12的无穷等差数列，其每一项都是正数.所以存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有“共生关系”..……18分另法：直接证明首项为1+1164、公差为12的等差数列满足条件②，即可.。
2020届上海市黄浦区高三二模(阶段性调研)数学试题(解析版)
【解析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数，再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数，再求概率.
【详解】
从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有 种不同的选法.
选出的4人中至少有2人来自同一小组分为下列情况：
(1)恰好有2人来自同一小组,有 种
（2）4个人来自2个不同的小组（每个小组2个人）有
点 到棱 中点 的距离，即以 为直径的球面上的点到棱 中点 的距离.
所以点 到棱 中点 的距离的最大值为点 到球心的距离再加上球的半径.
设 的中点为 ，则 为以 为直径的球的球心，半径为
所以
所以点 到棱 中点 的距离的最大值为 ，故正确①.
由直线 平面 ，且 ，则 平面 .
在正四面体 中， ,又 ，所以 平面
则 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得
所以
所以
所以数列 是单调递增数列，又 .
故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积的坐标表示和运算和数列极限，关键是根据直条件将所求问题坐标化，属于中档题.
4．如图，直线 平面 ，垂足为 ，正四面体 的棱长为2， ， 分别是直线 和平面 上的动点，且 ，则下列判断：①点 到棱 中点 的距离的最大值为 ；②正四面体 在平面 上的射影面积的最大值为 ．其中正确的说法是（ ）．
【答案】(1) 平方米(2)花卉展览区 面积的最大值为 平方米，该同学的猜想是正确的.
【解析】(1)设 ，则 ,在 ，求出 角，利用扇形的面积公式可求出扇形的面积.
(2)在图②中，连 ，设 ,在 中求出 ，又 ，所以矩形 的面积 化简可得 ，从而可得出答案.
【详解】
(1)设 ，则 ，
在直角三角形 中， , .
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.2．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<„，则()R A B U ð=（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x x 剟C ．{|10}x x -<„D ．{|1}x x -… 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð【详解】 {|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.3．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】 由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．4．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-【答案】D【解析】【分析】 根据逆运算，倒推回求x 的值，根据x 的范围取舍即可得选项.【详解】因为2y =,所以当()12+12x =，解得3>0x = ，所以3是输入的x 的值；当122x --=时，解得20x =-<，所以2-是输入的x 的值，所以输入的x 的值为2- 或3，故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.5．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B．32 C ．1 D ．0【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，平移目标直线即可求解.【详解】解：作出可行域： 由2z x y =+得，1122y x z =-+ 由图形知，1122y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大 10y x x y =⎧⎨+-=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，max 1232222z =+⨯= 故选：B【点睛】考查线性规划，是基础题.6．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】【分析】 求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围.【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--，当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+，作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， ()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,033a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由()1243i z i +=+，得43i 2i 12i z +==-+，所以2z i =+． 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．40 【答案】B【解析】【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可.【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B.【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.10．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =U （ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞ 【答案】C【解析】 ∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1B1 C．12 D．12【答案】B【解析】【分析】 设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PAm PF ==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==， Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．12．已知集合{}{}22(,)4,(,)2x A x y x y B x y y =+===，则A B I 元素个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】y 的图象上的点，作出两由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数2x集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共I元素个数为2，元素，所以A B故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黄浦区2020届高三数学二模考试阶段性调研试题含解析
由 、 分别是棱 、 的中点。 所以 ，且
所以 (或其补角）为异面直线 与 所成的角.
由 平面 ，则 ,又 ，即 .
又 ,所以 平面 ,
由 、 分别是棱 、 的中点. 所以 ，且
所以 平面 ，则 ，即 。
所以在直角三角形 中， .
所以异面直线 与 所成的角为 ；
（2）由 是棱 的中点,所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离。
二、选择题(本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13.“函数 存在反函数"是“函数 在 上为增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
设点 到平面 的距离为 。
由(1)可知 为直角三角形，则 。
.
由 是棱 的中点，所以点 到面的距离为
由 ,所以
所以
所以点 到平面 的距离为 ．
【点睛】本题考查求异面，本题也可以建立空间直角坐标系，用向量的方法求解，属于基础题.
18。设 , 是函数 的图像上任意两点,点 满足 ．
【详解】曲线 ，即双曲线 的一部分。
所以 ， 为双曲线 的焦点。
抛物线 的准线方程为： ，焦点为
由点 在双曲线 上,根据双曲线 定义有： ，所以（1）正确.
过点 作 垂直于抛物线 准线 于点 ,则 。
所以 ，所以(2)正确.
由双曲线的定义有 ，
所以 。
所以（3）不正确.
故答案为：(1)（2）。
【点睛】本题考查抛物线的定义和双曲线的定义的应用，属于中档题.
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36 B ．72C ．36-D ．36±【答案】A 【解析】 【分析】根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以4264a a a =±⋅=±，又2420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 2．执行程序框图，则输出的数值为（ ）A ．12B ．29C ．70D ．169【答案】C 【解析】 【分析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，2012a -==，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，输出70b =. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.3．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102xg x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点， 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算.4．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.5．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 2【答案】C 【解析】 【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可. 【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1＝36； 方案二坐车可能：312、321，所以，P 1＝26；所以P 1+P 2＝56故选C. 【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题. 6．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE 'V ，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立【答案】A 【解析】 【分析】作出二面角α的补角、线面角β、线线角γ的补角，由此判断出两个命题的正确性. 【详解】①如图所示，过'A 作'AO ⊥平面BCDE ，垂足为O ，连接OE ，作OM BE ⊥，连接'A M .由图可知'A MO πα∠=-，''A EO A MO βπα∠=≤∠=-，所以αβπ+≤，所以①正确.②由于//BC DE ，所以'A E 与BC 所成角''A ED A MO γππα=-∠≤∠=-，所以αγπ+≤，所以②正确.综上所述，①②都正确. 故选：A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.8．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ⋃=C ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤， 则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故U 3(,1),2A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ð，由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =∅I ，31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U (2,)A B ⋂=+∞ð，3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选:D 【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.9．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想. 10．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x-≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题. 12．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125ai i a a iai z i i i ++-+++===--+， 又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市黄浦区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像. 【详解】设2()(1)ln 1g x f x x x -=-=-+，由于120112ln 22g -⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3eg g --==--，所以()g e >()2e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确. 故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.2．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】 【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．4．已知向量(a =r ，b r是单位向量，若a b -=r r ，则,a b =r r （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】 【分析】设(,)b x y =r，根据题意求出,x y 的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【详解】设(,)b x y =r ，∴(1)a b x y -=-r r， Q b r是单位向量，∴221x y +=,Q a b -=r r，∴22(1))3x y -+=，联立方程解得：1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,0,x y =⎧⎨=⎩当1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，13122cos ,212a b -+<>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 当1,0,x y =⎧⎨=⎩时，11cos ,212a b <>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 综上所述：,3a b π<>=r r .故选：C. 【点睛】本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意b r的两种情况.5．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】B 【解析】【分析】判断直线0bx ay c ++=与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【详解】由0a b c ++=，a b c >>，所以可得0,0a c ><.1112,22222c c c ca b a a c b c a c c a a a a>⇒>--⇒>->⇒-->⇒<-∴-<<-⇒<-<， 所以由0b cbx ay c y x a a++=⇒=--，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.6．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B 【解析】 【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =； 当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6， 故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 7．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1=4π,x 2=π, |x 1-x 2|=π,|y 1-y 2|=|πsinx 1-πcosx 2|=22π+22π =2π, ∴|MN|==π.故选C.8．设函数22sin ()1x x f x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解. 【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.9．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =-的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案. 【详解】 解：1sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数. 10．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23， 故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.11．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1- B ．0C ．1D．22+ 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值. 【详解】函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即|cos |y x =直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为sin y x '=， 故444cos sin 2x k x x -==+，所以()()()()4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题. 12．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“函数存在反函数”是“函数在R上为增函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.设，是复数，则下列命题中的假命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量夹角的正切值，则数列是A. 单调递增数列且B. 单调递减数列且C. 单调递增数列且D. 单调递减数列且4.如图，直线平面，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，A，D分别是直线l和平面上的动点，且，则下列判断：点O到棱BC中点E的距离的最大值为；正四面体ABCD在平面上的射影面积的最大值为．其中正确的说法是A. 都正确B. 都错误C. 正确，错误D. 错误，正确二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若集合2，3，4，，，则______．6.函数的最小正周期为______．7.某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选______户．8.若直线：与：互相垂直，则实数a的值为______．9.如果，为第三象限角，则______．10.若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为______．11.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：，该双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程______．12.已知函数的定义域和值域都是，则______．13.当x，y满足时，恒成立，则实数a的取值范围是______．14.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为______．15.已知，函数，若存在不相等的实数，，，使得，则a的取值范围是______．16.点A是曲线上的任意一点，，，射线QA交曲线于B点，BC垂直于直线，垂足为点C，则下列结论：为定值；为定值5；为定值．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，在三棱椎中，平面ABC，，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，，．求异面直线PB与DF所成的角；求点P到平面DEF的距离．18.设是函数，的图象上任意两点，点满足若，求证：为定值；若，且，求的取值范围，并比较与的大小．19.某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图所示，矩形ABCD的AB边与BC边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O为AB中点，扇形的圆弧端点E，F分别在AD与BC上，圆弧的中点G在CD上．求扇形花园的面积精确到1平方米；若在扇形花园内开辟出一个矩形区域为花卉展览区，如图所示，矩形的四条边与矩形ABCD的对应边平行，点，分别在OE，OF上，点，在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形面积最大时，两矩形与ABCD的形状恰好相同即长与宽之比相同，试求花卉展区面积的最大值，并判断上述猜想是否正确请说明理由20.已知点A，B分别是椭圆C：的右顶点与上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为，且点A是圆r：的圆心，动直线l：与椭圆交于两点．求椭圆C的方程；若点S在线段AB上，且当取最小值时直线l与圆相切，求r的值；若直线l与圆分别交于G，H两点，点G在线段PQ上，且，求r的取值范围．21.若数列与函数满足：的任意两项均不相等，且的定义域为R；数列的前n项的和，对任意的都成立，则称与具有“共生关系”．若试写出一个与数列具有“共生关系”的函数的解析式；若与数列具有“共生关系”，求实数对所构成的集合，并写出关于a，b，n的表达式：若，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：“函数在R上为增函数”“函数存在反函数”；反之取，则函数存在反函数，但是在R上为减函数．故选B函数存在反函数，至少还有可能函数在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．2.答案：D解析：解：对，若，则，，所以为真；对若，则和互为共轭复数，所以为真；对设，，若，则，，所以为真；对若，，则为真，而，所以为假．故选：D．题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．3.答案：D解析：解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则，，设，，，，，，，，，为向量夹角，，，为减函数，随着n的增大而减小．．故选：D．分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则，，设，进而可求出，结合函数的单调性即可判断．本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.答案：C解析：解：由题意，直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到DC的距离，因此：最大距离为BC到球心的距离即BC与AD的公垂线半径，如图：，点O到棱BC中点E的距离的最大值为：；所以正确；当A与O重合时，正四面体ABCD在平面上的射影为：对角线长为2的正方形，射影面的面积为2，所以不正确；故选：C．直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，因此O到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到SC的距离，故最大距离为BC到球心的距离，求解判断；求出特殊点A与O重合时，射影面的面积判断即可．本题考查空间几何体的点、线、面的距离，射影面的面积的求法，命题的真假的判断，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．5.答案：解析：解：由题知集合，再由交集定义可得，故答案为：．由题直接求出集合B，再利用交集的定义求得结果．本题主要考查的是交集的运算，注意端点和点集，是道基础题．6.答案：解析：解：由已知得，所以．故答案为：．先将函数降幂化简，然后套公式求周期．本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法．属于基础题．7.答案：56解析：解：由题知共有户家庭，设应选中等收入家庭为x户，由分层抽样的定义知，解得故答案为：56由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果．本题主要考查的是分层抽样，是道基础题．8.答案：解析：解：直线：与：互相垂直，，解得．故答案为：．由直线互相垂直，可得，解得a．本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：解析：解：，为第三象限角，，则．故答案为：．由的值及为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，原式利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．10.答案：解析：解：一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，即圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于6，如图：圆锥的高，底面半径，因此，该圆锥的体积故答案为：．根据三视图的性质，求出圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．11.答案：解析：解：由题意得，，解得，，双曲线的方程是，故答案为：．根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出、，代入双曲线的方程即可．本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．12.答案：解析：解：当时，由题得，解得，，则；当时，由题意得，无解；故答案为：由题分别讨论，两种情况，得出关系式，解方程组即可得出a，再代入即可．本题主要考查的是函数的定义域与值域，及分类讨论，是道综合题．13.答案：解析：解：x，y满足的可行域如图：由解得，，经过可行域的A时，取得最大值，最大值为：4，此时取得最大值，所以，恒成立，则实数a的取值范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，求解的最大值，即可得到a的范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.答案：解析：解：某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数，选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为．故答案为：．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数，由此能求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．15.答案：解析：解：当时，令，解得；所以只需方程在上有两个不等根即可，整理得，有两个根．只需与在上有两个不同交点即可．令，，，当时，，递增；时，，递减；所以，且，或时，都有．所以，要使时，结论成立，只需即可．故答案为：．令，解得，所以问题转化为在上有两个不等根即可，分离参数得在上有两个不等实根，只需研究在上的单调性，极值，端点值，结合图象即可解决问题．本题考查利用数形结合思想研究函数零点的问题，要注意函数的零点、方程的根、两个函数图象交点的横坐标之间的相互转化，互为工具的关系．同时考查学生的逻辑推理能力等．属于中档题．16.答案：，解析：解：由题意知：曲线表示双曲线的上半支，；并且是双曲线的下焦点，为上焦点；曲线表示的是抛物线，其焦点为，准线为．做出图象如图：较长的曲线为抛物线，较短的曲线为双曲线上支．因为A在双曲线的上支上，所以，为定值，故正确；因为B在抛物线上，设直线于H，，，定值，故正确；因为，，故错误．故正确的序号为：．故答案为：，．曲线表示双曲线的上支，曲线表示的是抛物线，P，Q点为双曲线的两个焦点，且Q点也是抛物线的焦点，然后结合抛物线、双曲线的定义，逐个判断即可；其中第问中，要注意将转化为后，再进一步分析．本题考查了圆锥曲线的定义及性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．属于中档题．17.答案：解：如图，分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则0，，0，，1，，0，，0，，．故，．．可得．故异面直线PB与DF所成的角为；，．设是平面DEF的一个法向量，则，取，得．又．点P到平面DEF的距离．解析：分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出与所成角的余弦值，可得异面直线PB与DF所成的角的大小；求出平面DEF的一个法向量，再求出的坐标，由点到平面的距离公式可得点P到平面DEF 的距离．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解点到平面的距离，是中档题．18.答案：解：证明：由可知，，即，，故为定值，即得证；由，，可得，则，即，解得，此时由，可得，故，即．解析：依题意，，即，再利用中点坐标公式可求得，即得证；根据题意，可得，再由对数函数的性质可得，由此求得的取值范围，利用作差法可知，进而得出与的大小关系．本题考查平面向量的综合运用以及对数函数的图象及性质，涉及了中点坐标公式的运用，作差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：设，则，在中，，，，；可得扇形的面积为平方米，即扇形花园的面积约为1030平方米；在图中，连接，设，，则在中，由，可得；又，，，所以矩形的面积为，当且仅当，即时，取得最大值，所以的最大值为；所以花卉展览区面积的最大值为平方米．当矩形的面积最大时，，此时，，所以两矩形的长和宽之比相等，即两矩形的形状相同，该同学的猜想是正确的．解析：设，利用直角三角形的边角关系求出BO、OF，再计算扇形的面积即可；在图中连接，设，，利用正弦定理求出，计算矩形的面积，求出面积取最大值时时对应的边长比，从而判断两矩形的长和宽之比相等，得出该同学的猜想是正确的．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学建模与运算求解能力，是难题．20.答案：解：由题意可知，，，，所以直线AB的方程为：，所以原点到直线的距离，所以可得，所以椭圆的方程为：；由设，由题意可得，将S坐标代入直线AB的方程中，可得，所以，所以当时取最小值，所以，且直线l的方程为，所以；由，可得，将代入椭圆C的方程可得：，即，故，又A到直线l的距离，故，所以，可得，令，则，所以r的取值范围为解析：由椭圆的方程可得A，B的坐标及直线AB的方程，由题意可得a的值，及O到直线的距离距离，可得，a，b的值，进而求出椭圆的方程；设P的坐标，由向量的关系求出S的坐标，将S的坐标代入直线AB的方程可得的表达式，由三角函数的取值范围求出最小时r的值；设直线GH的方程与圆联立，求出P，Q的坐标，求出弦长GH，求出A到直线的距离，及弦长GH与A到直线GH的距离和半径之间的关系，求出弦长GH，两式联立求出r的表达式，换元可得可得r的范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式，换元方法的应用，属于中档题．21.答案：解：解：由，可知，与数列具有“共生关系”函数的解析式可以是．解：由题意得，令，得，即，若，，此式不成立，不合题意，若，，由，得，又，可得，与任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意．若，则，若，则由与，可得，不合题意，若，，1，则，由，，可得，即，此时，数列是首项为，公比为的等比数列，又的任意两项均不相等，故，可知，实数对所构成的集合为，1，，且，其中a，，其中a，，且．证明：必要性若是等差数列，且它与具有“共生关系”，设，，则由，可知，恒成立，，可得，且有实根，即，可知，点在射线上．充分性若点在射线上，则，，又方程等价于，，且，取，它是正数，满足，令，则，当时，，这里的无穷数列是首项为，公差为的无穷数列，其每一项都是正数，存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有“共生关系”．故“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．解析：由，可知，由此能求出与数列具有“共生关系”函数的解析式．由题意得，令，得，推导出，数列是首项为，公比为的等比数列，由此能求出结果．先证明必要性：若是等差数列，且它与具有“共生关系”，设，，则由，知恒成立，由此推导出点在射线上；再证明充分性：若点在射线上，则，，方程等价于，，且，它是正数，满足，令，则，当时，，由此能证明：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．本题考查函数解析式的求法，考查两函数具有共生关系的充要条件的证明，考查运算求解能力、推理论证能力，二查化归与转化思想，是难题．。
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2020届黄浦区高三二模数学试卷
黄浦区2019学年度第二学期高三年级阶段性调研
数学试卷2020年5月
（完卷时间：120分钟满分：150分）
考生注意：
1.毎位考生应同时收到试卷和答眺卷两份材料，解答必須在答題卷上进行，写在试卷上的解答一
律无效；
2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答題卷上填写清楚：
3.本试卷共21道试題，満分150分：考试时间120分钟.
一、壊空题（本大题共有12 滴分54分.其中第1-6题每题满分4分,第7~12题毎题滴分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接壊写结果-
1.若集合>4-{1,2,3,4,5}, B = {x|x I-x-6<0）,则Bc8= •
2.函数y = 2cos,* + 2的最小正周期为.
3.某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出
100户调査社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 .
4.若直线4：ax + 3y-5 = O与4：x + 2y-l = 0互相垂直.则实数0的值为.
5.如果sina=-絳，a为第三象限角，则sin（学+a）=____________ .
6.若一圆推的主視图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为.
7.己知双曲略一若=1（。
>°0>°）的一条渐近线平行于直线厶y = 2x + 10.双曲线的一个焦点在直线，上，
则双曲线的方程为.
8.已知函数/（x）= a,+ZKa>0,a*l）的定义域和值域都是[-2,0].则/（-1）= .
如+2>»-7《0,
9.当x,y瀧足，x-v-lWQ 时，|2x-j/|Wa恒成立，则实数a的取值范|fl是_______________ .
xNl
10-某班共有4个小组，每个小组冇2人报名参加志愿者活动.现从这8人中随机选岀4人作为正式志屋者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为.
11.已知OG R,= , a +I ">°）,若存在不相等的实数x"g，使得四2=丑坦= X2+i （直〈0）E x2
久髭=一2,则。
的取值范围是
髙三敦学试卷第】贞無4贝
12.点＜是曲线y = W + 2 g2)上的任意一点，P(O,-2),0O.2),
射线交曲蟻、=与2于B点，BC垂直于直焼y = 3，垂足为
S
点C . WT列结论：⑴ MPI-I40I 为定值2”：(2)|08|+|BC|
为定值5； (3) |/M| + |4B| + |BC|为定值5 + ^.K中正确结论的
序号是. 二、选拝题(本大题共有4題，満分20分每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应煽号上，将代表答案的小方格涂黒，选对得5分，否则-律得寧分.
“函数/(X X X€R)存在反函数-是“函«(/(x)在R上为増函数”的
设Z”Zz是复数，则下列命题中的假命题是
A.充分而不必要条件C.充分必要条件
B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
A.若| z, - Zj |= 0，则 «( =«, 三、解答题（本大题共有5題.满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤.
17. （本题満分14分）本題共有2个小题，第I 小题满分6分，第2小題满分8分・
如图.在三棱椎RX8C 中，中丄平面ABC. ABAC = 90'.D. £. F 分别是
校 48、BC 、CF 的中点，AB-AC~\, PA~2.
（1） 求异面宜线PB 与£）F 所成的角,
（2） 求点P 到平面QE 尸的距离.
B
18. （本题満分14分）本题共有2小题，第1小題满分6分，第2小题満分8分.
设4（x,5）,B （X2,外）是函数y = l+lo gj — 的图像上任意两点，点Mg,为）满足
2
1-x
OM = 1（CU+Ofl ）.
<1）若x 0«|,求证：坊为定值： （2）^Xj=2x,.且y 0>l,求为的取值范围，并比较力与外的大小.
16. c.若|Z|M Z 2 I.則
己知4了是互相垂直的単位向量,
如图，直线/丄平面a,垂足为O, B'单调递减数列且职如 D.单调递减教列Mlimfe, = 2 为2, 4 Q 分别是直线/和平面a 上的动点.且BC1I.则
卜列判断：①点。
到槿BC 中点E 的距离的最大偵为
72 + 1.②正四面体ABCD 在平面a 上的射影面枳的At 大值
A. (D®»正确 C.①正确，勧告误 D.若小
角的正切值，则数列｛瓦｝
是 正四面体ABCD 的校长
D.①錯误.②正确
为J5.其中正确的说法是 (
A.单调递増数列且lim 如
C.単调递增数列且lim 如=2
19. （本题満分14分）本题共有2个小题，第I 小题6分.第2小題8分.
某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园.如图①所示，矩形ABCD 的如边与BC 边的长分别 为48米与40米，扇形的圆心。
为45中点，扇形的圆弧端点分别在&与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上. （1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）：
（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域4MG4为花卉展览区.如图②所示，矩形44G"的 四条边与矩形ABCD 的对应边平行,点通,珥分别在。
£,OF 上，点C|,4在扇形的弧上.某同学猪想： 当矩形面积最大时，两矩形4片与仙CD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同）.试求 花卉展览区44GO 面枳的最大值，并判断上述猜想是否正确（靖说明理由）.
如.《本JS 满分16分）本題共有3个小题,第】小题满分4分,第2小庇满分存会，第3小曲備分6分. 己新点凡&分别是棚岡C ：［+《 = ］M>*A O ）的右頂点与上顶点，坐标原点。
到直统的距离 a A 占』 为平，且点d 是圖r ：“_J5）*+『=r"rA0｝的倒心,动宜线f ；y = fcv 4欄岡交于P 厘两点，
”）求椭圆C 的方程；
（2）若霞占在线段作上，虱-疝回腥R*）,且当4取蟻小恒时直由与圖「相切，求r 的值；
◎）若宜线［以far 分别交于西点，点G 在钱段PQ 上*且\QGi=\PHl ，求r 的取値范風
2k C 本題满分眼分）本题共有3个小題.第I 小題满分4分*第？小題满分&分，第3小題满分8分一
若数列 M 与函数/Xx ）满足；® ｛&」的任意两項均不相等，且/■"）的定义域为R ；② 数列E 」 的前
"
1
的项的和$,=/■（#」对任意的neN*都成立，W【称｛%｝与/（第具有“共生关系”.
ti）若七=FOf§N）,试写出一个与数列｛%｝具有“共生关系”的函数的解析式】
E若，凶=心十6与勲列通｝具有■■共生关系二求实数对心,&）所枸成的集合，井马出』，美于a,b r n的表达式=
若，"）=『+依+丄求证】占存在督项都是正教的无穷等差数列｛环｝,使得｛%｝与/（工）貝有 ,共生关系’"的充要条件是"点（闷在射线3“%）上”.
高三敎学试卷第4页花4页。