常见的分类讨论问题解题策略

常见的分类讨论问题解题策略

（仅供教师参考）

许多数学问题由于受某些因素的限制，例如概念的不同，位置的不同，范围的不同，性质的不同等，不能按统一的方法、统一的标准或同一的公式来进行处理，这就需要我们对所研究的对象进行分类，然后进行讨论．

分类讨论的思想法是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略．在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件和结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚，刻画得十分准确．在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用．

有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样、综合性强，对于培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性有着十分重要的作用．

▲引起分类讨论的因素：

（1）涉及的数学概念是分类定义的；

（2）涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；

（3）涉及题中所给的限制条件或研究对象的性质而引起的；

（4）涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；

（5）涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的；

（6）一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的．在解题中，我们要明确分类的原因是什么？对象是什么？掌握好分类的原则，这被称之为逻辑划分．同时，我们有要把握好分类讨论的时机，重视分类讨论的合理性和完整性．

▲分类讨论的基本原则：

（1）按引起讨论的原因分类；

（2）不重复、不遗漏；

即每一类均是定义域的真子集，任何两类的交集为空集，所有各类的并集为定义域；

（3）每一类中自变量的取值对结论的影响是相同的；

（4）分类应是最少的．

1

2

▲分类讨论的基本步骤：

（1）确定讨论对象和研究的全域范围； （2）按照科学的分类原则进行分类； （3）逐类进行讨论； （4）归纳总结讨论的结果．

每当我们努力解决一个非常复杂的问题时，如果能出现一个非常惊人的转折：它把这各个复杂的问题分解为若干的部分，通过简单的方法就能轻而易举的解决了，这就是我们平时所讲的真正的一种数学美．它展现了“建筑”结构上的“优美”，又让你体验了人类在追求的完美的目标，即数学的“简洁美”，清晰易懂和不失数学的严格性．因为人类学习数学的目的就是为了能尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界．

下面就根据不同的分类原则，举例说明：

一．按元素存在的不确定性进行分类讨论

例1：已知非空集合(

{}

,log 0,0,1a M x y y t a a =

-+=>≠且，

(){}

2

2,3N x y x

y =

+=，当M

N =?时，求t 得取值范围．

解：设圆心()0,0到直

线

l o g 0a y t -+=的距离为d ，

则M

N d =??

d =

>

当1a >时，log 3a t >，故3t a >或30t a -<<； 当01a <<时，3t a ->或30t a <<．

点评：本题根据对数中底数的定义及性质进行分类，解决了不等式解的问题．

例2：已知函

数()c o s 2

3s i n

c o s 2f x a x a x x a b =--++的定义域为

0,2π??

????

，值域为[]5,1-，求常数,a b 的值．

3

解：化简函数表达式得()2cos 223f x a x a b π?

?=--++ ??

?，

210,2,cos 212

3

3

323x x x π

π

π

ππ?

?≤≤

∴-

≤-

≤

∴-≤-≤ ??

?， 当0a >时，()3b f x a b ≤≤+，312

55a b a b b +==??∴???

=-=-??； 当0a <时，3()a b f x b +≤≤，12

351

b a a b b ==-??∴???

+=-=??． 点评：本题根据函数单调性的定义进行分类，解决了函数的值域问题．

二．按概念、定理、公式进行分类讨论：

例3：已知直线l 经过点(3,1)P -，且被圆2225x y +=截得的弦长为8，求直线l 的方程．

解：当l 的斜率不存在时，即l 垂直于x 轴时，如图所示，

2

2

225916AE r OE =-=-=，4,8AE AB ∴==，此时直线l 的方程为3x =-；

当l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为()13y k x -=+，原点到直线的距离3OE =

，即3OE ==

，解得

4

3

k =

，则此时直线l 的方程为43150x y -+=； 综上，直线l 的方程为3x =-或43150x y -+=．

点评：本题根据斜率的存在性进行分类，也可不分类直接设直线的法向量，但计算相对要繁琐一些．

4

例4：如图，过点()0,B b -作椭圆()22

221,0x y a b a b

+=>>的弦BM ；

（1）记()2

BM f y =，写出()f y 的表达式； （2）求弦长BM 的最大值．

解：（1）设(),M x y 为椭圆上任意一点， 则()

2

2

2

BM x y b =++，又由22

221x y a b

+=得

()22

222a x b y b =-，()

()222222

2222212a a BM b y y b y by a b b b ??∴=-++=-+++ ??

?

[]234

22222

1,,a b a y y b b b a b a b ????=--+∈- ???--?

???； （2）220,10a a b b

>>∴-<，2

BM ∴有最大值，

又

[],y b b ∈-，∴当3

22b b a b

≤-

时，即a ≥，则最大值在二次函数的顶点取

到，

即当3

22

b y a b =-时，4

222

max

a BM

a b =-； 当3

2

2

b b a b

>-

时，即a <，则最大值在二次函数的端点取到，即当y b =时，22max

4BM

b =；

综上，2

max

2,a BM b a ?≥=

5

例5：已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为()0,1,2,n S n >=；

（1）求公比q 的取值范围；

（2）设213

2

n n n b a a ++=-，{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．

解：（1）

0n S >，可得110a S =>，且0q ≠，

∴当1q =时，10n S na =>，成立；

当1q ≠时，()1101n n a q S q

-=>-，即

()10,1,2,1n

q n q

->=-，

解得()

()()1,00,11,q ∈-+∞；

综上，q 的取值范围是()

()1,00,q ∈-+∞；

（2）由2132n n n b a a ++=-，得232n n b a q q ??=- ???，232n n T q q S ?

?∴=- ???，

则()2311222n n n n T S q q S q q S ???

?-=--=+- ? ?????，又

0n S >，

∴当()11,2,2q ?

?∈--+∞ ?

?

?时，n n T S >；

当1

2q =-或2q =时，n n T S =；

当()1,00,22q ??∈- ?

??

时，n n T S <．

点评：本题根据等比数列中公比q 进行分类，划分的标准为1q =与1q ≠，公比

1q =常常是等比数列求和中容易忽视的一个部分，必须要加以足够的重视．

例6：已知222

2

23231111n n n S r r r r r r r r ?

??????

?=-+-+-+

+- ? ? ? ??

??????

?，记

6

2n n T S n =+，1

n

n n T W T -=

，其中0r ≠，求lim n n W →∞的值．

解：()24622462111

12n n n S r r r r n r

r r r ??

=+++

+++++

+

- ???

， 当1r =时，0n S =，则2,,lim 11n n n

n n

T n W W n →∞==

∴=-， 当1r ≠时，()()()()2

2222222222

111111221111n

n n n n n r r r r r r S n n r r r r

+??- ?--+??=+-=----， 则()()()

22222

111n

n n

n

r r T r r +-+=

-，22242222241n n n n

n n n

r r r W r r r r

+++-+-=-+-， 若01r <<时，21lim n n W r

→∞

=

； 若1r >时，2lim n n W r →∞

=；

综上，22101lim 1

11

n n r r W r r r →∞

?<

==??>??

点评：本题先根据等比数列的不同取值来进行求和，再进一步根据公比的范围来求极限．

例7：已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()f x 在[)0,+∞上是增函数，且

102f ??

= ???

，求解关于x 的不等式()log 0,(0,1)a f x a a >>≠． 解：

()f x 是偶函数，()()()log log log a a a f x f x f x ∴=-=，

则有()1log 2a f x f ??

> ???

，

7

又()f x 在[)0,+∞上是增函数，1log 2a x ∴>

，即1log 2a x >或1log 2

a x <-， 若1a >

，则x >

或0x <<

若01a <<

，则0x <<

或x >．

点评：本题涉及到对数函数的单调性，应按底数进行分类．

三．按参变量的取值范围进行分类讨论：

例8：解关于x 的不等式

2

0,x a

a R x a -<∈-． 解：当2a a >，即01a <<时，解集为{}

2x a x a <<； 当2a a =，即0a =或1a =时，解集为?；

当2a a <，即0a <或1a >时，解集为{}

2x a x a <<．

点评：本题根据涉及参数a 及2a 的大小，求解不等式，解题的关键是分类标准的划分．

例9：设集合

()21M a ?

?=≤-????

，{}

23310N x x ax a =-+-≤，

且M N ?，求实数a 的取值范围．

解：对于集合:M ()2

222

121,221x a a x a a a ??-≤-?∈--+??，

对于集合:N ()()1310x x a ??---≤??， 当311a -<时，即2

3

a <

时，[]31,1N a =-， 此时要满足M N ?，则2

2131

02211a a a a a -≥-??=?-+≤?

；

8

当311a ->时，即2

3

a >

时，[]1,31N a =-， 此时要满足M N ?，则[]2211

1,222131a a a a a -≥??∈?-+≤-?；

当311a -=时，即23a =，此时{}15,,139M N ??

==????

，不满足M N ?． 综上，{}

[]01,2a ∈．

点评：本题根据参数a 的大小来确定不等式的解集．

例10：设a 为任意实数，函数()21,f x x x a x R =+-+∈， （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值．

解：（1）当0a =时，()()()2

1f x x x f x -=-+-+=，则()f x 为偶函数； 当0a ≠时，()()221,21f a a f a a a =+-=++，显然()()f a f a

-≠

且()()f a f a -≠-，则()f x 既非奇函数又非偶函数； （2）当x a ≤时，()2

2

13124f x x x a x a ?

?=-++=-++ ??

?，

若1

2

a ≤

，则()f x 在(],a -∞上，单调递减，则()2min 1f f a a ==+， 若12a >

，则min 1324f f a ??

==+ ???

；

当x a ≥时，()2

213124f x x x a x a ?

?=+-+=+-+ ??

?，

若12a ≤-，则min 1324f f a ??

=-=-+ ???

，

9

若1

2

a >-，则()f x 在[),a +∞上，单调递增，则()2min 1f f a a ==+；

综上，当12a ≤-时，min 34f a =-+；当1122a -<≤时，2min 1f a =+；当1

2a >时，

min 3

4

f a =+．

点评：本题根据所含有绝对值符号，作为分类的依据，去掉绝对值符号的主要策略是，先找零点，然后将定义域划分成几个子区间，再在各个子区间上去掉绝对值进行求解．

例11：实系数方程22240x kx k a -+-=的两根为12,x x ，求()12

f a x x =+的解析式．

解：

,k a R

∈

，12,x x ∴同为实根，或互为共轭虚根，()2244416k k a a ?=--=，

当0a ≥时，两根为实根，则2124x x k a ?=-，

若2

04

k a ≤≤，则120x x ?≥，则()12122f a x x x x k =+=+=，

若

24

k a >

，则

120

x x ?<，则

()

12121

f a x x x x =+=-==；

当0a <时，两根为共轭虚根，

则(

)1212f a x x x =+=====；

综上，(

)2

220440k k

a k f a a a ?≤≤??

?

=>

??

?

10

点评：本题根据判别式对实系数一元二次方程根的情况进行讨论．

例12：已知函数()2f x x x =-，实数a 为何值时，集合

()

{sin x M x f x a ==-解：()2sin sin f x =即2

13sin ,24x a x ?

?-=- ???根据图像可知，当34a -

当304a -=或1344a <-<当31

44

a -

=，即1a =时，有三解，即此时为三元集； 当31044a <-

<，即3

14

a <<时，有四解，即此时为四元集． 点评：本题在分类的同时还要利用数形结合的思想，将问题由难变易，由大变小，条理清晰．

四．按图形的位置或形状不确定进行分类：

例13：与不共面的四点等距离的平面有_________________个．

解：当四个点中，有一个点在所求平面的一侧，另三个点在所求平面的另一侧，这样的平面有4个；当四个点中，有两个点在所求平面的一侧，另两个点在所求平面的另一侧，这样的平面有3个；综上，满足条件的平面共有7个． 点评：本题按照四点的不同位置进行分类，很好的解决了图形的不确定性．

例14：已知常数0a >，如图所示，在矩形ABCD 中，4,4AB BC a ==，O

11

为AB 中点，,,E F G 分别在,,BC CD DA 上移动，且

BE CF DG

BC CD DA

==

，P 为GE 与OF 的交点，问是否存在两个定点，使P 到这两点距离之和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

解：由题意知，()()()()2,0,2,0,2,4,2,4A B C a D a --， 设

(),01BE CF DG

k k BC CD DA

===≤≤， 则()()()2,4,24,4,2,44E ak F k a G a ak ---， 直线OF 的方程为()221

0a x k y +-=，直线GE 的方程为

()21

20

a j k x y a --+-=， 由这两个方程，消去k 得点(),P x y 的坐标满足方程222220a x y ay +-=，

即()2

22112y a x a -+=； 当21

2

a =

时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合条件的两点； 当21

2

a ≠

时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离之和为定长， 若2

12a <时，点P

到该椭圆的焦点,a a ??? ?? ?????

的距离之和为定值2，

若2

12a >时，点P

到该椭圆的焦点0,,0,a a ??+ ??的距离之和为定值2a ．

点评：本题根据参数2a 的取值进行分类，2a 值的不同直接影响点P 轨迹的形状．

12

例15：已知直线y kx =与直线(),0y kx k =->分别与椭圆221Ax By +=，

(),,a b R A B +

∈≠相交于,C E 和,D F 两点；

（1）用,,A B k 表示四边形CDEF 的面积S ； （2）当k 在区间(]0,1上变化时，求面积S 得最大值t ； （3）当21ABt >时，求

A

B

的取值范围． 解：（1）由椭圆和直线的对称性可知，四边形CDEF 为矩形，若设(),C m n ，则4S mn =，

2

2

2222

22141x y kx k A Bk S A Bk Ax By k

y A Bk ?=?=??+??=??++=??=?+?； （2

）4S A

Bk k

=

≤

=

+，当且仅当

A

Bk k =

，即k =时，等号成立；

(]0,1k ∈，∴当01A

B

<

≤

时，max S =；

当

1A B

>时，24k S A Bk =+在(]0,1上单调递增，∴当1k =时，max

4

S A B =+；

综上，0141

A B t A A B B <≤=?>??+；

（3）当01A B <

≤时，2441ABt AB AB =?=>恒成立，(]0,1A

B

∴∈； 当

1A

B

>时

，

13

(

)

(22

16

11407A B A

ABt AB B A B

A B =?

>?

+-

(1,7A

B

?

∈+； 综上，

(

](0,11,74A

B

∈+

点评：本题根据基本不等式取最值得条件进行分类，特别要注意基本不等式等号成立的条件，若娶不到这个最值，则根据函数的单调性来解决值域问题．

例16：现有,,,A B C D 四个长方体容器，,A B 的底面积均为2a ，高分别为

a 和

b ，,C D 的底面积均为2b ，高分别为a 和b ，其中a b ≠，现规定一种游戏规

则，每人一次从四个容器中取出两个盛水，盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？

解：根据题意可知，,,,A B C D 四个容器的容积分别为3223,,,a a b ab b ， 从四个容器中任取两个的取法有246C =，按游戏规则可分为三种情形： （1）先取,A B ，后取,C D ； （2）先取,A C ，后取,B D ；

（3）先取,A D ，后取,B C ；也可交换前后顺序，共6种；

0,0,a b a b >>≠，由不等式性质可证明3322a b a b ab +>+，所以先取,A D 为必胜的方案．

点评：本题根据可能出现的情形进行分类，若游戏规则改变，则分类方式也将改变．