高考复习资料：分类讨论思想在解题中的应用
1 第6讲 分类讨论思想在解题中的应用 一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。 4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 例1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. xy70 B. 250xy C. xyxy70250或 D. xyyx70250或 分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,
当a=0时，直线过原点，此时直线方程为yxxy25250，即；
当a0时，设直线方程为xayaa17，则求得，方程为xy70。 例2．ABCABC中，已知，，求sincoscos12513 分析：由于CAB()coscos()coscossinsinCABABAB 因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。
解：051322cosBBABC，且为的一个内角45901213BB，且sin
若为锐角，由，得，此时AAAAsincos123032 2
若为钝角，由，得，此时AAAABsin12150180 这与三角形的内角和为180°相矛盾。可见A150 coscos()cos()CABAB
coscossinsinABAB32513121213125326 例3.已知圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。 分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时，„（2）斜率不存在„ 解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2
例4.解关于的不等式：xlog()ax111 分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。
解：若，则原不等式等价于a>111110xaax
若，则原不等式等价于0111011111axxaxa 综上所述，当时，原不等式的解集为；axax1110 当时，原不等式的解集为01111axxa 例5.解不等式542xxx 分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x分类。
解：原不等式等价于或xxxxxxxxx05405405402222 3
xxxxx05111421142051或 0114250xx或 51142x 原不等式的解集为xx51142 例6.解关于的不等式：xaxax2110() 分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两
根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1a谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。 解：（）当时，原不等式化为10101axx
（）当时，原不等式化为20110aaxxa()()
①若，则原不等式化为axxa0110()() 1011aa 不等式解为或xax11 ②若，则原不等式化为axxa0110()() （）当时，，不等式解为iaaax11111 ()iiaax当时，，不等式解为111 ()iiiaaxa当时，，不等式解为011111 综上所述，得原不等式的解集为 当时，解集为或axxax011；当时，解集为axx01|； 4
当时，解集为0111axxa；当时，解集为a1；
当时，解集为axax111。 例7.已知等比数列的前n项之和为nS，前n+1项之和为1nS，公比q>0，令TSSnTnnnn1，求lim。 分析：对于等比数列的前n项和Sn的计算，需根据q是否为1分为两种情形： 当时，；当时，q=1SnaqSaqqnnn11111() 另外，由于当时，，而已知条件中||limqnqqn100 故还需对q再次分类讨论。 解：当时，，qSnaSnann11111() limlimnTnnnn11
当时，，qSaqqSaqqnnnn111111111()() TSSqqnnnnn1111 01lim1nqTn当时，；
1111limlim1nnnqqTnnqqq当时，
综上所述，知，，lim()()nTqqqn10111 例8.设，问方程表示什么曲线？kRkxkykk()()()()848422 分析：容易想到把方程变形为，但这种变形需要，且xkykk224814 kkkk848，而且与的正负会引起曲线类型的不同，因此对，()要进行分类：，，，，，，，，又注意到kkkkk()()()444888kkkkkk480484080与且表示的曲线是不一样的，因此()还应有一个“分界点”，即，故恰当的分类为，，，，，，k644466()()（，），，（，）6888
解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线； （2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线； 5
（）当且时，原方程变为34848122kkxkyk （i）当k<4时，方程表示双曲线；（ii）当4 （iii）当k=6时，方程表示圆；（iv）当6 （v）当k>8时，方程表示双曲线。 例9. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？ 分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类： （1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。 解：CCCCCCCCCCCCCCCCP4333433132423133323143324133324232 CCCCCCC3343324132323142309 或：CCCCCCCCCC33733132633231533343309 三、总结提炼 分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例： （1）“方程20axbxc有实数解”转化为240bac“”时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0；
（2）等比数列11naq的前n项和公式1(1)1nnaqSq中有个别情形：1q时，公式不再成立，而是Sn=na1。 (3) 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。
(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1xyaa，，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。 四、强化练习：见优化设计。
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 分类讨论思想在高中数学解题中的重要性在高中数学学习中，分类讨论思想是一种重要的解题方法，可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
分类讨论思想强调通过对问题进行分类和讨论，找到问题的本质并采取相应的解决方法。
在高中数学解题中，运用分类讨论思想可以帮助学生更加系统地分析和解决复杂的数学问题，提高他们的解题效率和答题质量。
在高中数学教学中，引导学生掌握分类讨论思想是非常必要的。
只有通过不断的练习和实践，学生才能够逐渐掌握分类讨论思想的运用技巧，并将其运用到实际的数学解题中，从而提升他们的数学解题能力和水平。
2. 正文2.1 分类讨论思想的基本概念分类讨论思想是数学问题解决中常用的一种方法，通过将问题按照某种特定的规律或性质进行分类讨论，找出问题的共性和差异性，从而更好地解决问题。
分类讨论思想的基本概念包括以下几个方面。
分类讨论思想需要明确问题的背景和条件，将问题分解成若干个子问题，同时根据问题的性质和要求进行分类。
分类讨论思想需要建立分类标准，即确定分类的依据和标准，确保分类的科学性和合理性。
分类讨论思想需要考虑分类的完备性和互斥性，即确保每个子类别都包含了所有可能情况，且各子类别之间没有重叠或交集。
分类讨论思想需要综合考虑各个子问题的解决方法和结果，得出整体问题的解决方案。
分类讨论思想是一种全面系统的思考方法，可以帮助我们更加深入地理解问题，并有效地解决数学难题。
在高中数学解题中，灵活运用分类讨论思想可以帮助我们更好地理清问题的逻辑结构，提高解题效率，培养我们的逻辑思维能力和综合分析能力。
掌握分类讨论思想的基本概念对于提高数学解题能力和解决复杂问题非常重要。
2.2 分类讨论思想在代数题中的应用在高中数学中，分类讨论思想在代数题中的应用是非常重要和常见的。
通过分类讨论思想，我们可以将复杂的代数问题分解为若干简单的情况，从而更容易解决。
在代数题中，分类讨论思想常常用于解决方程、不等式和函数的相关问题。
高考数学题集,分类讨论思想方法在三角函数解答题中的应用.doc
高考数学题集，分类讨论思想方法在三角函
数解答题中的应用
每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
本题第二问就体现这一数学思想方法。
第一问上来就积化和差，确实比展开化简简便多了，结合最小正周期为π且w0，求出w=1，题目看似比较复杂的式子，由几何化和差公式的使用而顿显失色，这里多次提醒大家，要把积化和差与和差化积公式掌握，不是空话，你会发现即使不用这个公式也能算出的正确结果，时间却浪费了，那你会选择哪种呢？
利用函数单调性写出函数单调递增（递减）区间，注意两个问题，第一，不要忘写k∈z，第二，题目中要求是讨论在【0，π/2】上的单调性，所以注意结出来的集合要与【0，π/2】求交集，也就体现了应用分类讨论思想解决问题保证分
类科学，标准统一，做到不重复，不遗漏，并力求最简。
看到讨论单调性首先想到的会是求导，只是通常三角函数的求导讨论单调性就不太长用，所以感觉陌生，这里注意2x+π/4的范围，写着也还算简便，有的同学说题简单，有的同学说题难，俗话说的好：“磨刀不误砍柴工”，现在无论是难题或是简单题，都是在磨刀，以便你最终在高考的考场中砍出满意的分数。
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想是高中数学解题中非常重要的一种思维方法。
通过将问题分解成若干个相对简单的小问题，并对这些小问题进行分类讨论，可以使问题的解决变得清晰、简单。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用非常广泛，涉及到代数、几何、概率等各个方面。
本文将从代数、几何和概率三个方面，分别讨论分类讨论思想在高中数学解题中的应用。
一、代数解题在代数解题中，分类讨论思想常常用于对方程的解集进行分类讨论。
对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以根据判别式Δ=b^2-4ac的正负来分类讨论方程的解的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程有两个共轭复根。
通过这种分类讨论的方法，可以快速、清晰地得出方程的解的情况，同时也能够深入理解方程解的特性。
对于分式方程的解题也经常使用分类讨论思想。
对于分式方程\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}，可以对xyz的关系进行分类讨论，分别考虑xyz 为正数、负数和零的情况，从而得出方程的解集。
二、几何解题在几何解题中，分类讨论思想常常用于对几何图形的性质进行分类讨论。
对于三角形的面积公式S=\frac{1}{2}ab\sin C，可以根据角C的大小和边a、b的关系进行分类讨论。
当角C为锐角时，可以使用正弦定理求解三角形的面积；当角C为直角或钝角时，可以使用高度和底边长度相乘的方法求解三角形的面积。
通过对不同情况进行分类讨论，可以更深入地理解三角形面积公式的适用范围和条件。
对于不同类型的几何图形，也可以使用分类讨论思想进行划分和讨论。
对于平行四边形的特性和性质，可以根据对角线的位置和长度关系进行分类讨论，从而得出平行四边形的各种性质和定理。
三、概率解题在概率解题中，分类讨论思想常常用于对事件发生的可能性进行分类讨论。
对于从一副扑克牌中随机抽取一张牌，可以根据抽取的牌的花色和点数进行分类讨论，从而得出不同花色和点数的牌的概率。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究
分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究
思想在高中数学解题中的应用研究涉及到分类讨论的方法，这是解决复杂问题时常用
的一种策略。
分类讨论的方法在高中数学解题中有着广泛的应用，可以使问题的求解更加
简洁明了，提高解题效率。
分类讨论是将问题所涉及的对象按一定的特征进行分类，然后对每一类进行具体的分
析和处理。
在数学解题中，分类讨论可以根据题目中所给的条件和要求，将待求解的问题
进行合理的分类，然后对每一类情况进行分别讨论。
一种常见的分类讨论方法是针对数的正负性进行分类讨论。
例如在解一元二次方程时，可以根据判别式的正负值将问题分为三种情况：当判别式大于零时，方程有两个不相等的
实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程没有实
数根。
通过这种分类讨论的方法，可以很快得到方程的解。
另一种常见的分类讨论方法是针对不同情况下的特殊性进行分类。
例如在几何图形的
证明中，可以将图形分为三角形、四边形等不同类型，然后对每一种情况分别进行证明。
通过分类讨论的方法，可以将复杂的证明问题简化为若干个相对简单的情况，更容易找到
解决问题的方法和路径。
在数学解题中，分类讨论的方法可以使问题的求解更加系统和有条理。
通过将问题进
行分类，我们可以更好地理清思路，找到问题的关键之处，从而加快解题速度。
分类讨论
的方法还可以培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，提高他们解决问题的能力和自
主学习能力。
分类讨论思想在解题中的应用ppt 通用
问 题 9 ： 过 点 P ( 2 , 3 ) 且 在 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 方 程 是
解 ： 有 的 学 生 得 出 答 案 为 x y 5 0 这 种 解 法 漏 了 直 线 过 原 点 的 情 形 。 还 有 一 条 直 线 为 ： 32 x y 0 答 案 应 为 x y 5 0 或 32 x y 0
变 形 的 依 据 是 不 等 式 的 性 质 。 在 两 边 同 除 以 t， 必 须 考 虑 其 正 负 。 因 为 随 着 t 的 变 化 ， t正 负 号 相 应 发 生 变 化 ， 不 能 统 一 解 决 ， 所 以 必 须 分 类 。
n
n
t t 不 等 式 a a n n 1
当 t 0 时 ， 不 等 式 不 可 能 成 立 。
a2 当 e ; a e 时 ， 2
最 小 值 为 e
2
2 a 0 设 ，函数 f ( x) x a | ln x 1| ．
当 x 1, ，求函数 f ( x ) 的最小值．
所以函数 y＝f(x)的最小值为 1＋a，(0＜a≤2)， 3a a a 2 － ln ，(2＜a≤2e )， ymin＝ 2 2 2 2 2 e ，(a＞2e )．
x a 解 ： 函 数 值 域 为 f( x ) ,( a 0 ,a 1 )的 ( 0 , 1 ) x 1 a
1 1 1 1 f( x ) 可 能 为 1 或 0 f( x ) 而 2 2 2 2
1 为 了 进 一 步 确 定 f ( x ) 的 值 ， 必 须 对 f( x )的 值 进 行 分 类 。 2
1 1 1 当 f () x 1 , f () x 0 , f () x 1 2 2 2 1 1 此 时 f () x f () x 1 2 2 1 1 所 以 f () x f () x 的 值 域 是 1 , 1 2 2
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论是指将问题分成不同的情况进行讨论，从而解决问题的一种思想。
在高中数学中，分类讨论思想被广泛地应用于解决各种问题，包括代数、几何、概率等方面的问题。
一、代数方面1.方程求解对于一些复杂的方程，使用分类讨论可以使求解变得简单。
例如，对于一个含有绝对值的方程，可以分成两个解析式，分别讨论x的取值范围，然后把得到的结果合并。
又例如，对于一些含参数的方程，可以分别讨论参数的正负或取值范围，并确定每一种情况的解。
这样可以有效地减少无效的计算，提高求解效率。
2.不等式求解二、几何方面1.平面几何对于一些复杂的平面几何问题，使用分类讨论可以使求解变得简单。
例如，对于三角形内部的一些线段或中线问题，可以分别讨论三角形的三种类型，即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，并确定每一种情况的解。
2.空间几何在空间几何中，分类讨论思想同样重要。
例如，对于四面体问题，可以分别讨论四面体的四个侧面，并确定每一种情况的解。
又例如，对于球体问题，可以分别讨论球体与平面的位置关系，并确定每一种情况的解。
三、概率方面在概率问题中，分类讨论思想也被广泛地应用。
例如，在一次掷骰子的问题中，可以分别讨论掷出1、2、3、4、5和6的概率，并确定每一种情况的概率。
又例如，在从一组球中随机选出一个的问题中，可以分别讨论各种颜色的球的数量，并确定每一种情况的概率。
综上所述，分类讨论思想在高中数学解题中的应用非常广泛。
通过将问题分成不同的情况进行讨论，可以有效地减少计算量，提高求解效率，帮助学生更好地掌握数学知识，提高解题能力。
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想是指在解决问题时，根据问题的性质和条件，将问题进行分类讨论，从而找到问题的解决方法。
在高中数学解题中，分类讨论思想是非常重要的，可以帮助学生更好地理清问题，找到解决问题的方法。
本文将从分类讨论思想的原理，分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用等方面进行浅析。
一、分类讨论思想的原理分类讨论思想的应用主要包括以下几个步骤：1. 理清问题的条件和特点，将问题进行分类。
在解决问题之前，首先要理解问题的条件和特点，然后将问题进行分类，找到各个分类之间的联系和差异。
这样可以使得问题更加清晰，有利于找到解决问题的方法。
3. 对各个分类的解题方法进行整合。
在对每个分类的问题进行讨论和解决之后，可以对各个分类的解题方法进行整合。
这样可以得到一个综合的解题方法，有利于解决问题。
在高中数学中，分类讨论思想是非常重要的，在解决各种问题时都有着重要的应用。
下面将分别以代数、几何和概率统计为例，介绍分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用。
1. 代数在代数中，分类讨论思想常常应用于方程和不等式的解题中。
对于一元一次方程ax+b=cx+d，可以根据a和c是否相等，将方程分为a=c和a≠c两种情况进行讨论和解决。
这样可以使得问题更加清晰，有利于找到解决问题的方法。
2. 几何3. 概率统计三、总结分类讨论思想在高中数学解题中有着重要的应用价值，对学生的数学学习和解题能力有着积极的促进作用。
希望通过对分类讨论思想在高中数学解题中的浅析，能够使学生更加深入地理解和掌握分类讨论思想，提高解决数学问题的能力，更好地应用数学知识解决实际问题。
分类讨论思想在高考中的应用
1.分类讨论的常见情形〔1〕由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的,在不同条件下有不同结论,则必须进行分类讨论求解,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.〔2〕由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同条件下结论不一致,如二次函数y=ax2+bx+c<a≠0>,由a的正负而导致开口方向不确定,等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.〔3〕由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的,如ax2+bx+c ＞0,a=0,a＜0,a＞0解法是不同的.〔4〕由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类,如角的终边所在象限,点、线、面的位置关系等.〔5〕由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.〔6〕由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时,必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中,参变量的不同取值,使得变形受限导致不同的结果.2.分类的原则〔1〕每次分类的对象是确定的,标准是同一的；分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论,即认识为什么要分类讨论,又从几方面开始讨论,只有明确了讨论原因,才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义,考虑问题要全面.函数问题中的定义域,方程问题中根之间的大小,直线与二次曲线位置关系中的判别式等等,常常是分类讨论划分的依据.〔2〕每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时,要以起主导作用的因素进行划分,做到不重不漏,然后对划分的每一类分别求解,再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3.分类讨论的一般步骤第一,明确讨论对象,确定对象的范围；第二,确定分类标准,进行合理分类,做到不重不漏；第三,逐类讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结,得出结论.4.分类讨论应注意的问题第一,按主元分类的结果应求并集.第二,按参数分类的结果要分类给出.第三,分类讨论是一种重要的解题策略,但这种分类讨论的方法有时比较繁杂,若有可能,应尽量避免分类.类型一：不等式中的字母讨论1、解关于的不等式：.思路点拨：依据式子的特点,此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类,然后对式子分解因式,并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于与时,先写简单好作的.解析：〔1〕当时,原不等式化为一次不等式：,∴；〔2〕当时,原不等式变为：,①若,则原不等式化为∵,∴,∴不等式解为或,②若,则原不等式化为,〔ⅰ〕当时,,不等式解为,〔ⅱ〕当时,,不等式解为；〔ⅲ〕当时,,不等式解为,综上所述,原不等式的解集为：当时,解集为；当时,解集为{x|x＞1}；当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为.总结升华：1. 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:〔1〕明确讨论的对象,确定对象的全体,确定分类标准,正确分类,不重不漏；〔2〕逐步进行讨论,获得结段性结论；〔3〕归纳总结,综合结论.2．一般分类讨论问题的原则为: 按谁碍事就分谁.不等式中的字母讨论标准有：最高次项的系数能否为0,不等式对应的根的大小关系,有没有根〔判别式〕等.3．字母讨论一般按从易到难,从等到不等的顺序进行.举一反三：[变式1]解关于的不等式:〔〕.解析：原不等式可分解因式为: , 〔下面按两个根与的大小关系分类〕〔1〕当,即或时,不等式为或,不等式的解集为：；〔2〕当,即时,不等式的解集为：；〔3〕当,即或时,不等式的解集为：；综上所述,原不等式的解集为：当或时,；当时,；当或时,.[变式2]解关于的不等式:.解析：〔1〕当时,不等式为, 解集为；〔2〕当时,需要对方程的根的情况进行讨论：①即时,方程有两根.则原不等式的解为.②即时,方程没有实根,此时为开口向上的抛物线,故原不等式的解为.③即时,方程有两相等实根为,则原不等式的解为.〔3〕当时,恒成立,即时,方程有两根.此时,为开口向下的抛物线,故原不等式的解集为.综上所述,原不等式的解集为：当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为.类型二：函数中的分类讨论2、设为实数,记函数的最大值为,〔Ⅰ〕设,求的取值范围,并把表示为的函数；〔Ⅱ〕求；〔Ⅲ〕试求满足的所有实数.解析：〔I〕∵,∴要使有意义,必须且,即∵,且……①∴的取值范围是 ,由①得：,∴,,〔II〕由题意知即为函数,的最大值,∵时,直线是抛物线的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论：〔1〕当时,函数,的图象是开口向上的抛物线的一段, 由知在上单调递增,故；〔2〕当时,,,有=2；〔3〕当时,,函数,的图象是开口向下的抛物线的一段, 若即时,,若即时,,若即时,,综上所述,有=〔III〕当时,；当时,,,∴,∴,故当时,；当时,,由知：,故；当时,,故或,从而有或,要使,必须有,,即,此时,,综上所述,满足的所有实数为：或.举一反三：[变式1]函数的图象经过点<-1,3>,且f<x>在<-1,+∞>上恒有f<x>＜3,求函数f<x>.解析：f<x>图象经过点<-1,3>,则, 整理得：,解得或<1>当时,则,此时x∈<-1,+∞>时,f<x>＞3,不满足题意；<2>当,则,此时,x∈<-1,+∞>时,即f<x>＜3,满足题意为所求.综上,.[变式2]已知函数有最大值2,##数的取值.解析：令,则<>.<1>当即时,,解得:或〔舍〕；<2>当即时,,解得:或〔舍〕；<3>当即时,,解得〔全都舍去〕.综上,当或时,能使函数的最大值为 2.3、已知函数〔〕.〔1〕讨论的单调性；〔2〕求在区间上的最小值.解析：〔1〕函数的定义域为〔0,+∞〕对求导数,得解不等式,得0＜x＜e解不等式,得x＞e故在〔0,e〕上单调递增,在〔e,+∞〕上单调递减〔2〕①当2a≤e时,即时,由〔1〕知在〔0,e〕上单调递增,所以②当a≥e时,由〔1〕知在〔e,+∞〕上单调递减, 所以③当时,需比较与的大小因为所以,若,则,此时若2＜a＜e,则,此时综上,当0＜a≤2时,；当a＞2时总结升华：对于函数问题,定义域要首先考虑,而〔２〕中③比较大小时,作差应该是非常有效的方法.举一反三：[变式1]设,〔1〕利用函数单调性的意义,判断f<x>在〔0,+∞〕上的单调性；〔2〕记f<x>在0＜x≤1上的最小值为g<a>,求y=g<a>的解析式.解析：〔1〕设0＜x1＜x2＜+∞则f<x2>-f<x1>=由题设x2-x1＞0,ax1·x2＞0∴当0＜x1＜x2≤时,,∴f<x2>-f<x1>＜0, 即f<x2>＜f<x1>,则f<x>在区间[0,]单调递减,当＜x1＜x2＜+∞时,,∴f<x2>-f<x1>＞0,即f<x2>＞f<x1>,则f<x>在区间〔,+∞〕单调递增.〔2〕因为0＜x≤1,由〔1〕的结论,当0＜≤1即a≥1时,g<a>=f<>=2-;当＞1,即0＜a＜1时,g<a>=f<1>=a综上,所求的函数y=g<a>＝.[变式2]求函数在上的值域.解析：令,则<1>当0＜a≤1时,∵0≤x≤a,∴f′<x>≥0<只有a=1且x=1时f′<x>=0>∴f<x>在[0,a]上单增,从而,值域为；<2>当a＞1时,∵0≤x≤a,∴f<x>在单增,在上单减,并且,∴,值域为；<3>当-1≤a＜0时,∵0≤x≤|a|,∴f<x>在[0,|a|]上递减从而即,值域为<4>当a＜-1时,∵0≤x≤|a|,∴f<x>在单减,在上单增,∴,又,∴,值域为.类型三：数列4、数列{a n}的前n项和为S n,已知{S n}是各项均为正数的等比数列,试比较与的大小,并证明你的结论.解析：设等比数列{S n}的公比为q,则q ＞0①q=1时,S n=S1=a1当n=1时,,a2=0,∴,即当n≥2时,a n=S n-S n-1=a1-a1=0,,即②q≠1时,S n=S1·q n-1=a1·q n-1当n=1时,∴,即.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a1·q n-1-a1·q n-2=a1·q n-2<q-1>此时∴q＞1时,,0＜q＜1时,.总结升华：等比数列前n项和公式分q=1或q≠1两种情况进行讨论.举一反三：[变式1]求数列：1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,……〔其中a≠0〕的前n项和S n.解析：数列的通项a n=a n-1+a n+…+a2n-2讨论：〔1〕当a=1时,a n=n,S n=1+2+…+n=〔2〕当a=-1时,,∴,〔3〕当a≠±1且a≠0时,,∴.[变式2]设{a n}是由正数组成的等比数列,S n是其前n项和,证明:.解析：〔1〕当q=1时,S n=na1,从而, 〔2〕当q≠1时,, 从而由〔1〕〔2〕得:.∵函数为单调递减函数.∴∴.[变式3]已知{a n}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.<Ⅰ>求q的值；<Ⅱ>设{b n}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为S n,当n≥2时,比较S n与b n 的大小,并说明理由.解析：<Ⅰ>由题设2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q,∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,∴或,<Ⅱ>若q=1,则当n≥2时,若当n≥2时,故对于n∈N+,当2≤n≤9时,S n＞b n；当n=10时,S n=b n；当n≥11时,S n＜b n.[变式4]对于数列,规定数列为数列的一阶差分数列,其中；一般地,规定为的k阶差分数列,其中且k∈N*,k≥2.〔1〕已知数列的通项公式.试证明是等差数列；〔2〕若数列的首项a1=―13,且满足,求数列与的通项公式；〔3〕在〔2〕的条件下,判断是否存在最小值；若存在,求出其最小值,若不存在,说明理由.解析：〔1〕依题意：,∴∴,∴数列是首项为1,公差为5的等差数列.〔2〕,〔3〕令,则当时,函数单调递减；当时,函数单调递增；又因,而,所以当n=2时,数列a n存在最小值,其最小值为－18.类型四：解析几何5、已知椭圆C的方程为,点P〔a,b〕的坐标满足,过点P的直线l与椭圆交于A、B两点,点Q为线段AB的中点,求：〔1〕点Q的轨迹方程.〔2〕点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.思路点拨：本题求点的轨迹方程,点与椭圆的位置关系,直线与椭圆相交等知识.解析：〔1〕设点A,B的坐标为〔x1,y1〕,〔x2,y2〕,点Q的坐标为Q〔x,y〕.当x1≠x2时,可设直线l：y=k<x-a>+b由已知,……①y1=k<x1-a>+b,y2=k<x2-a>+b…②由①得<x1+x2><x1-x2>+<y1+y2><y1-y2>=0…③由②得y1+y2=k<x1+x2>-2ak+2b…④由③、④与,,得点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0……⑤当x1=x2时,l平行于y轴,因此AB的中点Q一定落在x轴上,即Q的坐标为〔a,0〕,显然Q点的坐标满足方程⑤.综上所述,点Q的坐标满足方程：2x2+y2-2ax-by=0.设方程⑤所表示的曲线为L,则由,得〔2a2+b2〕x2-4ax+2-b2=0由于Δ=8b2<a2+-1>,由已知a2+≤1所以当a2+=1时,Δ=0,曲线L与椭圆C有且只有一个公共点P〔a,b〕.当a2+＜1时Δ＜0,曲线L与椭圆无交点,而因为〔0,0〕在椭圆C内,又在曲线L上,所以曲线L在椭圆C内.故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0.〔2〕由,解得或,又由,解得或,则①当a=0,b=0,即点P<a,b>为原点.曲线L与坐标轴只有一个交点<0,0>②当a=0且0＜|b|≤时,即点P<a,b>不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时,点<a,0>与<0,0>重合,曲线L与坐标轴有两个交点<0,b>与<0,0>③当b=0且0＜|a|≤1时,即点P<a,b>不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时,曲线L与坐标轴有两个交点<a,0>与<0,0>.④当0＜|a|＜1且0＜|b|＜时,即点P<a,b>在椭圆C内且不在坐标轴上时,曲线L与坐标轴有三个交点<a,0>,<0,b>与<0,0>.总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方法,以与综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉与知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为考题区分度好,特别是分类讨论时易出错.举一反三：[变式1]讨论k的取值,说明方程表示的曲线.解析：方程中x、y的平方项系数是否为0,是否相等决定着方程表示的曲线,故需要对k值就以上情况分类讨论.当k2=0即k=0时,方程化为,表示顶点在原点,x轴为对称轴,开口向左的抛物线.当2k-1=0即时,方程化为x<x-8>=0∴x=0或x=8,表示y轴和过点<8,0> 斜率不存在的两平行直线.当k2=2k-1,即k=1时,方程化为,表示以<1,0>为圆心,半径为1的圆当k≠0,,k≠1时方程可化为当方程表示焦点在平行y轴直线上,中心在的椭圆当时,方程表示以为中心,焦点在x轴上的双曲线.[变式2]已知圆x2+y2=1和双曲线<x-1>2-y2=1,直线l与双曲线交于不同两点A、B,且线段AB的中点恰是l与圆相切的切点,求直线l的方程.解析：当l斜率不存在时,由对称性可知：l方程为x=-1当l斜率存在时设l方程为y=kx+b由l与圆相切l方程代入双曲线整理得<1-k2>x2-2<kb+1>x-b2=0 <1-k2≠0>,△＞0设A<x1,y1>,B<x2,y2>,AB中点为M,由AB⊥OM,,整理得k2+1+2kb=0将k2+1=b2代入∴b2+2bk=0,b<b+2k>=0∵b≠0,否则l过原点与圆不相切∴b=-2k,解方程组得经检验△＞0∴l的方程为x=-1或.。
分类讨论思想在解题中的应用1
分类讨论思想在解题中的应用一、方法概论分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位．所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关．2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的区域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等．5. 分类讨论思想的类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的．二、典例剖析例1、（2007·上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若，则k的可能值个数_____________。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用引言一、分类讨论思想的基本概念分类讨论思想是指在解决问题时，将问题按照某种特定的标准进行分类，然后逐一讨论每个分类下的情况，最终得出整体的结论。
这种解题方法适用于那些复杂且不易直接求解的问题，通过将问题分解成若干小问题进行研究和讨论，可以更好地把握问题的本质，找到解决问题的关键。
分类讨论思想在高中数学中应用广泛，尤其是在组合数学、概率统计和几何等领域。
通过对问题进行分类讨论，我们可以更好地理清思路，准确地找到解题的关键点，从而解决比较困难的问题。
1. 组合数学中的应用在高中数学中，组合数学是一个重要的分支，而分类讨论思想在组合数学中的应用尤为突出。
以排列组合问题为例，当我们面对一个复杂的排列组合问题时，可能会觉得不知从何下手。
这时候，我们可以尝试将问题按照某种特定的标准进行合理的分类，然后分别讨论各个分类下的情况。
通过分类讨论，我们可以将原来复杂的问题简化为若干个小问题，逐一解决，最终得出整体的结论。
举个简单的例子，假设有8个人参加一次比赛，他们的成绩分别是1、2、3、4、5、6、7、8名。
现在需要选出3个人作为优胜奖，问一共有多少种选法？这是一个典型的排列组合问题，通过分类讨论思想，我们可以将问题分为两种情况：一种是选出的3个人中包括第一名，另一种是选出的3个人中不包括第一名。
通过分类讨论，我们可以分别计算出这两种情况下的选法总数，然后相加即可得到最终的结果。
2. 概率统计中的应用概率统计是高中数学中的另一门重要课程，而分类讨论思想在概率统计中的应用也是非常突出的。
在解决概率统计问题时，通常会碰到一些复杂的情况，例如事件的相互关系复杂、事件的可能性多种多样等。
这时候，我们可以尝试将问题按照某种合理的标准进行分类，逐一讨论每个分类下的情况，从而找到问题的解决方法。
举个简单的例子，假设有一个梯形，上底为a，下底为b，高为h，要求证明这个梯形的面积为(a+b)h/2。