八年级(上)第一章勾股定理复习教案
八年级（上）第一章复习 勾股定理
一、全章要点
1、勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）
2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2
+b 2
＝c 2
，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的证明 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，22
14()2
ab b a c
?+-=，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为22
1422
S ab c ab c
=?
+=+
大正方形面积为2
2
2
()2S a b a ab b =+=++ 所以2
2
2
a b c +=
方法三：1()()2
S a b a b =+?+梯形，2
112S 22
2
ADE ABE S S ab c
??=+=?
+
梯形，化简得证
4、勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等 二、经典训练 （一）选择题：
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；
B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；
C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；
D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）
A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 2
22c b a =+
3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A ．121
B ．120
C ．90
D ．不能确定
4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 （二）填空题：
5．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．
6．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a 、b 、c 之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边a 、b 、c 满足222b c a =+，那么这个三角形是 三角形，其中b 边是 边，b 边所对的角是 ． 7．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形．
8． 若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．
9．如图，已知ABC ?中，?=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半
圆的面积是 ．
10． 一长方形的一边长为cm 3，面积为2
12cm ，那么
它的一条对角线长是 ． 二、综合发展:
11．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．
12.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？
c
b a
H
G F E
D
C
B
A
a b
c c
b
a
E D C
B
A b
a c
b
a
c c
a
b
c
a
b
A
C
B
3m
4m 20m
13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
14．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
15．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要
沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是多少？
16．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？
A
小汽车 小汽车
B
C 观测点
5
20
15 10
C A B
北师大八年级上《第一章勾股定理》单元测试卷(含答案解析)
2018年秋八年级上学期第一章勾股定理单元测试卷 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号一二三总分 得分 评卷人得分 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积（） A．6 B．12 C．24 D．24 2．（4分）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．64 3．（4分）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
（） A．B．C．D． 4．（4分）下列各组数中，是勾股数的为（） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，9 5．（4分）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（） A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm 6．（4分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 7．（4分）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（） A．B．C．D． 8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交
八年级数学勾股定理练习题
勾股定理练习 一．填空题： 1. 已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为_______. 2．在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=___________. 3．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE=4， AC=10，则AB=_____________. 4．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边， 花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。 5．已知两条线段的长为9cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条 6．如图，在△ABC 中，则DE 的长为_______. 7的正方形的边和长为7cm 。 (第3题) 8．在一棵树的10的A 处。另一只爬到树顶9．有两棵树，一棵高6的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米 ，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.则四边形ABCD 的面积 20dm 、3dm 、2dm ，A 和 A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则 _____________. （第9题） （第10题） （第11题） 二．选择题： 1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4,c=5 C A B C D 20 32A B
八年级上《勾股定理》期末复习试卷.doc
勾股定理复习题 班级________姓名________ 一、方程思想 1. (1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= . (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=24，a：c=15：17，则Rt△ABC面积为. (3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c-a=4，b=16，则a= ，c= . (4) 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______． (5) 一个直角三角形的三边为三个连续整数，则它的三边长分别为. (6) 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为. 二、分类讨论思想x 1．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______． 2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积． 三、类比思想 1．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3． (1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明) (2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你 、S2、S3之间的关系并加以证明． 确定S 四、整体思想 在直线l上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____． 五、数形结合思想 1．如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km，BB1=4km，A1B1=8km．现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距 离是多少千米？ *2．如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.
八年级初二数学勾股定理知识点-+典型题含答案
一、选择题 1．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（ ）． A ．AF ⊥AQ B ．AF=AQ C ．AF=A D D ．F BAQ ∠=∠ 2．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ） ①222a c b -=;②2 ()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 ;⑤111,,345a b c = ==;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( ) A ．8 B ．8.8 C ．9.8 D ．10 4．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( ) A 2 B ．2 C 3 D ．4 5．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )
A ．(3510)cm + B ．513cm C ．277cm D ．(2583)cm + 6．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b=4，c=6 B ．a =1，b=2，c=3 C ．a =5，b=6，c=8 D ．a =3，b=2，c=5 7．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（ ） A ．5 B ．51- C ．51+ D ．51-+ 8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 9．下列各组数据，是三角形的三边长能构成直角三角形的是（ ） A ．2,3,4 B ．4,5,6 C ．2223,4,5 D ．6,8,10 10．如图，在ABC ?中，D 、 E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?，4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．15二、填空题 11．如图，AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ， AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，E 是CD 的中点，则AE 的长是____ ___．
八年级上册数学第一章勾股定理知识点与练习
八年级上册数学第一章勾股定理知识点与练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
勾股定理 知识点一：勾股定理 勾股定理: . 勾股数： . 常见勾股数：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25。 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 例1、若Rt ABC 中，90C ?∠=且a=5,b=12,则c= , 例2、Rt △ABC 中，若c=10,a ∶b=3∶4,则a= ,b= . 例3、如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ， 则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm 4、下列各组数：①0.3，0.4，0.5；②9，12，16；③4，5，6；④a 8，a 15，a 17（0≠a ）； ⑤9，40，41。其中是勾股数的有（ ）组 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 练习 1、在△ABC 中，∠C=90°,c=37,a=12，则b=（ ） A 、50 B 、35 C 、34 D 、26 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ） A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10 3、若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =（ ） A 、169 B 、119 C 、169或119 D 、13或25 知识点二：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 例1、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2 －ｃ2 ,则此三角形是 ( ).
八年级数学上册知识点：勾股定理
八年级数学上册知识点：勾股定理八年级数学上册知识点：勾股定理 一、勾股定理： 1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别 为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ２.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： （1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙， 面积不会改变； （2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等 式，推导出勾股定理。 4.勾股定理的适用范围： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量 关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三 角形的三边就不具有这一特征。 二、勾股定理的逆定理 1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否 是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来
确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边 的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式， 不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足 a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形， 但此时的斜边是 b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角 三角形的一般步骤： （1）确定最大边； （2）算出最大边的平方与另两边的平方和； （3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等， 若相等，则说明是直角三角形。 三、勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股 数. 四、一个重要结论： 由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足 “两个较小面积和等于较大面积”。 五、勾股定理及其逆定理的应用 解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问 题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定
第一章勾股定理测试题
第一章勾股定理测试题 一．填空题（每题4分，共32分） 1． 如图在△ABC 中，∠C=?90，已知两直角边 A b C a 和 b ，求斜边 c 的关系式是__________________; 已知斜边c 和一条直角边b （或a ），求另一直角边 a a （或 b ）的关系式是________________ 或_______________. 2．在△ABC 中，若222BC AB AC =+，则∠B+∠C=_____°. 3．在Rt △ABC 中，∠C=?90, 若a=40，b=9，则c=__________; Ａ 4．如图，△ABC 中，AB=AC ， BC=16，高AD=6，则 腰长AB=________________. Ｂ Ｄ Ｃ 第４题图 5．木工师傅做一个宽60cm ，高80cm 的矩形木柜，为稳固起见，制作时需在对角顶点间 加一根木条，则木条长为___________________cm . 6．一艘轮船以16Km ／h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以 12Km ／h 的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距_________________Km . 7．如图，已知△ABC 中，∠ACB=?90， 以△ABC 各边为边向三角形外作三个正方形， Ａ 3S 1S 、2S 、3S 分别表示这三个正方形的面积， 1S 1S =81，3S =225，则2S =__________________. Ｃ 2S Ｂ 8．等腰三角形的腰长为13cm ，底边上的高为5cm ，则它的面积为_____________. 二．选择题（每题4分，共28分） 9． 在△ABC 中，已知AB=12cm ,AC=9cm ,BC=15,cm 则△ABC 的面积等于 ( ) A.1082cm B.542cm C.1802cm D.902 cm 1０．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( ) A ．9、12、15 B ．41、40、9 C ．25、7、24 D ．6、5、4
八年级上册勾股定理复习资料
八年级上册学生辅导材料－－勾股定理 1、 勾股定理： 几何语言： 如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90° 根据勾股定理：222c b a =+ 1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为3cm ，4cm ，则斜边长为_________ 斜边上的中线长为_____________，斜边上的高长为_________________ 2、在Rt △ＡＢＣ中， ＡＢ＝c ， ＢＣ＝a ， AC ＝b ，，∠C=90°，（要求画出草图） ①已知a=5，b=12，求c ？ ②已知a=15，c=25，求b ？ ③若a ∶b=3∶4，c=10求ABC S ?？ 3、如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆， 求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离． 4、一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积为 （ ） A 、13 B 、5 C 、13或5 D 、无法确定 5、下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，求第4个直角三角形斜边长 度是 cm 练习： 6、正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ） A 、2 B 、2 C 、22 D 、4
7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ ） A 、6 B 、6 C 、5 D 、4 8、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部 抵着地面，此时，顶部距底部有 m ； 9、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，AB=60m,BC=84m, AE=100m,?则这条小路的面积是多少? 10、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？ 2、勾股定理的逆定理： ______________________________________________________________. 判断一个三角形是否为直角三角形 方法：（1）先确定最大边（如c ） （2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 勾股数： 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 11、如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： 从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点上，且长度分别为 （1）32； （2）25； (3) 10 (4)13 12. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C ＝３０°， 求∠B 的大小． 13. 如图，AD ⊥CD ， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 已知 8km C A B 6km
北师版八年级数学第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习
北师版八年级数学第1章 勾股定理 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体
北师大版八年级上册第一章勾股定理 专题复习学案
第一章《勾股定理》专项练习 专题一：勾股定理 考点分析： 勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析 例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件 平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算 两圆孔中心A和B的距离为______mm． （2）如图2，直线l上有三个正方形a b c ，，，若 的面积分别为5和11，则b的面积为（） A．4 B．6 C．16 D．55 分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可． 解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm） （2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C． 点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决． 例2．如图3，正方形网格的每一个小正 方形的边长都是1，试求 122424454 A E A A E C A E C ++ ∠∠∠的度数． 解：连 32 A E． 32122222 A A A A A E A E == ，， 322122 90 A A E A A E ∠=∠=， 322122 Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS）． 322122 A E A A E A ∴∠=∠． 由勾股定理，得： 4532 C E C E ===， 4532 A E A E ===， 图2 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 5 E 2 E 1 1 1 1 4 C 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 5 E 2 E 1 1 1 1 4 C 3 C 2 C 图3
(完整版)《勾股定理》专题复习(含问题详解)
第一章《勾股定理》专项练习 专题一：勾股定理 考点分析： 勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题 典例剖析 例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器 零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______mm ． （2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，， 若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．55 分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可． 解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB 2 =902 +1202 =22500，所以AB=150（mm ） （2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ． 点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决． 例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求 122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数． 解：连结 32A E ．32122222A A A A A E A E ==Q ，，32212290A A E A A E ∠=∠=o ， 322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠． 由勾股定理，得：4532C E C E = == ，4532A E A E ===， 44332A C A C ==Q ，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠ 图 1 图2 1 A 2A 3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1 B 4C 1 A 2A 3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C 3C 2C 图3
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)
第一章 勾股定理 知识点一：勾股定理定义 画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32 +42 与52 的关系，52 +122 和132 的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2 +b 2 ＝c 2 ） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。 知识点二：验证勾股定理 知识点三：勾股定理证明（等面积法） 例1。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2 ＋b 2 =c 2 。 证明： 例2。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2 ＋b 2 =c 2 。 证明： 知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90° (1) 已知：a=6, b=8，求c b b b A B
如果三角形的三边长为c b a ,,，满足2 22c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ） ②计算2c 与22 a b +，并验证是否相等。 若2c =22 a b +，则△ABC 是直角三角形。 若2 c ≠22 a b +，则△ABC 不是直角三角形。 1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5 2.三角形的三边长为ab c b a 2)(2 2 +=+,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数 （1）满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数． （2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41． 1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）. A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ） A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶7 知识点七：确定最短路线 1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？ 2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 . 知识点八：逆定理判断垂直 1．在△ABC 中，已知AB 2 －BC 2 ＝CA 2 ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形； B ．直角三角形； C ．钝角三角形； D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( ) A B C D A ' B ' C D 'B C
八年级上册数学第一章勾股定理知识点与练习知识讲解
八年级上册数学第一章勾股定理知识点与 练习
勾股定理 知识点一：勾股定理 勾股定理: . 勾股数： . 常见勾股数：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25。 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 例1、若Rt ABC 中，90C ?∠=且a=5,b=12,则c= , 例2、Rt △ABC 中，若c=10,a ∶b=3∶4,则a= ,b= . 例3、如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ， 则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm 4、下列各组数：①0.3，0.4，0.5；②9，12，16；③4，5，6；④a 8，a 15，a 17（0≠a ）； ⑤9，40，41。其中是勾股数的有（ ）组 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 练习 1、在△ABC 中，∠C=90°,c=37,a=12，则b=（ ） A 、50 B 、35 C 、34 D 、26 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ） A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10 3、若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =（ ） A 、169 B 、119 C 、169或119 D 、13或25 知识点二：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 例1、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2 －ｃ2 ,则此三角形是 ( ).
第一章勾股定理
第一章勾股定理 1．探索勾股定理（一） 一、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强． 二、教学任务分析 本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 三、教学目标分析 ●知识与技能目标 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． ●数学思考 让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． ●解决问题 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
●情感与态度 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习． 四、教法学法 1.教学方法：引导—探究—发现法． 2.学习方法：自主探究与合作交流相结合． 五、教学过程设计 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业． 第一环节：创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理” 的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情. 第二环节：探索发现勾股定理 1．探究活动一： 内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察： （2）引导学生从面积角度观察图形：
(完整)八年级上册勾股定理练习题及答案
八年级勾股定理练习题及答案 1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9.如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ “路” 4m 3m 第2题图第5题图 第7题图第9题图 第8题图 5m 13m 第11题
八年级(上册)勾股定理复习资料全
八年级上册学生辅导材料－－勾股定理 1、 勾股定理： 几何语言： 如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90° 根据勾股定理：2 2 2 c b a =+ 1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为3cm ，4cm ，则斜边长为_________ 斜边上的中线长为_____________，斜边上的高长为_________________ 2、在Rt △ＡＢＣ中， ＡＢ＝c ， ＢＣ＝a ， AC ＝b ，，∠C=90°，（要求画出草图） ①已知a=5，b=12，求c ？ ②已知a=15，c=25，求b ？ ③若a ∶b=3∶4，c=10求ABC S ?？ 3、如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆， 求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离． 4、一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积为 （ ） A 、13 B 、5 C 、13或5 D 、无法确定 5、下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，求第4个直角三角形斜边长 度是 cm 练习： 6、正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ） A 、2 B 、2 C 、22 D 、4 7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ ） A 、6 B 、6 C 、5 D 、4 8、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部 抵着地面，此时，顶部距底部有 m ； 9、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，AB=60m,BC=84m,
AE=100m,?则这条小路的面积是多少? 10、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？ 2、勾股定理的逆定理：______________________________________________________________. 判断一个三角形是否为直角三角形 方法：（1）先确定最大边（如c ） （2）验证2 c 与2 2 b a +是否具有相等关系 （3）若2 c =2 2 b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2 c ≠2 2 b a + 则△ABC 不是直角三角形。 勾股数： 满足2 2 b a +=2 c 的三个正整数，称为勾股数。 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 11、如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： 从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点上，且长度分别为 （1） 3 2； （2）25； (3) 10 (4)13 12. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C ＝３０°， 求∠B 的大小． 13. 如图，AD ⊥CD ， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 已知∠C ＡＢ＝α，求∠B ． 14、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图，请问这个零件符合要求吗？ 8km C A B 6km
八年级上册第一章《勾股定理》复习要点
八年级上册第一章《勾股定理》复习要点 知识点一：勾股定理 要点：⑴.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ， ⑵.历史文化： 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。 ⑶格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 =82 +152 =64+225=289 ∵C ＞0 ∴C=17 【典例精析】 1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端 距墙脚的距离是（ ）． (A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m 2．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ． 3．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形， 这个图形被称为弦图．从图中可以看到： 大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而 c 2 ＝ ＋ ． 化简后即为 c 2 ＝ ． 知识点二：直角三角形的判别 要点; *如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个三角形是直角三角形。 （勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件） 【典例精析】 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A.5、6、7 B.1、4、9 C.5、1 2、13 D.5、11、12 A C 160b c
八年级数学勾股定理练习题及答案
勾股定理 练习题 温故而知新： 1.勾股定理 直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2. 2.勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法，如图所示. 3.直角三角形的性质 两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系），30°角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用. 例1 （2013·安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行（） 米米 米米 解析：小鸟飞行的最短路线如图所示为线段AB；过点A向10米高的树作垂线，垂足为C，则易知AC=8米，BC=10-4=6（米）；根据勾股定理可得 AB=22 +=10（米）. 86 AC BC +=22 答案：B 小结：在解决实际问题时，往往根据题意把实际问题转化为数学问题，构造直角三角形利用勾股定理来解决.有时根据需要巧设未知数，借助勾股定理列方程求解，常可使问题简便. 例2 （2013·衢州）如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（） cm cm
2 cm 2 cm 解析：如图所示在图中标上字母，过点A 作AD ⊥BD ， 垂足为D ，则AD=3 cm ； 因为∠ABD=30°，所以AB=2AD=6 cm ； 又△ABC 是等腰直角三角形，故BC=AB=6 cm ，根据勾股定理可得 AC=22AB BC +=2266+=62（cm ） 答案：D 小结：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，45°的直角三角形中，斜边是直角边的2倍. 例3 如图所示，公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°.求出这块草地的面积. 解析：连结BD ，作CE ⊥BD ,交BD 于E 点， 构造含特殊锐角（30°或45°）的直角三角形求解. 答案：解：连结BD ，作CE ⊥BD ,交BD 于E 点. ∵DC=BC ，∴△BCD 是等腰三角形. ∵∠BCD=120°, ∴∠BCE=60°. 又BC=10m , 则EC=12 BC=5m ，∴BE=22BC EC -=53m ，BD=2BE=103m , ∴BDC S V =12EC ·BD=12 ×5×103=253（m 2）. 又∠DBA=∠CBA -∠CBE=90°，∠A=45°，∴△DBA 是等腰直角三角形. ∴DAB S V =12BD ·AB =12 ×103×103=150（m 2）. ∴这块草地的面积S=BDC S V +DAB S V =（150+253）m 2. 小结：对于本题中这类图形，适当添加辅助线，将图形切割为基本图形，再进行相关计算. 举一反三： 1.(2013·黔西南)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） B. 7 C. 5 或7 解析：分长为4的边为直角边和斜边两种情况考虑.