关于椭圆基本性质的讨论
椭圆的基本性质
椭圆的基本性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些特定的性质。
在本文中，我们将介绍椭圆的基本概念以及与它相关的一些重要性质。
1. 椭圆的定义与特点椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆的形状可以用离心率来描述，当离心率小于1时，椭圆更加接近于一个圆形；当离心率等于1时，椭圆退化为一个特殊的圆；当离心率大于1时，椭圆的形状变得更加扁平。
2. 椭圆的中心与轴椭圆的中心是指位于椭圆的中心点，它同时也是椭圆的两个轴（主轴和次轴）的交点。
主轴是通过椭圆的中心，并且与椭圆的两个焦点重合的直线段；次轴是与主轴垂直，并通过椭圆的中心的直线段。
主轴的长度称为椭圆的长轴，次轴的长度称为椭圆的短轴。
3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是椭圆上到两个固定点的距离之和等于常数的点，它们位于椭圆的主轴上，并且与椭圆的中心对称。
准线是与主轴平行，并且通过椭圆的焦点的直线段。
4. 椭圆的半长轴与半短轴椭圆的半长轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条主轴上的一个顶点的距离，长度记为a。
半短轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条次轴上的一个顶点的距离，长度记为b。
椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b之间存在着如下关系：e = √(1 - b^2/a^2)。
5. 椭圆的周长与面积椭圆的周长可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：C =4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分，是一个与椭圆离心率有关的特殊函数。
椭圆的面积可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：S = πab。
6. 椭圆的离心率与轨道的形状离心率可以帮助我们描述椭圆的形状，离心率越小，椭圆越接近于完美的圆形；离心率越大，椭圆越扁平。
在天文学中，行星的轨道通常是椭圆，其中太阳位于椭圆的一个焦点上。
例如，地球的轨道就是一个离心率接近于0.017的椭圆。
通过以上对椭圆的基本性质的介绍，我们对椭圆有了更深入的了解。
椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
椭圆与双曲线的基本性质
椭圆与双曲线的基本性质椭圆和双曲线是二维平面上的两种常见曲线类型，它们在数学和其他领域中具有广泛的应用。
本文将介绍椭圆和双曲线的基本性质，并探讨它们在几何学和物理学中的重要作用。
一、椭圆的性质椭圆由平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点构成。
这两个给定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距。
椭圆的性质如下：1. 中心与焦点：椭圆的中心即为焦点的平分线上的点，记为O。
椭圆的两个焦点分别为F1和F2。
2. 长轴与短轴：直线F1OF2称为椭圆的主轴，长度为2a；主轴的中点称为椭圆的中心。
主轴上的两个点分别称为顶点，距离中心的距离为a。
垂直于主轴并过中心的直线称为次轴，长度为2b。
3. 半焦距：半焦距为c，满足c² = a² - b²。
4. 离心率：椭圆的离心率定义为e = c/a。
离心率描述了椭圆形状的独特特征，范围在0到1之间。
5. 焦点到任意点的距离和：对于椭圆上的任意一点P(x, y)，有FP1 + FP2 = 2a，其中FP1和FP2表示点P到两个焦点的距离。
二、双曲线的性质双曲线由平面上到两个给定点的距离之差等于常数的点构成。
这两个给定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距。
双曲线的性质如下：1. 中心与焦点：双曲线的中心即为焦点的平分线上的点，记为O。
双曲线的两个焦点分别为F1和F2。
2. 长轴与短轴：直线F1OF2称为双曲线的主轴，长度为2a；主轴的中点称为双曲线的中心。
主轴上的两个点分别称为顶点，距离中心的距离为a。
垂直于主轴并过中心的直线称为次轴，长度为2b。
3. 半焦距：半焦距为c，满足c² = a² + b²。
4. 离心率：双曲线的离心率定义为e = c/a。
离心率也描述了双曲线形状的特征，但范围大于1。
5. 焦点到任意点的距离差：对于双曲线上的任意一点P(x, y)，有|FP1 - FP2| = 2a，其中FP1和FP2表示点P到两个焦点的距离。
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
椭圆的性质大总结
椭圆的性质大总结椭圆是平面上的一种几何图形，它具有许多有趣的性质和特点。
在数学和工程领域中，椭圆的性质被广泛应用于各种问题的解决和实际应用中。
本文将对椭圆的性质进行大总结，从椭圆的定义、方程、焦点、离心率、直径、面积和周长等方面进行详细的介绍。
首先，我们来看椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和为常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，而常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的长轴的一半称为半长轴，通常用字母a表示。
同理，椭圆的短轴的一半称为半短轴，通常用字母b表示。
椭圆的离心率e定义为焦点之间的距离与长轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦点之间的距离。
其次，我们来看椭圆的方程。
椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。
当椭圆的中心不在坐标原点时，方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
通过椭圆的方程，我们可以确定椭圆的位置、大小和形状。
接着，我们来看椭圆的焦点。
椭圆有两个焦点F1和F2，它们位于椭圆的长轴上，且与椭圆的中心连线垂直。
焦点与椭圆的距离满足以下关系：c^2 = a^2 - b^2。
椭圆的焦点是椭圆性质中的重要概念，它在椭圆的定义和性质推导中起着重要作用。
再者，我们来看椭圆的直径。
椭圆有两个重要的直径，分别为长轴和短轴。
长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
椭圆的直径是椭圆性质中的重要概念，它与椭圆的焦点、离心率和方程等有着密切的联系。
此外，我们来看椭圆的面积和周长。
椭圆的面积可以用公式πab来表示，其中π为圆周率。
椭圆的周长没有简单的表达式，通常需要用椭圆积分来计算。
椭圆的面积和周长是椭圆性质中的重要概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。
总之，椭圆是一种重要的几何图形，它具有许多有趣的性质和特点。
通过对椭圆的定义、方程、焦点、离心率、直径、面积和周长等方面的介绍，我们可以更好地理解和应用椭圆的性质。
椭圆知识点及结论总结
椭圆知识点及结论总结**一、椭圆的定义**椭圆是指到定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P到定直线l的距离之和相等的点的轨迹。
其中，l为连接F1和F2的连线的垂直平分线。
**二、椭圆的性质**1. 对称性：椭圆具有对称性，其形状关于两轴方向对称，对称轴是长轴和短轴。
2. 焦点和直径关系：椭圆上每一个点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度2a。
3. 离心率：椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
椭圆的离心率在0到1之间。
4. 焦角性质：椭圆上任意一点处的法线与连接该点与两个焦点的连线的夹角相等。
**三、椭圆的方程**椭圆的一般方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。
当椭圆的中心位于原点时，方程可以简化为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
此外，我们还可以通过椭圆的焦点和离心率来描述椭圆的方程。
**四、椭圆的参数方程**椭圆也可以通过参数方程来描述，参数方程为x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，t为参数。
参数方程描述了椭圆上所有点的坐标。
通过参数方程，我们可以更加直观地理解椭圆的形状和特性。
**五、椭圆的应用**1. 天体轨道：行星、卫星等天体的运动轨道大多为椭圆形。
通过研究椭圆轨道，可以更好地了解天体的运动规律和预测其轨道变化。
2. 工程设计：椭圆曲线在工程设计中有着广泛的应用，例如椭圆形的建筑结构、汽车轮胎的设计等。
3. 导弹轨迹：导弹的轨迹可以用椭圆来描述，研究导弹的椭圆轨道可以帮助提高导弹的精准度和命中率。
**结论**通过本文的探讨和分析，我们了解了椭圆的定义、性质、方程及其应用。
椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用价值。
通过对椭圆的深入研究和了解，可以更好地应用椭圆的特性，解决实际问题和推动科学技术的发展。
希望本文能够对读者对椭圆有一个更加全面的了解，并对椭圆的研究和应用提供一些启发和帮助。
椭圆与抛物线的性质
椭圆与抛物线的性质椭圆和抛物线是数学中两个重要的曲线形状，它们具有一些独特的性质和特点。
在本文中，我们将探讨椭圆和抛物线的一些基本性质，并通过实际例子来加深理解。
一、椭圆的性质椭圆是由平面上一动点P到两定点F1、F2（称为焦点）的距离之和恒定于定值2a（a>0）的点的轨迹，记为E。
椭圆有以下几个重要的性质：1. 椭圆的离心率椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。
离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆接近于一个圆；当离心率接近于1时，椭圆变得更加扁平。
离心率大于1的椭圆被称为超椭圆，离心率小于1的椭圆被称为缩椭圆。
2. 椭圆的焦点性质对于椭圆上的任意一点P，它到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。
这个性质被称为椭圆的焦点性质，它是椭圆的定义之一。
3. 椭圆的长轴和短轴椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，它的长度为2a；椭圆的短轴是通过中心点的直线段，它的长度为2b。
长轴和短轴决定了椭圆的大小和形状。
二、抛物线的性质抛物线是由平面上一点P到一定直线L的距离等于点P到直线L的垂直距离平方的轨迹，记为P。
抛物线具有以下几个重要的性质：1. 抛物线的焦点性质抛物线上的每个点到焦点的距离等于到准线的距离，这个性质被称为抛物线的焦点性质。
焦距是抛物线上特殊的点，它决定了抛物线的形状和大小。
2. 抛物线的对称性抛物线以焦点为对称轴具有对称性，即抛物线上任意一点关于焦点的对称点也在抛物线上，同时抛物线也以准线为对称轴具有对称性。
3. 抛物线的切线性质在抛物线上任意一点P处的切线与焦点F之间的夹角等于该点与准线之间的夹角的一半。
这个性质对于研究抛物线的切线方程和曲率很有用。
综上所述，椭圆和抛物线是两个重要的曲线形状，它们具有各自独特的性质和特点。
对于椭圆来说，离心率、焦点性质以及长轴和短轴是关键的性质；而对于抛物线来说，焦点性质、对称性和切线性质是重要的性质。
了解和掌握这些性质可以帮助我们更好地理解和应用椭圆和抛物线在数学和物理问题中的应用。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
《椭圆的简单几何性质》知识点总结
椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。
在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。
1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。
椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。
准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。
准线的长度定为2b（短轴）。
椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。
3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。
副轴是短轴，长度为2b。
长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。
4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。
我们把这个距离之和称为焦准距。
对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。
5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。
离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。
当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。
离心率越接近于0，椭圆形状越扁。
6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。
标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。
7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。
即PF1+PF2=2a。
8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是我们在数学中经常遇到的一个几何形状，它与圆形有着密切的关系。
本文将从椭圆的定义、特点与性质等角度进行阐述。
一、定义椭圆可以被定义为平面上满足一定条件的点的集合。
具体而言，对于一个给定的点F（焦点）和一条给定的长度2a（长轴），满足到该点F到椭圆上任意一点P到两条焦点的距离之和等于2a的性质（即FP1 + FP2 = 2a）的所有点的集合就是椭圆。
二、性质1. 椭圆的长短轴在定义中提到了长轴，那么自然会有短轴的概念。
椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，而短轴则是与长轴垂直，并且通过椭圆中心O的线段。
长轴的长度2a通常被称为椭圆的主轴，短轴的长度2b则被称为椭圆的副轴。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的性质，它可以帮助我们了解椭圆的形状。
离心率e定义为焦点到中心距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c是焦距。
当离心率小于1时，我们可以得到一个完整的椭圆。
当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于一个圆。
当离心率等于1时，我们则可以得到一个特殊的椭圆，也称之为扁平椭圆或者简称为抛物线。
3. 椭圆的焦点性质椭圆有一个独特的性质：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即FP1 + FP2 = 2a。
这一性质也可以用来定义椭圆。
4. 椭圆的几何形状在平面上，椭圆呈现出一种特殊的形状。
与圆相比，椭圆的形状更加扁平。
椭圆的形状还与长轴和短轴的长度之间的比例有关。
5. 椭圆的焦平面性质椭圆与焦平面有着特殊的关系。
如果我们在椭圆上选择任意两个不同的点P和Q，并且做出焦点F1和F2到这两个点的连线，那么这两条连线所组成的平面与椭圆的法线相交于同一点。
这个点就是椭圆的焦点平面上的点。
6. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程也是我们在研究椭圆性质时常用的一种表示方法。
一般而言，我们可以使用参数t或θ来表示椭圆上的点的坐标。
通过参数方程，可以更加方便地描述椭圆上的点的位置。
结语：椭圆作为几何学中的一种重要形状，具有独特的定义和性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ｃ ＝ ４ ．０ ＝ ５ ．ｂ 。 ＝５ 一 ４。 ＝ ９
２ 椭 圆性质 研 究
２
２
，
根据上 面分 析 ， 我 们 以椭 圆方 程
＋
＝１
收稿 日期 ： ２ ０ １ ５－ ０ ４— ０ ５
基金项 目： 贵州省高等学校省级 “ 专业综合改革 ” 项 目（ ２ ０ １ ２ ４ ２ ６ ） ， 贵州省高等学校省级教学团队项 目（ ２ ０ １ ２ ４ ２ ６ ） 作者简介： 冯庆江 （ １ ９ ８ １－） ， 男， 河北秦皇岛人 ， 凯里学院数学科学学院讲师 ， 研究方向为数学教育．
使用何丽亚主编的《 数学》 教 材（ 西南交通大学出 版社 ， ２ ０ １ ３年 第 一 版 ） Ｊ ， 在教学过 程 中， 当 讲 解
Ｐ１ ７ ６中的例 １ 时， 引起 了我对 椭 圆性 质 的思考 ． 下 面 是教 材 中 例 １的 内 容 ： 已知 Ａ， Ｂ 是 ２个 定 点 ，
线段 Ａ Ｂ 的中点 为原点 ０建立 直角坐 标 系
动 而变 化． 即使 ０ （ 。 ， Ｙ 。 ）的位 置是 固定 的 ， 也不 能
判 断椭 圆 Ｃ的具 体位置． 比如 ， 我们 以 ０ （ ‰， Ｙ ｏ ）为 圆心， ｒ＝４为半径作 一个 ｏ ０ ， 如图 ２所示 ． 只要
（ 凯里学 院 ， 贵州 凯里
摘
５ ５ ６ ０ １ １ ）
要： 对预 科《 数 学》 教 材 中的一道 例题探 讨 ， 归纳 总 结 了椭 圆的基 本性 质 ， 提 出 了影 响椭 圆形
状、 大 小、 位 置 的 因素 ， 结论 对 圆锥 曲线 的教 学具有 一 定的参 考价值 ．
关键 词 ： 椭 圆； 形状 ； 大小； 位 置 论 文编码 ： Ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３— ９ ３ ２ ９ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ３ ． ４ ８
然而 ， 在本 题解 答过 程 中 ， 作 者通 过 以过 ， Ｂ
图 １ 直 角坐标 系 由题 意 可知 Ｉ Ａ Ｂ Ｉ ＋ ｌ Ａ Ｃ Ｉ ＋ Ｉ Ｂ Ｃ ｌ＝ １ ８， 又 因为 ｌ Ａ Ｂ Ｉ＝８， 则有
Ｉ ＡＣ ｌ＋１日Ｃ ｌ＝ １ ０
０ 引 言
但是 当点 Ｃ在 直线 Ａ Ｂ上 ， 即 Ｙ＝０时 ， Ａ， Ｂ，
２
，
人 们研 究数学 分支 中的几何学 ， 主要 体现 在研
究几何 图形 的形状 、 大小 、 位 置等方 面 ． 这 一学
Ｃ ３点 不能 构成三 角形 ， 因此 点 Ｃ的轨 迹方 程是
＋
期， 我担任 少数 民族 预 科 班数 学 课 程 的 教学 工 作 ，
迹 方程 ．
的位置是 不 固定 的． 也 就是 说 ， 我 们 可 以在 平 面 直
角 坐标 系 内任 意 取一 点 ０ （ 。 ， Ｙ 。 ）作 为 椭 圆 的对 称 中心 ， 那 么椭 圆 Ｃ的位置将 随着 ０ （ 。 ， Ｙ 。 ）的运
解
如图 １ 所示 ， 以过 ， Ｂ的直线 为 轴 ， 以
规定 Ａ， Ｂ为 ｏ ０ 中任意 一条 直 径 的 ２个 端 点 ， 那
ｃ
一
一
么就有 Ｉ Ａ Ｂ Ｉ ＝８ 成立 ， 即椭 圆 Ｃ 可以将 ０ （ 。 ， Ｙ 。 ）
作 为 中心 进 行旋 转 ， 即椭 圆 Ｃ的 位 置 仍 然 是 变 化
的， 如 图 ３所示 ．
等＝ １ （ ｙ ≠ ０ ） ．
根 据上 面教材 中给 出的详细解 题 过程 ， 我 们 可
１ 对 例题 的剖 析
以看 到 ， 这 是一道 典 型 的开 放题 ． 因 为在 例 题 中并 没有 给 出 Ａ， Ｂ 的坐 标 ， 即点 Ｃ的 轨迹 所 表 示 椭 圆
ｌ Ａ Ｂ ｌ ＝８， 且， ￣ Ａ Ｂ Ｃ的周 长等 于 １ ８ ， 求顶 点 Ｃ的轨
Ｊ
（ ２ ） 椭 圆 的大小
． ．
２
２
椭圆Ｃ ： ＋ 告 ＝１ （ Ⅱ ＞ｂ ＞ ０ ） 和 椭圆Ｃ ：
２
＾，
２
裔 ＋ 裔 （ 血 ＞ ６ ＞ ０ ， ｋ ＞ ０ ， ｋ ≠ １ ） 的 离
心率 相 同 ， 即椭 圆 Ｃ 和 椭 圆 Ｃ 的 形状 是 一 样 的 ． 那么 当 ０ ＜尼＜１时 ， 有 ａ ＞ａ ｋ ， ｂ＞ｂ ｋ 成立 ， 即椭
的直线 为 轴 ， 以线 段 Ａ Ｂ的 中点 为原 点 Ｏ建立 直 角 坐标 系 ， 巧 妙地 确 定 了 Ａ， Ｂ ２点 的坐 标 ， 因此 椭 圆的位 置也 就 随之 确定 了， 问 题 得 到 了 完 美 的
解决．
由椭 圆 的 定 义 可 知 点 Ｃ 的 轨 迹 是 椭 圆 ， 且
第３ ３卷 第 ３期
２ ０ １ ５年 ６月
凯 里 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｋａ ｉ ｌ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖｏ １ ． ３ ３ Ｎｏ． ３
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ５
关 于椭 圆基本 性质 的讨 论
冯庆江 ， 肖绍 菊 ， 杨 娟
大家都 知道 ， 圆 的位 置 由圆 心决 定 ． 我 们 以此
作类比 ， 对于 椭圆 ＋ 告＝ １ （ 。 ＞ ｂ ＞ ０ ） 来 说， 当
＼ ／
ａ ＝ｂ， Ｃ＝０时 ， 此 时离 心率 ｅ ｍ ０， 这 时椭 圆 的 ２ 个焦 点重 合 ， 它 的图形就 变 为 圆． 由此 可知 ， 影 响椭 圆位 置 的因素 主要 是焦点 Ｆ ， Ｆ ２， 即如 果椭 圆焦点
Ｄ
圆Ｃ １比椭 圆 Ｃ ２ 大； 反之 ， 当 ＞ １ 时， 有 ０ ＜０ ， ｂ ＜ｂ ｋ 成立 ， 即椭 圆 Ｃ ． 比椭 圆 Ｃ ： 小． 由此可 知 ， 假 设 Βιβλιοθήκη 图２ 圆 ０ ／ — — ＼
椭 圆 的离 心率 不变 ， 那 么影 响椭 圆大小 的 因素主要
是长 半轴 ａ和短半 轴 ｂ． （ ３ ） 椭 圆 的位 置