2011智轩高数基础导学讲义--第十二章 无穷级数
考研高数讲义新高等数学下册辅导讲义——第十二章
1 n2
【答案】（1）收敛；（ 2）当 0 a 1 时，发散；当 a 1时，收敛；
（3）收敛；
（ 4）发散；
（ 5）收敛
1
1
【例 2】（97 一）设 a1
2 ， an 1
(an 2
)( n 1,2, ) ，证明 an
(
Ⅰ)
lim
n
an 存在；（Ⅱ）级数
( an a n 1 n 1
1)收敛 .
【解析】（1）用单调有界必收敛证明； （ 2）用比较审敛法证明
1
具体的： 若存在 N Z ，对一切 n N ， (1) un
，则 un 发
n
n1
散； (2) un
1 np
(p
1) ，则 un 收敛。
n1
【例 1】 判断下列级数的敛散性
（ 1）
n
13
n 1n 5
（2）
n
11
1 an
（a
0, a
1）
6n
（ 3）
n 1 7n 5n
1
（4）
n 1 n2 n 1
（ 5） ln 1
第一节 常数项级数的概念和性质
学习笔记：
一、常数项级数的收敛与发散
给 定 一 个 数 列 u1, u2 , u3 , ,un , 将 各 项 依 次 相 加 , 简 记 为
un ，即 u n u1 u 2 u3
n1
n1
un
，称该式为无穷级数，
其 中 第 n 项 un 叫 做 级 数 的 一 般 项 , 级 数 的 前 n 项 和
【例】 (1 1) (1 1)
0 ，但 1 1 1 1 发散。
【例 2】判断级数的敛散性：
高等数学武大社教案12第十二章无穷级数
第十二章无穷级数一、教学目标1.了解函数的幂级数展开式的应用；2.熟悉常数项级数、幂级数的概念及其特点；3.掌握常数项级数的审敛法、幂级数的收敛性、函数展开成幂级数及其运算.二、课时分配本章节共5个小节，共安排10个学时.三、教学重点1.比值审敛法；2.幂级数收敛半径及收敛区间的求法.四、教学难点1.条件收敛的判定；2.幂级数和函数的求法；3.函数的幂级数展开.五、教学内容第一节常数项级数的概念及性质一、常数项级数的概念定义1 设给定一个数列u1,u2,…un,…,则把u 1+u2+…+un+…称为常数项级数，简称级数∑u n∞n=1=u1+u2+⋯+u n+⋯其中，第n项un称为级数的一般项或通项.定义2 若级数∑u n ∞n=1的部分和数列{s n }有极限s ，即lim n→∞s n =s ，则称级数∑u n ∞n=1收敛，并称s 为级数∑u n ∞n=1的和，记作∑u n ∞n=1=s ，这时，也称∑u n ∞n=1收敛于s ，若数列{s n }没有极限，即lim n→∞s n 不存在，则称级数∑u n ∞n=1发散。
二、级数的基本性质性质1 若级数∑u n ∞n=1，∑v n ∞n=1都收敛，则级数∑(u n ±v n )∞n=1也收敛，且∑(u n ±v n )∞n=1=∑u n ∞n=1±∑v n ∞n=1推论2 如果级数∑u n ∞n=1收敛，级数∑v n ∞n=1发散，则∑(u n ±v n )∞n=1发散 性质2 若级数∑u n ∞n=1收敛，其和为s ，则级数∑ku n ∞n=1也收敛，且其和为ks ；如果级数∑u n ∞n=1发散，则级数∑ku n ∞n=1也发散（其中常数k ≠0）性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的敛散性，但在级数收敛时，一般会改变级数的和.性质4在收敛级数中，对某些项任意加入括号，所得级数仍收敛，且其和不变.推论3如果在级数中插入括号后新级数发散，则原级数必发散.第二节 正项级数 一、正项级数的定义定义 若级数满足u n ≥0(n=1,2,…),则称该级数为正项级数.如果一个级数从某一项起全是非负的,我们就可以把它作为正项级数对待.对负项级数 (级数的通项满足u n ≤0,n=1,2,…)只要表示为−∑(−u n )∞n=1就可作为正项级数研究.正项级数的前n 项之和数列{s n }={u 1+u 2+…+u n }是一个单调增加数列:s 1≤s 2≤s 3≤…,根据极限理论中单调有界数列必有极限的准则,判定正项级数是否收敛,只要看s n 是否有上界.如果{s n }有上界,那么{s n }有极限,从而级数收敛;反之,如果{s n }无上界,那么{s n }无极限,从而级数发散.二、比较审敛法定理1 （比较审敛法）设∑u n ∞n=1和∑v n ∞n=1均为正项级数，且满足u n ≤v n （n≥N ，N 为任意给定的正整数），则（1）若级数∑v n ∞n=1收敛，则级数∑u n ∞n=1也收敛 （2）若级数∑u n ∞n=1发散，则级数∑v n ∞n=1也发散。
(整理)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数一. 单项选择题 12.1 若级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数不收敛的是( )．(A)12∞=∑nn u(B)1(2)∞=+∑nn u (C) 12∞=+∑nn u(D)2nn u∞=∑12.2 下列级数级数中发散的是( ).(A) 11(1cos )∞=-∑n n (B)112sin3∞=∑n nn (C) 21(!)(2)!∞=∑n n n (D)2111n nn∞=++∑12.3下列级数中收敛的是( )； A ．()∑∞=-+11n n n B ．∑∞=+111n n C ．nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+123 D ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n12.4 如果级数∑∞=1n nu条件收敛，则||1∑∞=n nu( ).A ．必收敛 B. 必发散C. 不一定收敛D. 无法判断12.5 .下列级数中发散的是( ) A.∑∞=+-1)1()1(n nn n B.)1|(|)1(1>-∑∞=q q n nnC.∑∞=-1131n nD.∑∞=+1)1ln(n n 12.6 ∑∞=-02!)1(n nn n x 在∞<<∞-x 的和函数是=)(x f ( )A. 2x e- B. 2x e C. 2x e-- D.2x e -12.7 下列级数中收敛的是( ) A.∑∞=+1121n n B.∑∞=+113n n nC.)1|(|1001<∑∞=q q n nD.∑∞=-1132n n n12.8 ∑∞=-02)!2()1(n nn n x 在∞<<∞-x 的和函数是=)(x f ( )A.x e -B.x eC.x cosD.x sin12.9 若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数不收敛的是( )．(A)110∞=∑nn u(B)1(10)∞=+∑nn u (C) 110∞=+∑nn u(D)10∞=∑nn u12.10 下列级数中发散的是( ).(A) 11(1cos )∞=-∑n n (B)112sin3∞=∑n nn (C) 21(!)(2)!∞=∑n n n (D)1∞=n 12.11 下列级数中收敛的是( )；A ．∑∞=-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．)11ln(1∑∞=+n n D ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1311n n12.12 如果级数∑∞=1n nu收敛，则极限n n u ∞→lim ( ).A ．存在 B. 不存在 C. 等于零D. 无法判断12.13 下列级数中满足绝对收敛的是( )； A ．∑∞=---1112)1(n n n n B ．∑∞=-11sin )1(n n n C ．∑∞=-13)1(n n n n D ．∑∞=-+-11)1(2)1(n n n n n12.14 函数)(x f 以π2为周期，它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x f 0,10,1)(，则)(x f 的傅里叶级数在π-=x 处收敛于 ( ).A ．0 B. 1 C. 1- D. 2 12.15 下列正项级数中收敛的是( )；A ．∑∞=-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n12.16 如果任意项级数∑∞=1n nu绝对收敛，则下列说法正确的是 ( ).A ．∑∞=1n nu必发散 B.∑∞=1n nu必收敛 C.||1∑∞=n nu必发散 D.||1∑∞=n nu不一定收敛12.17 下列级数中绝对收敛的是( )(A)1nn ∞= (B)nn ∞= (C) 11(1)ln(1)n n n +∞=-+∑ (D)1(1)nn n ∞=-∑ 12.18 若级数1nn u∞=∑收敛，则lim(1)n n u →∞-= ( ).(A) 2 (B) 0 (C) 1 ( D) 1-12.19 下列级数中条件收敛的是( ) (A)11(1)n n ∞+=-∑ (B) 211(1)nn n ∞=-∑ (C) 1(1)1nn nn ∞=-+∑ (D)11(1)(1)nn n n ∞=-+∑12.20 若级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数中发散的是( ).(A)110nn u∞=∑ (B)101n n u∞+=∑(C) 110nn u∞=+∑ (D)1(10)nn u ∞=+∑12.21 下列级数中满足绝对收敛的是( )；A ． 1(1)1nn n n ∞=-+∑ B ．11(1)sin n n n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．1(1)2n n n n ∞=-∑ 12.22 幂级数1(1)nnn x n ∞=-∑的收敛域为( ).A ．[1,1]- B.(1,1]- C.[1,1)- D. (1,1)-12.23 下列级数中满足条件收敛的是( )；A ．∑∞=--112)1(n nn n B ．∑∞=--1211)1(n n n C ．∑∞=-13)1(n n n n D ．∑∞=-11)1(n n n 12.24 幂级数∑∞=-11n n nx的和函数为( ).A ．2)1(1x --B. 2)1(1x - C. 2)1(x x -- D. 2(1)xx - 12.25 级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n s 有界是该级数收敛的( )；(A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 非充分非必要条件.12.26 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为( )；(A) )1,1(-； (B) )1,1[-； (C) ]1,1(-； (D) ]1,1[-.二. 填空题 12.29 若级数1(1)∞=-∑nn u 收敛，则lim →∞=nn u12.30 幂级数1nn x n ∞=∑的收敛半径为12.31 函数)(x f 以π2为周期，它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 0,00,)(，则)(x f 的傅里叶级数在π-=x 处收敛于12.32 将xx f 1)(=展开成1-x 的幂级数的展开式为 。
无穷级数的概念
(又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 则部分和
因此级数收敛 , 其和为 a ; 1 q
因此级数发散 .
a a q 1 q a 从而 lim S n n 1 q
从而 lim S n ,
n
10
n
2). 若
则 因此级数发散 ; 级数成为
因此
证: un S n S n 1
lim u n lim S n lim S n 1 S S 0
n n n
推论: 级数发散的充分条件 若级数 满足 则 发散.
22
注意:
n
lim un 0 并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
23
例2. 判别级数的敛散性. 1 1 1 1 (1). 3 6 9 3n
n
1 1 1 发散. 3 n 1 n n 1 3n
n
1 n 1 n (2). un lim e 0 发散. ; lim n n n n 1 n
(ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln( n 1) ln n
ln( n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 利用 “拆项相消” 求和
8
1 1 1 1 (2) S n 1 2 2 3 3 4 n (n 1)
类似可证前面加上有限项的情况 .
18
性质4.
收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于 原级数的和.
n 1
证: 设收敛级数 S
un , 若按某一规律加括弧, 例如
高等数学 第十二章 级数
12)1()(x f 0x x =)(00x f a =!)(0)(k x f a k k =ππππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππn n a f x nx x n b f x nx x n --====⎰⎰． 34求收敛半径定理，幂级数展开定理，1 为了叙述方便，称前者为有限加而无穷个数相加只是我们不可能用有限加法的方法来完成另外，有限加法中的结合律和交换律在我们在研究无限累加时，是以有限加法(部一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书1 ，B ．）级数的求和问题． +-+-=1111x0)11()11(=+-+-= x 1)11()11(1=-----= x x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12x =． 柯西指出：以上解法犯∑∞=--11)1(n n2 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u ∑∞=1n nup2 1π3sin4n nn ∞=∑ π303sin π44nnn ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13π4nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑1π3sin4n nn ∞=∑ 11π3sin341π43sin 4n n n n ++=< 1π3sin4n n n ∞=∑ 3 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u 0lim =∞→n n u∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u3 ∑∞=---+-11)11()1(n n n n1111211)11()1(1+>-++=--+=--+--n n n n n n n n∑∑∞=∞==+01111n n nn ∑∞=---+-11)11()1(n n n n0112limlim =-++=∞→∞→n n u n n n0)2)(11()1(2)12(2)2()11(1>++--+--++-+=-+---+=-+n n n n n n n n n n n n u u n n4 ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21111n n n∑∑∑∞=∞=∞==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--22112121111n n k k n n n 11k k ∞=∑∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--21111n n n 4 0n n n a x ∞=∑nn n a a 1lim+∞→R ),(R R -R x ±=nn n a a 1lim +∞→0x x -5 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛151n nx n111155nnnn n x x n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭∑∑ 11511lim lim lim lim1(1)55(1)551n n n n n n n na n na n n n ++→∞→∞→∞→∞⋅====+⋅⋅+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭5=R )5,5(-5=x ∑∞=11n n 5-=n ∑∞=-1)1(n n n)5,5[-6 2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑2221(21)!1limlim lim 0(21)!2(21)n n n n nu n x x x u n n n +→∞→∞→∞-===⋅+++∞=R ),(+∞-∞7 11(1)(1)nn n x n∞-=--∑ 1-=x t ∑∞=--11)1(n nn nt 1111lim 1lim lim1=+=+=∞→∞→+∞→nn n a a n n n n n1=R )1,1(-1-=t ∑∑∞=∞=--=--1111)1()1(n n n n n n 1=t ∑∞=--111)1(n n n ∑∞=--11)1(n nn nt ]1,1(-]2,0( 5 )(x f )(x f 0lim ()0n n R x →∞=)(x f)1()2()3()4()5( 8 2()12xf x x x=+-x ⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=x x x x x x f 2111131)21)(1()(+++++=-n x x x x2111)11(<<-x+-++-+-=+n n x x x x x )2(842121132⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2121x∑∞=-+=)2)1(1()(n n n nx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2121xn n 9 x x f ln )(=2-x2()ln[2(2)]ln 2ln 12x f x x -⎛⎫=+-=++⎪⎝⎭22-=x t )1ln(221ln t x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-++-+-=-nn t nt t t t 1432)1(432t <-1(1) 2312322(2)(2)(1)(2)ln 12222322n nnx x x x x n -------⎛⎫+=-++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ x <0(≤)4+⋅--++-+---+=-n nn n x x x x x 2)2()1(2)2(312)2(21222ln ln 13322x <0(≤)4 10 ∑∞=+++12)2)(1(n n n n x1)3)(2()2)(1(lim=++++=∞→n n n n R n 1±=x ]1,1[-．∑∞=+++=12)2)(1()(n n n n x x S∑∞=++='111)(n n n x x S ∑∞==''1)(n nx x S∑∞=-=11n n x x x xxx S -=''1)()11(<<-x ⎰⎰---=-=''='-'x xx x x xxx x S S x S 00)1ln(d 1d )()0()()11(<<-x 0)0(='S )1ln()(x x x S ---=')11(<<-x⎰⎰---='=-x xx x x x x S S x S 0d )]1ln([d )()0()(⎰--+---=x x xx x x x 02d 1)1ln(2 )1ln()1(22x x x x --+-= )11(<<-x 0)0(='S)1ln()1(2)(2x x x x x S --+-= )11(<<-x11 ∑∞=+02!12n nx n n 0)1)(12(32lim !12)!1(32lim 2232=+++=+++∞→+∞→x n n n x n n xn n n n n n),(+∞-∞∑∞=+=2!12)(n nx n n x S2212200021()d d e !!!n nx x n x n n n n x x S x x x x x x n n n +∞∞∞===+====∑∑∑⎰⎰()2220()()d (e )e (12)x x x S x S x x x x ''===+⎰222021()e (12)!n x n n S x x x n ∞=+==+∑),(+∞-∞∈x )1(10)1)(2(2+++n n x n )2(11nx n n 2!12+1)3(106 )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f [π,π]-n a n b ∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a )(x f )(x f [π,π]-n a n b)(x f x )(x f )(x f )(x f 2)()()(-++=x f x f x f∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f )(x f12 +-+-=!6!4!21cos 642x x x x 13246357cos isin 1i 2!4!6!3!5!7!θθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+-++-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23456i i 1i 2!3!4!5!6!θθθθθθ=+--++--，2i 1=-3i i =-4i 1=5i i =23456i (i )(i )(i )(i )(i )cos isin 1i e 2!3!4!5!6!θθθθθθθθθ+=+++++++=i cos isin e θθθ+=14 10年，每年向球300?假设存储30003000B p B 元． r t nntn r p B ⎪⎭⎫⎝⎛+=1ntn r B p ⎪⎭⎫⎝⎛+=1， re rt B p =e ertrt B p B -==．10300万元，第一次付款是在签约当%5113=(百万元)， 2205.013+=33205.13=10905.13=1029131 1.05333324.3211.05 1.05 1.051 1.05⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++=≈-， 2432300?%5 13= 20.053e-=)，30.0523(e )-=)，0.050.0520.05333e 3(e )3(e )---=++++，0.05ex -=0.05361.51e -=≈-(百万元)．（ √ ） )(x f )(x f 能展开成0x x -的幂级)(x f（ ⨯ ） )(x f )(x f 时，)(x f,0lim =∞→n n u ∑∞=1n nu收敛； （ ⨯ ）0lim =∞→n n u 正项级数∑∞=1n n u 0lim =∞→n n u ∑∞=11n n 01lim =∞→n n ∑∞=11n n(),11∑∞=-n n na ,0lim =∞→n n a ∑∞=-1)1(n n n a ⨯),2,1(1=≥+n u u n n∑∞=1n na0lim =∞→n n a 1lim1<+∞→n nn a a1lim1n n na a +→∞≤ 1lim 1>=+∞→λn n n a a1lim 1<=+∞→nn n a a q∑∞=+1)4(n n nx a2-=x 2=x4+=x t ∑∞=1n nn ta 2-=x 2=t ∑∞=1n nn ta 2-2(,2)∪(2,)-∞-+∞2=x 6=t ∑∞=+1)4(n n nx a∑∞=1n nn x1<x 1≤x11<≤-x 11≤<-x 11lim lim1=+=∞→+∞→n na a n nn n 1)1,1(-1=x ∑∞=11n n 1-=x ∑∞=-1)1(n n n )1,1[-∑∑∑∞=∞=∞=111,,n nn nn ncb a n n nc b a <<),2,1( =n∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nb∑∞=1n nc∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb)(x f ∑∞=-100)()(!)(n n n x x n x f)(x f 0)(!)(lim 00)(=-∞→n n n x x n x f ∑∞=-100)()(!)(n n n x x n x f)(x f 0)(!)(lim00)(=-∞→n n n x x n x fe x = 212!!n x x x x n +++++∈R ；=x sin 35211(1)3!5!(21)!n n x x x x x n ---+-+-+∈-R ；=x cos 2421(1)2!4!(2)!nnx x x x n -+-+-+∈R ；=+)1ln(x ]1,1()1(32132-∈+-+-+-+x nx x x x nn ；mx )1(+=)1,1(!)1()1(!2)1(12-∈++--++-++x x n n m m m x m m mx n；∑∞=1n nnx aR ，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为R ；∑∞=1n nnx aR ，则∑∞=1n n n x a 的收敛区间为),(R R -．21nn n a x∞=∑R x <<20⇒R x R <<-，所以，∑∞=12n n n x a 的收敛R)(x f 2π[π,π]-的表达式为{1,π0,()1,0π,x x f x x x --≤<=+≤<则)(x f πx = 1π+ ．ππlim ()lim(1)1πx x f x x --→→=+=+， ππlim ()lim(12π)1πx x f x x ++→→=-+=+， πlim ()1π(π)(2ππ)(π)x f x f f f →=+=-=-= ，)(x f πx =)(x f πx =处收敛于(π)f =1π+ ．∑∞=+1)1(n nxn n 的收敛域与和函数；∑∞=+1)1(n nxn n =∑∞=-+11)1(n n nxn x=∑∞=++0)1)(2(n nxn n x，)(x s ∑∞=++0)1)(2(n nxn n 1-11)(x u 0()d x s x x ⎰00(2)(1)d x nn n n x x ∞=++∑⎰∑∞=++01)2(n n x n()d x u x x ⎰100(2)d x n n n x x ∞+=+∑⎰∑∞=+02n n xxx -12)(x u )1(2'-x x 22)1()1(2x x x x -+-22)1(2x x x -- )(x s ])(['x u ])1(2[22'--x x x 3)1(2x -∑∞=+1)1(n n x n n )(x xs 3)1(2x x- )1,1(-∈x ∑∞=-11n n nx∑∞=+1212n nn x)(x s ∑∞=-11n n nx()d x s x x ⎰101d x n n nx x ∞-=∑⎰∑∞=1n n x xx-1 )(x s )1('-xx2)1(1x -∑∞=-11n n nx 2)1(1x - )1,1(-∈x∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x)(x u ∑∞=++11212n n n x='])([x u )12(112'+∑∞=+n n n x ∑∞=12n nx 221x x - )(x u 0()d x u x x '⎰220d 1xx x x -⎰201d 1x x x -⎰0d x x ⎰x x x --+11ln 21∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x 111ln 21--+x xx xx f 1)(=3-x x x f 1)(=3)3(1+-x 331131-+⋅xx+11)1,1()1(12-∈+-+-+-x x x x nnx x f 1)(=331131-+⋅x 31]33)1()33(331[2 +⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--nn x x x ∑∞=+--01)3(3)1(n nn n x )1,1(33-∈-x )6,0(∈xx sin π6x +x sin ππsin[()]66x +-3π1πsin()cos()2626x x +-+ )6sin(π+x 35211πππ()()()π666()(1)63!5!(21)!n n x x x x x n --++++-+-+-+∈-R ，πcos()6x +242πππ()()()6661(1)2!4!(2)!nnx x x x n +++-+-+-+∈R ，x sin 3π1πsin()cos()2626x x +-+ 234πππ()()()13π131666()22622!23!24!x x x x +++-+++⋅--⋅+22111ππ()()1366(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n x x x n n ---+++-⋅+-⋅+∈-R ．{0,()π,f x x =-π0,0π,x x -≤<≤<将)(x f 在[π,π]-上展成傅里叶级数，傅叶级数在0=x0a ππ1()d πf x x -⎰π01(π)d πx x -⎰2π011(π)π2x x -π2n a ππ1()cos d πf x nx x -⎰π01(π)cos d πx nx x -⎰π1(π)d(sin )πx nx n -⎰π01(π)sin πx nx n -π01sin d πnx x n ⎰π021cos πnx n -20,21,2,2,πn k n k n =-⎧⎪⎨=⎪⎩ n b ππ1()sin d πf x nx x -⎰π01(π)sin d πx nx x -⎰π01(π)d(cos )πx nx n --⎰π01(π)cos πx nx n -π01cos d πnx x n ⎰0cos 1n n1 )(x f)(x f π421211[cos(21)sin(21)sin 2](21)π212k k x k x kx k k k ∞=-+-+--∑ )(lim 0x f x +→0lim(π)x x +→-π)(lim 0x f x -→ 0=x π2∑∞=-211n n n11-n n 1)1(1--n n 23)1(1-n∑∞=-223)1(1n n ∑∞=1231n n312p =>p ∑∞=-211n n n11πtan 2n n n ∞+=∑nn n a aq 1lim +∞→=21π(1)tan2limπtan 2n n n n n +→∞++⋅⋅21π(1)2limπ2n n n n n +→∞++⋅⋅n n n 21lim +∞→2111πtan2n n n ∞+=∑∑∞=+-111)1(n nnn n u ∞→lim 11lim+∞→n n1+n u 21+n 11+n n u∑∞=+-111)1(n nn1000 n B ∞→n%)51(10001+⨯=a n %)51(%)51(10001+++⨯=-n n a a1221223323211211000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=⨯+++⎧⎪+=⨯+++⎪+=⨯+++⎨⎪⎪+=⨯+++⎩n a 1112%)51(]%)51(%)51(%)51[(1000--++++++++⨯n n an n %)51(1000%)51(1]%)51(1%)[51(10001+⨯++-+-+⨯- ]1%)51(-+nn n a ∞→lim ∞，n B ]1%)51(-+n元，当∞→n。
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
高等数学第12章第12章D12_1常数项级数
1 11 (2 其和为 .2 lim S n , 这说明原级数收敛) , 3 4 4 n n 1 n 3n 2n
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(3)
Sn 1 Sn 2
1 3 5 2n 1 1 3 5 2n 1 2 3 n 2 3 4 n 1 2 2 2 2 2 2 2 2
3Байду номын сангаас
3 3 3
故丢弃部分总长
l丢 1 22 3 3
9 9 3 22 23 2n1 3 4 3 3 3n 1 1 1 2 ( 2 )2 ( 2 )3 ( 2 )n1 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3
0 1 2 1
n n n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
不趋于0,因此这个级数发散.
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注意: lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
性质2. 设有两个收敛级数
S
n 1
un ,
n 1
vn
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
k 1
证: 令 S n
n
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( u k vk )
k 1
S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第十二章
第十二章无穷级数【本章网络构造图】第一节常数项级数概念与性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。
假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。
当级数收敛时, 称差值为级数余项。
显然。
【例1】〔93三〕级数与为 .【答案】结论：等比〔几何〕级数：收敛当时发散当时二、收敛级数与假设收敛，那么其与定义为。
三、无穷级数根本性质学习笔记：〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其与为。
注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。
注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。
〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。
【例】取，，而。
〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。
〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。
推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。
注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。
【例】，但发散。
【例2】判断级数敛散性：【解析与答案】学习笔记：不存在故原级数发散四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。
逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。
【例】，其一般项为，当时，不趋于0，因此这个级数发散。
注：并非级数收敛充分条件【例】调与级数，虽然，但是此级数发散。
事实上，假设调与级数收敛于，那么，但，矛盾！所以假设不真。
【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与：〔1〕〔2〕【答案】〔1〕发散；〔2〕发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性学习笔记：〔1〕几何级数：，当时收敛；当时发散.〔2〕级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。
【重点小结】1、常数项级数收敛与发散定义2、常数项级数敛散性质3、常数项级数收敛必要条件4、常用两个常数项级数第二节常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：假设，那么称为正项级数。
无穷级数习题课
第十二章 无穷级数习题课资料一、 本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。
幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。
二、 本章重点用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。
三、本章难点用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。
四、例题选讲例1：判别级数()21ln 1ln ln 1n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑的敛散性。
（用定义）解：原式=()()22ln 1ln 11()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n nn ∞∞==+-=-++∑∑级数的部分和111111ln 2ln 3ln 3ln 4ln ln(1)n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 2ln(1)ln 2n =-→+， ()n →∞所以原级数收敛，且收敛于1ln 2。
例2：判别下列级数的敛散性（1）111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ， （2）211ln n n n ∞=-∑ ， （3）121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ （4）()11!2!!2!n n n ∞=+++∑，（5）()()()21111n nn xx x x ∞=+++∑，（0x ≥）（6）ln 113nn ∞=∑解：（1）因为ln(1)ln n n +<，所以1111ln ln(1)0n nnnn+-=-+>，而 111l nl n l n 1111n nnn n n +⎛⎫-==-<- ⎪+++⎝⎭，有2111111ln1(1)n nnn n n n n+-<-=<++， 由比较审敛法知，级数111lnn n nn ∞=+⎛⎫-⎪⎝⎭∑收敛。
新1第十二章 无穷级数答案
第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质1．写出下列级数的一般项：(1)⋅⋅⋅++++6141211； 解：2n1u n =(2)⋅⋅⋅+⋅++533x x x x ； 解：()!!12n xu 2n n +=2．求下列级数的和：*(1) 1n ∞=∑解：111nn k S ===-=+-∑故2- 1lim =∞→n n S(2)23111555+++ 解：5151-151-1n⎪⎭⎫ ⎝⎛=n S 故41lim =∞→nn S3．判定下列级数的敛散性： (1)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ 解：()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--=+-=∑∑==15115151)151451(1545111n k k k k S nk nk n51lim =∞→n n S 故原级数收敛.(2) ()23133222213333nn n--+-++- 解： ()1-n 11-32nn ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛为公比为32-=q 的等比级数,且1<q , 故原级数收敛.第二节 常数项级数的审敛法1．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)1πsin3n n ∞=∑；解： sin3lim 13n n nππ→∞= ， 而13n n π∞=∑收敛，故原级数收敛.(2)n ∞=；解： n 321u n<，而∑∞=1231n n收敛，故原级数收敛.(3)()1121nn ∞=-∑解：1nln21-2lim n 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n 而∑∞=1nln2n 发散，故原级数发散。
2．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) ∑∞=132n nn ；解：2n n u 3n =，∞=∞→n n u lim ，故原级数发散。
(2)1!31nn n ∞=+∑； 解：()()()3113131lim lim 1n n 1=+++=+∞→+∞→n u u n nn n ，故厡级数收敛.3．用根值判别法判别级数的敛散性： 1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑；解：()5n 5lim>13n 13n n →∞==+，故厡级数发散.4．判定级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑ ； 解：n 1111u 12n n n⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ ， 而()()n 1n 2211111111u -u 1--<02n n 1n n 1n n 1n 1+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++ 又()0dxx 11n 1lim n 1n 1211lim u lim n 1n =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰∞→∞→∞→n n n故厡级数条件收敛第六节 傅里叶级数1. 填空题（1）⎩⎨⎧<≤<≤--=.0,,0,)(2)(πππx a x a x f x f 周期函数，且是以设 则其傅里叶级数在处收敛于 0（2）)(,)(2)(2ππππ<<-+=x x x x f x f 周期函数，且是以设若)(x f 的傅里叶级数具有的形式，∑∞=++10)sin cos (21n n n nx b nx a a.______32________,32_320ππ==b a 则傅里叶系数2. 写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在[-π, π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)（2）()()cosππ2=-≤≤xf x x解：因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续， 故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]*3.将函数f(x)展开为傅里叶级数：()()πππ42x f x x =--<<解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)。