高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质精品练习(含
4.1.2 无理数 指数幂及其运算性质
4．1.2 无理数 指数幂及其运算性质(一)教材梳理填空 (1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．(2)实数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈R )． ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈R )． ③(ab )r ＝a r b _r (a ＞0，b ＞0，r ∈R )． (二)基本知能小试 1．判断正误(1)22是实数．( ) (2)2π＞2 3.( ) 2．化简⎝⎛⎭⎫123·4π为( ) A ．2π－3 B ．22π－3 C ．23＋πD ．22π＋33．化简(3＋2)3－2·(3－2)3－2.题型一 无理数指数幂的运算[学透用活][典例1] 已知2a,3b,5c .求103235+[对点练清]1．由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为( )(1)21.7,21.73,21.732,21.732 0,21.732 05，… (2)21.8,21.74,21.733,21.732 1,21.732 06，… A ．21.7 B ．21.8 C ．2 3D ．42．计算：3π×⎝⎛⎭⎫13π＋(2的值为( ) A ．17 B ．18 C ．6 D ．5题型二 指数幂的运算[学透用活][典例2] 计算下列各式： (1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214-12－(0.01)0.5； (2)(0.064)-13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] -43＋16－0.75；(3)⎝⎛⎭⎫14-12·()4ab －130.1－2(a 3b －3)12(a ＞0，b ＞0)．[对点练清]计算下列各式：(1)0.02713－⎝⎛⎭⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3.题型三 条件求值[学透用活][典例3]已知a 12＋a-12＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[对点练清] 1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.2．[变条件]已知a 12－a-12＝m，求本例中(1)(2)的值．3．已知a2x＝2＋1，求a3x＋a－3xa x＋a－x的值．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．化简[3(－5)2]34的结果为()A．5B． 5 C．－ 5 D．－52．计算(2a－3b -23)·(－3a－1b)÷(4a－4b-53)得()A．－32b2 B.32b2C．－32b73 D.32b733＝________.4．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y ＝________.s 二、创新应用题5．计算(或化简)下列各式：(1)42＋1·23－22·64-23； (2)a －ba 12＋b12－a ＋b －2a 12·b 12a 12－b12.[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A ．164B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6D ．⎝⎛⎭⎫122n －72．在算式2大＋2国＋2精＋2神＝29中，“大、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．若a ＞1，b ＞0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．24．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．1005．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1D.x x －16．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.7．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫b a 17n －3＝________. 8．若a ＝2，b ＞0，则a 2b ＋a 12a 12b＋(a 12－b-13)(a ＋a 12b-13＋b-23)的值为________．9．计算下列各式： (1)(－x 13y -13)(3x-12y 23)(－2x 16y 23)；(2)2x 14(－3x 14y -13)÷(－6x-32y-43)．10．已知a ，b 分别为x 2－12x ＋9＝0的两根，且a ＜b ，求a 12－b12a 12＋b 12的值．B 级——高考水平高分练1．计算：12－1＋(3－22)0－⎝⎛⎭⎫94－0.5＋4(2－π)4＝________. 2．已知a 2m ＋n ＝2－2，a m －n ＝28(a ＞0，且a ≠1)，则a 4m＋n的值为________．3．(1)设a ＞0，化简：3a 4a －33a 4a 4；(2)若x 12＋x -12＝6，求x ＋x －1－1x 2＋x －2－2的值．4．根据已知条件求下列各式的值： (1)已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －y x ＋y；(2)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，求a －ba ＋b.5．对于正整数a ，b ，c (a ≤b ≤c )和非零实数x ，y ，z ，ω，有a x ＝b y ＝c z ＝70ω，1ω＝1x ＋1y ＋1z ，求a ，b ，c 的值．。
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(共21张PPT高一上学期数学 人教A版必修第一册
思
.
、
自研教材107-108页，导学案177-179页，课时练85-86页，思考
以下问题：
2
1.类比无理数的发现和确定过程，如何理解5 的意义？
2.无理数指数幂的含义是什么？
3.实数指数幂的运算性质是什么？与有理数指数幂的
运算性质有何区别？
4. 如何用a m , an 表示am-2n ？a1/2+a-1/2和a+a-1有怎样的联
过用连分数近似表示的方法得到,如
3.14159265=3+
1
1
0.14159265
≈3+
1
7+0.0625135
1 22
≈3+ = ,舍去 0.0625135,得到逼近的一个
7
7
1 22
有理数为 3+ = ,类似地,把 2化为连分数形式:1+
7
7
1
+
1
+
1
+
到 1 之间的无理数),舍去 r 得到逼近 2的一个有理数为
系？
高一数学组
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
无理数指数幂
类比无理数的发现和确定过程，如何理解5
2
的意义？
每一个无理数都是一个定值，能够用数轴上的一个点表示.
的值呢？
那么，如果不用计算器，我们如何来估算
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
小数位数相同的 2的过剩近似值与不足近似值的差是有规律的：
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
7-9
2+2+3-2 2
-2
1
=4 =4 = .
16
高中数学必修一(人教版)《4.1 指数》课件
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换 简或求值，培养数学运算素养.
的思想求值.
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空
1．n次方根的概念： 一般地，如果 xn＝a，那么_x__叫做 a 的 n次方根 ，其中 n
定义 ＞1，且 n∈N *
a＞0 n 是奇数
[方法技巧] 根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简时，被开 方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
【对点练清】
4
4
5
4
1．在① －42n，② －42n＋1，③ a4，④ a5(n∈N ，a∈R )中，一定有意义
3．实数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈R)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.
()
(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3.
指数幂
数幂
规定：a
m n
＝
＝____(a＞0，m，n∈N *，n＞1)
性质
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
n
[微思考]
在分数指数幂与根式的互化公式
a
m n
＝
am中，为什么必须规
定 a>0?
n
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 am＝a n ＝0，无研究
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(20张)
问题 1:当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减，大约每经过 5730 年衰 减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?
问题 2：考古学家根据上式可以知道，当生物体死亡了 6000 年，10000 年，100000 年后，
有理数指数幂的运算性质: 对任意的有理数 r,s,
（1） ar as ars (a 0, r, s Q)
（2） (ar )S ars (a 0, r, s Q)
（3） (a b)r arbr (Q 0,b 0, r Q)
问题 13：若 a ＞0，P 是一个无理数，则 a p 该如何理解？
例 1（P56，例 2）求值
2
① 83;
1
②25 2 ;
③( 1 )-5;
④(
16
)
3 4
.
2
81
2
2
2
解：①8
3
=(23)
3
=2
3 3
=22=4;
②25
1 2
=(52)
1 2
=5
2( 1 ) 2
=5-1=
1
;
5
③( 1 )-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; 2
④( 16
；
64
9
2 4
（3） 81 9 3 ; （4）2 3 ×3 1.5 ×6 12 .
2. 化简下列各式：
7
（1） 3 a 2 a 3 3 a 8 3 a15 3 a 3 a 1 ；
4
1
（2）
a 3 8a 3 b
高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数11有理数指数幂12无理数指数幂课件必修第一册
( )n=a.
2.在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取
值范围,即确定 中 a 的正负,再结合 n 的奇偶性给出正确结果.
延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢?
(2)该例中的(2),若x>3呢?
解 由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.
(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,
)
探究二
根式的化简(求值)
例2求下列各式的值:
5
6
(1)( a-b) +( -)6(b>a);
5
(2) 2 -2 + 1 − 2 + 6 + 9(-3<x<3).
解 (1)原式=a-b+b-a=0.
(2)原式= (-1)2 − ( + 3)2 =|x-1|-|x+3|.
∵-3<x<3,
5
6
3+1 1- 3
)
-1
;
1
4
0
7
-0.75
3 -3
2
+(2
)
+16
+|-0.01|
;
8
(7)( 2-1)π-1·( 2-1)1-π;
(8)( 3
3 -1
5
.
解 (1)
125
27
(2)0.008
(3)
2
3
2
3
-
81
2 401
2
=
53 3
33
=
5 -2
3 -2
=
32
高中数学必修一课件：第四章无理数指数幂及其运算性质
课后巩固
1.212×3136等于( D ) A．8 C．17
B．9 D．72
2．化简[(－ 3)2]－12的值等于( C )
A．－
3 3
B. 3
3 C. 3
D．－ 3
3．(3－2x)－34中的x的取值范围是( C )
A．(－∞，＋∞)
B.－∞，32∪32，＋∞
C.－∞，32
D.32，＋∞
2
2)3－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
3 (3)2
a÷46
ab·3
b3.
【解析】 (1)原式＝(0.33)13－52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13 ＋1＝64175.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－3ac. (3)原式＝2a13÷(4a16b16)·(3b32)＝12a13－16b－16·3b32＝32a16b43.
例2 化简： (1)(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)； (2)(x－2－y－2)÷(x2－y2)． 【解析】 (1)原式＝（a－（a－a1）－·a（－1a）＋2 a－1）＝aa－＋aa－－11＝aa22－ ＋11. (2)原式＝x12－y12÷(x2－y2)＝y2x－2y2x2÷(x2－y2)＝－x21y2＝－x－2y－2.
1．实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同吗？ 答：相同．
2．下列运算是否正确？ (1)(3 2) 2＝9；
πππ (2)a 3 ·a 6 ＝a 2 ； (3)(－2)2 2＝(－2)2·(－2) 2. 答：(1)(2)正确，(3)不正确．
新教材高中数学必修第一册第4章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
4．1.2无理数指数幂及其运算性质学习目标1.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.2.了解无理数指数幂的意义．知识点一无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．知识点二实数指数幂的运算性质1．a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈R)．2．(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈R)．预习小测自我检验1．计算(1 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝________.答案 22．下列等式一定成立的是________．(填序号)①⋅a;②1122a a-⋅＝0；③(a3)2＝a9;④11 136 2.a a a÷=答案④3．若100x＝25，则10－x＝________.答案1 5解析∵100x＝25，∴(10x)2＝52，∴10x＝5,10－x＝(10x)－1＝5－1＝1 5.4．计算：π0＋2－2×12124⎛⎫⎪⎝⎭＝________. 答案 118一、运用指数幂运算公式化简求值 例1 计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)()10.52332770.0272;1259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1;2⎡⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦()1.a +解 (1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09. (2)原式＝⎛ ⎪ ⎪⎝⎭＝322⎛==⎪⎪⎝⎭(3)＋1＝1＋1＝2.反思感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练1计算下列各式的值(式中字母都是正数)：(1)1318-⎛⎫⎪⎝⎭×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6；(2)23a2÷(46a·b)·3b3.解 (1)原式＝()6611111(1)333424812223⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝314422++＋22×33＝112.(2)原式＝21133662243a a b b ⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133662132a b b --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭ 41323.2a b = 二、分数指数幂运算的综合应用 例2 (1)已知a m ＝4，a n ＝3，求a m －2n的值；(2)已知1122a a-+＝3，求下列各式的值．①a ＋a －1；②a 2＋a －2；③3322.a a -+解 (1)am －2n＝()()121222m mn n a a aa -⎡⎤⎢⎥⋅=⎢⎥⎣⎦12243⎛⎫= ⎪⎝⎭＝23. (2)①∵11223,a a-+=∴211229,a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭即a ＋2＋a －1＝9，∴a ＋a －1＝7. ②∵a ＋a －1＝7，∴(a ＋a －1)2＝49，即a 2＋2＋a －2＝49. ∴a 2＋a －2＝47. ③3333112222a aa a --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122(1)a a a a --⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭＝3×(7－1)＝18.延伸探究在本例(2)的条件下，求a2－a－2的值．解设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.所以y＝±215，即a2－a－2＝±21 5.反思感悟条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．跟踪训练2已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求11221122x yx y-+的值．解211221122111111222222x yx yx y x y x y⎛⎫-⎪-⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭12()2(),x y xyx y+-=-①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. 又∵x<y，∴x－y＝－6 3.③将②③代入①，得111222112293 x yx y-==-+1．化简34的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5 答案 B解析33214432(5)5⎡⎤⎤=-==⎢⎥⎣⎦2．计算2332a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭·(－3a －1b )÷5434a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．7332b - D.7332b答案 A解析 原式＝143254363.24a b b a b----=-3．若10x ＝183-，10y ＝427，则102x －y ＝________. 答案 13解析 102x －y ＝(10x )2÷10y ＝2183-⎛⎫ ⎪⎝⎭÷427＝1344133.3-÷=4．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14152解析 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝152.5．化简m π·4m π·3π4m- (m >0)＝________.答案 1解析 原式＝ππ3ππ3ππ244244m m mm-+-⋅⋅=＝m 0＝1.1．知识清单：(1)有理数指数幂的性质． (2)无理数指数幂的性质．2．方法归纳：根式的运算可先转化为幂的运算，最后再将结果转化为根式．3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．1．下列等式能够成立的是( ) A.⎝⎛⎭⎫n m 7＝17n ·m 7(m ≠n ，m ≠0) B.12(－3)4＝()133-C.4x 3＋y 3＝()34x y +(x ≥0，y ≥0)D.39＝133答案 D解析 因为⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7m 7＝n 7·m －7，所以A 错； 因为12(－3)4＝1234＝133≠()133-，所以B 错；因为4x 3＋y 3＝(x 3＋y 3)14≠(x ＋y )34，所以C 错； 因为39＝69＝133，所以D 正确．2．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5C ．2262n n －＋D.⎝⎛⎭⎫122n －7答案 D解析 原式＝22n ＋2·2－2n －1(22)n ·(23)－2＝2122n －6＝27－2n ＝⎝⎛⎭⎫122n －7. 3．2327＋1216-－⎝⎛⎭⎫12－2－23827-⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A ．3B ．6 C.14 D ．15答案 A解析 原式＝233(3)＋()1224-－(2－1)－2－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23323- ＝9＋4－1－4－⎝⎛⎭⎫23－2＝9＋14－4－94 ＝9－6＝3.4．若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22yx a+等于( )A ．9＋ 5 B.452 C ．9 5 D ．6 5答案 C 解析 22y x a+＝(a x )2·(a y )12＝32·512＝9 5.5．设12a －12a -＝m ，则a 2＋1a等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 C解析 将12a －12a -＝m 两边平方，得21122a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2， 即a ＋1a ＝m 2＋2，所以a 2＋1a＝m 2＋2.6．设α，β为方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫14α＋β＝________. 答案 8解析 由根与系数的关系得α＋β＝－32，所以⎝⎛⎭⎫14α＋β＝⎝⎛⎭⎫1432-＝(2－2)32-＝23＝8. 7________.答案 1解析＝1.8．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝________. 答案 16解析 因为a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， 所以a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0， 解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． 所以m ＝24＝16.9．化简下列各式(式中字母都是正数)：(1)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)(－31134a b-)(42132a b -)÷(－21134a b -)；(3)(14x ＋14y )(14x －14y )(x ＋y )．解 (1)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(14m )8(38n -)8＝m 2n －3＝m 2n3.(2)原式＝[－3×4÷(－2)]·121111333424a b-+--+＝6a 0b 0＝6.(3)原式＝[(14x)2－(14y )2](x ＋y )＝(12x －12y )(x ＋y ) ＝(x －y )(x ＋y ) ＝(x )2－(y )2＝x －y . 10．计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)0.008 114-－⎣⎡⎦⎤3×⎝⎛⎭⎫780－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤81－0.25＋⎝⎛⎭⎫33813-12-－10×0.02713.考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 解 (1)原式＝7×133－3×133×2－6×233-＋(3×133)14＝133－6×233-＋133＝2×133－2×3×233-＝2×133－2×133＝0.(2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫310414-－(3×1)－1×⎣⎡⎦⎤3－1＋⎝⎛⎭⎫32－112-－10×(0.33)13 ＝⎝⎛⎭⎫310－1－13×⎝⎛⎭⎫13＋2312-－10×0.3＝103－13－3＝0.11．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( ) A ．50 B ．12 C ．20 D ．1 答案 D解析 ∵100a ＝5，∴102a ＝5，∴102a ＋b ＝102a ·10b ＝5×2＝10， ∴2a ＋b ＝1，故选D.12．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．2答案 D解析 a >1，b >0，∴a b >1，∴a －b ＝1a b ，∴a －b ∈(0,1)，∴a b －a －b >0， ∵a b ＋a －b ＝22，∴a 2b ＋a －2b ＝6， (a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4， ∴a b －a －b ＝2.故选D.13．若2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________. 答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝(23)y ＋1＝23y ＋3， ∴x ＝3y ＋3，①又∵9y ＝3x －9＝(32)y ＝32y ， ∴x －9＝2y ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.14．化简a23b a12-·3b÷⎝⎛⎭⎪⎫a －1b －1b a 23- (a >0，b >0)的值为________．考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 答案 1566a b-解析 原式＝1321132a b a b 2-⋅⋅÷2131212a bb a ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭＝21321132a ba b-⋅⋅÷21131122a b-----⎛⎫⎪⎝⎭＝21113223a b+-÷233322a b---⎛⎫⎪⎝⎭＝7166a b÷(ab)＝7111 66 a b--＝15 66 a b-.15．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．a<b<c 答案 D解析ab＝424312＝(23×3)14(22×3)13＝314421332323⨯⨯＝3243113423--＝11211223＝⎝⎛⎭⎫23112<1，又a>0，b>0，∴a<b，b c ＝3126＝(22×3)13(2×3)12＝213311222323⨯⨯ ＝2132112323--＝161623＝1623⎛⎫⎪⎝⎭<1， 又b >0，c >0，∴b <c ， 综上有a <b <c ，故选D. 16．已知a ＝3，求1411a+＋1411a-＋1221a+＋41＋a的值． 解1411a+＋1411a-＋1221a+＋41＋a＝1144211a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋1221a +＋41＋a ＝1221a-＋1221a+＋41＋a＝1122411a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋41＋a ＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.。
新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数4.1指数课件新人教A版必修第一册
指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
正分数指数幂
m
规定：an
＝__n__a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
n＞1)
分数 指数
1
负分数指数幂
规定：a－mn
＝
1
m
＝___n _a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
an
幂
n＞1)
0 的分数 0 的正分数指数幂等于___0_____，0 的负分数指数
(1)a±2a12
1
b2
＋b＝ a ±b ；
1 2
1 2
2
(2)a－b＝ a ＋b a －b ； 1
1 1
1
2
2
2
2
3
(3)a2
＋b23
＝ a ＋b (a－a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)；
3
(4)a2
－b23
＝ a －b (a＋a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)．
易错警示 忽视条件限制致误 已知 x∈[1，2]，化简：(4 x－1)4＋6 (x2－4x＋4)3＝________．
1．(题型 2)下列运算结果中，正确的是
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
()
【答案】A 【解析】a2a3＝a2+3＝a5，(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6，( a－1)0＝1， 若成立，需要满足 a≠1，(－a2)3＝－a6，故正确的是 A．故选 A．
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
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4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
必备知识基础练
知识点一 无理数指数幂
1.由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为( ) (1)21.7,21.73,21.732,21.732 0,21.732 05
，… (2)2
1.8,2
1.74,2
1.733,2
1.732 1,2
1.732 06
，…
A ．21.7
B ．21.8
C ．23
D ．4
2．计算：3π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13π＋(2
2
2
)
2
＋1
5
的值为( )
A ．17
B ．18
C ．6
D ．5
3．计算下列各式：
知识点二
指数幂的运算与应用
4.[(－2)－2
]
12
-
的结果是( )
A .2
B ．－ 2
C .
22D ．－22
5．计算下列各式： (1)23×31.5×6
12；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫210272
3-－3π0＋3748；
(3).
6．已知a 12
＋a
12
-
＝3，求下列各式的值．
(1)a ＋a －1
；(2)a 2
＋a －2
；(3)a 32
＋a 32
-
；(4)a 2－a －2
关键能力综合练 一、选择题 1．若(1－2x)
34
-有意义，则x 的取值X 围是( )
A ．x∈R
B ．x ∈R 且x ≠12
C ．x ＞12
D ．x ＜12
2．2723
＋1612
-－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫8272
3-
等于( ) A ．3 B ．6 C.1
4
D ．15 3．化简 (a ，b >0)的结果是( )
A.b
a B ．a
b C.a b
D ．a 2
b
4．1.2 无理数指数幂及其运算性质
必备知识基础练
1．解析：由于3的不足近似值为1.7,1.73,1.732,1.732 0,1.732 05，…，3的过剩近似值为1.8,1.74,1.733,1.732 1，1.732 06，…，所以由(1)(2)两串有理数指数幂所逼近得到的数为2 3.
答案：C
2．解析：3π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13π＋(2
2
2
＋15＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3×13π＋2
2
2×2
＋1＝1π＋24
＋1＝18.
3．解析：(1)原式＝32×2
2
×a
1
2222
⨯＝34×a 2＝81a 2
.
(2)原式＝b
32
2
πππ+-
＝b 0＝1.
4．解析：[(－2)－2
]12
-
＝(2)
1(-2)2⎛⎫⨯- ⎪
⎝⎭
＝ 2.
答案：A
5．解析：(1)原式＝2×312
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫3213×121
6
＝211
1+33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭×3111
236++＝2×3＝6.
(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫64272
3-
－3×1＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.
6．解析：(1)∵a 1
2＋a
12
-＝3，∴
＝9，
即a ＋2＋a －1
＝9，∴a＋a －1
＝7. (2)∵a＋a －1
＝7，
∴(a＋a －1)2
＝49，即a 2
＋2＋a －2
＝49. ∴a 2
＋a －2＝47. (3)a 32
＋a 32
-
＝
＝
＝3×(7－1)＝18.
(4)设y ＝a 2
－a －2
，两边平方，
得y 2
＝a 4
＋a －4
－2＝(a 2
＋a －2)2
－4＝472
－4＝2 205. 所以y ＝±215，即a 2
－a －2
＝±21 5.
关键能力综合练
1．解析：∵(1－2x)
34
-
＝14
1－2x
3
，∴1－2x ＞0，得x ＜1
2
.
2．解析：原式＝(33
)23
＋(42
)
12
-
－(2－1)－2
－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2332
3- ＝9＋4－1
－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＝9＋14－4－94＝9－6＝3.
答案：A
3．解析：原式＝[a 3b 2
(ab 2
)13]12
÷(a 1b 2
b 13
a
13
-
)＝a
11332
⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭·b
21232
⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭÷(a
23
b
73
)＝
a
52
33
-×b
4733
-＝a b
. 答案：C
4．解析：将a 12
－a
12
-
＝m 平方得(a 12
－a
12
-
)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m
2
＋2，即a ＋1a ＝m 2
＋2⇒a 2
＋1a
＝m 2＋2.
答案：C 5．解析：a 2x+
2
y ＝(a x )2·(a y
) 12
＝32
·512
＝9 5.
答案：C 6．解析：＝x ＋2＋x －1
＝4＋2＝6.
∵x 12
≥0，x 12
->0，∴x 12
＋x
12
-
＝ 6.
答案：D
7．解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15
.即2α·2β＝2
α
＋β
＝2－2
＝14
，(2α)β＝2α β
＝21
5.
答案：1
4
21
5
8．解析：原式＝10－42＋1＝22
－42＋
2
2
＝2－ 2.
答案：2－ 2 9．解析：由2x
＝8
y ＋1
，得2x ＝2
3y ＋3
，
所以x ＝3y ＋3.① 由9y
＝3
x －9
，得32y ＝3
x －9
，
所以2y ＝x －9.② 由①②联立方程组，
解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27. 答案：27
10．解析：(1)原式＝[(0.3)3
]1
3
－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44
)34＋(232)2
3－13＋1＝0.3－52＋43＋2－
13＋1＝96715
.
(2)原式＝7×313
－33
23
×3－6
3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＋43×313＝7×313－6×313－6×323-＋31
3＝2×313
－2×3×323
-＝2×313
－2×313
＝0.
(3)原式＝a 8152⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
·b
6152⎛⎫⎛⎫
-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
·a 45÷b 35
＝a
45
-·b 35
·a 45÷b 35＝a
4455
-+·b
3355
-＝a 0b 0
＝1.
学科素养升级练
1．解析：对于A ，若x<0，－x 无意义，故A 错误； 对于B ，当y<0时，6
y 2
≠y 1
3
，故B 错误；
对于C ，由分数指数幂可得xy>0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 3
4-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3
4＝4⎝ ⎛⎭
⎪
⎫y x 3，故C 正确；
对于D ，，故D 错误．所以不正确的是A ，B ，D .
答案：ABD
2．解析：∵100a ＝5，∴102a ＝5，∴102a ＋b
＝102a ·10b
＝5×2＝10，
∴2a＋b ＝1，故选D . 答案：D
3．解析：11＋a 14＋11－a 14＋21＋a
12
＋4
1＋a
＝
2
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－a 14＋21＋a 12＋41＋a
＝21－a 12＋21＋a
12＋41＋a
＝
4
⎝
⎛⎭⎪⎫1－a 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 12＋4
1＋a
＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.。