高中数学第四章指数函数与对数函数 4.1 指数 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质精品练习(含

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质

必备知识基础练

知识点一无理数指数幂

1.由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为( ) (1)21.7,21.73,21.732,21.732 0,21.732 05

，… (2)2

1.8,2

1.74,2

1.733,2

1.732 1,2

1.732 06

，…

A ．21.7

B ．21.8

C ．23

D ．4

2．计算：3π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫13π＋(2

)

＋1

的值为( )

A ．17

B ．18

C ．6

D ．5

3．计算下列各式：

知识点二

指数幂的运算与应用

4.[(－2)－2

]

的结果是( )

A .2

B ．－ 2

C .

22D ．－22

5．计算下列各式： (1)23×31.5×6

12；

(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫210272

3-－3π0＋3748；

(3).

6．已知a 12

＋a

＝3，求下列各式的值．

(1)a ＋a －1

；(2)a 2

＋a －2

；(3)a 32

＋a 32

；(4)a 2－a －2

关键能力综合练一、选择题 1．若(1－2x)

-有意义，则x 的取值X 围是( )

A ．x∈R

B ．x ∈R 且x ≠12

C ．x ＞12

D ．x ＜12

2．2723

＋1612

-－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫8272

等于( ) A ．3 B ．6 C.1

D ．15 3．化简 (a ，b >0)的结果是( )

A.b

a B ．a

b C.a b

D ．a 2

4．1.2 无理数指数幂及其运算性质

必备知识基础练

1．解析：由于3的不足近似值为1.7,1.73,1.732,1.732 0,1.732 05，…，3的过剩近似值为1.8,1.74,1.733,1.732 1，1.732 06，…，所以由(1)(2)两串有理数指数幂所逼近得到的数为2 3.

答案：C

2．解析：3π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫13π＋(2

＋15＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫3×13π＋2

2×2

＋1＝1π＋24

＋1＝18.

3．解析：(1)原式＝32×2

×a

2222

⨯＝34×a 2＝81a 2

(2)原式＝b

πππ+-

＝b 0＝1.

4．解析：[(－2)－2

]12

＝(2)

1(-2)2⎛⎫⨯- ⎪

⎝⎭

＝ 2.

答案：A

5．解析：(1)原式＝2×312

×⎝ ⎛⎭

⎪⎫3213×121

＝211

1+33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭×3111

236++＝2×3＝6.

(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫64272

－3×1＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.

6．解析：(1)∵a 1

2＋a

-＝3，∴

＝9，

即a ＋2＋a －1

＝9，∴a＋a －1

＝7. (2)∵a＋a －1

＝7，

∴(a＋a －1)2

＝49，即a 2

＋2＋a －2

＝49. ∴a 2

＋a －2＝47. (3)a 32

＋a 32

＝

＝3×(7－1)＝18.

(4)设y ＝a 2

－a －2

，两边平方，

得y 2

＝a 4

＋a －4

－2＝(a 2

＋a －2)2

－4＝472

－4＝2 205. 所以y ＝±215，即a 2

－a －2

＝±21 5.

关键能力综合练

1．解析：∵(1－2x)

＝14

1－2x

，∴1－2x ＞0，得x ＜1

2．解析：原式＝(33

)23

＋(42

)

－(2－1)－2

－⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2332

3- ＝9＋4－1

－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＝9＋14－4－94＝9－6＝3.

答案：A

3．解析：原式＝[a 3b 2

(ab 2

)13]12

÷(a 1b 2

b 13

)＝a

11332

⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭·b

21232

⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭÷(a

)＝

-×b

4733

-＝a b

. 答案：C

4．解析：将a 12

－a

＝m 平方得(a 12

－a

)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m

＋2，即a ＋1a ＝m 2

＋2⇒a 2

＋1a

＝m 2＋2.

答案：C 5．解析：a 2x+

y ＝(a x )2·(a y

) 12

＝32

·512

＝9 5.

答案：C 6．解析：＝x ＋2＋x －1

＝4＋2＝6.

∵x 12

≥0，x 12

->0，∴x 12

＋x

＝ 6.

答案：D

7．解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15

.即2α·2β＝2

＋β

＝2－2

＝14

，(2α)β＝2α β

＝21

答案：1

8．解析：原式＝10－42＋1＝22

－42＋

＝2－ 2.

答案：2－ 2 9．解析：由2x

＝8

y ＋1

，得2x ＝2

3y ＋3

，

所以x ＝3y ＋3.① 由9y

＝3

x －9

，得32y ＝3

x －9

，

所以2y ＝x －9.② 由①②联立方程组，

解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27. 答案：27

10．解析：(1)原式＝[(0.3)3

－⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44

)34＋(232)2

3－13＋1＝0.3－52＋43＋2－

13＋1＝96715

(2)原式＝7×313

－33

×3－6

⎝ ⎛⎭

⎪⎫132＋43×313＝7×313－6×313－6×323-＋31

3＝2×313

－2×3×323

-＝2×313

－2×313

＝0.

(3)原式＝a 8152⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭

·b

6152⎛⎫⎛⎫

-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

·a 45÷b 35

＝a

-·b 35

·a 45÷b 35＝a

4455

-+·b

3355

-＝a 0b 0

＝1.

学科素养升级练

1．解析：对于A ，若x<0，－x 无意义，故A 错误；对于B ，当y<0时，6

y 2

≠y 1

，故B 错误；

对于C ，由分数指数幂可得xy>0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 3

4-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3

4＝4⎝ ⎛⎭

⎪

⎫y x 3，故C 正确；

对于D ，，故D 错误．所以不正确的是A ，B ，D .

答案：ABD

2．解析：∵100a ＝5，∴102a ＝5，∴102a ＋b

＝102a ·10b

＝5×2＝10，

∴2a＋b ＝1，故选D . 答案：D

3．解析：11＋a 14＋11－a 14＋21＋a

＋4

1＋a

＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 14⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－a 14＋21＋a 12＋41＋a

＝21－a 12＋21＋a

12＋41＋a

＝

⎝

⎛⎭⎪⎫1－a 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 12＋4

1＋a

＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2

4．1 指数 4．1.1 n次方根与分数指数幂4．1.2 无理数指数幂及其运算性质内容标准学科素养1.理解方根及根式的概念．数学抽象 2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义． 3.掌握幂的运算. 授课提示：对应学生用书第50页 [教材提炼] 知识点一n次方根及根式预习教材，思考问题如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？知识梳理(1)n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋. 个数 n是奇数 a＞0x＞0 x仅有一个值，记为 n a a＜0x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± n a a＜0x不存在 , (2)根式

①定义：式子 n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． ②性质：(n ＞1，且n ∈N ＋) (ⅰ)( n a )n ＝a . (ⅱ) n a n ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数. 知识点二指数幂及运算知识梳理 (1)分数指数幂的意义 ①规定正数的正分数指数幂的意义是： a m n ＝n a m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)． ②规定正数的负分数指数幂的意义是： a －m n ＝1a m n ＝1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s ； ②(a r )s ＝a rs ； ③(ab )r ＝a r b r . (3)无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用． [自主检测] 1．已知x 5＝6，则x 等于( )

高中数学必修一新教材第四章指数函数与对数函数

第四章指数函数与对数函数 4.1指数第1课时根式 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，n a n＝a. (2)n为偶数时，n a n＝|a|＝ ⎩ ⎨ ⎧a，a≥0，－a，a<0.

(3)n 0＝0. (4)负数没有偶次方根．思考：(n a )n 中实数a 的取值范围是任意实数吗？提示：不一定，当n 为大于1的奇数时，a ∈R ；当n 为大于1的偶数时，a ≥0. 1.4 81的运算结果是( ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．±3 2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.5m C.6 m D.5－m 3．下列说法正确的个数是( ) ①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意义． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．若x 3＝－5，则x ＝________. n 次方根的概念问题【例1】 (1)27的立方根是________．(2)已知x 6＝2 019，则x ＝________. (3)若4 x ＋3有意义，则实数x 的取值范围为________． n 次方根的个数及符号的确定 (1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数； (2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号. 1．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列4个式子：

高中数学专题学习：指数函数与对数函数

第4讲指数函数与对数函数一、知识梳理 1．指数与对数的概念 b a ＝N N b a log =?（a ＞0，a ≠1） 2．指数与对数的性质指数运算性质 ①r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， ②r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， ③∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）（注）上述性质对r 、∈s R 均适用．对数运算性质 ①log MN a ＝log N M a a log + ②log N M N M a a a log log -= ③M n M a n a log log =（M 、N ＞0, a ＞0, a ≠1）推广：M m n M a n a m log log = ④换底公式：a N N b b a log log log =（a ，b ＞0，a ≠1，b ≠1） 3．指数函数、对数函数的概念形如y ＝x a （a ＞0且a ≠1，x ＞0）叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ．形如y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）的函数，叫做对数函数（logarithmic function ）．（1）指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别；（2）注意底数的取值范围． 4．指数函数与底相同的对数函数互为反函数． 5．指数函数、对数函数的图像和性质（略）二、方法归纳

1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论； 3．比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． 4．指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径．三、典型例题精讲【例1】比较下列各数的大小 33 12 1 22,15lg ,53,25lg ,53,35.0log ?? ? ????? ?? 解析：∵35 .0log 2＜0 ，其他各数都大于零，故35 .0log 2最小；又∵10lg ＝1，100lg ＝2， ∴ 1＜15lg ＜25lg ＜2＜32＝8，对于2 153?? ? ??与3 153?? ? ?? ，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，考虑函数y ＝x ?? ? ??53 为减函数，∴2 153?? ? ??＜3 153?? ? ??．于是有3 3 12 12225lg 15lg 535335.0log <<-111 B ．()()b a b a +>+11

高一数学必修一第四章指数函数与对数函数

高一数学必修一第四章指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数，也是高一数学必修一中第四章需要掌握的重点内容。在本章中，我们将深入了解指数函数和对数函数之间的关系，以及它们在日常生活中的广泛运用。首先，让我们来回顾一下指数函数的定义，指数函数是以一个特定的基数为底的函数，它可以表示当x变化时会随之改变的一种量的数学表示。指数函数的形式为 y = ax，这里的a是基数，当a = 1时，指数函数称为底数为1的单调函数。指数函数在实际应用中有广泛的用途，例如在我们日常生活中，我们会碰到“一年涨三分”，“一年贴现百分之十”等概念，都属于指数函数的范畴。接着，我们再来讨论一下对数函数，它的定义是以指数函数的反函数，它的形式为 y = logax，其中a又称为对数的底数。在日常生活中，我们会经常碰到对数函数的应用，例如我们可以使用它来计算发动机的功率，照明强度，声音等等。另外，指数函数和对数函数之间也有着重要的联系，它们之间具有逆函数关系，即y = axy = logax两个函数可以相互替换，也就是说当a是一个正数时，其两个函数的函数图形是可以经过对称轴翻转后对号入座的。除此之外，我们还可以运用指数函数和对数函数中的经典公式来解决实际问题，例如以水的分解为例，水的分解可以用以下的指数函数公式来表示： n = a1 + a2，其中a1代表水的分解率，a2是水的生成率。当

a1等于2时，这个公式就可以转换为一个对数函数的形式：n = log2a2。总之，指数函数和对数函数在实际应用中都是极为重要的，它们之间也存在着紧密的联系，它们被广泛地运用在人们日常生活中，而且也可以利用它们来解决实际问题。

新教材人教B版高中数学必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数知识点考点及解题方法提炼汇总

第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.1指数与指数函数 (1) 4.1.1实数指数幂及其运算 (1) 4.1.2指数函数的性质与图像 (5) 第1课时指数函数的性质与图像 (5) 第2课时指数函数的性质与图像的应用 (9) 4.2对数与对数函数 (13) 4.2.1对数运算 (13) 4.2.2对数运算法则 (17) 4.2.3对数函数的性质与图像 (20) 第1课时对数函数的性质与图像 (20) 第2课时对数函数的性质与图像的应用 (23) 4.3指数函数与对数函数的关系 (27) 4.4幂函数 (30) 4.5增长速度的比较 (35) 4.6函数的应用(二) (38) 4.1指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算知识点 n次方根 (1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根． n为奇数n为偶数 a∈R a＞0a＝0a＜0 x＝__n a__x＝__± n a__0不存在根式 (1)当n a有意义时， n a称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数． (2)性质： ①(n a)n＝__a__；② n a n＝ ? ? ?__a__，n为奇数， __|a|__，n为偶数.

分数指数幂的意义正分数指数幂 n 为正整数，n a 有意义，且a ≠0时，规定a 1n ＝__n a __ 正分数m n ，a m n ＝__(n a )m __＝n a m 负分数指数幂 s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1 a s __ 无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__．实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R ) (1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __．题型 n 次方根的概念及相关问题典例剖析典例1 (1)求使等式 (a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围； (2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号． [解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需??? a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|， ∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．

高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章《指数函数与对数函数》本章教材分析

《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在

解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养. 三、本章教学目标 1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1). 3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性. 4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质. 五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下: 六、本章教学建议 1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究

高一数学必修第一册2019(A版)_4_1_2_无理指数幂及其运算_教学设计(1)

第四章指数函数与对数函数 4.1.2 无理指数幂及其运算本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1.2节《无理指数幂及其运算》第１课时。从内容上看它是上节指数由整数指数幂推广到了分数指数幂，从而将指数幂的运算法则推广到了有理数的范围，本节从有理数指数幂出发，进一步推广到了无理数，从而再整个实数范围内，都可以进行指数幂的运算。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。重点：分数指数幂和无理指数幂的概念；难点：根式与分数指数幂的互化；指数幂的运算性质；多媒体

4．(m 12 )4＋(－1)0＝________. m 2＋1 [(m 12 )4＋(－1)0＝m 2＋1.] （二）、探索新知无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α (a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂；观察下表：2 5的是否表示一个确定的实数？ 2的过剩近似值 2 5 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 由上可以看出： 2 5 可以由2的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近。（三）典例解析题型1 根式与分数指数幂的互化例1 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)a a (a >0)；(2) 13x 5x 2 2 ；(3)⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 4b －23－23(b >0).

第四章指数函数与对数函数单元总结(思维导图+知识记诵+能力培养)(含解析)

第四章指数函数与对数函数知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈ 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质： (1)当n a =；当n ,0, ,0; a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ (2) n a = 3.分数指数幂的意义：

)0,,,1m n a a m n N n =>∈>；()10,,,1m n m n a a m n N n a - = >∈> 要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： ()0,0,,a b r s Q >>∈ (1)r s r s a a a += (2)()r s rs a a = (3)()r r r ab a b = 知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2.指数函数函数性质：

1.对数的定义 (1)若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>. 2.几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =. 3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：

新教材4.1指数 4.1.2无理数指数幂及其运算性质教案

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质教学目的：（1）了解可以由有理数的指数幂无限逼近无理数的指数幂；（2）培养用于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展教学核心素养. 课型：新授课教学重点：无理数指数幂的概念；教学难点：指数幂的运算性质；教学过程：一、引入课题知识点1 无理数指数幂无理数指数幂a α（0a >，α是无理数）是_________. 思考1：一定是实数吗？提示：根据无理数指数幂的定理. 知识点2 实数指数幂的运算性质（0a >，0b >，r ，s R ∈）（1）r s a a =_________.（2）()s ar _______.（3）()r ab =________. 思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示：二、基础自测 1．下列说法正确的个数是（）（1）无理数指数幂有的不是实数．（2）指数幂(0)x a x >中的x 只能是有理数．（3）9=. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：（1）无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；（2）指数幂(0)x a x >中的x 是任意实数，不正确；（3）239===，正确，故选B ． 2.36a a π π= . 3.( n m = . 三、题型探究

题型一无理数指数幂的运算例1 （1 ）（；（2）263a a a πππ. 解析：（1 ）原式62322916==⨯=. （2）原式2+636a a πππ π--==. 归纳提升关于无理数指数幂的运算（1）底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．（2）若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．题型二指数幂运算的综合运算例2 已知11223a a -+=，求下列各式的值. （1）1a a -+；（2）22a a -+；（3）33221 1 22a a a a ----. 分析：利用完全平方差公式求（1）（2），利用立方差各式求（3）. 解析：（1）11223a a -+=边平，129a a -++=，17a a -+=；（2）17a a -+=边平，有22249a a -++=，2247a a -+=；（3）于3 3 1 1 33 2222()()a a a a ---=，所以有331111122222211 11 12222()()1718a a a a a a a a a a a a a a ---------++⋅==++=+=--. 归纳提升（1）条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过1 1 223a a -+=解出a 的值代入求值，则非常复杂．（2）解决此类问题的一般步骤是

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(教案) 高中数学人教A版(2019)必修第一册

第四章指数函数与对数函数 4.1指数 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质教学设计一、教学目标 1．理解无理数指数幂的含义，掌握其运算性质． 2．掌握无理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．二、教学重难点教学重点无理数指数幂的概念及其运算性质教学难点无理数指数幂的运算三、教学过程（一）新课导入在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数.类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂. （二）探索新知探究一:无理数指数幂的运算性质学习课本探究部分，明白无理数指数幂是一个确定的实数. 无理数指数幂的概念：一般地，无理数指数幂a α（a >0，α为无理数）是一个确定的实数，这样，我们就将指数幂a α（α>0）中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数，实数指数幂是一个确定的实数. 无理数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r ，s ，均有下面的运算性质. (1)(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R (2)()(0,,)s r rs a a a r s =>∈R (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R （三）课堂练习

1.化简1327125-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的结果是( ) A.35 B.53 C.3 D.5 答案：B 解析：1131 3327335125553---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选B. 2. 若a b =a b +=( ) A.1 B.5 C.-1 D.2π5- 答案：A 解析：3π|2π|3ππ21a b +==-+-=-+-=，故选A. 3.若35n m b -=（m , *n ∈N ），则b =( ) A.35n m - B.35n m - C.35n m D.35m n 答案：B 解析：35n m b -=，()()131335n n m n b ---∴=，即35m n b -=.故选B. 4.化简：（1）1112121336325346a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫⨯-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ______；（2 =______. 答案：（1）1 654 b - （2）1 解析：（1）原式11111113113113632633262255532644a b a b a b a b b ------+--⎛⎫=⨯-÷=-=- ⎪⎝⎭ . （2 0a >，所以原式1a a ===÷=. 四、小结作业

新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第四章指数函数与对数函数

新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第四章指数函数与对数函数【考纲要求】序号考点课标要求 1指数函数①通过对有理数指数幂且为整数，且，实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。了解 ②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念了解③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。掌握 2对数函数①理解对数的概念，及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数和常用对数理解②通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点掌握③知道对数函数与指数函数互为反函数. 了解 3二分法与求方程近似解 ①结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系了解 ②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。掌握 4函数与数学模型 ①理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。理解 ②结合现实情境中的具体问题，利用计算公具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义。理解 ③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。了解

高中数学4-1指数4-1-2无理数指数幂及其运算性质课时作业新人教A版必修第一册

4．1.2 无理数指数幂及其运算性质必备知识基础练 1．计算：2a 2b 3 ×3a 3 b ＝( ) A ．5a 6b 3 B ．6a 6b 3 C ．6a 5b 4 D ．5a 5b 4 2．计算 a 3a ·3 a 2 的结果为( ) A ．a 32 B ．a 1 1 6 C ．a 5 6 D ．a 6 5 3．下列运算正确的是( ) A ．a 3 ＋a 4 ＝a 7 B ．a 4 ·a 2 ＝a 6 C ．a 23÷a － 23＝a 2 3 D ．(a 2 ·b 1 2)3 ＝a 5 b 7 2 4．对于a >0，b >0，下列等式成立的是( ) A ．a 2 3·a 3 2＝a B ．(a 1 2a 1 3)6＝a 3a 2 C ．(a 3)2 ＝a 9 D ．a － 1 2·a 1 2＝0 5．若102x ＝25，则10－x 等于( ) A ．15B ．－15 C ．150 D ．1625 6．(多选)下列说法中错误的是( ) A ．根式都可以用分数指数幂来表示 B ．分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法 C ．无理数指数幂有的不是实数 D ．有理数指数幂的运算性质不适用于无理数指数幂 7．已知x >0，化简()x 3－ 2 3＋2＝________．

8．[2022·山东滨州高一期末](278)2 3－（－14）2＋(19 )0 ＝________．关键能力综合练 1．化简(a 3 b 1 2)1 2÷(a 1 2b 1 4)(a >0，b >0)结果为( ) A ．a B ．b C ．a b D ．b a 2．若2x ＝3，2y ＝4，则2x ＋y 的值为( ) A ．7 B ．10 C ．12 D ．34 3．计算(4a －3b － 2 3)·(－3a －1 b )÷(4a －4b － 5 3)得( ) A ．－32b 2 B ．32b 2 C ．3b 2 D ．－3b 2 4．若00，且a b －a －b ＝－2，则a b ＋a －b 的值为( ) A ．2 2 B ．±2 2 C ．－2 2 D ． 6 5．已知a ＋ 1 a ＝3，则a 2＋a －2 的值是( ) A ．47 B ．45 C ．50 D ．35 6．(多选)以下化简结果正确的是(字母均为正数)( ) A ．a 5 2·a 1 3·a 1 3 6＝1 B ．(a 6 ·b －9)－ 2 3＝a －4b 6 C ．－15a 1 2b 1 3c － 34 25a －12b 13c 54 ＝－3 5ac D ．(－2x 1 4y －1 3)(3x － 12y 23)(－4x 14y 2 3 )＝24y