含参单调性及极值的讨论

含参函数的单调性、极值

主备人：李秀环

【学习目标】对简单含参函数，能够合理分类，对函数的单调性、极值进行讨论。

【重点、难点】如何合理合理的进行分类讨论，明确分类讨论的标准。

【自主学习】回顾导数与函数的单调性的关系

(1)如果在区间(a ，b )内，________，则f (x )在此区间内是增函数；

(2)如果在区间(a ，b )内，________，则f (x )在此区间内是减函数．

自主探究下列问题：（时间15分钟）

1.已知a ∈R ，函数f (x )＝ax －ln x ，(其中e 是自然对数的底数)，求f (x )的单调区间和极值。

2. 已知函数f (x )＝e x －ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，讨论函数f (x )的单调性。

3. 已知函数2

()ln f x ax x =-（a 为常数）．求()f x 的单调递减区间。

【合作交流】8分钟

4. 设函数()()211ln .2

f x x a x a x =

---讨论函数()f x 的单调性和极值。

5. 已知函数)(111)(R a x

a ax nx x f ∈--+

-=.当21≤a 时，讨论)(x f 的单调性。

6.设函数2()=(+1)+(-)f x In x x x α，其中R α∈。

若0a >， 讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

7..已知函数.2

)1(2)(-+-=

x a e x x f x ）（，讨论)(x f 的单调性；

【小组展示】8分钟

【教师点拨】6分钟

含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能：

(1)方程f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根,求出根后是否在定义域内；

(3)若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法．

【达标测试】3分钟

规范书写7题

含参函数的单调性、极值达标测试

（30分钟60分）

1.已知函数f (x )＝ln x ＋a x

(a >0)，求f (x )的单调区间。

2. 讨论函数f(x)＝e x ＋ax －a(a ∈R 且a ≠0)的单调性．

3. 已知函数()()2

2ln 41f x a x x a x =+-++（为常数），若0a >,讨论()f x 的单调性；

4. 设函数()2

ln 2

x f x k x =-，0k >．求()f x 的单调区间和极值；

5. 已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈，设0a ≥，求)(x f 的单调区间。

6. 已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ，讨论()f x 的单调性；

②当a ＜0时，令f ′(x)＝e x

＋a ＝0，解得x ＝ln(－a)．

在区间(－∞，ln(－a))上，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；在区间(ln(－a)，＋∞)上，f ′(x)＞0，f(x)单调递增

【解析】（I ）()()()()()2111(0)x a x a x x a a f x x a x x x x

---+-=---==>',当0a ≤时, ()0f x '>恒成立,所以()f x 在()0,+∞上单调递增,当0a >时,解()0f x '>得,x a >解()0f x '<得0.x a <<

所以()f x 在()0,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增,综上,当0a ≤时, ()f x 在()0,+∞上单调递增.当

0a >时, ()f x 在()0,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增.

②当4a =时, 22a =, ()()222'0x f x x -=≥, ()f x 在()0,+∞上单调递增；

③当04a <<时, 22a <,当22a x <<时, ()'0f x <；当02

a x <<或2x >时, ()'0f x >,此时()f x 的单调递增区间为0,2a ?

? ???, ()2,+∞,单调递减区间为,22a ?? ???

综上所述,当4a >时, ()f x 的单调递增区间为()0,2, ,2a ??+∞

???,单调递减区间为2,2a ?? ???；当4a =时, ()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当04a <<时, ()f x 的单调递增区间为

0,2a ?? ???

, ()2,+∞,单调递减区间为,22a ?? ???.