中考数学易错题专题训练-相似练习题

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．阅读下列材料，完成任务：

自相似图形

定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．

任务：

（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；

（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；

（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．

请从下列A、B两题中任选一条作答．

A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；

②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；

B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；

②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．

【答案】（1）

（2）

（3）；；或；或

【解析】【解答】（解：（1）∵点H是AD的中点，

∴AH= AD，

∵正方形AEOH∽正方形ABCD，

∴相似比为： == ；

故答案为：；

（ 2 ）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：，

故答案为：；

（ 3 ）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，

∴AF：AB=AB：AD，

即 a：b=b：a，

∴a= b；

故答案为：

②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，

则b： a=a：b，

∴a= b；

故答案为：

B、①如图2，

由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，

∴DN= b，

Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，

∵矩形FMND∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AD：AB，

即FD： b=a：b，

解得FD= a，

∴AF=a﹣ a= a，

∴AG= = = a，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即 a：b=b：a

得：a= b；

Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AB：AD

即FD： b=b：a

解得FD= ，

∴AF=a﹣ = ，

∴AG= = ，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即：b=b：a，

得：a= b；

故答案为：或；

②如图3，

由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，

∴DN= b，

Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，

∵矩形FMND∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AD：AB，

即FD： b=a：b，

解得FD= a，

∴AF=a﹣ a，

∴AG= = = a，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即 a：b=b：a

得：a= b；

Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，

∵矩形DFMN∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AB：AD

即FD： b=b：a

解得FD= ，

∴AF=a﹣，

∴AG= = ，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即：b=b：a，

得：a= b；

故答案为： b或 b．

【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是;相似多边形的对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。

（1）由题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所以其相似比为；

（2）在直角三角形BC中，由勾股定理易得AB=5，而CD AB，所以用面积法可求得CD=，所以相似比===;

（3）A、①由题意可得,解得;

②同理可得; ，解得，；

B、①最小的矩形的长和宽与大矩形的场和宽的对应方式有两种，所以分两种情况来解：Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，由题意可得成比例线段，,,解得FD=,则

AF的长也可用含a的代数式表示，而AG=GF=AF，再根据矩形GABH∽矩形ABCD，得到相对应的比例式即可求得a=b;

Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，同理可得a=b;

②同①中的两种情况类似。

2．如图，BD是□ABCD的对角线，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm，动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线BD—DC运动到终点C，在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QM⊥AB，交射线AB于点M，连接PQ，以PQ与QM为边作□PQMN.设点P的运动时间为t(s)（t>0），□PQMN与□ABCD重叠部分图形的面积为S（cm2）.

（1）AP=________cm（同含t的代数式表示）.

（2）当点N落在边AB上时，求t的值.

（3）求S与t之间的函数关系式.

（4）连结NQ，当NQ与△ABD的一边平行时，直接写出t的值.

【答案】（1）（10-5t）

（2）解：如图①，

当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形．∵PN∥DB，∴△APN∽△ADB，∴AP：

AD=PN：DB，∴（10－5t）：10=8t：8，120t=80，∴．

（3）解：分三种情况讨论：

a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t．

当时，．

b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t，设PN交AB于点F，则

．

当时，．

c)如图④，当时，PF=8-4t，FB=3t，PN=DB=QM=8，∴FN=4t，DQ=6(t-1)，∴BM=DQ=6(t-1)．∵∠GBM=∠A，∠DBA=∠GMB，∴△BGM∽△ABD，∴GM：BM=DB：

AB，解得：GM=8t-8，∴S=S平行四边形PNMQ-S△FMN-S△BMG=8（9t-6）－ ×4t×（9t-6）－ ×（6t-6）（8t-8）= ．

综上所述：

（4）解：分三种情况讨论．

①当NQ∥AB时，如图5，

过P作PF⊥BD于F，则PF=3t，DF=4t，PN=FQ=BQ=8t，∴BD=8t+8t+4t=8，解得：．②当AD∥NQ，且Q在BD上时，如图6．

∵PNQD和PNBQ都是平行四边形，∴PN=DQ=BQ，∴8t+8t=8，解得：．

③当AD∥NQ，且Q在DC上时，如图7，

可以证明当Q与C重合，即直线NQ与直线BC重合时，满足条件，如图8，

此时DQ=AB= =6，t= =2．

综上所述：或或．

【解析】【解答】解：（1）（10-5t）；

【分析】（1）由题意可得，DP=5t,所以AP=AD-DP=10-5t;

（2）由欧勾股定理的逆定理可得∠ABD=，所以根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形；由平行线分线段成比例定理可得

比例式：,则可得关于t的方程，解方程即可求解；

（3）由（2）知，当□PQMN全部在□ABCD中时，运动时间是秒，由已知条件可知，点Q 在BD边上的运动速度是8cm/s，在DC边上的运动速度是6cm/s，所以当点Q运动到C点时，点P也运动到了点A，所以分3种情况：

a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，当0 < t ≤时， S=BQ PE；

b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，设PN交AB于点F，当< t ≤ 1 时，S =（PF+BQ）PE；

c)如图④，当1 < t ≤ 2 时， S =平行四边形PNMQ的面积-三角形FNM的面积-三角形BMG 的面积；

（4）由题意NQ与△ABD的一边平行可知，有3种情况：

①当NQ∥AB；

②当AD∥NQ，且Q在BD上时；

③当AD∥NQ，且Q在DC上时。分这三种情况根据已知条件即可求解。

3．如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B(A,B两点到路灯正下方的距离相等),他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化.

（1）求y与x之间的函数关系式;

（2）作出函数的大致图象.

【答案】（1）解：如图①：作CO⊥AB于O，

①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'.

小亮从点A到达点O的过程中，影长越来越小，直到影长为0；从点O到达点B的过程中，影长越来越大，到点B达到最大值.

设小亮的身高MA'=l，CO=h，AO=m，影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x，由图易得C'A=x-y，

∵MA'⊥AB，CO⊥AB，

∴△MC'A'∽△CC'O，

∴，

即 = ,

∴y= x- (0≤x≤m),(此时m,l,h为常数)，

②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时；

同理可得y=- x+ (m

（2）解：如图②所示：

【解析】【分析】（1）如图①：作CO⊥AB于O，

①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'；根据中心投影的特点可知影长随x的变化情况.

设小亮的身高MA'=l，CO=h，AO=m，影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x，由图易得C'A=x-y，根据相似三角形的判定和性质可得y与x的函数解析式.

②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时；同理可得y=- x+ (m

（2）根据（1）的函数解析式可画出图像.

4．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB；

（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．

【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴ AD∥BC，

在中，

∵别是的中点，

∴EF∥AD，

∴ EF∥BC，

∴

∴

（2）解：如图1，过点Q作于，

∴QM∥BE，

∴

∴

∴（舍）或秒

（3）解：当点Q在DF上时，如图2，

∴

∴ .

当点Q在BF上时，，如图3，

∴

∴

时，如图4，

∴

∴

时，如图5，

∴

∴

综上所述，t=1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形

【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等，从而可证△BEF∽△DCB；（2）过点Q作QM⊥EF 于M ，先根据相似三角形的预备定理可证△QMF ∽△BEF；再由△QM F ∽△BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。（3）由题意应分两种情况：（1）当点Q在DF上时，因为∠PFQ为钝角，所以只有PF = QF 。（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所以有 PF=QF；PQ = FQ；PQ = PF 三种情况，因此所求的t值有四种结果。

5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．

（1）当t=________时，PQ∥AB

（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？

（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB 能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．

能垂直，理由如下：

延长QE交AC于点D，

∵将△PQC翻折，得到△EPQ，

∴△QCP≌△QEP，

∴∠C=∠QEP=90°，

若PE⊥AB，则QD∥AB，

∴△CQD∽△CBA，

∴，

∴，

∴QD=2.5t，

∵QC=QE=2t

∴DE=0.5t

∵∠A=∠EDP，∠C=∠DEP=90°，

∴△ABC∽△DPE，

∴

∴，

解得：，

综上可知：当t= 时，PE⊥AB

【答案】（1）2.4

（2）解：∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB 向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，

∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，

∴S△CPQ= CP?CQ= ＝5，

∴t2-6t+5=0

解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）

∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2

（3）解：

【解析】【解答】解：(1) ∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q 从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，

∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，

当PQ∥AB时，∴△PQC∽△ABC，

∴PC：AC=CQ：BC，

∴(6-t)：6=2t：8

∴t=2.4

∴当t=2.4时，PQ∥AB

【分析】（1）根据题意可得PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，根据平行线可得△PQC∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例可得PC：AC=CQ：BC，即得(6-t)：6=2t：8，求出t值即可；

（2）由S△CPQ=CP?CQ =5，据此建立方程，求出t值即可；

（3）延长QE交AC于点D，根据折叠可得△QCP≌△QEP，若PE⊥AB，则QD∥AB，可得△CQD∽△CBA，利用相似三角形的对应边成比例，求出DE=0.5t，根据

两角分别相等可证△ABC∽△DPE，利用相似三角形对应边成比例，据此求出t 值即可.

6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F.

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）连接DG，若AC∥EF时.

①求证：△KGD∽△KEG；

②若，AK= ，求BF的长.

【答案】（1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK，

∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∴EF是⊙O的切线.

（2）解：①∵AC∥EF，∴∠E=∠C，

又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD，

又∠DKG=∠CKE，

∴△KGD∽△KGE.

②连接OG，如图所示.∵，AK= ，

设，∴，，则

KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k.

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即，，，，则，

设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k，

由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2，，∴

在Rt△OGF中，，∴，

∴

【解析】【分析】（1）连接OG.根据切线的判定，证出∠KGE+∠OGA=90°，故EF是⊙O的切线.（2）①证∠E=∠AGD，又∠DKG=∠CKE，故△KGD∽△KGE.②连接OG. ，

设，，，则，在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即；由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2，

；在Rt△OGF中，，，

7．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8

（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF 交AD于点K

①求的值

②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值

（2）若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．

【答案】（1）解：①、∵EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∵AD⊥BC ∴AK⊥EF

∴ = ．

②∵① ② ①+②得：

又∵EH=x，AD=8，BC=12 ∴EF=12－ x

∴S=EH·EF=－ +12x=－ +24 ∴S的最大值为24

（2）解：或．

【解析】【分析】根据EF∥BC得出△AEF∽△ABC，从而得到，求出答案；根据题意得出和，将两式相加得到，根据EH=x，得出EF=12－

x，根据S=EH·EF得出函数关系式，求出最大值；根据三角形相似，然后分两种情况得出答案

8．如图

（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO= ，BO：CO=1：3，求AB的长．

经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．

请回答：∠ADB=________°，AB=________．

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO= ，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．

【答案】（1）75；4

（2）解：过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC=∠BEA=90°．

∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴ = = ．

∵BO：OD=1：3，

∴ = = ．

∵AO=3 ，

∴EO= ，

∴AE=4 ．

∵∠ABC=∠ACB=75°，

∴∠BAC=30°，AB=AC，

∴AB=2BE．

在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4 ）2+BE2=（2BE）2，

解得：BE=4，

∴AB=AC=8，AD=12．

在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，

解得：CD=4

【解析】【解答】解：（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°．

∵∠BOD=∠COA，

∴△BOD∽△COA，

∴ = = ．

又∵AO= ，

∴OD= AO= ，

∴AD=AO+OD=4 ．

∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，

∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，

∴AB=AD=4 ．

故答案为：75；4 ．

【分析】（1）利用平行线的性质，可求出∠ADB的度数，证明∠ADB=∠OAC，利用相似三角形的判定定理证明△BOD∽△COA，得出对应边成比例，求出OD的长，再求出AD的长，然后证明∠ABD=∠ADB，可求得AB的长。

（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，先证明△AOD∽△EOB，得出对应边成比例，求出EO、AE的长，再证明AB=2BE，利用勾股定理求出BE的长，就可得出AC、AD的长，然后在Rt△CAD中，利用勾股定理求出CD的长即可解答。

9．已知A（2,0），B（6,0），CB⊥x轴于点B，连接AC

画图操作：

（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，

①若tan∠APB ，求点P的坐标。________

②当点P的坐标为 ________ 时，∠APB最大

（3）若在直线y x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标

【答案】（1）解：∠APB如图所示；

理解应用：

（2）解：如图2中，

∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB= = ．∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4，BC=8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．；（0，2 ）

拓展延伸：

（3）解：如图3中，

当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．∵直线y= x+4交x轴于M（﹣3，0），交y 轴于N（0，4）．∵MP是切线，∴MP2=MA?MB，∴MP=3 ，作PK⊥OA于

K．∵ON∥PK，∴ = = ，∴ = = ，∴PK= ，MK= ，∴OK= ﹣

3，∴P（﹣3，）．

【解析】【解答】解：（1）②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，∴BC= =4 ，∴C（6，4 ），∴K（4，2 ），∴P（0，2 ）．

【分析】（1）因为CB⊥x轴于点B，所以∠ABC=。要使∠APB=∠ACB，只需这两个角是同弧所对的圆周角。所以用尺规左三角形ABC的外接圆，与y轴相交，其交点即为所求作的点P；

（2）①由（1）知，∠APB=∠ACB，所以tan∠ACB=tan∠APB==,已知A（2，0），B （6，0），所以AB=4，BC=8，则C（6，8），AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易得P（0，2），P′（0，6）；

②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得BC==,则C（6，），K（4，2 ），而P在y轴上，所以P（0，2 ）；

（3）由（2）知，当经过AB两点的圆与直线相切时，∠APB最大。设直线y=x+4交x轴于M交y轴于N，则可得M（﹣3，0），N（0，4），因为MP是切线，所以由切割线定理可得MP2=MA?MB，可求得MP=3，作PK⊥OA于K．所以ON∥PK，由相似三角形的

判定定理可得比例式;,即,解得PK= ，MK=，所以可得