初高中数学衔接数形结合思想与转化化归思想
新高一数学初升高数学衔接——学法指导
《必修1》模块由两部分构成，分别是：
集合、函数
在初中学习函数的基础上，我们还要进一步学习 函数，只不过高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖 关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，在初中一 次函数、二次函数、反比例函数的基础上，我们还将学 习指数函数、对数函数、幂函数这些新的函数类型，而 函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。
（二）初高中数学特点的变化
6、能力要求更高
例1：下面是一个组合图形的三视图，请描述物体形状
2011年浙江高考题：
（7）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
（三）学好高中数学的应对策略和学习方法
1、充分发挥“老师”的作用。
有一些同学在初中学习不规范，凭借聪明的头脑，在初三的中 考突击中也能取得较理想的成绩。
（三）学好高中数学的应对策略和学习方法
2、抓住数学的灵魂———数学思想
所谓数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识 和数学问题的进一步抽象和概括，属于对数学规律性的认识范畴。 数学思想是数学学习的关键，数学思想指导着数学问题的解决， 并具体体现在解决问题的不同方法中。常用的数学思想有：方程 思想、函数思想、转化思想、整体思想、数形结合思想、分类讨 论思想等。
夯实基础知识和基本技能是学好数学的必要基础，但仅有这 些还不够，要想在有限的时间内准确快速地解答完考题，必须具 备一定的知识外延，需要在平时的听课和练习中注意加强对一些 重要结论的记忆，扩大自己的知识面，丰富自己的知识积累。
（三）学好高中数学的应对策略和学习方法
4、做题之后加强反思
同学们一定要明确，现在正做着的题，绝不会是考试的题目。 在考试中我们需要运用平时做题目时的解题思路与方法。因此， 要把自己做过的每道题加以反思，总结一下自己的收获。要总结 出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。日久天长，构建 起一个内容与方法的科学的网络系统。反思是学习过程中很重要 的一个环节。
转化与化归思想
转化与化归思想转化与化归思想就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解．使用化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知．转化与化归思想高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中. 类型一 直接转化【典例1】 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．【答题模板】【解析】 ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，∴{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．【对点练1】 求下列函数的值域：(1)y ＝sin x ＋cos x ；(2)y ＝sin 2x －cos x ＋1； (3)y ＝cos x2cos x ＋1；(4)y ＝1＋sin x 3＋cos x.【解析】 (1)∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数的值域为[－2，2]． (2)∵y ＝sin 2x －cos x ＋1＝2－cos 2x －cos x ＝－(cos x ＋12)2＋94，∴函数的值域为[0，94]． (3)由y ＝cos x 2cos x ＋1，得cos x ＝y1－2y .∵|cos x |≤1，∴解不等式|y 1－2y |≤1，得y ≤13或y ≥1.∴函数的值域为(－∞，13]∪[1，＋∞)．(4)由y ＝1＋sin x3＋cos x ，得sin x －y cos x ＝3y －1，即1＋y 2·sin(x －φ)＝3y －1.∴sin(x －φ)＝3y －11＋y 2.∵|sin(x －φ)|≤1，∴|3y －11＋y 2|≤1.平方化简得y ·(4y －3)≤0.∴0≤y ≤34，即函数值域为[0，34]．类型二 换元法【典例2】 求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值． 【答题模板】【解析】 y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]且sin x cos x ＝t 2－12.∴y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72.【对点练2】 (2015·衡水调研)已知x ＋y ＝－1，且x ，y 都是负数，求xy ＋1xy 的最值． 【解析】 设x ＝－sin 2α(sin 2α≠0)，y ＝－cos 2α(cos 2α≠0)，则xy ＋1xy ＝sin 2αcos 2α＋1sin 2αcos 2α＝14sin 22α＋4sin 22α＝14(sin 22α＋16sin 22α)． ∵sin 22α＋16sin 22α在sin 22α∈(0,1]上是减函数，∴sin 22α＝1时，取得最小值，∴xy ＋1xy 的最小值为14(1＋161)＝174.【典例3】 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 【答题模板】 可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决． 【解析】 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得a ＋4＝－(t ＋4t )，∵t >0，∴－(t ＋4t )≤－4.∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]． 【对点练3】 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 【解析】 令2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x .则4x 2＋y 2＋xy ＝1变形为6x 2－3tx ＋t 2－1＝0. Δ＝9t 2－4·6·(t 2－1)≥0，t 2≤85.∴－2105≤t ≤2105，即2x ＋y 的最大值是2105.类型三 数形结合法【典例4】 求函数f (x )＝2－sin x2＋cos x 的值域．【解析】 函数f (x )＝2－sin x2＋cos x ，可看作点(2,2)，(－cos x ，sin x )两点连线的斜率．点(－cos x ，sin x )的轨迹为x 2＋y 2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的直线斜率存在，不妨设为k .∴切线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴满足|2－2k |1＋k 2＝1，解之得k ＝4±73.∴函数f (x )的值域为[4－73，4＋73]． 【对点练4】 设f (x )＝1＋x 2，求证：对于任意实数a ，b ，a ≠b ，都有|f (a )－f (b )|<|a －b |.【解析】 设A (x 1,1)，B (x 2,1)，则|OA |＝1＋x 21，|OB |＝1＋x 22，|AB |＝|x 1－x 2|.在△AOB 中，||OA |－|OB ||<|AB |，即有|1＋x 21－1＋x 22|<|x 1－x 2|，所以|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，即|f (a )－f (b )|<|a －b |. 类型四 构造法【典例5】 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【答题模板】 用常规方法利用三棱锥的体积公式求解体积时，无法求出三棱锥的高．但若换个角度来思考，注意到三棱锥的三对棱两两相等，我们可以构造一个特定的长方体，将问题转化为长方体中的某个问题．【解析】 如图所示，把三棱锥P －ABC 补成一个长方形AEBG －FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.所以V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.故所求三棱锥P －ABC 的体积为160.【对点练5】 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【解析】先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝33. 类型七 参数法【典例8】 已知直线l 过点A (2,3)且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于M ，N 两点，则当|AM |·|AN |最小时，直线l 的方程为________． 【解析】 设∠AMO 为θ，则θ∈(0，π2)， ∴|AM |＝3sin θ，|AN |＝2cos θ. ∴|AM |·|AN |＝6sin θ·cos θ＝12sin2θ≥12. 当且仅当sin2θ＝1，即θ＝π4时取“＝”号．此时k l ＝－1，∴l 的方程为x ＋y －5＝0. 【对点练8】 (2015·北京东城联考)已知点P (3,4)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，A ，B 是圆C 上两个动点，且|AB |＝23，则OP →·(OA →＋OB →)(O 为坐标原点)的取值范围是( ) A ．[3,9] B ．[1,11] C ．[6,18] D ．[2,22]【解析】 设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，因为|AB |＝23，所以|CD |＝1，故点D在圆(x －2)2＋y 2＝1上，所以点D 的坐标为(2＋cos α，sin α)，故OP →·(OA →＋OB →)＝2OP →·OD →＝2(6＋3cos α＋4sin α)＝2[6＋5sin(α＋φ)]，而2≤2[6＋5sin(α＋φ)]≤22，则OP →·(OA →＋OB →)的取值范围是[2,22]．。
初中数学转化与化归思想——消元
转化与化归思想——消元转化与化归的思想所谓化归与转化的思想是指在研究数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般情况下，都要将未解决的问题化归转化为已解决的问题。
化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，同时也是在解决数学问题过程中无处不存在的基本思想方法。
数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，因此以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，各种变换的方法及分析法、反证法、特定系数法、构造法等都是转化的手段。
化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。
解题方法指导1．运用化归与转化的思想解题需明确三个问题：(1)明确化归对象，即对什么问题转化；2)认清化归目标，即化归到何处去；(3)把握化归方法，即如何进行化归；2．运用化归与转化的思想解题的途径：(1)借助函数进行转化；(2)借助方程（组）进行转化；(3)借助辅助命题进行转化；(4)借助等价变换进行转化；(5)借助特殊的数与式的结构进行转化；(6)借助几何特征进行转化。
消元例 用加减法解方程组34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩ 分析：这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同，直接加减不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
①②解：①×3,得9x+12y=48 ③②×2,得10x-12y=66 ④③＋④,得19x=114x=6把x=6代入①，得3×6+4y=164y=-2, y=-1 2所以，这个方程组的解是612 xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩。
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。
事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。
下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。
化归与转化常遵循以下几个原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
一、正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。
如对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。
例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为。
例2：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x－3)垂直平分.当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。
例1：设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q =___________.例2：已知平面上的直线l 的方向向量)53,54(-=→e ，点(0，0)和A (1,－2)在l 上的射影分别为A O ''和，若A O λ=''则λ为（ ）A ．511 B ．－511 C ．2 D ．－2例3：设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且1PA QC =，则四棱锥B —PAQC 的体积为：A ．61V B ．41V C ．31V D ．21V利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。
转化与划归思想
高 频 考 点 突 破
菜
单
数学（ 新课标 高考二轮复习 数学（文）
(3)根据递推式的特点，对其取倒数后进行变换，转化为等比数列，通过求这个 根据递推式的特点，对其取倒数后进行变换，转化为等比数列， 根据递推式的特点
思 想 方 法 解 读
2an 1 1 1 1 1 等比数列的通项，求出原数列的通项． 等比数列的通项，求出原数列的通项． an＋ 1＝ ⇔ ＝ ＋ ·a ， 设 ＋λ an＋1 an＋1 2 2 n an＋1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 比较， ＝－1， ＝ (a ＋λ)，这个式子等价于 ， ＝ ·a － λ，与 ， ＝ ＋ ·a 比较，得 λ＝－ ， ＝－ 2 n an＋1 2 n 2 an＋1 2 2 n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 将其代入 ＋λ＝ (a ＋λ)，得 ＝ ， －1＝ (a －1)，又 a1＝ ，∴ －1＝ ， ＝ ， ＝ 2 n 2 n 3 a1 2 an＋1 an＋1 1 1 1 1 1 数列{ ∴数列 a －1}是以 为首项， 为公比的等比数列，故a －1＝( )n，即 an＝ 是以 为首项， 为公比的等比数列， ＝ 2 2 2 n n 2n . 2n＋1
2
高 频 考 点 突 破
菜
单
数学（ 新课标 高考二轮复习 数学（文）
思 想 方 法 解 读
高 频 考标 高考二轮复习 数学（文）
思 想 方 法 解 读
(1)函数 y＝(x－a)2＋(x－b)2(a，b∈R)的最小值为 函数 ＝ － － ， ∈ 的最小值为( 的最小值为 A．8 ． (a＋b)2 ＋ ) B. 2 (a－b)2 － ) C. 2 a2＋b2 D. 2
高 频 考 点 突 破
转化为一条直线上的点与(a， 的距离 的距离； 【思路点拨】 (1)转化为一条直线上的点与 ，b)的距离； 思路点拨】 转化为一条直线上的点与 (2)将S△ABF1转化为 △AF1F2； 将 △ 转化为S△ (3)转化为新的等差或等比数列． 转化为新的等差或等比数列． 转化为新的等差或等比数列
搞好初高中数学教学衔接的思考和作法
搞好初高中数学教学衔接的思考和作法
一、加强教学衔接
1、建立科学的衔接结构。
初高中数学教学衔接，要求初中数
学教学和高中数学教学有有机的衔接，形成一个有机的科学的衔接结构，使学生能够顺利地从初中数学过渡到高中数学。
2、建立衔接的基础。
在衔接中，要充分利用初中数学的基础
知识，使学生能够运用初中数学知识和方法解决高中数学问题，为高中数学学习打下坚实的基础。
3、建立衔接的桥梁。
在衔接中，要注重桥梁知识的建立，如
掌握一些初中数学和高中数学共有的概念、知识点等，使学生能够更好的理解高中数学，有效的解决高中数学问题。
二、改进教学方法
1、多种教学手段。
为了使学生更好的理解初中数学和高中数学，有效的完成衔接，教师要灵活运用多种教学手段，如多媒体课件、游戏、模拟等，使学生能够更好的理解和掌握数学知识。
2、重视实践活动。
数学学习不仅要掌握理论知识，更要注重
实践活动，如设计实验、实际操作、模拟等，使学生能够更加深入的理解数学，更好的完成衔接任务。
3、结合现实生活。
教师在教学中，应该结合学生的实际生活，
将数学知识与实际生活联系起来，使学生能够更加容易的理解数学，更好的完成衔接任务。
初、高中数学教学的衔接
浅谈初、高中数学教学的衔接学生从初中升入高中将会有好多不适应，如果不能及时使学生由不适应迅速过渡到适应，势必使学生成绩下降，信心丧失。
为此，教师在做好初高中数学衔接的教学过程中，除了正确归因外，要及时把握学生的心理发展趋势，积极采取有力措施。
一、学习心理方面衔接随着九年义务教育的全面实施，初中数学教学内容作了相应调整，一些原本在初中学习的内容放到高中，如一指数概念的扩充，有理数指数式的运算性质，对数、对数的运算性质，正余弦定理等。
高中数学教材同初中数学教材相比，无论是内容的深度、广度、难度还是能力要求都是一次飞跃，如果没有良好的心理准备，没有更加努力的信心，昔日的得意很快就会变为失意，昔日的“高峰”很快变成“低谷”。
进高一后一些学生反映数学课“听不懂”，考试成绩大幅度下降，甚至“惨不忍睹”，不少学生产生对高中数学的畏惧心理。
一些家长不理解其中原因，甚至责怪学校和教师。
因此，授课教师在教学过程中，特别是高一前期的教学中要做好学生的心理过渡工作，使学生尽快适应高中的学习，为以后的学习打下一个良好的心理基础。
要求学生克服“浮躁心理”“畏惧心理”，度过高一上学期艰难的教学“磨合”期。
二、学习方法方面衔接大多数学生在初中尚未形成系统的学习方法，升入高中以后急于想学好数学，想得到一些好的学习方法，为此教师在学期开始要抓住时机介绍一些行之有效的衔接办法。
一个高中生，如不努力钻研学习方法，不遵从老师的指导，势必在学习上会走弯路，虽付出不少精力，但收效甚微，学习成绩上不去，情绪和信心自然会受到影响。
引导学生学会学习，变“要我学”为“我要学”，提倡探究式学习、自主学习、合作交流等。
进入高中后，要注重在课堂教学中渗透研究性学习。
求知欲是人们思考、研究问题的内在动力，学生的求知欲越高，他的主动探索精神越强，就能主动积极进行思维，去寻找问题的答案。
教师在教学中可采用引趣、激疑、悬念、讨论等多种途径，活跃课堂气氛，调动学生的学习热情和求知欲望，以帮助学生走出思维低谷。
高中的数学思想方法介绍
高中的数学思想方法介绍1.函数函数题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.方程或不等式如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.初等函数面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中的不等式选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；5.参数的取值范围求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线问题圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.曲线方程求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.离心率求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列问题数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何问题立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；14.概率概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15.换元法遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；16.二项分布注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；17.绝对值问题绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；18.平移与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；19.中心对称关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
高中数学教学中如何做好初高中的衔接
高中数学教学中如何做好初高中的衔接摘要：初高中数学相比，在教材内容、教学要求、教学方式、思维层次，以及学习方法上都发生了突变，如何衔接初高中数学教学，提高高中数学教学质量是一个十分重要的问题。
首先分清高中数学与初中数学特点和变化，其次做好三个方面的衔接（教材内容，教学方法，学习方法）关键词：衔接；数学教学；方法；初中数学；高中数学在几年教学中，我发现“数学难学”是高中学生普遍反映的问题。
一些在初中数学成绩较好的学生，甚至在中考中数学取得优秀成绩的学生，经过高中一段时间的学习后，数学成绩却呈下降趋势。
这也是数学教师十分关心的问题。
其实，初高中数学相比，在教材内容、教学要求、教学方式、思维层次，以及学习方法上都发生了突变，如何衔接初高中数学教学，提高高中数学教学质量是一个十分重要的问题。
以我的教学经验谈谈我的看法。
一、分清高中数学与初中数学特点的变化：（一）数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言以及函数语言、空间立体几何等。
（二）思维方法向理性层次跃迁。
高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。
这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需逐步形成辩证型思维。
（三）知识内容的整体数量剧增。
高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。
转化与化归思想
相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与
形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的
互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化
本
讲 思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，
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在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的
开 综合性.
3.转化与化归思想的原则
讲 的子集求解.
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∵g(x)＝2x－2<0，∴x<1.
又对任意 x∈R，f(x)<0 或g(x)<0，
∴[1，＋∞)是 f(x)<0 的解集的子集. 又由 f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0 知 m 不可能大于等于 0， 因此 m<0.
当 m<0 时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0，
∴函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)极大值＝g(1)＝－2. (2)证明 由(1)知 x＝1 是函数 g(x)的极大值点，也是最大值点，
∴g(x)≤g(1)＝－2，即 ln x－(x＋1)≤－2⇒ln x≤x－1(当且仅
当 x＝1 时等号成立)，
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讲 栏 目
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审题破题 (1)求 f′(x)＝0 的根，比较两根的大小、确定区
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间，讨论 f(x)的单调性；(2)将 f(x)>0 恒成立转化为 f(x)的最
小值大于 0.
解 (1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a). 由已知 a>1，∴2a>2，
∴令 f′(x)>0，解得 x>2a 或 x<2，
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七、数形结合的思想
(一)知识要点：数形结合思想的应用分为两种情形：一种是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数论形”，另一种是借助于形的几何直观性来表示数之间的某些关系，即“以形促数”．运用数形结合思想解题，易于寻找解题途径，可避免繁杂的计算和推理，简化解题过程．
在中学阶段学到的“数”，包括有理数、实数（高中拓展到复数）、代数式、方程、不等式、函数解析式等；而“形”，可以是点、线、角、面，也可以是特殊的三角形、四边形、圆以及在高中将学习的圆锥曲线等．更丰富的“形”还体现在平面直角坐标系的函数图象等方面．
具体运用数形结合思想解题中，“以形促数”可从以下几方面具体借助图形去实施解题的目标：（1）借助数轴，可使解题直观深刻；（2）借助函数图象，使解题直观易懂；（3）借助单位圆，使解题直观简捷；（4）借助复平面，使几何意义显而易见；（5）借助方程的曲线，可化抽象为形象．
(二)典型例题解析
例1 如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的
整数b a ,的有序数对),(b a 共有多少个？
例2 求不等式x
x 312>+的解．
例3 如图，正△ABC 的三边AB ，BC ，CA 上分别有点D ，E ，F ．若DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置．
例4 平面内有10条直线，其中无3条直线交于一点．现要使它们的交点恰好有31个，试作出一个符合条件的图形．
例5 若a 为实数，试讨论方程
x a x x -=-⋅-31的解的情况．
(三)基础训练题 1．平面直角坐标系内，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆．求单位圆上的点到定点)4,3(P 的距离的最大值与最小值．
2．若方程x p x =-有两个不相等的实数根，求实数p 的取值范围．
3．解关于x 的不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≤-+-032012222x x a ax x ．
八、转化化归的思想
(一)知识要点：同一个数学问题，由于观察的角度不同，对问题的分析、理解的层次不同，可以导致转化目标的不同与解题方法的不同．但目的只有一个——尽量做到化繁为简、化隐为显、化难为易、化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体．
转化包括等价转化和非等价转化两种．等价转化要求转化过程中的前因后果是互相可逆推的．但事实上并不是所有的转化都是等价的，因此在转化过程中，一定要注意转化前后的等价性,如出现不等价转化，则需附加约束条件．而在非等价转化过程中常常会产生思维的闪光点，是找到解决问题的突破口．
(二)典型例题解析
例1 已知1111=++=
++z y x z y x ，求证：x ，y ，z 中至少有一个是1．
例2 如图C-18，四边形ABCD 中，∠1=∠2，AD=DB ，DC ⊥AC ．求证：AC=2
1AB.
例3 已知a>b>c ，且0=++c b a ．证明：方程022=++c bx ax 的两实根x l ，x 2满足32||321<-<x x
(三)基础训练题
1．平面直角坐标系内，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆．求单位圆上的点到定点P(3，4)的距离的最大值与最小值．
2．点A ，B ，C ，D 为同一平面内的4个点，通过这4个点可以确定几条直线?
3．如图C —25，已知半圆的直径AB=34，点O 是圆心，点C,D 是半圆上的三等分点．求阴影部分的面积．
4.求函数x x y 41312---=的最大值。
5.若方程0122=--x ax 在范围0＜x ＜1内恰有一解，求a 取值范围。