高二数学期末考试模拟题
2023-2024学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（）A ．18B ．14C ．1D ．2【正确答案】D【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =，故选：D.2．下列式子错误的是（）A ．2577C =C B ．323544C =C +C C ．333553A =C A D ．4356A =4A 【正确答案】D【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.【详解】对于A ，B ，由组合数公式：()1*1,,,,m n m m m m n n n n n C C C C C m n m n N --+==+≤∈知，2577C =C ，323544C =C +C ，所以A 、B 正确；对于C ，因为m m n nm mA C A =得m m n n m m A C A =，所以333553A =C A ，所以C 正确.对于D ，455432120A =⨯⨯⨯=，36654120A =创=，4356A 4A ≠，所以D 不正确.故选：D.3．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．内切C ．外切D ．相交【正确答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ，圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切.故选：B4．已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【正确答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Txxx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．5．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 【正确答案】B【分析】过点1A 作111A D B C ⊥，证明1A D ⊥平面11BCC B ，根据线面角的定义确定1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，解三角形求其正弦值即可.【详解】过点1A 作111A D B C ⊥，连接CD ，由已知1CC ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，所以11A D CC ⊥，因为1111B C CC C = ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以1A CD ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，因为1A D ⊥平面11BCC B ，CD ⊂平面11BCC B ，所以1A D CD ⊥，所以1A CD △为直角三角形，由已知111A B C 为等边三角形，且112A B AB ==，所以1A D =，在11Rt A C C 中，112CC AA ==，112AC =，所以1A C =，在1Rt ACD中，1A C =，1A D =，所以111sin A D A CD A C ∠===，所以1AC 与平面11BCC B故选：B.6．已知点A 是抛物线2y x =上的动点，焦点为F ，点(1,2)B ，则||+||AB AF 的最小值为（）A ．74B ．2C ．94D ．52【正确答案】C【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.【详解】∵2y x =，则2x y =，∴焦点1(0,4F ，准线l 方程14y =-，点(1,2)B 在抛物线上方，设过A 作l 的垂线，垂足为E ，∴由抛物线的定义知，||||AF AE =，如图所示，∴||||||||||AB AF AB AE BE +=+≥，当且仅当B 、A 、E 三点共线时取等号，当B 、A 、E 三点共线时，19||244BE =+=，故||+||AB AF 的最小值为94，故选：C.7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种【正确答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有336A =种方法，再分配护士有422364233390C C C A A =，由分步计数原理可得：422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=，应选答案：D ．本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以33A 而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．8．设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得()220OP OF F P +=，其中O 为坐标原点，且122PF PF = ，则该双曲线的离心率为A ．3B 1CD 【正确答案】D【分析】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义结合勾股定理解出该双曲线的离心率．【详解】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，则2OM PF ⊥，1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，设2PF m =，则12PF m =，且122PF PF a m -==，因此222(4)(2)(2)a a c +=，解得ce a==故选：D ．二、多选题9．已知双曲线22:14x C y -=，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1C ．双曲线C 的渐近线方程12y x =±D ．双曲线C 左支上的点到右焦点的最短距离为4【正确答案】ABC【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.【详解】解：双曲线22:14x C y -=中，224,1a b ==，所以2225c a b =+=，则2,1,a b c ===所以双曲线C的离心率为c aA 正确；双曲线的焦点为()到渐近线12y x =±1=，故B 正确，C 正确；双曲线C 左支上的点P 到右焦点2F的距离为22PF c a ≥++2，故D 不正确.故选：ABC.10．已知点()0,2F 为圆锥曲线C 的焦点，则C 的方程可能为（）A ．28y x=B ．218x y=C ．()221044x y m m m+=<<-D ．()221044y x m m m -=<<-【正确答案】BC分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：28y x =中，4p =，所以22p=，可得焦点坐标为()2,0，故选项A 不正确；对于选项B ：由218x y =可得28x y =，所以4p =，所以22p =，可得焦点坐标为()0,2，故选项B正确；对于选项C ：2214x y m m+=-，因为04m <<，所以40m -<，所以原方程可化为2214y x m m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，由2a m =，24b m =-，所以22244c a b m m =+=+-=，所以焦点坐标为()0,2±，所以()0,2F 为圆锥曲线()221044x y m m m+=<<-的焦点，故选项C 正确；对于选项D ：2214y x m m -=-中，因为04m <<，所以40m -<，原方程可化为：2214y x m m+=-，当4m m =-即2m =时，22122y x +=表示圆，没有焦点当4m m >-即m>2时，2214y x m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，2a m =，24b m =-，()222424c a b m m m =-=--=-，焦点为(0,，不符合题意，当4m m <-即02m <<时，2214y x m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，24a m =-，2b m =，()222442c a b m m m =-=--=-，焦点为()，不符合题意，故选项D 不正确；故选：BC.11．已知圆C 的方程为()()22114x y -+-=，直线l 的方程为20x my m +--=，下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过定点()2,1B ．直线与圆相交C ．直线被圆所截最短弦长为D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C 【正确答案】ABC【分析】化简直线l 的方程为2(1)0x m y -+-=，结合方程组的解，可判定A 正确；求得圆心到定点()2,1的距离，得到点P 在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B 正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C 正确；将圆心坐标代入直线l 的方程，可判定D 不正确.【详解】对于A 项：由直线l 的方程20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，联立方程组2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，即直线l 恒经过定点()2,1P ，所以A 正确；对于B 项：由圆C 的方程()()22114x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，半径2r =，又由12PC r =<=，可得()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以B 正确；对于C 项：由1PC =，根据圆的性质，可得当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为==C 正确；对于D 项：将圆心(1,1)C 代入直线l 的方程20x my m +--=，可得1210m m +--=-≠，所以不存在一个实数m ，使得直线l 过圆心C ，所以D 不正确.故选：ABC.12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b .双曲线2C 和椭圆1C 焦点相同，且双曲线2C 的离心率为2e ，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，若123F MF π∠=，则下列说法正确的是（）A ．21e e =B ．1234e e =C ．22122e e +=D ．221232e e -=【正确答案】AC设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，由12PF F △的面积为2b ，可得b c =，可求得1e ，设12,MF m MF n ==，利用定义可得，12,2m n a m n a +=-=，则22221()()4m n m n mn a a +--==-，在12MF F △中，由余弦定理可得222242cos ()33c m n mn m n mn π=+-=+-，代入化简，利用离心率公式可求出2e 【详解】解：设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，因为椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b 。
2023-2024学年河南省平顶山市高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省平顶山市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．直线50x +=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线50x +=可化为33y x =--，则斜率tan 3k α==-，又倾斜角α，满足0180α≤<︒，所以倾斜角为150︒.故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（）A ．数列1，0，1-，2-与数列2-，1-，0，1是相同的数列B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【正确答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误；对于选项C ，当1n =时，120a =≠，故C 错误；对于选项D ，因为123a a ===4a =…，所以数列的一个通项公式为n a =D 正确.故选：D3．已知直线l 过点()3,4-且方向向量为()1,2-，则l 在x 轴上的截距为（）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【正确答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率2k =-，然后利用点斜式可求得直线方程，再令0y =，即可得到本题答案.【详解】因为直线l 的方向向量为()1,2-，所以直线斜率2k =-，又直线l 过点()3,4-，所以直线方程为42(3)y x -=-+，即220x y ++=，令0y =，得=1x -，所以l 在x 轴上的截距为-1.故选：A4．已知m ∈R ，“直线1:0l mx y +=与22:910l x my m +--=平行”是“3m =±”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线1:0l mx y +=与22:910l x my m +--=平行则210=91m m m ≠--，所以29m =，解得3m =±，经检验，3m =±均符合题意，故选：C.5．已知等差数列{}n a 中，5a ，14a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381116a a a a +++=（）A ．3B ．6C ．8D ．9【正确答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数232()=--x x x f 的两个零点，即方程2320x x --=的两根1x ，2x ，∴51412331a a x x -+=+=-=，∵数列{}n a 为等差数列，∴3168115143a a a a a a +=+=+=，∴3811166a a a a +++=.故选：B.6．已知圆221:230C x y x ++-=关于y 轴对称的圆2C 与直线x m =相切，则m 的值为（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【正确答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆2C 的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆221:230C x y x ++-=，可得标准方程22(1)4x y ++=，圆心为(1,0)-，半径2r =，故关于y 轴对称的圆2C 的圆心为(1,0)，半径2r =，则其标准方程为22(1)4x y -+=，又因为圆2C 与直线x m =相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即12m -=，解得1m =-或3m =.故选：C7．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且11a =-，则数列{}2n a n +的前5项和为（）A ．151-B ．91-C ．91D ．151【正确答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列{}n a 为等比数列，再使用分组求和法求解即可.【详解】∵数列{}n a 满足13n n a a +=，且11a =-，∴数列{}n a 是首项为1-，公比为3的等比数列，∴11133n n n a --=-⨯=-，∴数列{}2n a n +的前5项和为，()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+91=-.故选：B.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点()3,2-且与双曲线22132x y -=有相同焦点，则椭圆的离心率为（）A ．6B C D 【正确答案】C【分析】由题可得225a b -=，22941a b+=，联立方程可求得22,a b ，然后代入公式e =，即可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线22132x y -=有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为12(F F ，则2225c a b =-=①，又椭圆过点()3,2P -，所以22941a b +=②，结合①，②得，2215,10a b ==，所以3e =，故选：C9．已知圆221:2220C x y x y +-+-=与圆222:20(0)C x y mx m +-=>的公共弦长为2，则m 的值为（）A ．62B ．32C D ．3【正确答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【详解】联立222220x y x y +-+-=和2220x y mx +-=,得(1)10m x y -+-=，由题得两圆公共弦长2l =，圆221:2220C x y x y +-+-=的圆心为(1,1)-，半径r 2，圆心(1,1)-到直线(1)10m x y -+-===，平方后整理得,2230m -=，所以2=m 或m =（舍去）；故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，设其前n 项和为n S ，若2021S m =，则2023a =（）A ．1m -B ．mC ．1m +D ．2m【正确答案】C【分析】由斐波那契数列{}n a 满足12121,1,n n n a a a a a --===+，归纳可得21m m a S +=+，令2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列{}n a 满足12121,1,n n n a a a a a --===+，所以321a a a =+，432211a a a a a =+=++，5433211a a a a a a =+=+++，……21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ ，则2023202111a S m =+=+.故选：C11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，M ，N 分别是11B C ，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）A ．304B 2305C ．302D ．3305【正确答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标，根据两点距离公式表示MP ，利用二次函数求值域，即可得到本题答案.【详解】以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，所以(1,2,3)M ，∵点P 在xOy 平面上，∴设点P 的坐标为()[],,0,0,1x y y ∈，∵P 在DN 上运动，∴2AD x y AN==，∴2x y =，∴点P 的坐标为(2,,0)y y ，∴()()()22222454122305814555MP y y y y y ⎛⎫=-+-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭∵[]0,1y ∈，∴当45y =时，MP 3305故选：D12．已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>l 与C 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为()1,2N ，则直线l 的斜率为（）A ．1-B ．1C D ．2【正确答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l 的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为2221(0)y x b b-=>，所以它的一个焦点为(,0)c ，一条渐近线方程为0bx y -=，所以焦点到渐近线的距离d =，化简得2222(1)b c b =+，解得22b =，所以双曲线的标准方程为2212y x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以221112y x -=①，222212y x -=②，①-②得，222212121())02x x y y ---=，化简得121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=③，因为线段AB 的中点为()1,2N ，所以12122,4x x y y +=+=，代入③，整理得1212x x y y -=-，显然1212,x x y y ≠≠，所以直线l 的斜率12121y y k x x -==-.故选：B 二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________.【正确答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量AB 与AC 共线，即ABk AC = ，(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，124348x y -+==-，解得12x =-，4y =-，∴2xy =．空间三点共线．14．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，直线2x =与抛物线交于点M ，且2MF =，则p =_______.【正确答案】2【分析】先求点M 的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得p 的值.【详解】把2x =代入抛物线标准方程22(0)x py p =>，得2(2,)M p，根据抛物线的定义有，222p MF MH p==+=，化简得，244p p +=，解得2p =.故215．已知点(1,1)--P ，点M 为圆22:1C x y +=上的任意一点，点N 在直线OP 上，其中O 为坐标原点，若|||MP MN =恒成立，则点N 的坐标为______.【正确答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设N 和M的坐标，由|||MP MN =，列等式，利用点M 在圆上，点N 在直线OP 上，化简得恒成立的条件，求得点N 的坐标.【详解】易知直线OP 的方程为0x y -=，由题意可设00(,)N x x ，设(,)M x y ''，则可得221x y ''+=，由||||MP MN =，可得22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++，则2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦，化简得200(24)()41x x y x ''++=-，即[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=，若|||MP MN =恒成立，则0120x +=，解得012x =-，故11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与抛物线28y x =的焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若122PF PF -=，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为_______.【正确答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出12PF PF ⋅的值，然后代入三角形的面积公式1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠ ，即可得到本题答案.【详解】由双曲线右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合，可得2(2,0)F ，所以124F F =，设1122,PF r PF r ==，则122r r -=，因为22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，所以22121212162r r r r +-⨯=，则21212()16r r r r -+=，解得1212r r =，所以，12121sin 602F PF S r r =︒=.故三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，且点111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭在直线2y x =+上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)121n a n =-(2)21n n +【分析】（1）先求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而可得到数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）中数列{}n a 的通项公式，可写出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消的方法即可求得前n 项和n T .【详解】（1）由题意得1112n na a +=+，即1112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为2的等差数列，故1112(1)21n n n a a =+-=-，即121n a n =-.（2）由（1）知11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- -+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+.18．已知ABC 的顶点坐标分别是()3,0A ，()1,2B ，()1,0C -.(1)求ABC 外接圆的方程；(2)若直线l ：3480x y +-=与ABC 的外接圆相交于M ，N 两点，求MCN ∠.【正确答案】(1)22(1)4x y -+=(2)60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点,,A B C ，求出方程组的解，即可得到本题答案；（2）先求出圆心到直线MN 的距离，即可得到30PMN ∠=︒，然后求出MPN ∠，即可得到本题答案.【详解】（1）设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=，22(40)D E F +->，代入点(3,0),(1,2),(1,0)A B C -得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩，解得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆的一般方程为：22230x y x +--=，标准方程为.22(1)4x y -+=（2）圆心(1,0)P 到直线:3480l x y +-=的距离1d ==，又因为2PM =，在等腰PMN 中，30PMN ∠=︒，所以圆心角260120MPN ∠=⨯︒=︒，则60MCN ∠=︒.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，且1AB AP BC ===，2AD =.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为PC 的中点，求PD 与平面AED 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)1010【分析】（1）先证AC CD ⊥，PA CD ⊥，由此即可证得CD ⊥平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，求出(0,2,1)PD =- ,平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =- ，然后利用公式sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ ，即可求得本题答案.【详解】（1）作CF AD ⊥，垂足为F ，易证，四边形ABCF 为正方形.所以1CF AF DF ===，222CD CF DF =+又222AC AB BC =+=因为222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC .（2）以点A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.则(0,2,0)AD = ，(0,2,1)PD =- ，111(,,)222AE = .设平面AED 的法向量为(),,n x y z = ，由00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，可得平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =- .设PD 与平面AED 所成角为θ，则110sin cos ,1025n PD n PD n PDθ⋅-===⨯⋅ .20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过C 上一点P 向抛物线的准线作垂线，垂足为Q ，PQF △是面积为43.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()1,0M -作直线l 交C 于A ，B 两点，记直线FA ，FB 的斜率分别为1k ，2k ，证明.120k k +=【正确答案】(1)24y x=(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边QF 的长，再求出Rt FQN 中FN 的长，即可求出p 的值，从而求出抛物线的标准方程；（2）设过M 的直线方程，与抛物线方程联立，借助A ，B 坐标表示12k k +，化简证明即可.【详解】（1）如图所示，PQF △的面积21sin 602PQF S PQ PF =︒== ∴4PF PQ QF ===，设准线与x 轴交于点N ，则在Rt FQN 中，906030FQN ∠=︒-︒=︒，∴122p FN QF ===，∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意知，过点()1,0M -的直线l 的斜率存在且不为0，∴设直线l 的方程为l ：()1y k x =+（0k ≠），直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，得2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，消去y 整理得，()2222240k x k x k +-+=，当()2242440k k ∆=-->，即()()1,00,1k ∈-⋃时，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k=-+-，121=x x ，由第（1）问知，()1,0F ，∴直线FA 的斜率1111y k x =-，直线FB 的斜率2221y k x =-，∴()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+.∴原命题得证.21．已知数列{}n a 满足12n n a a +=，且12314++=a a a .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2n n b n a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的n *∈N ，不等式()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)2nn a =(2)3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由12n n a a +=，可得数列{}n a 为等比数列，公比2q =，代入到12314++=a a a ，算出1a ，即可得到本题答案；（2）根据错位相减的方法求得n T ，然后将不等式()2224844n n T n n λ++-≥-，逐步等价转化为2112n n λ-≥，再利用单调性求出2112n nn c -=的最大值，即可得到本题答案.【详解】（1）因为12n n a a +=，所以{}n a 是公比为2的等比数列，所以1231112414a a a a a a ++=++=，故12a =，故2n n a =.（2）1222n n n b n n +=⋅=⋅，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ，所以()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= ，两式相减得，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，因此2(1)24n n T n +=-⋅+.由()2224844n n T n n λ++-≥-，可得222844n n n n λ+⋅≥-，所以2112nn λ-≥，该式对任意的n *∈N 恒成立，则max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.令2112n n n c -=，则()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=，当6n ≤时，10n n c c +->，即数列{}n c 递增，当7n ≥时，10n n c c +-<，即数列{}n c 递减，所以当7n =时，()max 3128n c =，所以实数λ的取值范围是3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点()1,1Q -的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且,AB CD 共线，求直线AB 的斜率.【正确答案】(1)22193x y +=(2)13【分析】（1）由短轴长可求出23b =可求出29a =，由此即可求得本题答案；（2）设点()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为,AB CD 共线，可设,AQ QC BQ QD λλ== ，可得13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，24241(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案.【详解】（1）因为短轴长为b =23b =，因为离心率e 2222213c b a a =-=，所以2213b a =，可得29a =，所以椭圆M 的方程为22193x y +=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y .设AQ QC λ= ，则13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩，即13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，代入椭圆方程，得()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=，即()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭①同理可得()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭②由②-①，得11229393x y x y -=-，所以()12123y y x x -=-，所以直线AB 的斜率121213y y k x x -==-.思路点睛：把,AB CD 共线这个条件，转化为,AQ QC BQ QD λλ== ，是解决此题的关键.。
高二数学期末模拟题
高二数学（人文方向）期末模拟试题（五）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．“△ABC 有一个内角是3π”是“△ABC 三个内角可构成等差数列”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线24x ay =的准线方程为（ ）A. x a =-B. x a =C. y a =-D. y a = 3．命题“如果22,x a b ≥+那么abx 2≥”的逆否命题是 （ ）A ．如果22,x ab <+那么2.x ab < B ．如果2,x ab ≥那么22.x a b ≥+C ．如果2.x ab <那么22.x a b <+ D ．如果22,x a b ≥+那么2.x ab <4．已知0x <，函数4y xx=+有 （ ）A ．最小值4B ．最大值4C ．最大值-4D ．最小值-45．过点(2 -2)且与双曲线1222=-yx有公共渐进线的双曲线是 ( )A14222=-xyB12422=-yxC12422=-xyD14222=-yx6．双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则=m （A ）A ．－41B ．－4C ．4D ．417．已知131,0,0=+>>ba b a ，则a + 2b 的最小值为（ A ）A ．627+B ．32C ．327+D ．14 8．曲线1323+-=xx y 在点)1,1(-处的切线方程为（ ）A ．23+-=x yB ．43-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y9．若圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ． 线段D 两射线 10．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A ．43B ．75C ．85D ．311．如果方程22143xymm +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．34m <<B ．72m >C ．732m <<D ．742m <<12．设双曲线的焦点在y 轴上,两条渐近线为12y x=±,则该双曲线的离心率e（ ）A ．5B ．5C ．52D ．5413．213x y =-表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分14．若抛物线()022>=p px y 上一点P 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则此点P 的横坐标为 （ ）A ．8B ．9C ．2D ．1二、填空题：请把答案填在题中横线上或答题纸上（每小题4分，共16分）.13．函数f(x)=e x lnx 的导数是______14．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =2 15．设函数1()22,(0)f x x x x=+-< 则()f x 的最大值为 ________16、抛物线上的点到直线的距离的最小值是17．等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且6778,S S S S <>，则①此数列的公差0d <②9S 一定小于6S ③7a 是各项中最大的项 ④7S 一定是n S 中的最大值，其中正确的是________（填入序号）．1812F F 、是椭圆C:22184xy+=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点个个数为________19.设命题:431p x -≤，命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤。
2023-2024学年辽宁省辽南部分区域高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省辽南部分区域高二上册期末考试数学模拟试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在23nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（）A.16B.32C.1D.32-【正确答案】A【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以216n =，解得4n =，所以，令1x =得展开式中各项系数的和为()4216-=．故选：A2.设随机变量X 服从正态分布()1,2N ，若()()P x a P x b <=>，则实数a b +=（）A.3B.4C.1D.2【正确答案】D【详解】因为随机变量X 服从正态分布()1,2N ，且()()P x a P x b <=>，所以由正态分布的对称性可知，12a b+=，2a b +=.故选：D.3.随机变量X 的分布列如下表所示：X1234P0.1m0.32m则()2P X ≤=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【正确答案】C【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=．故选：C ．4.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a 1､第3行的第3个数字为a 2，……，第n (2n )行的第3个数字为1n a -，则12310a a a a ++++= （）A.220B.186C.120D.96【正确答案】A【详解】解：22223222123102341133411C C C C C C C C a a a a ++++=++++=++++ 32232244115511C C C C C C =+++=+++= 312121110C 220321⨯⨯===⨯⨯.故选:A.5.已知过点()2,2P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=平行，则=a （）A.2B.1C.12-D.12【正确答案】C【详解】因为切线与直线10ax y -+=平行，所以切线方程可设为0ax y m -+=因为切线过点P (2，2)，所以22022a m m a -+=∴=-因为与圆()2215x y -+=2144102a a a =++=∴=-故选：C6.某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A.18种B.36种C.54种D.60种【正确答案】C【详解】若只有甲乙其中一人参加,有123233C C A 36⋅=种情况；若甲乙两人都参加,有213233C C A 18⋅=种情况，则不同的发言顺序种数36+18=54种，故选：C .7.设A ，B 为两个事件，已知()0.4P B =，()0.5P A =，()|0.3P B A =，则()|P A B =（）A.0.24B.0.375C.0.4D.0.5【正确答案】B【详解】由()0.5P A =，()|0.3P B A =，得()()()|0.15P AB P B A P A =⋅=，所以()()()0.15|0.3750.4P AB P A B P B ===.故选：B8.某企业为了研究某种产品的销售价格x （元）与销售量y （千件）之间的关系，通过大量市场调研收集得到以下数据：x161284y24a3864其中某一项数据※丢失，只记得这组数据拟合出的线性回归方程为： 3.171y x =-+，则缺失的数据a 是（）A.33B.35C.34D.34.8【正确答案】C【详解】因为点(,)x y 一定在回归方程上，所以将161284104x +++==，24386412644a ay ++++==代入 3.171y x =-+解得34a =.故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）9.已知样本数据1221,21,,21n x x x ++⋅⋅⋅+的平均数是2，方差为16，则样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的（）A.平均数是0.5B.平均数是1C.方差是4D.方差是5【正确答案】AC【详解】由题意知：()212E X +=，()2116D X +=，()()21212E X E X +=+= ，()0.5E X ∴=，即12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为0.5；()()21416D X D X +== ，()4D X ∴=，即12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差为4.故选：AC.10.在一次对高三年级学生两次模拟考试数学成绩的统计调查中发现，两次成绩均得优的学生占5%，仅第一次得优的占7.9%，仅第二次得优的占8.9%，则（）A.已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为0.388B.已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为0.139C.某同学两次均未得优的概率为0.782D.某同学两次均未得优的概率为0.95【正确答案】AC【详解】设A 表示“第一次数学成绩得优”，B 表示“第二次数学成绩得优”，则()0.05P AB =，()0.079P AB =，()0.089P AB =，所以()()()0.050.0790.129P A P AB P AB =+=+=，()()()0.050.0890.139P B P AB P AB =+=+=，()()()0.050.3880.129P AB P B A P A ==≈，A 对B 错，()()()()10.782P AB P AB P AB P AB =---=，C 对D 错.故选：AC.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为1的直线l 交抛物线于A 、B 两点，则（）A.抛物线C 的准线方程为1x =B.线段AB 的中点在直线2y =上C.若8AB =，则OAB的面积为D.以线段AF 为直径的圆一定与y 轴相切【正确答案】BCD【详解】对于A 选项，抛物线C 的准线方程为=1x -，A 错；对于B 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设线段AB 的中点为()0,Mx y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()1212124y y y y x x -+=-，可得12121241y y y y x x -==+-，所以，124y y +=，故12022y y y +==，B 对；对于C 选项，设直线AB 的方程为y x b =+，联立24y x b y x =+⎧⎨=⎩，可得()22240x b x b +-+=，()224240b b ∆=-->，解得1b <，由韦达定理可得1242x x b +=-，212x x b =，8AB ===，解得1b =-，点O 到直线l的距离为22d ==，故118222AOB S AB d =⋅=⨯⨯=△C 对；对于D 选项，设线段AF的中点为()33,N x y ，则1312x x +=，由抛物线的定义可得111122x AF x +=+=⨯，即AF 等于点N 到y 轴距离的两倍，所以，以线段AF 为直径的圆一定与y 轴相切，D 对.故选：BCD12.一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则（）A.若从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为1325B.若从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为815C.若从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为81625D.若从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球，另一个也是白球的概率为15【正确答案】ABD【详解】从盒中随机有放回任取2个球,则取到白球、红球的概率分别为2355，，取到的球颜色相同的概率为223313+=555525⨯⨯，所以A 正确；从盒中随机不放回任取2个球，则有210C =45种取法，取到的球颜色不同有1164C C =24种，所以，颜色不相同的概率为248=4515，所以B 正确；从盒中随机有放回任取4个球，取到白球、红球的概率分别为：2355，，所以其中有白球的概率为4381544115625625⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以C 不正确；从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球为事件E ，另一个也是白球为事件F ，则()()()24211446C 61==C +C C 305P EF P F E P E ==，所以D 正确.故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.63(13)(1)x x +-的展开式中x 2的系数为_______．【正确答案】84【详解】（1+3x ）6（1﹣x ）3＝[1+16C ⋅3x +26C （3x ）2+⋯+66C （3x ）6]（1﹣3x +3x 2﹣x 3），故它的展开式中x 2的系数为1×3+6×3×（﹣3）+26C ×9＝84，故84．14.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【正确答案】56【详解】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==故5615.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点A 为双曲线右支上一点，线段1AF 交左支于点B ．若22AF BF ⊥，且1213BF AF =，则该双曲线的离心率为___________．【正确答案】5【详解】因为1213BF AF =，设1BF t =，则23AF t =，（0t >）由双曲线的定义可得：2122BF BF a t a =+=+，12232AF AF a t a =+=+，则113222AB AF BF t a t t a =-=+-=+，因为22AF BF ⊥，所以22222AF BF AB +=，即()()2229222t t a t a ++=+，整理可得2320t at -=，解得：23t a =，所以22AF a =，283a BF =，103a AB =，14AF a =，在2R t A B F 中，223cos 1053AF a A a AB===，在12AF F △中，由余弦定理可得：2212121222cos F F AF AF AF AF A=+-⨯⋅即2222352416424255c a a a a a =+-⨯⨯⨯=所以22252113545c e a ==⨯=，所以5e =，故516.游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为14，停在不同区域的概率为34，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿域的次数为X ，若开始时指针停在红域，则()E X =______.【正确答案】2716【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则X 的分布列如下：X0123P16421643964364故()1213932701236464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.故2716四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知点M 在圆224x y +=上运动，()4,0N ，点P 为线段MN 的中点．（1）求点P 的轨迹方程;（2）求点P 到直线34260x y +-=的距离的最大值和最小值．【正确答案】（1）()2221x y -+=.（2）最大值为5，最小值为3.【小问1详解】解：设点(,)P x y ，()0,Mx y ，因为点P 是MN 的中点，所以004,22x yx y +==，则024x x =-，02y y =，即()24,2M x y -，因为点M 在圆224x y +=上运动，则有22(2)1x y -+=，所以点P 的轨迹方程为22(2)1x y -+=；【小问2详解】解：由（1）知点P 的轨迹是以(2,0)Q 为圆心，以1为半径的圆，点Q 到直线34260x y +-=的距离4d =，故点P 到直线34260x y +-=的距离的最大值为415+=，最小值为413-=．18.高三（1）班班主任李老师为了了解本班学生喜爱中国古典文学是否与性别有关，对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢中国古典文学不喜欢中国古典文学合计女生5男生10合计50已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为3 5．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关？请说明理由；参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．()2P K k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【正确答案】（1）列联表见解析；（2）有99.5%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关，理由见解析.【详解】（1）依题意从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为3 5，所以中国古典文学的学生有350305⨯=人，不喜欢中国古典文学有20人，由此填写22⨯列联表如图所示：喜欢中国古典文学不喜欢中国古典文学合计女生20525男生101525合计302050（2）()2250201510550250250257.87930202525302025253K⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关.19.在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，⊥AE平面ABCD，//DF AE ，且112DF AE ==，N 为BE 的中点,M 为CD 中点，（1）求证：//FN 平面ABCD ；（2）求二面角N MF D --的余弦值；（3）求点A 到平面MNF 的距离.【正确答案】（1）证明见解析（2）13-（3）43【小问1详解】因为⊥AE 平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，因为AB AD ⊥，所以,,AE AB AD 两两垂直，所以以A 为原点，,,AB AD AE 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为平面ABCD 是边长为2的正方形，//DF AE ，且112DF AE ==，N 为BE 的中点，所以()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()1,0,1N ，()1,2,0M ，()0,2,1F ，所以()1,2,0NF =- ，因为平面ABCD 的法向量可以为()0,0,1n = ，所以0NF n ⋅=，即NF n ⊥，又NF ⊄平面ABCD ，所以//NF 平面ABCD ；【小问2详解】因为()1,2,0NF =- ，()1,0,1MF =-，设平面MNF 的法向量为(),,m x y z = ，则20m NF x y m MF x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则2x z ==，所以()2,1,2m = ，因为⊥AE 平面ABCD ，//DF AE ，所以DF⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以DF AD ⊥，因为,AD DC DC DF D DC DF ⊥=⊂ ，，平面MFD ，所以AD ⊥平面MFD ，所以平面MFD 的法向量可以为()0,1,0u =，设二面角N MF D --为θ，由图可知二面角N MF D --为钝角，则1cos 3m u m uθ⋅=-=-⋅ ，所以二面角N MF D --的余弦值为13-；【小问3详解】由（2）知平面MNF 的法向量为()2,1,2m = ，又()1,2,0MA =--，设点A 到平面MNF 的距离为d ，则43m MA d m⋅== ，所以点A 到平面MNF 的距离43；20.中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，给中国工农业生产和人民生活带来严重影响随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费x （亿元）和沙漠治理面积y （万亩）的相关数据如下表所示：年份2017201820192020x2345y24374752（1）通过散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）（2）求y 关于x 的回归方程；（3）若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．47.8≈．参考公式：相关系数()()ni i x xy yr --=∑()()()121ˆni ii n ii x x yybx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【正确答案】（1）答案见解析；（2）ˆ9.47.1y x =+；（3）到2023年沙漠治理面积可突破80万亩.【详解】解：（1）因为2345 3.54x +++==，24374752404y +++==，所以()()()4222221163712458i i y y=-=-+-++=∑，()()()4222221 1.50.50.5 1.55i i x x=-=-+-++=∑，()()()()()()411.5160.530.57 1.51247iii x x y y =--=--+--+⨯+⨯=∑，所以0.983r ==≈．因为y 与x 的相关系数非常接近1，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）()()()414214ˆ479.5iii ii x bx y y x x ==--===-∑∑，所以y 关于x 的回归方程为ˆ9.47.1yx =+．（3）当7x =时，ˆ9.477.172.980y=⨯+=<，当8x =时，ˆ9.487.182.380y=⨯+=>，所以到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．21.一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H 病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为1123，.现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”.（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和数学期望.【正确答案】（1）49；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）依据题设条件运用分类计数原理求解；（2）求出随机变量的分布列，再运用随机变量的数学期望公式求解：试题解析：解：（1）设i A 表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有i 人”，0,1,2i =；B 表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有i 人”，0,1,2i =.依题意有()11112222P A =⨯⨯=，()2111224P A =⨯=，()0224339P B =⨯=，()11242339P B =⨯⨯=，所求的概率为()01P P B A =+()()021249P B A P B A +=.（2）η的可能值为0,1,2,3，其分布列为∵43,9B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，∴数学期望43η=.22.已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，且点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的右焦点F 作不与两坐标轴重合的直线l ，与E 交于不同的两点Ｍ，N ，线段MN 的中垂线与y 轴相交于点T ，求||||MN OT （O 为原点）的最小值，并求此时直线l 的方程.【正确答案】（1）22143x y +=；（2）24，10x y --=或10x y +-=.【小问1详解】椭圆E ：22221x y a b +=的离心率e ，则222214a b e a -==，即2234b a =，又229141a b +=，解得2,a b ==，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由（1）知，(1,0)F ，设直线l 的方程为1,0x ty t =+≠，1122(,),(,)M x y N x y ，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：22(34)690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，12||||MN y y =-==2212(1)34t t +=+，线段MN 的中点2243(,)3434t t t -++，则线段MN 的中垂线方程为：2234(3434t y t x t t +=--++，令0x =，得234t y t =+，即点2(0,)34tT t +，2||12(1)112(||)24||||||MN t t OT t t +==+≥，当且仅当1||||t t =，即1t =±时取“=”，所以当1t =±时，||||MN OT 取得最小值24，此时直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=.。
四川省泸州市2023-2024学年高二上学期期末模拟考试数学试题含答案
泸州高2022级高二上期期末模拟考试数学（答案在最后）一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线20y -+=的倾斜角为（）A.30B.45C.60D.120【答案】C 【解析】【分析】由直线方程求出斜率，再根据tan k α=，求出倾斜角α.10y -+=的倾斜角为α，则tan 180αα=≤< ，且90 α≠.所以60α= .故选：C.2.直线()2140x m y +++=与直线320mx y +-=平行，则m =（）A.2或3-B.2-或3- C.2- D.3-【答案】A 【解析】【分析】由两直线平行可计算出m 的值，再将m 的值代回直线，排除重合情况即可得.【详解】若直线()2140x m y +++=与直线320mx y +-=平行，则需满足()123m m ⨯+=⨯，即260m m +-=，解得3m =-或2m =，当3m =-时，两直线分别为：20x y -+=，203x y -+=，符合要求，当2m =时，两直线分别为：2340x y ++=，2320x y +-=，符合要求，所以m =2或3-.故选：A.3.已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a = ，OB b = ，OC c =，用a ，b ，c表示MN ，则MN 等于（）A .()12c a b ++ B.()12b ac -- C.()12a cb -- D.()12c a b -- 【答案】D 【解析】【分析】利用向量的线性运算，用a ，b ，c 表示出MN.【详解】点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，则()11112222MN MA AO ON BA OA OC OA OB OA OC=++=-+=--+ ()11112222OA OB OC c a b=--+=--故选：D4.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一部分，其宽为8m ，高为0.8m ，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A.()5,0 B.()10,0 C.()0,5 D.()0,10【答案】C 【解析】【分析】根据待定系数法，代入坐标即可求解抛物线方程，进而可得焦点.【详解】由题意得()4,0.8B ，设该抛物线的方程为22(0)x py p =>，则2420.8=⨯p ，得10p =，所以该抛物线的焦点为()0,5.故选：C5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1330a a +=，4120S =，则其公比q =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】首先可以得出1q ≠，其次利用等比数列通项公式以及它的前n 项和为n S 的基本量的运算即可求解.【详解】注意到1330a a +=，4120S =，首先1q ≠，（否则131230a a a +==，414120S a ==矛盾），其次()2131130a a a q+=+=，()41411201a q Sq-==-，两式相比得()()4221114111q q q q qq --==+-+=-，解得3q =.故选：C.6.双曲线221169x y -=的焦点到其渐近线的距离为（）A.2 B.4C.3D.5【答案】C 【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标,渐近线方程，利用点线距即可求得答案.【详解】 双曲线221169x y -=可得:4,3a b ==,可得:5c =∴可得焦点为()5,0F ±,34y x=±∴点F 到渐近线34y x =±的距离为3=故选:C.7.从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为()A.2B.2C.4D.12-【答案】B 【解析】【详解】设直线30x y -+=上的点为(,3)P t t +，已知圆的圆心和半径分别为(2,2),1C r =，则切线长为L ===，故当12t =时，min 2L ==，应选答案B ．点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想．8.已知F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222216c b x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭相切于点Q ，且3PQ QF = ，则椭圆C 的离心率等于（）A.23B.12C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由题意首先得到1PF QC ∥，然后求出14PF CQ b ==，2PF a b =-，1PF PF ⊥，然后由勾股定理即可得出23b a =，结合离心率公式即可求解.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点为1F ，连接1F ，设圆心为C ，222216c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，则圆心坐标为,02c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为4b r =，由于1112,,4,3,2cF F c FC F F FC PQ QF PF QC ==∴==∴ ∥，故14,2PF CQ b PF a b ==∴=-，线段PF 与圆22221(0)x y a b a b+=>>（其中222c a b =-）相切于点Q ，2221,(2)4CQ PF PF PF b a b c ∴⊥∴⊥∴+-=，()22223(2)4,2b a b a b a b ∴+-=-∴=，则23b a =，53c e a ∴===.故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些B.若事件A 发生的概率为()P A ，则0()1P A ≤≤C.如果事件A 与事件B 互斥，那么一定有()()1P A P B +=D.已知事件A 发生的概率为()0.3P A =，则它的对立事件A 发生的概率()P A =0.7【答案】BD 【解析】【分析】根据随机抽样的概念判断A ，根据概率的性质判断B ，根据互斥事件与对立事件的概率公式判断CD.【详解】对于A ，甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去，则每位同学被抽到的概率都是13，故A 错误；对于B ，由概率的性质可知，0()1P A ≤≤，故B 正确；对于C ，如果事件A 与事件B 对立，那么一定有()()1P A P B +=，但互斥事件不一定对立，故C 错误；对于D ，因为事件A 发生的概率为()0.3P A =，所以它的对立事件A 发生的概率(10.30.7P A =-=，故D 正确.故选：BD10.已知圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A ，B 两点，点C 是圆M 上的动点，定点P 的坐标为()5,3，则下列说法正确的是（）A.圆M 的圆心为()2,1，半径为1B.直线AB 的方程为240x y --=C.线段AB 的长为5D.PC 的最大值为6【答案】BCD 【解析】【分析】化圆M 的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径即可判断选项A 的正误；联立两圆的方程求得AB 的方程可判断选项B 的正误；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB 的长判断选项C 的正误，利用圆上动点到定点距离最大值为定点到圆心距离和半径和，可判断出选项D 的正误.【详解】选项A ，因为圆M 的标准方程为22(2)(1)1x y -++=，所以圆心为圆心为()2,1M -，半径为1，故选项A 错误；选项B ，因为圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A ，B 两点，两圆相减得到4280x y --=，即240x y --=，故选B 正确；选项C ，由选项B 知，圆心(0,0)O 到直线AB 的距离为d =所以5AB ==，故选项C 正确；选项D ，因为()2,1M -,()5,3P ，所以5PM ==，又圆M 的半径为1，故PC 的最大值为516PM r +=+=，故选项D 正确.故选项：BCD.11.已知正三棱柱111ABC A B C -的所在棱长均为2,P 为棱1C C 上的动点,则下列结论中正确的是（）A.该正三棱柱内可放入的最大球的体积为43πB.该正三棱柱外接球的表面积为283πC.存在点P ,使得1BP AB ⊥D.点P 到直线1 A B 【答案】BCD 【解析】【分析】根据正三棱柱内可放入的最大球的半径为ABC 的内切圆半径,求出球的体积;根据正三棱柱的外接球半径公式即可求出外接球表面积;当P 为1CC 中点时,构造等腰三角形,易证1AB ⊥平面1PA B 即可;建立空间直角坐标系,利用两异面直线距离的向量计算公式即可求出点P 到直线1A B 的距离的最小值.【详解】关于A 选项:该正三棱柱内可放入的最大球的半径为ABC 的内切圆半径3r =,体积为343433327π⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭,故A 错误;关于B 选项:该正三棱柱的外接球半径R ==,表面积为22843ππ⋅=,故B 正确;关于C 选项:如图所示,当P 为1CC 中点时,记1A B 与1AB 的交点为G ,正三棱柱111ABC A B C -,∴面11ABB A 为正方形,且11B C AC CC ==,11AB A B ∴⊥,P 为1CC 中点,1PC PC \=,1190 C PB BCP Ð=Ð=,在11B C P △和BCP 中由勾股定理可知1B P AP =,G 为1A B 中点,在1AB P △中由三线合一可得1⊥PG AB ,1111,,AB A B A B PG G A B ⊥⋂=⊂ 平面1A PB ,PG ⊂平面1A PB ,1AB ∴⊥平面1A PB ,1AB BP \^,得证,故C 正确;关于D 选项:P 为棱1CC 上的动点,P ∴到直线1A B 的距离的最小值即为异面直线1A B 与1CC 的距离最小值,AC 中点O 为原点,以AC 的方向为x 轴,以OB 方向为y 轴,以OB 方向为y 轴记11A C 中点为M ,以OM 方向为z 轴如图所示建立空间直角坐标系,111(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),(0,1,2),∴--A B C A B C 记异面直线1A B 与1CC 的公共垂向量为(,,)n x y z =,112),(0,0,2),(=-==A BCC BC ,1100n A B n CC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩,即2020y z z +-==⎪⎩,令(=∴=-y n,232⋅∴===BC n d n,可得D 正确,故选BCD.12.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若713S S =，且()*1)1(n n n S nS n N ++>∈，则下列选项中正确的是（）A.1n n a a +> B.10S 和11S 均为n S 的最大值C.存在正整数k ，使得0k S = D.存在正整数m ，使得3mmS S =【答案】ACD 【解析】【分析】设数列公差为d ，根据已知条件713S S =和()*1)1(n n n S nS n N ++>∈判断公差正负，求出1a 和d关系，逐项验证即可.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由713S S =得1176131271322a d a d ⨯⨯+⋅=+⋅，化简得10110a a +=；∵()*1)1(n n n S nS n N ++>∈，∴10111110S S >，即()()110111*********2a a a a +⨯+⨯⨯>⨯，∴1011aa >，∴100a >，110a <，∴d ＜0，故数列{}n a 为减数列，故A 正确；10110a a +=，100a >，110a <，故10S 为n S 的最大值，故B 错误；10111200a a a a +=+=，故()1202020=02a a S +⨯=，故C 正确；3m m S S =时，()()111331322m m m m ma d ma d --+⋅=+，即()1241a m d =-+，又由10110a a +=得1219a d =-，∴()1941d m d -=-+，解得5m =，故D 正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为45，乙的命中率为56，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______.【答案】2930【解析】【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:A 甲、乙分别向同一靶子射击一次，该靶子被击中，则事件:A 甲、乙分别向同一靶子射击一次，两人均未中靶，故()()452911115630P A P A ⎛⎫⎛⎫=-=---=⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2930.14.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA '的长为3，且60A AB A AD ∠∠''==，则AC AB ⋅' 为__________.【答案】7【解析】【分析】以,,AB AD AA ' 为基底表示出AC '，然后根据数量积性质可得.【详解】如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，AC AB AD AA =+'+'，因为2,3,60,90AB AD AA A AB A AD BAD ︒''===∠=∠'=∠=︒ ，所以22cos900AB AD ⋅=⨯⨯= ，23cos603AB AA ⋅=⨯⨯'=，所以()2||4037AC AB AB AD AA AB AB AD AB AA AB ⋅=++⋅=+⋅+⋅=++'=''.故答案为：715.已知数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则数列{}n a 的通项公式为__________.【答案】21412n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】【分析】利用11,1=,2n nn S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩求解【详解】数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，可得11211=2a S -==+；2n ≥时，()221212(1)141+1n n n n a S S n n n n -=-=--+=----，不满足12a =，则2,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为：2,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.16.曲线:1C x x y y +=，若直线x y m +=与曲线C 有两个不同公共点()()1122,,,x y x y ，则12x x +的范围为______________.【答案】(【解析】【分析】结合绝对值的性质分类讨论可得曲线的具体形状，画出图形结合图象性质可得12x x m +=，求出m 的范围即可得12x x +的范围.【详解】当0,0x y ≥≥，可得曲线方程为221x y +=，为圆的一部分；当0,0x y <>，可得曲线方程为221y x -=，为双曲线的一部分；当0,0x y ><，可得曲线方程为221x y -=，为双曲线的一部分；当0,0x y <<，曲线方程为221x y --=，不存在这样的曲线；作出曲线得图象，如图所示；直线x y m +=与曲线C 有两个不同公共点为()()1122,,,x y x y ，所以两点关于直线y x =对称，又点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线y x =上，所以12121212,22x x y y x x y y ++=+=+即，又1122,x y m x y m +=+=，所以12x x m +=，而由直线x y m +=与曲线C 有两个不同公共点可得(m ∈，所以(12x x +∈.故答案为：(四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．【答案】（1）（2）25【解析】【详解】甲校的男教师用A 、B 表示，女教师用C 表示，乙校的男教师用D 表示，女教师用E 、F 表示，（1）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，有（AD ），（AE ），（AF ），（BD ），（BE ），（BF ），（CD ），（CE ），（CF ），共9种；其中性别相同的有（AD ）（BD ）（CE ）（CF ）四种；则选出的2名教师性别相同的概率为P=；（2）若从报名的6名教师中任选2名，有（AB ）（AC ）（AD ）（AE ）（AF ）（BC ）（BD ）（BE ）（BF ）（CD ）（CE ）（CF ）（DE ）（DF ）（EF ）共15种；其中选出的教师来自同一个学校的有6种；则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=．18.已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线2:30l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.【答案】（1）22(3)16x y ++=（2260y -+=260y +-=.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.【小问1详解】由已知可设圆心()()0,0C b b <4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=.【小问2详解】设圆心C 到直线2l 的距离为d，则182ABC AB S AB d ==⨯== ，即4216640d d -+=，解得d =又d =272k =，解得2k =±，所以直线2l260y -+=260y +-=.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+（2）3nn T n =⋅【解析】【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出21n a n =+；（2）根据等比数列通项公式可得1(21)3n n b n -=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ．【小问1详解】由题意可得()()1121113245355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以32(1)21n a n n =+-=+，即21n a n =+．【小问2详解】由题意可知：13n nnb a -=，则113(21)3n n n n b a n --=⋅=+⋅，则()2135373213n n T n -=+⨯+⨯+++⋅ ，可得()()2313335373213213n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，两式相减可得()2123232323213n nn T n --=+⨯+⨯++⋅-+()()13133221313n nn --=+⨯-+-23n n =-⋅，所以3nn T n =⋅．20.已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，点()02,A y 为抛物线上一点，且4AF =.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求m 的值.【答案】（1）28y x =（2）8-【解析】【分析】（1）根据抛物线过点0(2,)A y ，且4AF =，利用抛物线的定义求解；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x =+⎧⎨=⎩，根据OP OQ ⊥，由0OP OQ ⋅= ，结合韦达定理求解.【小问1详解】由抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且4AF =，得2442pp +=∴=所以抛物线方程为28y x =；【小问2详解】由不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，所以()22Δ28464320m m m =--=->，所以2m <，所以2121282,x x m x x m +=-=因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，则2121212121212()()2()0x x y y x x x m x m x x m x x m+=+++=+++=，222(82)0m m m m ∴+-+=，即280m m +=，解得0m =或8m =-，又当0m =时，直线与抛物线的交点中有一点与原点O 重合，不符合题意，故舍去；所以实数m 的值为8-.21.如图所示，在几何体PABCD 中，AD ⊥平面PAB ，点C 在平面PAB 的投影在线段PB 上()BC PC <，6BP =，AB AP ==，2DC =，//CD 平面PAB .（1）证明：平面PCD ⊥平面PAD .（2）若平面BCD 与平面PCD 的夹角的余弦值为14，求线段AD 的长.【答案】（1）证明见解析（2）2或3【解析】【分析】（1）过点C 作PB 的垂线，垂足为E ，连接AE ，由题意及正弦定理可得AE AP ⊥，结合AD AE ⊥，//AE CD 可证明结论；（2）由（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设()0AD t t =>，由平面BCD 与平面PCD 的夹角的余弦值为714【小问1详解】过点C 作PB 的垂线，垂足为E ，连接AE ，由题知CE ⊥平面PAB ，因为AD ⊥平面PAB ，所以//CE DA ，又因为//CD 平面PAB ，所以//CD EA ，所以四边形AECD 为矩形，所以2AE =.因为6BP =，AB AP ==，3cos 2APE ∠==，所以6APE π∠=，由正弦定理易知，3AEP π∠=，所以AE AP ⊥，又因为AE AD ⊥，且AD AP A = ，所以AE ⊥平面ADP.因为//CD EA ，所以CD ⊥平面ADP ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ；【小问2详解】由（1）知，,,AE AP AD 两两垂直，分别以,,AE AP AD 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设()0AD t t =>，易得：()()()(0,0,2,0,,0,,3,D t C t P B ，，所以()()()2,0,0,0,,3,DC PD t BD t ===-…设平面BCD 的法向量()111,,m x y z =，所以11112030m DC x m BD x tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1y t =，可得平面BCD的一个法向量(0,,m t =，设平面PCD 的法向量()222,,n x y z =，所以222200n DC x n PD tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2y t =，可得平面PCD的一个法向量(0,,n t =，…所以7cos ,14m n m n m n ⋅===⋅，解得23t t ==或，所以23AD =或.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②4【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）①分析可知直线PQ 不与y 轴垂直，设直线PQ 的方程为x ty n =+，可知2n ≠±，设点()11,P x y 、()22,Q x y .将直线PQ 的方程的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用1253k k =求出n 的值，即可得出直线PQ 所过定点的坐标；②写出12S S -关于t 的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得12S S -的最大值.【小问1详解】解：当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得22222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.【小问2详解】解：①设点()11,P x y 、()22,Q x y .若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n yn -++-+-+--=⋅===-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=()2241544154144151t t ===+++，20t ≥，则≥因为函数()1f x x x =+在)+∞15，所以，12415S S -≤，当且仅当0=t 时，等号成立，因此，12SS -的最大值为4.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二上册期末考试数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．直线0x y -=绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线斜率为（）A ．-1B．3-C．3D ．1【正确答案】A【分析】根据给定条件，求出对应直线的倾斜角即可计算作答.【详解】因直线y x =的斜率为1，倾斜角为45°，则直线0x y -=绕原点逆时针旋转90°后所对应直线的倾斜角为135°，所以对应的直线斜率为tan1351︒=-.故选：A2．已知数列{}n a 为等差数列，410a =，23319a a +=，则5a =（）A ．9B ．11C ．13D ．15【正确答案】C【分析】利用等差数列的通项公式列方程组求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则4123131034519a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得13,1d a ==，则514313a =+⨯=故选：C3．设双曲线的方程为22221x y a b-=，过点(),0a ，()0,b 的直线的倾斜角为150°，则双曲线的离心率是（）ABCD【正确答案】A【分析】由斜率公式得出b a =222c a b =+以及离心率公式求解即可.【详解】由题意得0tan150tan3003b b k a a -==-=︒=-︒=--，即3b a =，又222c a b =+，所以22222413c b e a a ==+=，又1e >，故3e =．故选：A ．4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且451S a a =-，则{}n a 的公比q 为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1或2-【正确答案】C【分析】首先根据等比数列以及题目所给条件，判断1q ≠，然后利用等比数列求和公式化简变形即可求解.【详解】因为451S a a =-，若1q =，则15140a a a =-=，不符合题意.则451S a a =-，可得()4141111a q a q a q-=--，因为10a ≠，则有44111q q q-=--，则1q =-或者2q =.故选：C5．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A ．3716B ．115C ．2D ．74【正确答案】C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =- 是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ+ 抛物线24y x =的焦点(1,0)F ∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ，∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 4062169-+==+．故选：C ．6．在数列{}n a 中，112a =，111nn a a -=-2n ≥N n +∈，则2023a =（）A ．12B ．1C ．1-D ．2【正确答案】A【分析】利用数列的递推公式求出数列{}n a 的前4项，推导出{}n a 为周期数列，从而得到2023a 的值【详解】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=，可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202336741112a a a ⨯+∴===，故选：A7．设函数()21ln 2f x ax x =+在()1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1-+∞，B ．()1∞-+，C ．[)0+∞，D ．()0+∞，【正确答案】C【分析】函数()f x 在()1,+∞上单调递增等价于()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，参变分离，进一步讨论最值即可.【详解】由题意()10f x ax x '=+≥在()1,+∞上恒成立，即21a x≥-，又21y x =-在()1,+∞单增，210x ∴-<，则0a ≥．故选：C ．8．若函数2()e 3x f x k x =-+有三个零点，则k 的取值范围为（）A ．360,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．362e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(2e,0)-D ．36,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】运用分离变量法将k 与x 分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.【详解】由()0f x =，得23e x x k -=，设23(1)(3)(),()e ex xx x x g x g x -+-='-=，令()0g x '=，解得121,3x x =-=，当13x -<<时，()0g x '>，当1x <-或3x >时，()0g x '<，且36(1)2e,(3)e g g -=-=，其图象如图所示：若使得函数()f x 有3个零点，则360e k <<.故选：A.二、多选题9．下列说法中正确的有（）A ．ππsin cos 44'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．已知函数()f x 在R 上可导，且()11f '=，则()()121lim2∆→+∆-=∆x f x f xC ．一质点A 沿直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()21y t t =+，则该质点在2s =t 时的瞬时速度是4m /s D ．若()()y f x g x =⋅，则()()y f x g x '='⋅'【正确答案】BC【分析】A 选项，常数的导数为0；B 选项，由导函数定义求出()()()01121lim21x f x f xf ∆→+∆-'∆==，从而得到答案；C 选项，求导，代入求出()2242y '=⨯=，得到答案；D 选项，利用求导公式判断出D 错误.【详解】A 选项，0s 2πin =4''⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 选项，由导函数定义可知()()()()()0121121l 1im l 1im1212x x f f x f f x f x x∆→∆→+∆-+∆+'-==-∆=∆，故()()121lim2∆→+∆-=∆x f x f x，B 正确；C 选项，()2y t t '=，故()2242y '=⨯=，故该质点在2s =t 时的瞬时速度是4m /s ，C 正确；D 选项，若()()y f x g x =⋅，则()()()()y f x g x f x g x '''=⋅+⋅，D 错误.故选：BC10．已知圆22410x y x +--=，则下列说法正确的有（）A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线0y =对称C ．关于直线320x y +-=对称D ．关于直线20x y -+=对称【正确答案】ABC【分析】求得圆心，结合对称性确定正确答案.【详解】圆22410x y x +--=即()2225x y -+=，所以圆心为()2,0，A 选项，()2,0为圆心，所以圆关于点(2,0)对称，A 正确.直线0y =，直线320x y +-=过圆心()2,0，所以圆关于直线0y =、直线320x y +-=对称，BC 选项正确.直线20x y -+=不过圆心()2,0，所以D 选项错误.故选：ABC11．数列{}n a 前n 项的和为n S ，则下列说法正确的是（）A ．若211n a n =-+，则数列{}n a 前5项的和最大B ．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4815S S =，则816522S S =C．已知55a c =+=-,,a b c 成等比数列的充要条件为1b =D ．若{}n a 为等差数列，且10110a <，101110120a a +>，则当0n S <时，n 的最大值为2022【正确答案】AB【分析】对A ，可以采用临界法得到和的最大值；对B ，运用等差数列的和的性质易判断；对C ，等比中项的个数一般是2个；对D ，可以采用基本量法计算即可.【详解】A ：由通项公式知：数列是严格递减数列，又1234560...a a a a a a >>>>>>>所以数列{}n a 前5项的和最大，A 对；B ：在等差数列{}n a 中，4841281612,,,S S S S S S S ---成等差，48481,5,5S S S S =∴=又84412841241242()8412S S S S S S S S S S -=+-⇒=-⇒=，12884161241641642()14822S S S S S S S S S S S -=-+-⇒=-⇒=8165,22S S ∴=B 对；C ：,,a b c成等比数列，2,1,b ac b ∴=∴==±所以不是充要条件，C 错；D ：{}n a 为等差数列,10110a <，10111012101110120,0a a a a +>∴<<1202210111012202220222022022a a a aS ++∴=⨯=⨯>，所以D 错，故选：AB12．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点P 与定点()3,0F 的距离和它到定直线l ：253x =的距离的比是常数35．若某条直线上存在这样的点P ，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（）A ．动点P 的轨迹方程为221167x y +=B ．动点P 的轨迹与圆C ：()2234x y -+=没有公共点C ．直线1l ：45100x y +-=为成双直线D ．若直线y kx =与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，点M 为点P 的轨迹上不同于A ，B 的一点，且直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，则121625k k ⋅=-【正确答案】CD【分析】根据题意先求出动点P 的轨迹方程为椭圆，再借助判别式判断直线1l 、圆C 与椭圆的位置关系即可；选项D 直接计算12k k ⋅的值．【详解】解：设(),P x y ，35=，化简得2212516x y +=，故A 错；联立()22221251634x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩消y 得()2216316425x x -+-=，整理得23501750x x -+=，()250431750∆=--⨯⨯>，故动点P 的轨迹与圆C ：()2234x y -+=有两个公共点，故B 错；联立221251645100x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得2820750x x --=，()22048750'∆=-+⨯⨯>，故直线1l 上存在这样的点P ，所以直线1l ：45100x y +-=为成双直线，故C 对；联立2212516x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消y 整理得()221625400k x+=，解得12x x ==故1122y kx y kx ===，不妨设,,A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，设()00,M x y ，故220012516x y +=，则1020121020,y y y y k k x x x x --==--，1020121020y y y y k k x x x x --∴⋅=⋅--()()21212002121200y y y y y y x x x x x x -++=-++22022240016254001625k y k x k -++=-++，将2200161625y x =-代入上式，220212202400161616162525400251625k x k k k x k-+-+⋅==--++，故D 对．故选：CD ．本题D 的结论应当记住，也即2122b k k a⋅=-．当a b =时，121k k ×=-，此时动点P 的轨迹为圆，而这个结论是显然的，可以帮助我们记忆上述结论．三、填空题13．已知椭圆的方程为2244x y +=，则该椭圆的长轴长为______．【正确答案】4【分析】椭圆方程化为标准方程后可得长半轴长a ，从而得长轴长．【详解】由题意椭圆标准方程是2214x y +=，所以2a =，长轴长为24a =．故4.14．已知函数()()ln 1xf x a x =++，()04f '=，则=a ______．【正确答案】3e 【分析】求出导函数后解方程可得．【详解】由已知1()ln 1xf x a a x '=++，(0)ln 14f a '=+=，3e a =．故3e ．15．已知函数()sin f x x x =+，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是___________.【正确答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】先由函数奇偶性的判断得到()f x 是奇函数，再由导数得到()f x 在R 上单调递增，从而利用()f x 的奇偶性与单调性即可解得不等式得到a 的取值范围.【详解】因为()sin f x x x =+，所以()f x 的定义域为R ，显然关于原点对称，又()()()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 是奇函数，又()1cos 0f x x '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以由2(1)(2)0f a f a -+≤得2(2)(1)f a f a ≤--，则2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤，解得112a -≤≤，即11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示(),ij a i j *∈N ，例如329a =，若2023ij a =，则i j +=______．【正确答案】67【分析】找到每行最后一个数的规律，写出通项公式，确定2023位于第45行，再确定其所在的列数，从而求出答案.【详解】每行最后一个数的排列为1,5,11,19,29，第n 行最后一个数的通项公式为()11n a n n =+-，其中444445119792023a =⨯-=<，454546120692023a =⨯-=>，所以2023位于第45行，且()20231979222-÷=，所以2023位于第45行，第22列，所以45,22,452267i j i j ==+=+=.故67四、解答题17．已知等比数列{}n a 为递增数列，满足2324a a +=，14108a a ⋅=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足23log 2nn a b =，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 【正确答案】(1)()1*23N n n a n -=⨯∈(2)()*N 21n nT n n =∈+【分析】（1）设出公比，利用等比数列的性质列出方程组，求出公比和首项，得到答案；（2）求出21n b n =-，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设{}n a 公比为q ，∵数列{}n a 为等比数列，∴1423108a a a a ⋅=⋅=，又∵2324a a +=∴23618a a =⎧⎨=⎩或23186a a =⎧⎨=⎩，∵数列{}n a 为递增数列，∴23618a a =⎧⎨=⎩，∴3q =，12a =∴()1*23N n n a n -=⨯∈（2）2123323log log 2122n n n a b n -⨯===-∴()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴()*11212111111111N 233522121n n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++=-=∈ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭--+⎭ ．18．已知函数()321313f x x x x =--+．(1)求函数()f x 的极值及相应的x 的值；(2)过点()0,1做曲线()f x 的切线，求切线方程．【正确答案】(1)=1x -时，()f x 有极大值83，3x =时，()f x 有极小值－8(2)310x y +-=或15440x y +-=【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性和极值；(2)利用导数的几何意义求切线方程即可求解.【详解】（1）定义域为()2,23f x x x =-'-R ，令()0f x '=，解得=1x -或3x =x (),1-∞-－1()1,3-3()3,+∞()f x '+0－+()f x 单调递增83单调递减－8单调递增∴=1x -时，()f x 有极大值83，3x =时，()f x 有极小值－8．（2）设切点为()()00,x f x ，斜率为()2000 23k f x x x ==--'，∴切线方程为()()()2000023y f x x x x x -=--⋅-，又∵过点()0,1∴()()3220000001131233x x x x x x ⎛⎫---+=--⋅- ⎪⎝⎭∴32002 03x x -=∴00x =或032x =∴切点为()0,1或337,28⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线方程为310x y +-=或15440x y +-=19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为长方形，2AB =，4=AD ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PAD 是正三角形，M 是PD 的中点，N 是AB 的中点．(1)求证：//MN 平面PBC ；(2)求二面角A PB C --的正弦值．【正确答案】(1)证明见及解析【分析】（1）取PC 中点为E ，连结,BE ME ，证明MNBE 为平行四边形，得MN EB ∥，再由线面平行的判定定理得证；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）证明：取PC 中点为E ，连结,BE ME ，∵M 是PD 的中点，E 是PC 中点，∴ME CD ∥，12ME CD =，∵N 是AB 的中点，底面ABCD 为长方形，∴BN CD ∥，12BN CD =，∴BN ME ∥，BN ME =，∴MNBE 为平行四边形，∴MN EB ∥，又∵MN ⊄平面PBC ，BE ⊂平面PBC ，∴//MN 平面PBC；（2）过A 在平面PAD 内作l AD ⊥，侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，∴l ⊥面ABCD ，∵AB AD ⊥，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，l 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,4,0D ，()2,4,0C，(0,2,P ，有()2,0,0AB =，(2,2,PB =-- ，()0,4,0BC =，设平面PAB 的法向量为()111,,n x y z = ，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120220x x y =⎧⎪⎨--=⎪⎩，∴1110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，所以()0,;n = 设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z =，同理00m BC m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：222240220y x y =⎧⎪⎨--=⎪⎩，∴222y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令21z =，则)m = ，设二面角A PB C --的平面角为α，∴1cos ,4n m n m n m ⋅==⋅，所以1cos 4α=，∴sin 4α=，所以二面角A PB C --的正弦值为4．20．已知数列{}n a 中，117a =，()*12530N n n n a a n +--⨯=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足()*53N n n n b a n =-⨯∈．(1)求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 通项公式；(2)若对于*N n ∀∈，24n n b S λ≤+恒成立，求实数λ的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析，()*253N n n n a n =+⨯∈(2)(],5λ∞∈-【分析】（1）由已知式凑配出()1153253n n n n a a ++-⨯=-⨯，从而得出{}n b 的递推关系，根据等比数列定义得证；（2）不等式变形为211222222n n n nλ+++≤=+，证明数列12{2}2n n ++是递增数列，从而易得其最小项，得出参数范围．【详解】（1）证明：∵()*12530N n n n a a n +--⨯=∈，∴1253nn n a a +=+⨯，∴1115325353n n n n n a a +++-⨯=+⨯-⨯，即()1153253n n n n a a ++-⨯=-⨯，∵()*53N n n n b a n =-⨯∈，∴12n n b b +=，∵117a =，∴1115320b a =-⨯=≠，∴12n nb b +=，∴数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，∴()*2N n n b n =∈，∵53nn n b a =-⨯∴()*253N n n n a n =+⨯∈；（2）∵()*2N nn b n =∈，∴()22122122212nn n S +-==--，∵24n n b S λ≤+，∴212422n n λ+⋅≤+-，∴211222222n n n nλ+++≤=+，设1222n n n c +=+，则()211*112212220N 222n n n n n n nnc c n +++++⎛⎫-=+-+=->∈ ⎪⎝⎭，∴1n n c c +>，∴{}n c 为递增数列，∴()21min 215n c c ==+=∴5λ≤，∴(],5λ∞∈-．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，焦距为P ⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)设1A ，2A 是椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线6x =上的动点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆于M ，N 两点，求四边形12A MA N 面积的最大值．【正确答案】(1)2219x y +=(2)【分析】（1）由焦距得c 及焦点坐标，由椭圆定义求得2a ，得出a 值，再计算出b 后可得椭圆方程；（2）设()6,Q t ，由对称性不妨设0t >，()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立可用t 表示12,y y ，然后由()1212121212132A MA A NA S S S A A yy y y =+=+=-!!，代入后由函数单调性得最值．【详解】（1）∵2c =，∴c =()1F -，()2F ，∵经过点3P⎫⎪⎪⎭，∴1262PF PF a+==，∴3a=．所以椭圆C的方程为2219x y+=．（2）∵椭圆及直线6x=关于x轴对称，不妨设()6,Q t，(0)t>，()11,M x y，()22,N x y，()13,0A-，()23,0A，则直线()1:39tQA y x=+，直线()2:33tQA y x=-，由()223999ty xx y⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x得229610y yt t⎛⎫+-=⎪⎝⎭，解得1269tyt=+，同理由()223399ty xx y⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2221tyt-=+，则四边形12A MA N的面积为()1212121212132A MA A NAS S S A A y y y y=+=+=-!!()2224236232491109t tt tt t t t+=+=++++()()()()222222222231124242434343433t tt tt t t tt tt t+===++++++++，设23tut+=(3u tt=+≥=3tt=,即t=)，4()f u uu=+，224(2)(2)()1u uf uu u+-'=-=，u≥()0f u'>，()fu是增函数，所以u=4y uu=+，S最大为t=方法点睛：圆锥曲线中面积最值的求解方法：由动点（或动直线等）设出参变量（如t），设圆锥曲线上交点坐标为1122(,),(,)x y x y，并用参变量t表示出交点的坐标，通过观察用交点坐标表示出相应面积，从而把面积表示为参变量的函数，再利用函数知识或基本不等式等知识求得最值．22．已知函数()2e1=++xf x ax．(1)当2a =-时，求()f x 的单调性；(2)()2220f x ax ax --->对0x >恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增(2)(],2-∞【分析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）引入新函数令()22e 1(0)x g x ax ax x =--->，且()00g =，求出导数()g x '，对()g x '进一步求导分类讨论确定()g x '的单调性，从而得()g x '的正负，确定()g x 的单调性后得出结论．【详解】（1）()2e 21x f x x =-+，定义域为R ，()()222e 22e 1x x f x =-=-'令()0f x ¢>，解得0x >，令()0f x '<，解得0x <∴()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增．（2）∵()2220f x ax ax --->，∴22e 10x ax ax --->，令()22e 1(0)x g x ax ax x =--->，且()00g =，()22e 2x g x ax a '=--，①当0a ≤时，对任意的0x >，()()22e 210xg x a x =-+>'，函数()g x 在区间()0,∞+上为增函数，此时，()()00g x g >=，符合题意；②当0a >时，设()()22e 2xh x g x ax a==--'()24e 2x h x a ='-，令()0h x '>，得2e2xa >，∴1ln 22a x >令()0h x '<，得2e 2xa<，∴1ln22a x <∴()h x 即()g x '在1,ln 22a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln ,22a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，（i ）当1ln 022a≤时，即当02a <≤时，则函数()g x '在区间()0,∞+上为增函数，此时()()020g x g a ''>=-≥，则函数()g x 在区间()0,∞+上为增函数．此时，()()00g x g >=，符合题意；（ii ）当1ln 022a >时，即当2a >时，则函数()g x '在区间10,ln 22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,22a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min 1()ln ln 0222a a g x g a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭''，又()020g a '=-<，所以10,ln 22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x '<，函数()g x 在区间10,ln 22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当10,ln 22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(],2-∞．方法点睛：不等式恒成立问题的解决方法：（1）分离参数法，转化为求新函数的最值，从而得参数范围；（2）直接引入新函数，求出新函数的最值，由最值满足的不等关系得参数范围；（3）引入新函数，由于新函数的临界值（象本题(0)0g =），因此利用导数确定函数的单调性，只要函数满足单调性即可得出结论，从而转化为研究新函数的导函数的单调性与正负，利用分类讨论思想求解．。
2024届安徽省怀宁中学高二上数学期末统考模拟试题含解析
20．（12 分）已知椭圆 C： x2 a2
y2 b2
1a
b 0
短轴长为 2，且点 M
2, 2
3 2
在
C
上
的 （1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 F1 、 F2 为椭圆的左、右焦点，过 F2 的直线 l 交椭圆 C 与 A、B 两点，若 ABF1 的面积是 6 ，求直线 l 的方 2
__________
14．如图，把正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，则折纸后异面直线 AB ， CD 所成的角为___________.
15．已知数列{an}满足 an+2=an+1－an（n∈N*），且 a1= 2，a2= 3，则 a2022 的值为_________.
16．设正方形 ABCD 的边长是 2 ，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点 A 的距离大于 2 的概率是_____
当在 ABC 中， sin A sin B 2Rsin A 2Rsin B a b ， 反之 a b 2Rsin A 2Rsin B sin A sin B ，故为充要条件，故 C 错； 当 a 3时， loga 3 loga a ， loga 3 1 ， loga 9 2 ， 充分条件，
则 A(0,0,0), D(0, 4,0),C(4, 4,0), P(0,0,6) ， E(0, 2,3) ， CE (4, 2,3) ， AD (0, 4,0)
设直线 EC 与平面 PAB 所成角为 ，又由题可知 AD 为平面 PAB 的一个法向量， 则 sin cos CE, AD CE AD 2 4 2 29
3． (x 1)10 的二项展开式中，二项式系数最大的项是.5 D.5 和 7
2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上册期末数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．直线1y x =+的倾斜角为（）A ．0B ．4πC ．2πD ．34π【正确答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线1y x =+的倾斜角为(0π)αα≤≤，由题意可知：tan 1α=，所以π4α=，故选.B2．已知(1,2,5),(2,1,)a b x x ==- ，若ab，则x =（）A ．2-B ．12C ．52D ．72【正确答案】C【分析】根据空间向量共线定理列方程求x .【详解】因为ab，所以可设b a λ= ，又(1,2,5),(2,1,)a b x x ==-，所以2,12,5x x λλλ-===，所以51,22x λ==.故选：C.3．曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．10x y +-=D ．10x y --=【正确答案】D【分析】先求函数在1x =处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.【详解】函数()ln x f x x =的定义域为()0+∞，，其导函数()21ln xf x x -'=，所以()11f '=，所以曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，又()10f =，故曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y --=.故选：D.4．已知F 是椭圆221167x y +=的左焦点，P 为椭圆上任意一点，点Q 的坐标为(2,1)-，则||||PQ PF +的最小值为（）A ．1B ．8C ．3D【正确答案】B【分析】将||||PQ PF +转化到8PQ PF '+－，当三点共线且P 在射线F Q '的延长线上时，取得最小值.【详解】椭圆221167x y +=的43a b c ===，，点Q 在椭圆内部，如图，设椭圆的右焦点为()3,0F '，则28PF PF a '+==；8PQ PF PQ PF '∴+=+－8PQ PF '=+－；由图形知，当P 在直线QF '上时，PQ PF QF ''==－，当P 不在直线'QF 上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，PQ PF QF ''<=－，∴当P 在射线F Q '的延长线上时，'PQ PF －取得最小值PQ PF ∴+的最小值为8．故选：B5．在四面体ABCD 中，ABC 为正三角形，DB ⊥平面ABC ，且AB BD =，若3AE AB =，2C F C D= ，则异面直线DE 和BF 所成角的余弦值等于（）A．13B．13C．39D．39-【正确答案】A【分析】由条件建立空间直角坐标系，求异面直线DE 和BF 的方向向量，利用向量夹角公式求其夹角可得结论.【详解】因为DB ⊥平面ABC ，ABC 为正三角形，故以B 为原点，以,BC BD为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设6AB =，则()()()()0,0,6,0,6,0,,0,0,0D C A B ，由3AE AB =，2C F C D =，可得()()2,0,0,3,3E F ，所以()()2,6,0,3,3DE BF =-=，所以cos ,13DE BF DE BF DE BF ⋅==-，所以异面直线DE 和BF故选：A.6．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{}n a ，在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入3k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ．按新数列{}n b 的各项依次派遣支教学生．记50S 为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则50S 的值为（）A ．198B ．200C ．240D ．242【正确答案】B【分析】由已知确定数列{}n a 的通项公式，再确定数列{}n b 的项的取值规律，再求其前50项的和.【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．所以数列{}n a 为等差数列，且118a =，数列{}n a 的公差6d =，所以612n a n =+,数列{}n b 为数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入3k 个2所得，所以数列{}n b 满足条件，118b =，当24n ≤≤时，2n b =，524b =，当614n ≤≤时，2n b =，1530b =，当1642n ≤≤时，2n b =，4336b =，当4450n ≤≤时，2n b =，所以数列{}n b 的前50项的和为18243036462200++++⨯=，故选：B.7．已知圆22:1C x y +=，椭圆22:143x y Γ+=，过C 上任意一点P 作圆C 的切线l ，交Γ于A ，B 两点，过A ，B 分别作椭圆Γ的切线，两切线交于点Q ，则||OQ （O 为坐标原点）的最大值为（）A ．16B ．8C ．4D ．2【正确答案】C【分析】先得到椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，考虑切线l 的斜率不存在和存在两种情况，得到椭圆两切线方程，联立后得到点Q 的坐标，求出当切线斜率不存在时，||4OQ =，当切线l 斜率存在时，设为y kx b =+，由l 与圆相切得到221b k =+，求出椭圆两切线方程，得到43,Q Q k x y b b =-=，求出4OQ <，求出||OQ 的最大值.【详解】当P 点坐标为()1,0±时，此时切线l 的斜率不存在，不妨设:1l x =，此时22:143x y Γ+=中令1x =得：32y =±，所以不妨令331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，下面证明椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，理由如下：当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，代入椭圆方程得：()22222222220a k b x a kmx a m a b +++-=，由()()()222222222240a km a k b a m a b ∆=-+-=，化简得：22220a k m b -+=，所以()22022222a km a kx m a k b --===+，把20a k x m -=代入00y kx m =+，得：20b y m =，于是2200022200mx x b x b k a a y a y =-=-⋅=-则椭圆的切线斜率为2020b x a y -，所以椭圆的切线方程为()200020b x y y x x a y -=--，整理得：222222220000a y y b x x b x a y a b +=+=，方程两边同除以22a b ，得到00221x x y ya b+=，当切线斜率不存在时，即此时(),0P a ，故切线方程为x a =，00221x x y ya b+=中令00,0x a y ==，可得x a =，故当切线斜率不存在，切线也满足00221x x y ya b+=，综上：椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，故过331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭的两切线分别为142x y +=和142x y -=，联立可得：()4,0Q ，此时4OQ =，同理可得:1l x =-时，4OQ =，当切线l 的斜率存在时，设为y kx b =+，因为y kx b =+与22:1C x y +=1=，即221b k =+，y kx b =+与223412x y +=联立得：()2223484120k xkbx b +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则过()()1122,,,A x y B x y 的椭圆的切线方程为11143x x y y +=和22143x x y y+=，联立得：()()()()212112*********Q y y kx b kx b kx x y x y x kx b x kx bb-+--===--+-+，()()()()212121122112333Q x x x x y x y x y x kx b x kx b b--===-+-+，则4OQ ==<=，综上：OQ 的最大值为4.故选：C过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=，过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为.()()()()200x a x a y b y b r--+--=过椭圆22221x y a b+=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，过双曲线22221x y a b-=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b -=8．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，过B 作l 的垂线交l 于点D ，若BDF V的面积为||||AF BF =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【正确答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程，结合焦半径可得111AF BF+=，根据BDF V 的面积可解得23y =，进而得214BF BD y ==+=，即可求解43AF =.【详解】焦点()0,1F ,设直线AB 的方程为1y kx =+,联立直线与抛物线的方程得2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,4x x k x x +==-，所以()22212121212242,116x x y y k x x k y y +=++=+==，故()()212212121111114211111111421y y k AF BF y y y y k +++++++=+===+++++++，()()()(22222221111422BDFS BD x y x y y ==+=+=V ，化简得()()22222351603y y y y -++=⇒=，所以214BFBD y ==+=，由111AF BF +=，所以43AF =,故||1||3AF BF =，故选：B二、多选题9．关于x ，y 的方程221(R)1x y m m m +=∈-表示的曲线可以是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【正确答案】BC【分析】先得到0m ≠且1m ≠，再结合方程特点，分1m >，01m <<和0m <三种情况求出答案.【详解】显然0m ≠且1m ≠，若010m m >⎧⎨->⎩，即1m >时，此时2211x y m m +=-表示椭圆；若()10m m -<，即01m <<时，此时2211x y m m +=-表示双曲线；若0m <，此时2211x y m m +=-无解，综上：方程221(R)1x y m m m +=∈-表示的曲线可以是椭圆，也可以是双曲线.故选：BC10．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若91580,1a S a ><-，则下列结论正确的是（）A ．98a a >B ．使0n S >的n 的最大值为16C ．公差0d <D ．当8n =时n S 最大【正确答案】ACD【分析】根据条件可得80a >，890a a +<，可判断A 正确，98820d a a a =-<-< 可判断C 正确，再根据15160,0S S ><可判断B 错误，又因为8,0,9,0n n n a n a ≤>≥<可判断D 正确.【详解】 等差数列{}n a ，115815815()05,201S a a a a +=∴=>>，又99889810,0a a a a a a <-∴<-+<<，98a a ∴>，A 正确.98820d a a a =-<-< ,C 正确.89161168916160()()022a a S a a a a +<∴=+=+< ,150,S >使0n S >的n 的最大值为15.B 错误.890,0a a ><∴ 当8,0,9,0n n n a n a ≤>≥<,所以当8n =时n S 最大.D 正确.故选：ACD11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若ABC 满足AC BC =，顶点(0,1)A ，(2,1)B -，且其“欧拉线”与圆222:(4)M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（）A ．题中的“欧拉线”为方程：10x y --=B ．圆M 上的点到直线0x y -=C ．若圆M 与圆22()8xy a +-=有公共点，则[4,4]a ∈-D ．若点(,)x y 在圆M 上，则1y x +的最大值是41【正确答案】ABD【分析】A 选项，分析得到其欧拉线过线段AB 的中点()1,0，且与直线AB 垂直，从而求出ABC 的欧拉线方程；B 选项，根据ABC 的欧拉线与222:(4)M x y r -+=相切，列出方程，求出r ，得到圆M 上的点到直线0x y -=的最小值为圆心M 到直线0x y -=的距离减去半径，求出答案；C 选项，根据两圆有公共点，列出不等式组，求出22a -≤≤；D 选项，1yx +的几何意义为点(),x y 与()1,0-两点的斜率，数形结合得到当过()1,0-的直线l 与M相切，且斜率为正时，1yx +取得最大值，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】线段AB 的中点坐标为0211,22+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,0，直线AB 的斜率为()11102--=--，因为AC BC =，所以ABC 为等腰三角形，三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点()1,0，且与直线AB 垂直，故ABC 的欧拉线斜率为1，则方程为1y x =-，即10x y --=，A 正确；ABC 的欧拉线与222:(4)M x y r -+=相切，故2r ==，圆心()4,0M 到直线0x y -=的距离为d ==则圆M 上的点到直线0x y -=的最小距离为d r -==B 正确；若圆229:(4)2M x y -+=与圆22()8x y a +-=有公共点，则3222≤，解得：a ≤C 错误；1yx +为点(),x y 与()1,0-两点的斜率，当过()1,0-的直线l 与229:(4)2M x y -+=相切，且直线l 的斜率为正时，1y x +取得最大值，设直线():1l y k x =+2=，解得：41k =，故1y x +的最大值是41，D 正确.故选：ABD12．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，1PA PB PC PD AB =====，E ，F 分别为线段,PB BC （含端点）上动点，则（）A ．存在无数个点对E ，F ，使得平面AEF ⊥平面ABCDB ．存在唯一点对E ，F ，使得平面AEF ⊥平面PBCC ．若EF BC ⊥，则四面体P AEF -的体积最大值为96D ．若//EF 平面PCD ，则四面体A BEF -【正确答案】ACD【分析】连接,AC BD ，记其交点为O ，在线段PB 上任取一点E ，过点E ，作//EH PO ，证明EH ⊥平面ABCD ，连接AH ，并延长交BC 于点F ，证明平面AEF ⊥平面ABCD ，判断A ，将四棱锥补形为长方体，过点A 确定平面PBC 的垂线，结合面面垂直的判断定理判断B ，根据条件确定EF 的位置特征，结合锥体体积公式求四面体P AEF -，A BEF -的体积最大值，由此判断CD.【详解】因为1PA PB PC PD AB =====，底面ABCD 为正方形，所以四棱锥P ABCD -为正四棱锥，由已知可得AC =连接,AC BD ，记其交点为O ，由正四棱锥性质可得PO ⊥平面ABCD ，因为1PA =，2AO =，所以2PO =，对于A ，在线段PB 上任取一点E ，过点E ，作//EH PO ，EH 交BD 与H ，则EH ⊥平面ABCD ，连接连接AH ，并延长交BC 于点F ，因为EH ⊂平面AEF ，EH ⊥平面ABCD ，所以平面AEF ⊥平面ABCD ，故A 正确；对于B ，将正四棱锥补形为长方体1111ABCD A B C D -，过点P 作11//NM B C ，连接,BN MC ，又11//BC B C ，又11MN B C BC ==，所以四边形BCMN 为平行四边形，过点A 作AQ BN ⊥，垂足为Q ，因为BC ⊥平面11ABB A ，AQ ⊂平面11ABB A ，所以AQ BC ⊥，BC BN B = ，,BC BN ⊂平面PBC ，所以AQ ⊥平面PBC ，在线段BC 上任取一点F ，连接QF 交BC 于点E ，因为AQ ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ，B 错误；对于C ，因为四面体P AEF -的体积等于四面体A PEF -的体积，因为AQ ⊥平面PEF ，所以四面体A PEF -的高为AQ ，因为1121,2AB AA BB PO ====，所以32NA NB ==，因为1221224ABN S =⨯1224AQ BN ⨯=，所以63AQ =，作侧面PBC ，连接点P 和BC 的中点S ，则PS BC ⊥，因为EF BC ⊥，所以//EF PS ，设BF x =，则102x <≤，13,2EF SF x ==-，所以)211333222432PEF S x x x x ⎛⎫=⨯-=-≤ ⎪⎝⎭又四面体P AEF -的体积13P AEF A PEF PEF V V S AQ--==⋅所以四面体P AEF -的体积最大值为1362332396⨯=，C 正确；对于D ，因为//EF 平面PCD ，EF ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面PCD PC =，所以//EF PC ，设BF x =，则01x <≤，BE x =，π3EBF ∠=，所以2BEF S =≤F 和点C 重合，点E 和点P 重合时取等号，又AQ ⊥平面BEF，AQ =，所以四面体A BEF -的体积最大值为1312=，D 正确；故选：ACD.本题是立体几何综合问题，主要考查面面垂直和线面垂直的关系，线面平行性质定理和锥体的体积计算，对学生的素质要求较高.三、填空题13．已知(1,2,1),(1,0,0)a b == ，则a 在b 方向上的投影向量为________________．【正确答案】()1,0,0b = 【分析】根据投影向量的定义即可由数量积求解.【详解】由于1b = ，故a 在b 方向上的投影向量为()cos ,1,0,0a b a b b b b b⋅=== ，故()1,0,0b = 14．设函数()ln 2f x x mx =-（m 为实数），若()f x 在[1,)+∞上单调递减，则实数m 的取值范围_____________．【正确答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到[)1,x ∞∈+，()0f x '≤，再根据1y x=的单调性即可得到答案.【详解】()12f x m x'=-，因为函数()ln 2f x x mx =-在区间[)1,+∞上单调递减，所以[)1,x ∞∈+，120m x-≤恒成立，即[)1,x ∞∈+，max12m x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.又1y x =在[)1,+∞上单调递减，所以max11x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故21m ≥，即12m ≥，所以m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+，则n a =___________．【正确答案】1321n n -⋅--.【分析】由递推关系证明数列{}1n a n ++为等比数列，结合等比数列通项公式求其通项，由此可得n a .【详解】因为12n n a a n +=+，所以()1221n n a n a n +++=++，又11a =，所以123a +=，故数列{}1n a n ++为等比数列，首项为3，公比为2，所以1132n n a n -++=⋅，故1321n n a n -=⋅--，故答案为.1321n n -⋅--16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过左焦点F 作直线交C 于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点）并延长交椭圆于点D ，若0,||4||AB DF DF BF ⋅== ，则椭圆的离心率为_____________．【分析】根据椭圆的焦点三角形满足的边关系，结合勾股定理即可求解.【详解】设右焦点为E ,连接,AE BE ,由0,AB DF ⋅= 故AB DF ⊥ ，由,OF OE OA OD ==,所以四边形AFDE 为平行四边形，由于AB DF ⊥ ，进而可得四边形AFDE 为矩形，设BF x =，则4DF x =，因此4,24,22AE x AF a x BE a BF a x ==-=-=-，在直角三角形ABE 中，222AE AB BE +=,即()()22216232x a x a x +-=-，解得3a x =，所以42,24,233AE a AF a x a EF c ==-==，故222164499c a a =+，故2295c a =，即3e =，故53四、解答题17．已知空间三点(1,0,2),(0,1,2),(3,0,4)A B C --，设,AB a AC b ==．(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka b + 与- a kb 互相垂直，求k 的值．【正确答案】(1)12-(2)3132【分析】(1)先求出向量,a b ，再利用空间向量的夹角公式求解即可；(2)利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出k 的值.【详解】（1）因为(1,1,0)a AB OB OA ==-= ，(2,0,2)b AC ==- ，所以空间向量的夹角公式，可得1cos 21144a b a bθ==-+⨯+ ，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为12-.（2）由（1）可知(1,1,0)a = ，(2,0,2)b =- .因为向量ka b + 与- a kb 互相垂直，所以()()0ka b a kb +⋅-= ，所以222(1)0k a k b k a b -+-= ，所以2282(1)0k k k ---=，所以2310k k --=，解得3132k ±=.18．在①22n S n n =+；②3267,18a a a =+=；③153,35a S ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知等差数列{},n n a S 为其前n 项和，若______________．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()12N n n n b n a a *+=∈，求证：数列{}n b 的前n 项和13n T <．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)21n a n =+(2)证明见解析.【分析】（1）选①由n a 与n S 的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由（1）可得112123n b n n =-++，利用裂项相消法证明即可.【详解】（1）若选①：在等差数列{}n a 中，113a S ==，当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，1a 也符合，∴21n a n =+；若选②：在等差数列{}n a 中，326718a a a =⎧⎨+=⎩ ，11272618a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+；若选③：在等差数列{}n a 中，1513545352a S a =⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+；（2）证明：由（1）得211(21)(23)2123n b n n n n ==-++++，所以111111111.355721233233n T n n n =-+-+-=-<+++L 19．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=，直线:(1)(21)53l m x m y m +++=+．(1)判断并证明直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若点A ，B 分圆周得两段弧长之比为1:2，求直线l 的方程．【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交，证明见解析；(2)直线l 的方程为2y =或1x =.【分析】（1）由题可得()2530m x y x y +-++-=，由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得直线l 恒过定点，再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系；（2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解.【详解】（1）因为直线l 的方程为(1)(21)53m x m y m +++=+，所以()2530m x y x y +-++-=，由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得，12x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(1,2)P ，因为22(12)(23)4-+-<，所以点(1,2)P 在圆内，故直线l 与圆C 相交；（2）因为圆C 的方程为22(2)(3)4-+-=x y ，所以点C 的坐标为()2,3，半径为2，因为点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，故120ACB ∠= ,所以30CAB ∠= ，故圆心到直线的距离12r d ==，直线斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，因为点()2,3C 到直线1x =的距离为1，所以直线1x =满足条件，即直线l 的方程可能为1x =，当直线斜率存在时，设直线方程为2(1)y k x -=-，1=，解得0k =，所以直线l 的方程为2y =，故直线l 的方程为2y =或1x =.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S．若11,2n a a ==2n ≥且N n *∈）．(1)求证：数列为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若22n n n b a +=⋅，求{}n b 前n 项和n T ．【正确答案】(1)1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；(2)()12124n n T n +=-+.【分析】（1）由1n n n a S S -=-，结合已知递推关系进行转化，然后结合等差数列的通项公式及递推关系可求；（2）由已知先求n b ，根据错位相减即可求和．【详解】（1）由题意得：当2n ≥时，22122()2(2(2(n n n a S S -=-=-=，因为0n a >，0>，12=，1=，所以数列是以1为首项，以12为公差的等差数列，111(1)22n n ++-=，所以21(2n n S +=，当2n ≥时，221121()()224n n n n n n a S S -++=-=-=，由于11a =不适合上式，故1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；（2）当1n =时，18b =，当2n ≥时，()22121224n n n b n n ++=+=⋅，所以18T =，当2n ≥时，()2438527292212n n T n =+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，()4153216527292212n n T n +=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，相减得()()()()()322311142128522222212122212122412n nn n n n T n n n -+++--=-+⨯+⨯++⋅⋅⋅+-+=+⨯-+=---，故()12124n n T n +=-+，此时18T =也适合，故()12124n n T n +=-+．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面π,,,3ABCD AD AB AB DC ABC ⊥∠=∥，,2AB BC PA ==．点A 在平面PBC 内的投影恰好为PBC 的重心E ，连接PE 并延长交BC 于F．(1)求证：AF BC ⊥；(2)求平面ACE 与平面ABCD 所成夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)平面ACE 与平面ABCD【分析】(1)方法一：由条件根据线面垂直判定定理证明BC ⊥平面AEF ，由此证明AF BC ⊥.方法二：由已知证明F 为BC 的中点，结合等腰三角形性质证明AF BC ⊥；(2)建立空间直角坐标系，求平面ACE 与平面ABCD 的法向量，再由向量夹角公式求其夹角余弦，由此可得结论.【详解】（1）方法一：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为AE ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE BC ⊥，又,PE PA ⊂平面PAE ，PE PA P = ，所以BC ⊥平面PAF ，又AF ⊂平面PAF ，所以AF BC⊥方法二：因为点E 为PBC 的重心，点F 为PE 的延长线与BC 的交点，所以点F 为线段BC 的中点，因为AB BC =，π3ABC ∠=，所以ABC 为等边三角形，所以AF BC ⊥；（2）因为PA ⊥底面ABCD ，,AB AD ⊂底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AD AB ⊥，如图以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AB t =，则()()(),,0,0,,0,0,0,2,0,0,022t C B t P A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为点E 为PBC的重心，所以2,,623t E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2,23t AE ⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,,2PB t =- ，由已知⊥AE 平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AE PB ⊥，即0AE PB ⋅= 所以214023t -=，所以t =所以C ⎫⎪⎪⎭，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0320333y x y z +=++=⎩，取1x =可得，y z ==所以(1,n = 为平面ACE 的一个法向量，又()0,0,1m = 为平面ABCD的一个法向量，cos ,3m n m n m n ⋅== ，所以平面ACE 与平面ABCD22．已知双曲线22:(0)C x y λλ-=>，焦点F(1)求λ；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点(2,1)A -，直线,AM AN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，AQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得||QT 为定值．【正确答案】(1)3λ=；(2)证明见解析.【分析】(1)由双曲线方程求其渐近线方程，由点到直线距离公式列方程求λ；(2)证明当MN 斜率不存在时不合题意，设直线MN 方程与双曲线C 的方程联立，根据直线,AM AN 与y 轴的两交点关于原点对称结合韦达定理即可求解.【详解】（1）由已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，因为焦点F=所以3λ=，（2）当直线MN 的斜率k 不存在时，此时,M N 两点关于x 轴对称，若直线,AM AN 与y 轴的两交点关于原点对称，则A 在x 轴上，与题意矛盾，因此直线MN 的斜率存在.设直线MN 的方程为y kx m =+，联立223y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，整理得()2221230k x kmx m ----=，由已知210k -≠，且()()222244130k m k m ∆=--+>，所以1k ≠±，且2233k m -<，设()11,M x y ，()22,N x y ，12221km x x k +=-，212231m x x k --=-.直线,AM AN 分别与y 轴相交的两点为1M ，1N ，∴直线AM 方程为()111212y y x x +=---，令0x =，则111120,2x y M x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，同理221220,2x y N x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，可得11221222022x y x y x x +++=--，∴()()11221222022x kx m x kx m x x +++++=--，即()()()()1221212221220k x m x k x m x ⎡⎤⎡⎤++-+++-=⎣⎦⎣⎦，∴()()1212422(42)80k m x x k x x m +-+-++=，∴()()22223422428011km m k m k m k k ---+⋅-++=--，∴()()()()22212213410k m km k m m k -+⋅++++-=，∴22222422263440k m km km km k m m mk -++++++-=，∴()224630m k m k ++++=，()()3210m m k +++=，当210m k ++=时，21m k =--，此时直线MN 方程为()21y k x =--恒过定点()2,1A -，与已知矛盾，∴3m =-，直线MN 方程为3y kx =-，恒过定点()0,3E -∵AQ MN ⊥，设AE 中点为T ，∴()1,2T -，∴12QT AE ==为定值，∴存在()1,2T -使QT .方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
高二期末考试模拟试题(数学)
高二期末考试模拟试题（数学）选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1、直线l 的倾斜角为α，且3sin 5α=，则直线l 的斜率是A. 43-B.34C.43或43-D.34或34-2、已知直线0ax by c ++=，其中a 、b 、c 同号，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积是A. 2ab cB.22cabC.2ab D.2ac bc +3、已知空间四边形ABCD ，连AC 、BD ，设M 和G 分别是BC 、CD 的中点，则AB+1()2B D BC +＝A. A GB. CGC. BCD.12B G4、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成的角的余弦值是 A. 15-B.15C.5D.255、空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，3A OB A OC π∠=∠=，则,COS OA BC=A. 12B.2C.12-D.06、设A (1,2,11)-，B (4,2,3)，C (6,1,4)-，则A B C ∆的形状是A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 7、若,,x y R ∈且22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值是 A. 8 B. 10 C.32D.528、设x 、y 满足210,20,250.x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值是A. 4B. 3C. 2D. 19、如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l βγ=⋂，//l α，,m m αγ⊂⊥，那么必有 A.,l m αγ⊥⊥ B. ,//m αγβ⊥ C.//,m l m β⊥ D.//,αβαβ⊥ 10、平面上动点P 到定点F （1，0）的距离比P 到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为 A.22y x = B.24y x = C. 22y x =或0(0)y x =≤ D. 24y x =或0(0)y x =≤11、曲线12)y x =+≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是A. 53(,]124 B.5(,)12+∞ C.13(,)34 D.5(0,)1212、1B 2、B 是椭圆短轴的两端点，过左焦点1F 作长轴的垂线，交椭圆于P ，若12F B 是|O 1F |和12B B 的比例中项（O 为椭圆中心），则12P F O B 的值为32D.2班级 姓名 学号 分数二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）.将正确答案直接填在横线上.13.在正方体ABCD -1111A B C D 中，1BC 与平面11BD D B 所成角的大小为 .14.设双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点为,F 且,FA FB ⊥则双曲线的离心率为 .15.已知向量()2,3,0a =-，(),0,3b k =，若a 与b 成0120角，则k= .16.过点(),P p p 作直线l 与抛物线()220y px p =>仅有一个公共点的直线方程是 . 三、 解答题（共6小题，满分74分）17、已知向量 (4,2,4),(6,3,2)a b =--=-，求（1）a b ；（2）∣a ∣、∣b ∣；（3）(2a 3)(a 2)b b +-。
2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题2(含解析)
2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．一条直线过原点和点()1,1P -，则这条直线的倾斜角是（）A ．4πB ．4π-C ．34πD ．74π【正确答案】C求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.【详解】设这条件直线的倾斜角为θ，则10tan 110θ--==--，0θπ≤<，因此，34πθ=.故选：C.2．抛物线22y x =的准线方程是（）A ．12x =-B ．18x =-C ．18y =-D ．12y =-【正确答案】C【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；【详解】解：因为抛物线方程为22y x =，即212x y =，所以122p =，即14p =，所以抛物线的准线为18y =-故选：C3．已知椭圆C 的焦点1F ，2F 在x 轴上，过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若2ABF △周长为8，则椭圆C 的标准方程可能为（）A ．2211615x y +=B ．22187x y +=C ．22143x y +=D ．22134x y +=【正确答案】C【分析】由椭圆的定义可得2ABF △的周长为48a =，然后可选出答案.【详解】由椭圆的定义可得2ABF △的周长为48a =所以2a =因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆C 的标准方程可能为22143x y+=故选：C4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与9a 方程28200x x --=的两个实根，则11S =（）A ．46B ．44C ．42D ．40【正确答案】B【分析】利用等差数列的性质和前n 项和公式即可求解.【详解】因为3a 与9a 方程28200x x --=的两个实根，所以398a a +=.由等差数列{}n a 的性质可得：119138a a a a +=+=，所以()1111111442a a S +⨯==.故选：B5．经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为（）A ．2320x y ++=B ．3220x y +-=C ．2320x y -+=D ．2320x y +-=【正确答案】D联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【详解】由231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩因为所求直线与直线3240x y -+=垂直所以所求直线方程：2x +3y ＋c ＝0,代入点(2,2)-可得2c =-，所以所求直线方程为2320x y +-=故选：D方法点睛：本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.6．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a = ，()76,b a a = ，且4a b ⋅= ，则2122210log log log (a a a ++⋯+=)A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【正确答案】C【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．【详解】向量a ＝4a 5a ，b ＝7a 6a ，且a •b＝4，∴47a a +56a a ＝4，由等比数列的性质可得：110a a ＝……＝47a a ＝56a a ＝2，则2122210log log log a a a +++=log 2（12a a 10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选C ．本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．7．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（）lg 20.3≈lg3.80.6≈A ．40B ．41C ．42D ．43【正确答案】C设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n ≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=，所以至少对折的次数n 是42，故选：C关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.8．圆22:890C x y x ++-=上有四个点到双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的距离为2，则双曲线E 的离心率的取值范围是（）．A ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．7⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】易得双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=和圆的圆心()4,0-，半径为5，根据圆C 上有四个点到0bx ay -=的距离为2，由圆心()4,0-到0bx ay -=的距离523d <-=求解.【详解】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:890C x y x ++-=，圆心()4,0-，半径为5，因为圆C 上有四个点到0bx ay -=的距离为2，所以圆心()4,0-到0bx ay -=的距离523d <-=3<，而222+=a b c ，所以22167c a <，即17e <<故选：C二、多选题9．下列结论中，正确的是（）A ．sincos33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()21f x x =，则()2327f '=-C ．()x xe e '=D ．()41log ln 4x x '=【正确答案】BCD【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可.【详解】A ：因为sin32π=，所以'sin 03π⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本选项不正确；B ：由()()231'2f x f x x x =⇒=-，所以()2'327f =-，因此本选项正确；C ：因为()'x xe e =，所以本选项正确；D ：因为()41log 'ln 4x x =，所以本选项正确，故选：BCD10．已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，下列说法正确的是（）A ．若A =B =1，则C 是圆B ．若A =B =0，220D E +>，则C 是直线C ．若A ≠0，B =0，则C 是抛物线D ．若AB <0，D =E =0，0F ≠，则C 是双曲线【正确答案】BD【分析】对于A ：当A =B =1时，则曲线22:0C x y Dx Ey F ++++=，分22+40D E F -=，22+4>0D E F -，22+40D E F -<，分别讨论可判断；对于B ：当A =B =0，则:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，可判断；对于C ：当A ≠0，B =0，则2:0C Ax Dx Ey F +++=，分0E =，0E ≠，讨论可判断；对于D ：当AB <0，D =E =0，0F ≠，则22:0C Ax By F ++=由此可判断.【详解】已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，对于A ：当A =B =1时，则曲线22:0C x y Dx Ey F ++++=，若22+40D E F -=，则C 是点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；若22+4>0D E F -，则C 是圆；若22+40D E F -<，则C 不存在，故A 不正确；对于B ：当A =B =0，则:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，则C 是直线，故B 正确；对于C ：当A ≠0，B =0，则2:0C Ax Dx Ey F +++=，若0E =，则2:0C Ax Dx F ++=表示一元二次方程，若0E ≠，则2:+0C Ax Dx Ex F ++=表示抛物线，故C 不正确，对于D ：当AB <0，D =E =0，0F ≠，则22:0C Ax By F ++=表示双曲线，故D 正确，故选：BD.11．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（）A ．d ＜0B ．10a <C ．当n ＝5时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【正确答案】BD【分析】利用等差数列基本量计算以及等差数列前n 项和公式进行判断.【详解】A ：因为数列递增，故0d >，故A 错；B ：因为753a a =，根据基本量展开，即130a d +=，因为0d >，所以10a <，故B 正确；C ：由130a d +=可知40a =，所以前3项均为负数，故n S 最小时，n 为3或4.故C 错；D ：()17747702a a S a +===，()()188458402a a S a a +==+>，故当0n S >时，n 最小值为8.故选：BD12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为12,F F ，下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的离心率为53B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x=±C ．2F 到一条渐近线的距离是8D ．过2F 的最短弦长为643【正确答案】AC【分析】依题意可知6a =，10c =，8b =，进而由双曲线的几何性质可依次做出判断.【详解】依题意可知6a =，10c =，所以8b =.离心率53c e a==，故A 正确；渐近线方程为43y x =±，故B 错误；2(10,0)F ，不妨设渐近线为430x y +=，则2F 到渐近线的距离8d =，故C 正确；过2F 的最短弦长为212a =，故D 错误.故选：AC.三、填空题13．已知F 为椭圆22143x y +=的左焦点，P 为椭圆上一点，则PF 的取值范围为_________．【正确答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标，由两点间的距离公式求出||PF ，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.【详解】由题意，()1,0F -，设(),P x y ，则2222313434x y y x +=⇒=-，所以1|||4|2PF x ==+，因为22x -≤≤，所以||PF 的范围是[]1,3.故答案为.[]1,314．函数()2ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________.【正确答案】320x y --=【分析】求出切点和斜率，代入点斜式即可求出结果.【详解】因为()2ln f x x x =+，所以()11=f ，()1'2f x x x=+，()'1213f =+=所以切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=故320x y --=本题考查的是导数的几何意义，考查了运算求解能力，属于一般题目.15．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为________.【正确答案】6【分析】根据等比中项的性质求得m ，由此对m 进行分类讨论，求得圆锥曲线221xy m+=的离心率.【详解】由于实数4,,9m 成等比数列，所以24936m =⨯=，所以6m =±.当6m =时，2216x y +=为椭圆，6c a c a ===.当6m =-时，2216x y +=-为双曲线，1,1a b c =====.所以锥曲线221x y m +=的离心率为6本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.16．已知双曲线2222:1,-=x y C a b且圆22(2):1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点.若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为____________.【正确答案】2213x y -=【分析】由已知可得双曲线右焦点坐标为(2,0)，再由圆心到渐近线的距离为1，得到,a b 关系，结合2c =，即可求解.【详解】∵2224c a b =⇒+=.①取渐近线0bx ay -=，2213a b =⇒=.②由①②可得23a =，21b =，∴双曲线C 的方程为2213x y -=.故答案为:2213x y -=.本题以圆为背景，考查双曲线的性质，考查计算求解能力，属于基础题.四、解答题17．等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.(1)求{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)22n a n =+；23n S n n=+(2)224n n T +=-【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解即可；（2）根据条件算出14,2b q ==，再由等比数列的前n 项和公式求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1210a a +=，432a a -=可得，1110,2a a d d ++==，解得：14,2a d ==，可得：()42122n a n n =+-=+，()()12422322n n n a a n n S n n +++===+.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由足23b a =，37b a =，可得：18b q ⋅=，2116b q ⋅=，解得：14,2b q ==，则数列{}n b 的前n 项和n T 为.()24122412n n n T +-==--18．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=．(1)当直线l 与圆C 相交，求a 的取值范围；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程．【正确答案】(1)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；(2)20x y -+=或7140x y -+=.【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用几何法可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围；（2）根据勾股定理求出圆心到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于实数a 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）解：圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心为()0,4C ，半径为2r =，因为直线l 与圆C 2<，解得34a <-.（2）解：因为AB =，则圆心C 到直线l 的距离为d由点到直线的距离公式可得d =2870a a ++=，解得1a =-或7-.所以，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=.19．已知抛物线C ：24y x =，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：1y kx =+．（1）若l 与C 只有一个公共点，求k 的值；（2）过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点，求OAB 的面积．【正确答案】（1）1或0；（2）【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由0k =或0∆=即可求解；（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与抛物线方程，根据121||||2OABSOF y y =⋅-及韦达定理即可求解；【详解】解：（1）依题意214y kx y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2114y ky =+，即2440ky y -+=，①当0k =时，显然方程只有一个解，满足条件；②当0k ≠时，2(4)440k ∆=--⨯=，解得1k =；综上，当1k =或0k =时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线C ：24y x =，所以焦点(1,0)F ，所以直线方程为1y x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得2440y y --=，所以124y y +=，124y y =-，所以12||y y -==所以1211||||122OABSOF y y =⋅-=⨯⨯=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，239n n S a =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 【正确答案】(1)()13N n n a n +*=∈(2)24n nT n =+【分析】（1）根据数列公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合已知得出19a =与()132n n a n a -=≥，即可根据等比数列定义得出答案；（2）根据对数运算结合小问1通项得出1n b n =+，再得出数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可利用裂项相消法得出答案.【详解】（1）由题意得，当1n =时，1112239S a a ==-，解得19a =，当2n ≥时，由239n n S a =-可得，11239n n S a --=-，两式相减并整理得：13n n a a -=，故数列{}n a 是首项为9，公比为3的等比数列，则数列{}n a 的通项公式为.()11933n n n a n -+*=⨯=∈N （2）由小问1知：133log log 31n n n b a n +===+，则()()111111212n n b b n n n n +==-++++，则12231111n n n T b b b b b b +=+++，111111233412n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1122n =-+，24n n =+.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求C 的方程；（2）记C 的左顶点为M ，上顶点为N ，点A 是C 上在第四象限的点，AM ，AN 分别与y 轴，x 轴交于P ，Q 两点，试探究四边形MNQP 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【正确答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）根据直线二点式方程，结合四边形的面积表达式，通过数学运算进行求解判断即可.【详解】解：（1）依题意，2222191,41451,416a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,3a b ==，故C 的方程为22143x y +=.（2）是定值.理由如下：依题意，(2,0),M N -，设()00,A x y ，则22003412x y +=，所以直线0002:02y x AM y x -+=-+，令0020,2P y x y x ==+，则0000022||22P y y NP y x x +===++；直线000x AN x -=-，令0,Q y x =.则22Q MQ x =+=又易知NP MQ ⊥，所以四边形MNQP 的面积为1||||2S NP MQ =⋅012=00002x y y +-=所以四边形MNQP 的面积为关键点睛：根据四边形的面积表达式，通过熟练的数学运算求解是解题的关键.。
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高二数学期末考试模拟题6[新课标版]本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）.1．在回归直线方程表示回归系数中b bx a y,ˆ+= （ ）A ．当0x =时，y 的平均值B ．当x 变动一个单位时，y 的实际变动量C ．当y 变动一个单位时，x 的平均变动量D ．当x 变动一个单位时，y 的平均变动量2．下面几种推理是类比推理的是 （ ） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则ο180=∠+∠B AB ．由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质C ．某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员 D ．一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除3．若,1a >则1a 1a -+的最小值是（ ）A ．2B ．aC ．3D ．1a a2- 4．在对分类变量X, Y 进行独立性检验时,算得2k =7有以下四种判断(1) 有99﹪的把握认为X 与Y 有关;(2)有99﹪的把握认为X 与Y 无关;(3)在假设H 0:X 与Y 无关的前提下有99﹪的把握认为X 与Y 有关;(4)在假设H 1: X 与Y 有关的前提下有99﹪的把握认为X 与Y 无关.以上4个判断正确的是 （ ）A ． (1)、(2)B ． (1)、(3)C ． (2)、(4)D ． (3)、(4)5．不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A ．{}10<≤x xB ．{}1,0-≠<x x xC ．{}11<<-x xD ．{}1,1-≠<x x x6．已知c b a <<，且0=++c b a ，则ac b 42-的值（ ）A B CD IH G F E 4 3 12 3 1 2 3 2 3 2 4 1 1 35 A ．大于零 B ．小于零 C ．不大于零 D ．不小于零7．把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，盒子的容积最大时，切去的正方形边长是 （ ） A ．3aB ．4a C ．5aD ．6a8．的最小值求且已知y x x a R b a y x +=+∈+1,yb,,,,（ ）A ．b a +B ．ba 11+ C ．b a +D ． 2)(b a +9．如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)则在第n 个图形中共有（ ）个顶点.（ ）A ．(n+1)(n+2)B ． (n+2)(n+3)C ．2nD ．n10．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是 （ ） A ．总偏差平方和 B ．残差平方和 C ．回归平方和 D ．相关指数R211．设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=.记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =， 则2006(2006)f =（ ）A ．20B ．4C ．42D ．14512．某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算 的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不 建部分网线，而使得中心与各部门、院系彼此都能连通 （直接或中转），则最少的建网费用（万元）是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题4分，共16分）. 13．x 、y ∈R ，ii y i x 315211-=---，则xy=___ ___. 14．不等式42x 1x >++-的解集是______________.15．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.16．深圳市的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数.① x f(x)=p q ⋅；②2 f(x)=px +qx+1；③ 2f(x)=x(x-q)+p ；（以上三式中p,q 均为常数，且q>1，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，依次类推）. （1）为准确研究其价格走势，应选_______种价格模拟函数. （2）若f(0)=4，f (2)=6，预测该果品在_________月份内价格下跌.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）. 17．（12分）已知集合A 中的元素由部分实数组成，试求满足以下条件的所有集合A ：①集合A 中的任两元素之和还是集合A 中的元素；②集合A 中的任两元素之积还是集合A 中的元素；③集合A 中的任一元素的n 次幂还是集合A 中的元素.（直接写出答案即可，无需写推理过程）18．（12分）(1)设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证m a a a 9111321≥++；（2）已知a,b 都是正数，x,y ∈R ，且a+b=1，求证：ax 2+by 2≥(ax+by)2. 19．（12分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元. （1）问第几年开始获利；（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案最合算.20．（12分）12n 12n 2221212 ,x ,x R ,x x 1,x 1:.1x 111n n x x x x x x n +∈+++=+++≥++++L L L 设且求证21．（12分）以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系：（1）依据这些数据画出散点图并作直线^y ＝78＋4.2x ，计算∑=101i （y i －^y i ）2；（2）依据这些数据由最小二乘法求线性回归方程，并据此计算∑=-1012^)(i i iy y；（3）比较（1）和（2）中的残差平方和∑=-1012^)(i i iy y的大小.22．（14分）已知函数)(x f 是在),0(+∞上每一点均可导的函数，若)()(/x f x xf >在0>x 时恒成立.（1）求证：函数xx f x g )()(=在),0(+∞上是增函数； （2）求证：当0,021>>x x 时，有)()(2121x x f x x f +>+； （3）请将（2）问推广到一般情况，并用数学归纳法证明你的结论.参考答案一、1．D ；2．B ；3．C ；4．B ；5．D ；6．A ；7．D ；8．D ；9．D ；10．B ；11．D ；12．B ； 二、13．5；14．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<27x 21x x 或；15．24+n ；16．5、6月； 三、17．{}{}1,1,01,0-=或A ；18．（1）因为321,,a a a 均为正数，所以，321111a a a ++)111)((1321321a a a a a a m ++++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=)()()(31133123321221a a a a a a a a a a a a m m m 9)2223(1=+++≥； 当且仅当3321ma a a ===时，等号成立. （2）ax 2+by 2=(ax 2+by 2)(a+b) =a 2x 2+b 2y 2+ab(x 2+y 2)≥a 2x 2+b 2y 2+2abxy=(ax+by)2.19．解：由题意知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为f(n),则f(n)=50n-[12+16+……+(8+4n)]-98=40n-2n 2-98 （1）由f(n)>0得 n 2-20n+49<0 所以5110n 5110+<<-；又因为n N ∈,所以n=3,4,5,……17.即从第三年开始获利. （2）①年平均收入为n )n (f =40-21214240)n49(n =⨯-≤+.当且仅当n=7时，年平均收益最大.此时出售渔船总获利为11026712=+⨯（万元）；②由f(n)=40n-2n 2-98=-2（n-10）2+102可知当n=10时总收益最大.此时出售渔船总获利为102+8=110（万元）.但7<10.所以第一种方案更合算.20．证明：1)()11111()11()11)111()1(221222211122212122222121=+++=+⋅++++⋅+++⋅+≥++++++⋅++++++=++++++⋅+n nnn nn x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n ΛΛΛΛΛn n 2n1x 1 x 1x x (1所以11112222+≥++++++n x x x x n n Λ121x 1x .21．解：（1）散点图与直线^y ＝78＋4.2x 的图形如下图，对x ＝1，3，…，13，有^y i ＝82.2，90.6，94.8，94.8，103.2，111.6，120，120，124.2，132.6，∑=101i （y i －^y i ）2＝179.28．（2）x ＝101∑=101i x i ＝7，l xx ＝∑=101i （x i －x ）2＝142，y ＝108， l xy ＝∑=101i （x i －x ）（y i －y ）＝568，∴^β1＝142568=xxxyl l ＝4，^β0＝ y －^βx 1＝108－7×4＝80，故^y ＝80＋4x ．^y i ＝84，92，96，96，104，112，120，120，124，132，∑=101i （y i －^y i ）2＝170．（3）比较可知，用最小二乘法求出的∑=101i （y i －^y i ）2较小．22．证明：（1）由xx f x g )()(=得,)()()(2//x x f x xf x g -=因为)()(/x f x xf >， 所以0)(/>x g 在0>x 时恒成立，所以函数xx f x g )()(=在),0(+∞上是增函数. （2）由（1）知函数xx f x g )()(=在),0(+∞上是增函数，所以当0,021>>x x 时， 有222121112121)()(,)()(x x f x x x x f x x f x x x x f >++>++成立，从而)()(),()(212122212111x x f x x x x f x x f x x x x f ++<++<两式相加得)()()(2121x f x f x x f +>+ （3）推广到一般情况为：若)3,2,1(0n i x i ⋅⋅⋅=>，则)()()()(2121n n x f x f x f x x x f +⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++，2,≥∈n N n .以下用数学归纳法证明：（1）当2=n 时,有（2）已证成立，（2）假设当)2(≥=k k n 时成立，即)()()()(2121k k x f x f x f x x x f +⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++那么当1+=k n 时，)()()()()()()(121121121+++++⋅⋅⋅++>++⋅⋅⋅++>++⋅⋅⋅++k k k k k k x f x f x f x f x f x x x f x x x x f 成立，即当1+=k n 时也成立.有（1）（2）可知不等式对一切2,≥∈n N n 时都成立。