专题二 二次型

专题二 二次型二次型问题考到的知识点多，涉及到行列式、矩阵（实对称矩阵、正交矩阵）、正交变换、线性方程组、特征值与特征向量等方面，因此这里的题目综合性很强。

二次型是线性代数的重要内容之一，也是考研的重点之一，题量一般只有一个，但分值大（见下表），需引起考生足够重视． 年 份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 题 量 1 1 1 1 1 1 分 值4（选择题）11114（填空题）1111分析近几年的考题，不难发现二次型问题不外乎考察如下三个方面内容：二次型的标准形问题、二次型的正定性、矩阵的合同．下面我结合近几年的考题就这三个方面内容逐个进行讨论．问题一 二次型的标准形问题其重点是用正交变换化二次型为标准形正反两个方面的问题，解题主要依据的是矩阵特征值的理论与方法．首先讨论正问题．例1（12，数1，11分）已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001110101a a A ，二次型()()x A A x x x x f TT =321,,的秩为2．（1）求实数a 的值；（2）求正交变换Qy x =将f 化为标准形． 【解】（1）对A 作初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0001001101011001110101a a a A 因为()()2==A A R A R T，所以1-=a ．（2）当1-=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=422220202A A T ．由()()62422220202--=-------=-λλλλλλλA A E T可得A A T的特征值为0,2,6．对0=λ，解线性方程组()00=-x A A E T，得基础解系()T1,1,1--，对2=λ，解线性方程组()02=-x A A E T得基础解系()T0,1,1-，对6=λ，解线性方程组()06=-x A A E T得基础解系()T2,1,1．因为A A T为实对称矩阵，所以它对应于不同特征值的特征向量必正交，故只需将基础解系单位化．得TT T ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=62,61,61,0,21,21,31,31,31321γγγ令()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==62031612131612131,,321γγγQ ，则在正交变换Qy x =，f 化为标准形 232262y y f +=．例2（05，数1，9分）已知二次型()()()()2123222132112211,,x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2．（1）求a 的值；（2）求正交变换Qy x =，把()321,,x x x f 化为标准形； （3）求方程()0,,321=x x x f 的解．【解】（1）由二次型矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=200011011a a a a A 的秩等于2，得008=⇒=-=a a A ．（2）解特征方程()022=-=-λλλA E ，得A 的特征值为0,2321===λλλ．对221==λλ，解齐次线性方程组()02=-x A E ，得基础解系()T0,1,11=α，()T 1,0,02=α．由于21,αα已经正交，只需单位化，得T⎪⎭⎫⎝⎛=0,21,211γ，()T1,0,02=γ． 对03=λ，解齐次线性方程组()00=-x A E ，得基础解系()T0,1,13-=α，单位化3α，得T⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,213γ．令()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0102102121021,,321γγγQ ，则经正交变换Qy x =，得 ()222132122,,y y x x x f +=． （3）因标准形的解为021==y y ，3y 为任意常数，故()0,,321=x x x f 的解为()TTk y y Q x 0,1,10,21,210033-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=（k 为任意常数）．例3（03，数3，13分）设二次型()()0222,,31232221321>+-+==b x bx x x ax Ax x x x x f T，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-． （1）求b a ,的值；（2）利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．【解】（1）二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200200b b a A ，设它的特征值为321,,λλλ，由题设及特征值的性质，有()()⎩⎨⎧-=+-====-++=++12221222321321b a A a a λλλλλλ 解得()02,1>==b b a ． （2）解特征方程()()0322222012=+-=+----=-λλλλλλA E可得A 的特征值为3,2321-===λλλ．对221==λλ，解线性方程组()02=-x A E ，得基础解系()()TT1,0,2,0,1,021==αα．对33-=λ，解线性方程组()03=--x A E ，得基础解系()T2,0,13-=α．因为321,,ααα已两两正交，故只需将它们单位化，得()TT T⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==52,0,51,51,0,52,0,1,0321γγγ令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==5251000151520,,321γγγQ ，则在正交变换Qy x =，f 化为标准形 232221322y y y f -+=． 下面讨论反问题．例4（11，数1，4分）若二次曲面的方程42223222=+++++yz xz axy z y x 经正交变换化为442121=+z y ，则=a ．【分析】二次型经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值．根据特征值的性质，得()0410111113112=⨯⨯=--=a a a解得1=a ．例5（10，数1，11分）已知二次型()Ax x x x x f T=321,,在正交变换Qy x =下的标准形为2221y y +，且Q 的第3列为T⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0,22． （1）求矩阵A ；（2）证明E A +为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵．【解】（1）二次型()Ax x x x x f T=321,,在正交变换Qy x =下的标准形为2221y y +，说明A 的特征值为1，1，0．又因Q 的第3列为T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0,22，说明T⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22,0,223α是A 对应于特征值03=λ的特征向量．因为A 是实对称矩阵，所以A 对应于不同特征值的特征向量正交．设A 对应于特征值121==λλ的特征向量为()Tx x x 321,,=α，则031=+x x ．取()TT ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==22,0,22,0,1,021αα作为A 对应于特征值121==λλ的两个正交单位特征向量，并令()321,,ααα=Q ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21021010210210111Q Q A ． （2）显见E A +为实对称矩阵，它的3个特征值为2，2，1．因为E A +的特征值都大于0，所以E A +为正定矩阵．例6（09，数1，11分）设二次型()()3231232221321221,,x x x x x a ax ax x x x f -+-++=．（1）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（2）若二次型f 的规范形为2221y y +，求a 的值．【解】（1）二次型矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111010a aa A ，解特征方程 ()()()0211111010=+----=+-----=-a a a a aaA E λλλλλλλ得A 的3个特征值2,1,-+a a a ．（2）因二次型f 的规范形为2221y y +，所以A 的3个特征值中必有2个大于0，一个等于0，故2=a ．例7（02，数1，3分）已知实二次型()()323121232221321444,,x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换Py x =可化为标准形216y f =，则=a ．【分析】因为二次型Ax x T经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值，所以6,0,0是A 的特征值．由特征值的性质()⇒++=++=006a a a A t r2=a ．问题二 二次型的正定性其重点是二次型正定性的判定及正定性性质的应用，解题主要依据的是二次型正定性的判定定理．判定实二次型或实对称阵是否正定的方法： （1） 利用定义，0.0nTx R x Ax ∀≠∈>正定；（2）用非退化线形变换化二次型为标准型，当正惯性指数p n =时正定； （3）令0E A λ-=，求A 的全部特征根，当它们全大于0时正定；（4）计算A 的各阶顺序主子式，当它们全大于0时正定， 方法1——利用定义证明或判别二次型及其矩阵的正定性 例8（05，数3，13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B C C A D T 为正定矩阵，其中B A ,分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵．（1）计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE OC A EP 1； （2）利用（1）的结果判断矩阵C A C B T1--是否为正定矩阵，并证明你的结论．【解】（1）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--n mT n TT m TE O C A E B C C A E AC O E DP P 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--n mT n T mE O C A E B C C A E A C O E 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---C A C B O O A E OC A E C A C B O C A T n mT 111 （2）因为D 是对称矩阵，所以DP P T是对称矩阵，故C A C B T1--为对称矩阵．因为D 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B O O A T 1合同，且D 正定，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B O O A T 1也正定，那么，0≠∀Y ，恒有()011>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Y C A C B Y Y O C A C B O O A Y O T T T T，故C A C B T 1--是正定矩阵． 例9（00，数3，9分）设有n 元实二次型()()()()()212112322221121,,,x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=--其中()n i a i ,,2,1 =为实数．试问：当n a a a ,,,21 满足何种条件时，二次型f 是正定二次型．【解】f 是正定二次型⇔对于任意不全为0的实数n x x x ,,,21 ，恒有211x a x +，322x a x +，n n n x a x 11--+，1x a x n n +不全为0，即齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+--．0,0,0,0111322211x a x x a x x a x x a x n n n n n只有零解．而此方程组只有零解⇔系数行列式不等于0，即()011110000010000100001211121≠-+=+-n n nn a a a a a a a所以当()nn a a a 121-≠ 时，f 是正定二次型．例10（99，数3，7分）设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A A E B T+=λ，试证：当0>λ时，B 为正定矩阵． 【证明】因为()B A A E AA EB T TTT=+=+=λλ，所以B 是n 阶实对称矩阵．()()()Ax Ax x x Ax A x x x x A A E x Bx x TT T T T T T T +=+=+=λλλ0≠∀x ，恒有0>x x T ，()()0≥Ax Ax T，所以0≠∀x ，当0>λ时，0>Bx x T，故当0>λ时，B 为正定矩阵．例11（99，数1，6分）设A 为m 阶正定矩阵，B 为n m ⨯实矩阵，试证：AB B T为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩()n B r =． 【证明】 显然AB B T是实对称矩阵．必要性 因AB B T为正定矩阵，按定义0≠∀x ，恒有()0>x AB B x TT，即0≠∀x ，恒有()()0>Bx A Bx T，从而0≠∀x ，恒有0≠Bx ，所以齐次线性方程组0=Bx 只有零解，故()n B r =．充分性 因()n B r =，所以齐次线性方程组0=Bx 只有零解，即0≠∀x ，恒有0≠Bx ．又A 为正定矩阵，所以0≠∀x ，恒有()()()0>=x AB B x Bx A Bx TT T，故AB B T 为正定矩阵．方法2——利用特征值都大于0证明或判别二次型及其矩阵的正定性例12（98，数3，7分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，()2A kE B +=，其中k 为实数，E 为单位矩阵．求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．【解】因为A 是对称矩阵，有()[]()[][]()B A kE A kE A kE A kE B T T TT =+=+=+=+=2222所以B 是实对称矩阵，故B 可对角化．由()0211201012=-=-----=-λλλλλλA E ，解得A 的特征值为221==λλ，03=λ，从而得到()2A kE B +=的特征值为()22+k ，()22+k ，2k ．故B 的相似对角矩阵为()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=Λ22222k k k ． B 正定⇔B 的所有特征值都大于0，即当2-≠k 且0≠k 时，B 正定．方法3——利用顺序主子式都大于0证明或判别二次型及其矩阵的正定性例13（97，数3，3分）若二次型()322123222132122,,x tx x x x x x x x x f ++++=是正定的，则t 的取值范围是 ． 【分析】二次型f 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120211012t t A ，因f 正定⇔A 的所有顺序主子式都大于0，又021>=∆，012>=∆，23211t -=∆，所以f 正定⇔021123>-=∆t ，即22<<-t ．方法4——利用正惯性指数等于n 证明或判别二次型及其矩阵的正定性 例14 证明：实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同．【证明】n 阶实对称矩阵A 正定⇔n 元二次型Ax x T的正惯性指数等于n ⇔n 元二次型Ax x T 的规范形为22221n y y y +++ ⇔A 与单位矩阵E 合同（规范形22221n y y y +++ 的矩阵为E ）．此例之结论可以直接作为判定矩阵正定性的依据． 问题三 矩阵的合同其重点是矩阵合同的判定及矩阵合同性质的应用，解题主要依据的是矩阵合同的充分必要条件．例15（08，数4，4分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221 【分析】n 阶实对称矩阵A 与B 合同⇔A 与B 有相同个数的正特征值和相同个数的负特征值．A 的特征值为1-，3，选项（A ）中矩阵的特征值为1-，3-，选项（B ）中矩阵的特征值为1，3，选项（C ）中矩阵的特征值为1，3，选项（D ）中矩阵的特征值为1-，3，故选（D ）．例16（07，数1，4分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000010001B ，则A 与B（A ）合同且相似 （B ）合同但不相似 （C ）不合同但相似 （D ）不合同且不相似 【分析】实对称矩阵A 的特征值为0，3，3，故二次型Ax x T的正惯性指数为2，负惯性指数为0．显然二次型Bx x T的正惯性指数也为2，负惯性指数为0，所以A 与B 合同．因为()()B tr A tr ≠，所以A 与B 没有相同的特征值，从而A 与B 不相似．选（B ）．例17（01，数1，3分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111111111111A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000004B ，则A 与B（A ）合同且相似 （B ）合同但不相似 （C ）不合同但相似 （D ）不合同且不相似【分析】因为A 是实对称矩阵，且它的特征值为4，0，0，0，所以A 与B 合同且相似．选（A ）．例18（96，数3，8分）设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210010000010010y A ． （1）已知A 的一个特征值为3，求y ；（2）求可逆矩阵P ，使()()AP AP T为对角矩阵． 【解】（1）因为3是A 的一个特征值，故()02811133113111300003100133=-=-----=-----=-y y y A E解得2=y ．（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5400450000100001A A T为实对称矩阵，构造二次型()x A A x T T ，将其化为标准形． ()4324232221855x x x x x x x A A x T T ++++=242443232221592516585x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++++= 24243222159545x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=⇔=+==．444333432211,5454,,y x y y x y x x y x y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321432110005410000100001y y y y x x x x经此线性变换，二次型化为标准形()24232221595y y y y x A A x T T +++=令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10005410000100001P则()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=59511AP AP T小结：1．二次型的标准形问题．其重点是用正交变换化二次型为标准形正反两个方面的问题，解题主要依据的是矩阵特征值的理论与方法．2．二次型的正定性．其重点是二次型正定性的判定及正定性性质的应用，解题主要依据的是二次型正定性的判定定理．3．矩阵的合同．其重点是矩阵合同的判定及矩阵合同性质的应用，解题主要依据的是矩阵合同的充分必要条件．11。