第四章 关于总体方差的统计推断
第四章 统计推断
第一节 置信度与置信区间
一、置信度也称为置信水平，它是指总体 参数真值落在样本估计值某一区间内的 概率（把握性程度）。它反映的是抽样 推断的可靠性程度。
如：以100%的概率保证统计学考试成绩在 （0分 100分） 以5%的概率保证英语六级考试成绩在 （480分 490分）
二、置信区间指的是样本估计值的波动范围， 置信区间反映的是抽样的精确性程度。
在1530元上下浮动的一个区间内。
点估计和区间估计
（一）点估计
当总体参数不清楚时，用一个特定值（一
般用样本统计量）对其进行估计，称为点估 计。如：用样本均值代替总体均值，用样本
离差 ( )代S替2 总体方差( ) 2
点估计从总体抽取一个样本，根据该样本的 观察值对总体指标作出一个数值点的估计 。
＝ p 0.1875＝4.3％
pn
100
四、抽样的实际误差
抽样实际误差是指样本指标和总体 指标之间抽样误差的可能范围。
f (x)
X
x
2
x : N(X ) n
t xX
/ n
f (t)
1-
t (n 1) 0 t(n 1)
t
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P(-t <t<t )=1-
2
2
即在1-置信度下，有： -t <t<t
每包重量g
148—149 149—150 150—151 151—152
合计
包数
10 20 50 20 100
试求抽样平均误差？
每包重量g 组中值
包数
148—149 148.5
10
149—150 149.5
20
统计学第4章用样本推断总体 PPT
43万元以上的交易数量 所占比例p
21 52.50%
25 69.44%
两个总体比例之差的区间估计
n1 40, n2 36; p1 52.5%, p2 69.44%. 在95%置信水平下的置信区间为： p1 1 p1 p2 1 p2 p1 p2 z / 2
s 1 x x 2 n 1 1 1265 1266.62 1257 1266.62 1269 1266.62 1276 1266.62 1266 1266.62 4 6.8775
区间估计法
• 区间估计法的步骤： 1）确定未知总体参数落在某区间内的概率1-， 介于0—1之间 2）（1－），称为置信水平；
估计量的优劣标准
• 估计总体参数的估计量有许多个 • 用好的估计量去估计总体参数 • 好的估计量的标准是： 1）无偏性：样本均值、样本比例、样本方差是总 体特征值的无偏估计 2）有效性：在所有无偏估计量中，方差最小的是 有效的 3）一致性：随着样本量的增大，点估计量的值越 来越接近总体参数的真实值
本章小结
• 参数估计的基本原理 • 点估计 • 区间估计
是参数不落在区间内的概率
3）置信水平1-，通常取值为 99%, 95%, 90%
即0.011,0.055,0.1010
区间估计法
x Z x Z x n
(x z
n
, x z
2
n
)
_ x
1.645
总体比例的区间估计
1）单一总体比例的区间估计 2）两个总体比例之差的区间估计
单一总体比例的区间估计
1）假设
总体服从二项分布 可以用正态分布近似估计 n p 5 且 n (1 - p) 5
总体方差(或标准差)
总体方差的平方根，计算公式为 $sigma = sqrt{frac{1}{N} sum_{i=1}^{N}(x_i - mu)^2}$。
目的和意义
描述数据分布的离散程度
总体方差和标准差用于描述数据分布 的离散程度，即数据点与均值之间的 差异程度。
比较不同数据的离散程度
决策依据
在统计学中，总体方差和标准差是重 要的参数，用于估计样本方差、进行 假设检验、回归分析等，是决策的重 要依据。
随着统计学理论的不断发展，总体方差的计算方法和应用 范围也将不断丰富和完善，为解决实际问题提供更多有效 的工具。
随着数据科学和人工智能的不断发展，总体方差在数据建 模和预测中的作用将更加重要，其在人工智能、机器学习 等领域的应用也将得到更深入的研究和应用。
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统计学
假设检验
在统计学中，方差分析（ANOVA）是一种常用的统计方法，用于比较不同组数据的离散程度。通过比较 不同组的总体方差，可以检验各组数据是否来自具有相同方差分布的总体。
回归分析
在回归分析中，解释变量和响应变量之间的关系可以通过回归模型来描述。总体方差可以用来衡量响 应变量的变异程度，帮助确定回归模型的稳定性。
金融领域
风险评估
在金融领域，资产收益率的稳定性是一 个重要的考量因素。通过计算资产的总 体方差，投资者可以了解该资产的风险 水平，从而做出更明智的投资决策。
VS
投资组合优化
投资者可以通过计算不同资产类别的总体 方差，评估各类资产对投资组合的风险贡 献。在此基础上，投资者可以构建出风险 水平与预期收益相匹配的投资组合。
缺点
01
对异常值敏感
方差对异常值比较敏感，一个或少数几个异常值可能会显著影响方差的
《应用多元分析》第三版(第四章 多元正态总体的统计推断)
aix t /2k n 1 aiSai
n aiμ aix t /2k n 1 aiSai
n
i 1, 2, , k 它的置信度至少为1−α。 若tα/2k(n−1)≤Tα ，则邦弗伦尼区间比T2区间要窄，这时宜采用 前者作为联合置信区间；反之，若tα/2k(n−1)>Tα，则邦弗伦尼 区间比T2 区间宽，宜采用后者作为联合置信区间。 当k=p时，邦弗伦尼区间要比T2 区间窄。故在求μ的所有p个 分量μ1, μ2,⋯, μp的联合置信区间时，应采用邦弗伦尼区间。
例4.3.1 设x~Np(μ,Σ)，μ=(μ1,μ2,⋯,μp)′，Σ>0，x1,x2,⋯,xn是取 自该总体的一个样本，欲检验 H0：μ1=μ2=⋯=μp，H1：μi≠μj,至少存在一对i≠j 令 0 1 1 0 1 0 1 0 C 1 0 0 1 则上面的假设可表达为 H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0 检验统计量为
μ的0.90置信区域为
0.0436 0.0406 72.5 1 8 72.5 1 , 79 2 8.073 0.0406 0.0475 79 2 即 0.0436×(μ1−72.5)2−0.0812×(μ1−72.5)(μ2−79) +0.0475×(μ2−79)2≤1.009 这是一个椭圆区域。μ1和μ2的0.90联合T2置信区间为
μ的置信度为1−α的置信区域为
μ : n x μ S 1 x μ T2
当p=1时，它是一个区间；当p=2时，它是一个椭圆， 这时可将其在坐标平面上画出；当p=3时，它是一 个椭球；当p＞3时，它是一个超椭球；它们均以 x 为中心。 同置信区间与假设检验的关系一样，置信区域与假 设检验之间也有着同样的密切关系。一般来说，μ0 包含在上述置信区域内，当且仅当原假设 H0：μ=μ0 在显著性水平α下被接受。因此，可以通过构造的置 信区域的方法来进行假设检验。
概率论与数理统计-基于R 第四章 第二节 方差
X .
=σ2，i=1,2,
…，
n
证明：E
X
1 n 1 n
E
n
i 1
Xi
n
i 1
E
Xi
1 n .
n
1 n 1 n
D
X
D
n
i 1
Xi
n2
D
i 1
Xi
1 n
解
E(X )
1
1 x
2xdydx
1(2x 2x2 )dx 1 ,
01
0
3
E( X 2 ) 1 1x 2x2dydx 12x2 (1 x)dx 1 ,
01
0
6
D(X ) E(X 2) E2(X ) 1 1 1 . 6 9 18
第二批偏离中心位置较大 -----质量不稳定。
为描述“偏离”或“分散”程度-----引入“方差”。
考虑 X E X 或 X E X 2 的期望
因此有如下方差的定义：
定义4.3：随机变量X的函数(X-E(X))2的数学期望，
称为随机变量X的方差。记为
D
X
例 已知(X ,Y )的分布律为
X0
Y
1 0
01 6
21 4
11 3 11 43 00
00
求E(X ), E(Y ), D(X ), D(Y ).
解 E(X ) 0 5 1 1 1 1 5 , 12 3 4 3 12
E(Y ) (1) 7 0 1 2 1 1 , 12 6 4 12
方差的计算方法
方差的计算方法方差是描述数据离散程度的一种统计量，它衡量了数据集合中各个数据与其平均值之间的偏离程度。
在实际应用中，方差的计算方法有多种，下面将介绍常用的几种计算方法。
一、总体方差的计算方法。
对于总体方差的计算，可以使用以下公式：\[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i \mu)^2 \]其中，\( \sigma^2 \) 表示总体方差，\( N \) 表示数据个数，\( x_i \) 表示第 \( i \) 个数据，\( \mu \) 表示数据的平均值。
这个公式的含义是，首先计算每个数据与平均值的差值的平方，然后求和并除以数据个数，即可得到总体方差。
二、样本方差的计算方法。
对于样本方差的计算，可以使用以下公式：\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i \bar{x})^2 \]其中，\( s^2 \) 表示样本方差，\( n \) 表示样本数据个数，\( x_i \) 表示第 \( i \) 个样本数据，\( \bar{x} \) 表示样本数据的平均值。
与总体方差的计算方法类似，样本方差的计算也是先计算每个数据与平均值的差值的平方，然后求和并除以数据个数减一。
三、计算示例。
下面通过一个简单的示例来说明方差的计算方法。
假设有一个数据集合 {3, 5, 7, 9, 11}，首先计算这组数据的平均值：\[ \bar{x} = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7 \]然后，根据样本方差的计算公式，可以依次计算每个数据与平均值的差值的平方，并求和：\[ (3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2 =20 \]最后，将这个和除以数据个数减一，即可得到样本方差：\[ s^2 = \frac{20}{5-1} = 5 \]因此，这组数据的样本方差为 5。
4统计推断
第四章
•
统计推断
例3 现从某天生产的洗衣粉中随机地取16袋，称得重量（以克计）如 下表所示。 506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496 设洗衣粉的重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信度为0.95的 置信区间 。 解 这里，总体的方差未知，故总体均值 的置信区间为：
S S t / 2 (n 1), X t / 2 (n 1)) n n 而，经过计算得， x 503.75, s 6.2022 , 故所求的置信区间为（500.4, 507.1）。 (X
t0 又查表得，.025 (15) 2.1315
第四章
统计推断
2．两个正态总体的情况
( x y t0.025 (14)sw
即（-4.15,0.11）
1
1 1 1 , x y t0.025 (14) sw ) 8 8 8 8
第四章
统计推断
（2）两个总体方差比的置信区间
• 这里仅讨论 1 , 2 未知的情形
12 • 对于给定的置信度 1 ， 的置信区间为 2 2
这样，我们就得到了 的一个置信度为 1 的置信区间
X z , X z n 2 n 2
简写成
X z n 2
第四章
统计推断
确定未知参数置信区间的一般步骤 （1）构造一个样本的函数Ｗ它包含待估未知参数，而不 含其它未知参数，并且 Ｗ 的分布已知且不依赖于任何 未知参数； （2）对于给定的置信度1 ，定出两个常数a，b，使得
X 的一个样
1 2 2 12
计量经济学第四章统计推断：估计与假设检验
计量经济学第四章统计推断：估计与假设检验第四章统计推断：估计与假设检验4.1 统计推断的含义总体和样本总体是指我们所关注现象出现的可能结果的全体，样本是总体的一个子集(例如，杭州的人口；下沙开发区的人口)。
宽泛地说，统计推断研究的是总体与来自总体的样本之间的关系。
国内股票交易市场共有1500多支股票。
假定某一天从中随机选取50支，并计算这50支股票价格与收入比的平均值—即P/E比值。
（例如，一支股票的价格为50元，估计年收益为2.5美元，则P/E为20；也就是说，股票以20倍的年收益出售。
）根据50支股票的平均P/E值，能否说这个P/E值就是总体的1000多股票的平均P/E值呢？如果令X表示一支股票的P/E值，X表示50支股票的平均P/E 值，能否得知总体的均值E(X)呢？此处统计推断的实质就是从样本值均值(X)归纳出总体值E(X)的过程。
4.2 参数估计通常假定某一随机变量X服从某种概率密度，但并不知道其分布的参数值。
例如，X服从正态分布，想知道其两个参数，均值E(X)=u X，及方差2 xδ。
为了估计未知参数，一般的步骤是：假定有来自某一总体，样本容量为n的随机样本，根据样本估计总体的未知参数。
因此，可将样本均值作为总体均值(或期望)的估计量，样本方差作为总体方差的估计量。
这个过程称为估计问题，估计问题有两类：点估计(point estimation)和区间估计(interval estimation)。
假定随机变量X(P/E值)服从某一未知均值和方差的正态分布。
但是，有来自该正态总体的一个随机样本(50个股票的P/E值)，如何根据这些样本数据计算总体的均值u X (=E(X))和方差2 x δ？表4 - 1点估计据表4 - 1的数据 50个P/E 的样本均值为11.5，显然我们可以选择X 作为u X的估计值。
我们称这个单一数值为u X 的点估计值。
（注意：点估计量是一个随机变量，因为其值随样本的不同而不同。
第四章多元正态总体的统计推断
T02 = n ( x − µ 0 )′ Σ −1 ( x − µ 0 )
2 T02 ≥ χα ( p ) ，则拒绝 H 0 若
一、均值向量的检验
2. Σ 未知 检验统计量为
T 2 = n ( x − µ 0 )′ S −1 ( x − µ 0 )
n− p 2 T 服从 F ( p, n − p ) ，对给定的 为真时 p ( n − 1)
§4.3 单个总体均值分量间结构关系的检验
检验统计量为 拒绝规则为：
§4.3 单个总体均值分量间结构关系的检验
均值向量之间的显著差异是否源于分量
µ1与 µ 2 之间存在显著差异，并不意味着它们一定存 在有显著差异的分量。但 µ1 与 µ 2 的个别分量之间存 在显著差异往往是导致 H 0 : µ1 = µ 2 被拒绝的重要原因。
{
(
)
(
)
α
}
三、联合置信区间
联合 T 2 置信区间：
邦弗伦尼置信区间：
两个区间的比较
若 tα 2 k ( n − 1) ≤ Tα ，则邦弗伦尼区间比T2区间要窄， 这时宜采用前者作为联合置信区间；反之， 若 tα 2 k ( n − 1) > Tα ，则邦弗伦尼区间比T2 区间宽，宜 采用后者作为联合置信区间。 当k=p时，邦弗伦尼区间要比T2 区间窄。故在求 µ 的所有p个分量 µ1 , µ 2 ,⋯, µ p 的联合置信区间时，应 采用邦弗伦尼区间。
当p=1时，它是一个区间；当p=2时，它是一个椭圆， 这时可将其在坐标平面上画出；当p=3时，它是一 个椭球；当p＞3时，它是一个超椭球；它们均以 x 为中心。 同置信区间与假设检验的关系一样，置信区域与假 设检验之间也有着同样的密切关系。一般来说，µ 0 包含在上述置信区域内，当且仅当原假设 H 0 : µ = µ 0 在显著性水平 α 下被接受。因此，可以通过构造的 置信区域的方法来进行假设检验。
应用统计学 教案 第4章 抽样推断
第4章抽样推断 教 4. 1 统计抽样的一般问题 4.2抽样推断的相关基本概念 4. 3参数估计 4.4抽样误差 4.5抽样调查的组织方式及其误差的计算 4.6样本数目的确定 4.7 Excel在参数估计中的应用 教学要求 1. 理解不同种类抽样推断的基本原理； 2. 理解统计量与统计分布、重置抽样与非重置抽样概念的内涵： 3. 理解置信度与置信区间、抽样实际误差与平均误差的区别和联 系： 4. 掌握不同类型抽样的参数估计原理和方法： 5. 了解样本数目确定的原理和方法。 教学重点 统计量与统计分布、重置抽样和非重置抽样的概念；抽样平均误差 的计
算；不同类型抽样的参数估计原理和方法：样本数目确定的原 理和方法
教学难点 抽样平均误差的计算；不同类型抽样的参数估计原理和方法
教学方法
课堂讲授、多媒体教学、课堂讨论、案例分析、课堂练习、上机操 作。 课时数 12课时（课堂讲授9课时+课堂练习2课时+上机操作1课时）
导入案例 某品牌手机电池经过技术改进，待机时间得以提高，从该工厂抽取 一定数
量的样本，测得其平均待机时间，以此推断该工厂生产的电 池的待机时间。
4.1抽样推断的一般问题
抽样推断的概念及特点 抽样调查是一种非全面调查，它按照随机的原则从总体中抽取部分样本加以调查，目的是对 总体相关信息进行推断。 抽样调查是一种非全面调查，它按照随机的原则从总体中抽取部分样本加以调查，目的是对 总体相关信息进行推断。 抽样推断的主要特点如下。
课程思政目标： 统计推断就是利用样本 数据来推断总体特征的 方法，由点及面、由部 分推断总体真假的过 程。互联网技术带来了 信息时代，纷繁复杂、 Nf N2 -> n2
NL，h 2.类型抽样下的总体参数区间估计的计算步骤
(I )标志值条件下的计算步骤 第一步，计算样本均值。
其中，，也即分组的个数。 第二步，计算抽样平均误差。
第三步，计算极限误差。 印)=68.28%,/= 1