4.3 三角形(2)(学案)-2021年中考数学一轮复习课件与学案(全国通用)

D
A
C a
b
c
P
C
O
B
A
4.3 三角形（2）
【知识梳理】 1.等腰三角形
（1）性质:①等边对 ：两腰相等， 相等，即AB ＝AC ①B ＝①C ； ①三线合一：顶角的平分线、底边上的 和底边上的 互相重合; ①对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定:①定义：有 相等的三角形是等腰三角形； ①等角对等边：即若①B ＝①C ，则①ABC 是等腰三角形. 2. 等边三角形
（1）性质:①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于 .即AB ＝BC ＝AC ，①BAC ＝①B ＝①C ＝60°；
①对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的 是对称轴. （2）判定;①定义：三边都 的三角形是等边三角形； ①三个角都 （均为60°）的三角形是等边三角形；
①有一内角为60°的 三角形是等边三角形.即若AB ＝AC ，且①B ＝60°，则①ABC 是等边三角形. 3. 直角三角形
(1)直角三角形的性质:①两锐角 .即①A ＋①B ＝90°；
①30°角所对的直角边等于 的一半.即若①B ＝30°则AC ＝1
2AB ；
①斜边上的中线长等于 长的一半．即若CD 是中线，则CD ＝1
2
AB.
①勾股定理：两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方．即 a 2＋b 2＝c 2 .
(2)直角三角形的判定:①有一个角是 的三角形是直角三角形.即若①C ＝90°，则①ABC 是Rt①； ①勾股定理的逆定理：若a 2＋b 2＝c 2，则①ABC 是Rt①. 4.角平分线
(1)性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若①1 ＝①2，PA①OA ，PB①OB ，
则PA ＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上． 5.垂直平分线
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP 垂直且平分AB ，则PA ＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
2
1
P C
B
A
二、例题精讲
【例1】（1）在①ABC 中,AB=AC,如果有一个角是50°,那么另两个角的度数分别是 .
（2）（2018·青海）如图18-1,将Rt①ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°,得到①DEC,连接AD.若①BAC=25°,则①BAD= .
（3）（2019·徐州）函数y=x+1的图象与x 轴、y 轴分别交于A,B 两点,点C 在x 轴上,若△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C 共有 个.
【例2】（2019·无锡）如图18-9,在①ABC 中,AB=AC,点D,E 分别在AB,AC 上,BD=CE,BE,CD 相交于点O.求证:(1)①DBC①①ECB;(2)OB=OC.
【例3】（1）如图在Rt①ABC 中,①C =90°,AC =3,BC =5,分别以A ,B 为圆心,大于2
1
AB 的长为半径画弧,两弧交点分别为点P ,Q ,过P ,Q 两点作直线交BC 于点D ,则CD 的长是 .
（2）（2018·黄冈）如图在Rt①ABC 中,①ACB =90°,CD 为AB 边上的高,CE 为AB 边上的中线, AD =2,CE =5,则CD =( ) A .2
B .3
C .4
D .23
（3）（2019·宜宾）如图18-12,①EOF 的顶点O 是边长为2的等边①ABC 的重心,①EOF 的两边与三角形ABC 的边交于E,F,①EOF=120°,则①EOF 与①ABC 的边所围成阴影部分的面积是 ( ) A.√3
2 B.
2√3
5
C.√3
3
D.√3
4
【例4】如图△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,若点P从点A出发,以每秒2 cm的速度沿折线A-C-B-A 运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)若点P在AC上,且满足PA=PB时,求出此时t的值;
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上,求t的值;
(3)直接写出在运动过程中当t为何值时,△BCP为等腰三角形.
【真题训练】
1.（2020•枣庄）如图，在①ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则①ACE的周长为（）
A．8B．11C．16D．17
2.（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是①ABC 的高，则BD的长为（）
A．10
13√13B．9
13
√13C．8
13
√13D．7
13
√13
3.（2020•临沂）如图，在①ABC中，AB＝AC，①A＝40°，CD①AB，则①BCD＝（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
4.（2020•苏州）如图，在①ABC中，已知AB＝2，AD①BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝．
5.（2020•甘孜州）如图，Rt①ABC中，①ACB＝90°，将①ABC绕点C顺时针旋转得到①DEC，点D落在线
段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分①ADE；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
2-3,
328,x y x y =⎧⎨+=⎩
【自我检测】
1.一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组 则此等腰三角形的周长为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．5或4
2.如图，在①ABC 中，①BAC =90°，AC =6，BC =10，过点A 的直线DE ①BC ，①ABC 与①ACB 的平分线分别交DE 于E 、D ，则DE 的长为 （ ） A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
3.如图，在①ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 于点D ，连接AD ．若①B =40°，①C =36°，则①DAC 的度数是 （ ） A ．70°
B ．44°
C ．34°
D ．24°
4.如图，在边长为18的正三角形ABC 中，BD =6，①ADE =60°，则AE 的长为 （ ） A ．12
B ．14
C ．15
D ．16
5.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得①ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是 （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
6.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为 ．
7.如图，①ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，①A =30°，①ACB =80°，则①BCE = °．
8.如图，①ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，BE ＝CF ，点D 在AF 的延长线上，AD ＝AC ．①BAE ＝30°，则①ADC ＝________°．
9.如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且DE①AB ，过点E 作EF①DE ，交BC 的延长线于点F.(1)求①F 的度数； (2)若CD ＝2，求DF 的长．
第2题图
第3题图
第4题图
B
A
第5题图
第7题
D
C
B
A
C
D
E
F A
B
第8题。