浅论高等数学中的极限思想

浅论高等数学中的极限思想
谷亮
（辽宁铁道职业技术学院 辽宁 锦州 121000 中国）
摘要： 极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

关键词：高等数学，极限，极限思想、教学
一、极限的概念
1、数列极限：设
{x }
n 为一个数列，a 为一常数，若0ε∀>，总存在一个正整数N ，使得
当n N >时，有n x a ε-<，称a 是数列{x }n 的极限。

记作lim n n x a →∞=
2、函数极限：设函数(x)f 在点a 的某去心邻域内有定义，A 为一常数，若0ε∀>，总存在一个正数δ，使得当0x a δ
<-<时，有
(x)f A ε
-<，称A 是当x 趋向于a 时函数(x)
f 的极限。

记作lim (x)x a
f A
→=。

自变量变化过程还包括：
,,,x a x a x x +-
→→→+∞→-∞，极限的定义类似。

在数学发展的过程中,出于不同需要,还引进了不同意义下的极限概念,比如在集论中引
进了集列的上、下极限的概念,在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，其本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

二、极限思想的价值
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。

因此，极限思想具有由此及彼的创新作用，极限思想方法也广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中也有这样的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……如此这样，这张饼能吃得完吗？显然是永远吃不完的，虽然饼越来越小，但还是有的。

只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。

这就是一种极限思想的具体写照。

极限思想不仅非常重要，它也是学生难以理解掌握的重要概念，它贯穿整个数学体系，是一种非常重要的数学思想，它是人类发现并解决数学问题的非常重要手段，它能很好地展现出数学的思维之美，在高等数学的教学过程中起着相当重要的作用，恰当的应用极限思想
不仅可以将一些问题简化，开辟解决问题的新途径，通过分析、总结、归纳得出极限概念中各变量具有的变化特征和内在练习，分析变化过程中的各种规律，还可以培养学生的数学思维，提高学生解决问题的素质能力，因此，使学生能够灵活运用极限思想有重要的意义。

三、将极限思想渗透到课堂教学中
1、课堂上介绍一些体现极限思想的典故
比如，中国古代的哲学家庄周在《庄子天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”，将木棰长度的变化归结为一个无限的过程中去研究，我国古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细,所失弦少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”，他用圆的内接正n 边形的边长代替圆的周长,n 越大,正n 边形的边长就越接近圆的周长，这都蕴涵了极限思想。

通过这些有趣的小故事，小典故，不仅让学生回顾历史，从中体验和感受极限思想的妙处，还能激发学生学习高数的兴趣和积极性。

2、讲授新知识时渗透极限思想
在教学中，讲授新知识的同时体现极限思想，这样可以使学生对新知识有一个更好更深入的的理解，达到很好的教学效果。

在教学中能够渗透极限思想的地方有很多，比如求曲线上任一点的切线斜率、圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积、曲顶柱体的体积等都是通过这种极限思想得以引入课题并解决问题的，还有空间集合体中圆柱、圆锥之间相互转化，圆锥是圆柱的上底逐渐缩小的一种极限状态，也体现了一种动态的极限思想。

3、体现极限思想的数学概念
高等数学中的许多概念都是利用极限来描述的，体现极限思想的数学概念比比皆是，不胜枚举，下面就举几个这样的例子： （1）函数连续的概念中就用到极限式：
0lim (x)(x )
x x f f →=
（2）导数的概念中有极限式：
00000(x x)(x )(x )lim
lim
x x f f y
f x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆
（3）定积分的概念也是通过分划、取近似、求和、取极限得到的：0
1
(x)lim ()b
n
i
i
i a
f dx f x λ
ξ→==∆∑⎰
（4）无穷区间上的广义积分的定义也是通过有限区间的定积分取极限得到的：
(x)lim (x)b
b a
a
f dx f dx
+∞
→∞
=⎰
⎰，
(x)lim
(x)b
b
a a
f dx f dx
→-∞
-∞
=⎰
⎰，
(x)lim
(x)lim (x)b a b a
f dx f dx f dx
+∞→-∞
→∞
-∞
=+⎰
⎰⎰
（5）级数的收敛性也是用极限式定义的：若级数
1
n
n u
∞
=∑的部分和数列
{s }
n 的极限lim n n s s
→∞
=存在，称级数
1
n
n u
∞
=∑为收敛的，否则该级数称为发散的。

（6）无穷小的定义也是用极限来描述的：若有lim (x)0
x a
f →=，称(x)f 为此自变量的变化过
程中的无穷小量。

（7）二元函数(x,y)f 在有界闭区域D 上的二重积分的定义也用到了极限，
1
(x,y)lim (,)n
i
i
i
d i D
f d f σξησ
→==∆∑⎰⎰
（8）二元函数(x,y)f 在曲线L 上的第一型曲线积分也是用极限定义的：
1
(x,y)lim (,)n
i i i
L
d i f ds f s ξη→==∆∑⎰
（9）多元函数偏导数也是用极限来定义的，以二元函数为例，
(x,y)f 关于x 的偏导数为：
0000000(x ,y )(x x,y )(x ,y )lim
x f f f
x x
∆→+∆-∂=∂∆，关于y 的偏导数类似。

4、解决问题时利用极限思想
高等数学中的许多问题都是通过极限的思想方法来解决的，下面简单的举两个例子。

（1）如何求平面上曲边梯形的面积？
计算梯形的面积公式是我们所熟知的，但曲边梯形面积是不能依此求得的，可以通过极限思想方法，利用无限分割，以直代曲、用无数个小矩形面积无限逼近曲边梯形的面积通过取极限最终来解决这个问题； （2）如何求圆面积？
我们可以设定情境，就是在不知圆面积公式的情况，是怎么考虑圆面积的，当然，也是利用极限思想方法，通过圆内接正多边形，无限增加内接正多边形的边数，利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积的方法来解决的；
除了上述两个问题，还有解决物体的瞬时速度、平面曲线的弧长、曲顶柱体的体积等问题都是利用极限思想方法来解决的。

教师可以在教学中恰当选取问题，让学生逐步紧跟教师思路，利用极限思想一步一步解决问题，不仅是教学效果事半功倍，还能增加学生对数学的学习兴趣，提高学生用极限思想方法解决相关问题的能力。

四、结束语
综上所述，极限思想是高等数学教学中的重点与难点，贯穿于整个高等数学体系，在教学中教师要有意识的将极限思想渗入其中，通过恰当的方法让学生更好的理解极限的概念和极限的思想方法，让学生体会到极限思想的作用和妙处，体会“以直代曲、化零为整、化圆为方、以不变代变、以有限找无限”等的极限思想，培养学生对数学的学习兴趣，提高学生应用数学知识，利用极限思想方法解决各种问题。

参考文献：
[1]陈刚、米平治.关于高等数学中的极限思想的研究 [J].工科数学.2001,6(17) [2]张魁元、赵建华，大学数学.北京：高等教育出版社,2004
[3]施红英.对微积分“极限”思想方法教学的思考[J].甘肃广播电视大学学报，2005（9）。