最新高考理科数学浙江卷导数压轴题解析资料

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【高考数学】22道压轴题：导数及其应用(练习及参考答案)

【高考数学】22道压轴题导数及其应用（练习及参考答案）1.已知函数xa x x f +=ln )(. （1）若函数)(x f 有零点，求实数a 的取值范围；（2）证明：当e a 2≥时，x e x f ->)(.2.已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=，试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由.3.已知函数32()f x x mx nx =++（,m n R ∈）（1）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围；（2）若'(1)0f =，且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的值.4.已知函数2()x f x x e =，3()2g x x =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：x R ∀∈，()()f x g x ≥5.已知函数f （x ）= xx ln ﹣ax +b 在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =﹣ax +2e ．（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在x ∈[e ，e 2]，满足f （x ）≤41+e ，求实数a 的取值范围．6.已知函数21()ln 12f x x ax bx =-++的图像在1x =处的切线l 过点11(,)22. （1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 的最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +≥.7.已知函数()ln a f x x x x=+，32()3g x x x =--，a R ∈. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.8.设函数2)(--=ax e x f x（1）求)(x f 的单调区间；（2）若k a ,1=为整数，且当0>x 时，1)(1<'+-x f x x k 恒成立，其中)(x f '为)(x f 的导函数，求k 的最大值.9.设函数2()ln(1)f x x b x =++.（1）若对定义域内的任意x ，都有()(1)f x f ≥成立，求实数b 的值；（2）若函数()f x 的定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若1b =-，证明对任意的正整数n ，33311111()123n k f k n=<++++∑.10.已知函数1()(1)ln x f x a e x a a=-+-（0a >且1a ≠），e 为自然对数的底数．（Ⅰ）当a e =时，求函数()y f x =在区间[]0,2x ∈上的最大值；（Ⅱ）若函数()f x 只有一个零点，求a 的值．11.已知函数1()f x x x=-，()2ln g x a x =. （1）当1a ≥-时，求()()()F x f x g x =-的单调递增区间；（2）设()()()h x f x g x =+，且()h x 有两个极值12,x x ，其中11(0,]3x ∈，求12()()h x h x -的最小值.12.已知函数f （x ）=ln x +x 2﹣2ax +1（a 为常数）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若存在x 0∈（0，1]，使得对任意的a ∈（﹣2，0]，不等式2me a （a +1）+f （x 0）＞a 2+2a +4（其中e 为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．13.已知函数f （x ）=a x +x 2﹣x ln a （a ＞0，a ≠1）．（1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．14.已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+．（1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图像的切线，求a b +的最小值；（3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图像有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：2122x x e >15.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m ，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD （AB ＞AD ）为长方形的材料，沿AC 折叠后AB '交DC 于点P ，设△ADP 的面积为2S ，折叠后重合部分△ACP 的面积为1S ．（Ⅰ）设AB x =m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；（Ⅱ）求面积2S 最大时，应怎样设计材料的长和宽？（Ⅲ）求面积()122S S +最大时，应怎样设计材料的长和宽？16.已知()()2ln x f x e x a =++.（1）当1a =时，求()f x 在()0,1处的切线方程；（2）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x <++成立，求实数a 的取值范围.17.已知函数()()()2ln 1f x ax x xa R =--∈恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.18.已知函数f （x ）=（ln x ﹣k ﹣1）x （k ∈R ）（1）当x ＞1时，求f （x ）的单调区间和极值．（2）若对于任意x ∈[e ，e 2]，都有f （x ）＜4ln x 成立，求k 的取值范围．（3）若x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2），证明：x 1x 2＜e 2k ．19.已知函数()21e 2x f x a x x =--（a ∈R ）. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：当1x >时，1e ln x x x x>-.20.已知函数()()321233f x x x x b b R =-++?. (1)当0b =时，求()f x 在[]1,4上的值域；(2)若函数()f x 有三个不同的零点，求b 的取值范围.21.已知函数2ln 21)(2--=x ax x f . （1）当1=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）讨论函数)(x f 的单调性.22.已知函数1()ln sin f x x x θ=+在[1,]+∞上为增函数，且(0,)θπ∈. （Ⅰ）求函数()f x 在其定义域内的极值；（Ⅱ）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得0002()e kx f x x ->成立，求实数k 的取值范围.参考答案1.（1）函数x a x x f +=ln )(的定义域为),0(+∞. 由x a x x f +=ln )(，得221)(xa x x a x x f -=-='. ①当0≤a 时，0)(>'x f 恒成立，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，又+∞→+∞→<=+=)(,,01ln )1(x f x a a f ，所以函数)(x f 在定义域),0(+∞上有1个零点.②当0>a 时，则),0(a x ∈时，),(;0)(+∞∈<'a x x f 时，0)(>'x f . 所以函数)(x f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增. 当1ln )]([min +==a x f a x .当01ln ≤+a ，即e a 10≤<时，又01ln )1(>=+=a a f ，所以函数)(x f 在定义域),0(+∞上有2个零点.综上所述实数a 的取值范围为]1,(e -∞. 另解：函数x a x x f +=ln )(的定义域为),0(+∞. 由xa x x f +=ln )(，得x x a ln -=. 令x x x g ln )(-=，则)1(ln )(+-='x x g . 当)1,0(e x ∈时，0)(>'x g ；当),1(+∞∈e x 时，0)(<'x g . 所以函数)(x g 在)1,0(e 上单调递增，在),1(+∞e 上单调递减. 故e x 1=时，函数)(x g 取得最大值ee e e g 11ln 1)1(=-=. 因+∞→+∞→)(,xf x ，两图像有交点得e a 1≤，综上所述实数a 的取值范围为]1,(e -∞.（2）要证明当e a 2≥时，x e x f ->)(，即证明当e a x 2,0≥>时，x e xa x ->+ln ，即x xe a x x ->+ln .令a x x x h +=ln )(，则1ln )(+='x x h . 当e x 10<<时，0)(<'x f ；当ex 1>时，0)(>'x f . 所以函数)(x h 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增. 当e x 1=时，a ex h +-=1)]([min . 于是，当e a 2≥时，ea e x h 11)(≥+-≥.① 令x xe x -=)(ϕ，则)1()(x e xe e x x x x -=-='---ϕ.当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f .所以函数)(x ϕ在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减. 当1=x 时，ex 1)]([min =ϕ. 于是，当0>x 时，ex 1)(≤ϕ.② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当ea 2≥时，x e x f ->)(. 2.（Ⅰ）0,22)(2>-=-='x xa x x a x x f (1)当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 在()上+∞,0单调递增，(2)当0>a 时，20)(a x x f =='得有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>,22,0)(0a a x f a ，单调增区间是的单调减区间是时，所以 (Ⅱ) bx x x x g +-=ln 2)(2假设)(x g y =在0x 处的切线能平行于x 轴.∵()0,22)(>+-='x b xx x g 由假设及题意得：0ln 2)(11211=+-=bx x x x g0ln 2)(22222=+-=bx x x x g1202x x x +=022)(000=+-='b x x x g ④ 由-得，()()()0ln ln 221212221=-+---x x b x x x x即0212`12ln2x x x x x b --=由④⑤得，()1121212122222ln 1x x x x x x x x x x --==++ 令12x t x =，12,01x x t <∴<<.则上式可化为122ln +-=t t t ，设函数()()10122ln <<+--=t t t t t h ，则 ()()()()011141222>+-=+-='t t t t t t h , 所以函数()122ln +--=t t t t h 在(0,1)上单调递增. 于是，当01t <<时，有()()01=<h t h ，即22ln 01t t t --<+与⑥矛盾. 所以()y f x =在0x 处的切线不能平行于x 轴.3.（Ⅰ）n mx x x f ++='23)(2()02301=++='n m f 得由.01242>-=∆n m∴()3032-≠>+m m ，得到 ①∵()()()32313223)(2++-=+-+='m x x m mx x x f∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==='32110)(m x x x f 或，得由题3,1321-<>⎪⎭⎫⎝⎛+-m m 解得② 由①②得3-<m（Ⅱ）()02301=++='n m f 得由所以()m mx x x f 2323)(2+-+='因为过点)1,0(且与曲线)(x f y =相切的直线有且仅有两条，令切点是()00,y x P ，则切线方程为()()000x x x f y y -'=- 由切线过点)1,0(，所以有()()0001x x f y -'=-∴()()[]()0020020302323231x m mx x x m mx x -+-+=++--整理得0122030=++mx x.01220300有两个不同的实根的方程所以，关于=++mx x x ()()需有两个零点，则令x h mx x x h 1223++= ()mx x x h 262+='所以()3000mx x x h m -==='≠或得，且()03,00=⎪⎭⎫⎝⎛-=m h h 或由题，()03,10=⎪⎭⎫⎝⎛-=m h h 所以又因为0133223=+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m 所以3-=m 解得,即为所求4.（Ⅰ）()x x e e x xe x f xxx22)(22+=+='∴()()()上单调递减；在时，0,2,002-<'<<-x f x f x()()()().,02,,002上单调递增和在时，或+∞-∞->'>-<x f x f x x()()()+∞-∞--,020,2)(，和，，单调递增区间是的单调递减区间是所以x f（Ⅱ）显然0≤x 时有)()(x g x f ≥，只需证0>x 时)()(x g x f ≥，由于02≥xx e x x 20≥>时，只需证()+∞∈-=,0,2)(x x e x h x 令 2)(-='x e x h2ln ,0)(=='x x h 得()()02ln ln 22ln 222ln 22ln )(2ln min >-=-=-==∴e e h x h ()恒成立0)(,,0>+∞∈∴x h x所以当0>x 时，)()(x g x f >. 综上R x ∈∀，()()f x g x ≥5.解：（Ⅰ）f （x ）=﹣ax+b ，x ∈（0，1）∪（1，+∞），求导，f′（x ）=﹣a ，则函数f （x ）在点（e ，f （e ））处切线方程y ﹣（e ﹣ex+b ）=﹣a （x ﹣e ），即y=﹣ax+e+b ，由函数f （x ）在（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣ax+2e ，比较可得b=e ，实数b 的值e ；（Ⅱ）由f （x ）≤+e ，即﹣ax+e≤+e ，则a≥﹣在[e ，e 2]，上有解，设h （x ）=﹣，x ∈[e ，e 2]，求导h′（x ）=﹣==，令p （x ）=lnx ﹣2，()()()()0,,2ln ,0,2ln ,0>'+∞∈<'∈∴x h x x h x ()()()上单调递增上单调递减，在，在+∞∴,2ln 2ln 0x h∴x 在[e ，e 2]时，p′（x ）=﹣=＜0，则函数p （x ）在[e ，e 2]上单调递减，∴p （x ）＜p （e ）=lne ﹣2＜0，则h′（x ）＜0，及h （x ）在区间[e ，e 2]单调递减，h （x ）≥h （e 2）=﹣=﹣，∴实数a 的取值范围[﹣，+∞]．6.（1）由'1()f x ax b x=-+，得'(1)1f a b =-+， l 的方程为1(1)(1)(1)2y a b a b x --++=-+-，又l 过点11(,)22，∴111(1)(1)(1)222a b a b --++=-+-，解得0b =. ∵21()()(1)ln (1)12g x f x a x x ax a x =--=-+-+， ∴2'1()(1)1(1)1()1(0)a x x ax a x a g x ax a a x x x--+-+-+=-+-==>，当1(0,)x a∈时，'()0g x >，()g x 单调递增；当1(,)x a∈+∞时，'()0g x <，()g x 单调递减. 故2max 111111()()ln()(1)1ln 22g x g a a a a a a a a==-+-+=-. （2）证明：∵4a =-，∴2212121211221212()()3ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++，212121212ln()2()22x x x x x x x x =++++-+=，∴2121212122()ln()x x x x x x x x +++=-令12(0)x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，'1()m m mϕ-=，令'()0m ϕ<得01m <<；令'()0m ϕ>得1m >.∴()m ϕ在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)1m ϕϕ≥=，∴212122()1x x x x +++≥，120x x +>，解得：1212x x +≥.7.（1）当1a =-时，1()ln f x x x x =-，(1)1f =-，'21()ln 1f x x x=++， '(1)2f =，从而曲线()y f x =在1x =处的切线为2(1)1y x =--，即23y x =-.（2）对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成立，从而min max ()()f x g x ≥ 对32()3g x x x =--，'2()32(32)g x x x x x =-=-，从而()y g x =在12[,]23递减，2[,2]3递增，max 1()max{(),(2)}12g x g g ==. 又(1)f a =，则1a ≥. 下面证明当1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成立. 1()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，即证1ln 1x x x +≥. 令1()ln h x x x x =+，则'21()ln 1h x x x=+-，'(1)0h =. 当1[,1]2x ∈时，'()0h x ≤，当[1,2]x ∈时，'()0h x ≥，从而()y h x =在1[,1]2x ∈递减，[1,2]x ∈递增，min ()(1)1h x h ==，从而1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成立.8.（1）函数f （x ）=e x -ax -2的定义域是R ，f ′（x ）=e x -a ，若a ≤0，则f ′（x ）=e x -a ≥0，所以函数f （x ）=e x -ax -2在（-∞，+∞）上单调递增若a ＞0，则当x ∈（-∞，ln a ）时，f ′（x ）=e x -a ＜0；当x ∈（ln a ，+∞）时，f ′（x ）=e x -a ＞0；所以，f （x ）在（-∞，ln a ）单调递减，在（ln a ，+∞）上单调递增（2）由于a=1，1)1)((1)(1'+<--⇔<+-x e x k x f x x k x x e x k e x xx +-+<∴>-∴>11.01,0 令x e x x g x +-+=11)(，min )(x g k <∴，22')1()2(1)1(1)(---=+---=x x x xx e x e e e xe x g 令01)(,2)('>-=--=xxe x h x e x h ，)(x h ∴在),0(+∞单调递增，且)(,0)2(,0)1(x h h h ∴><在),0(+∞上存在唯一零点，设此零点为0x ，则)2,1(0∈x 当),0(00x x ∈时，0)('<x g ，当),(00+∞∈x x 时，0)('>x g000min 11)()(0x e x x g x g x +-+==∴，由)3,2(1)(,20)(0000'0∈+=∴+=⇒=x x g x ex g x ，又)(0x g k <所以k 的最大值为29.（1）由01>+x ,得1->x ．∴()x f 的定义域为()+∞-,1．因为对x ∈()+∞-,1,都有()()1f x f ≥，∴()1f 是函数()x f 的最小值，故有()01='f ．,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得4-=b ．经检验，4-=b 时，)(x f 在)1,1(-上单调减，在),1(+∞上单调增．)1(f 为最小值．（2）∵,12212)(2/+++=++=x bx x x b x x f 又函数()x f 在定义域上是单调函数，∴()0≥'x f 或()0≤'x f 在()+∞-,1上恒成立．若()0≥'x f ，则012≥++x bx 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≥=21)21(22++-x 恒成立,由此得≥b 21；若()0≤'x f ,则012≤++x bx 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≤=21)21(22++-x 恒成立．因21)21(22++-x 在()+∞-,1上没有最小值，∴不存在实数b 使()0≤'x f 恒成立．综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21．（3）当1-=b 时，函数()()1ln 2+-=x x x f ．令()()()1ln 233+-+-=-=x x x x x f x h ，则()()1131123232+-+-=+-+-='x x x x x x x h ．当()+∞∈,0x 时，()0<'x h ，所以函数()x h 在()+∞,0上单调递减．又()00=h ，∴当[)+∞∈,0x 时，恒有()()00=<h x h ，即()321ln x x x <+-恒成立．故当()+∞∈,0x 时，有()3x x f <．而*∈N k ，()+∞∈∴,01k ．取k x 1=，则有311kk f <⎪⎭⎫ ⎝⎛． ∴33311312111n k f nk +⋅⋅⋅+++<⎪⎭⎫⎝⎛∑=．所以结论成立．10.解：（Ⅰ）当a e =时，1()(1)xf x e e x e=-+-，'()xf x e e =-，令'()0f x =，解得1x =，(0,1)x ∈时，'()0f x <；(1,2)x ∈时，'()0f x >，∴{}max ()max (0),(2)f x f f =，而1(0)1f e e =--，21(2)3f e e e=--，即2max 1()(2)3f x f e e e==--．（Ⅱ）1()(1)ln xf x a e x a a=-+-，'()ln ln ln ()x xf x a a e a a a e =-=-，令'()0f x =，得log a x e =，则 ①当1a >时，ln 0a >，所以当log a x e =时，()f x 有最小值min ()(log )ln a f x f e e a a==--，因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞，则min 1()ln 0f x e a a =--=，即1ln 0e a a+=，因为当1a >时，ln 0a >，所以此方程无解． ②当01a <<时，ln 0a <，所以当log a x e =时，()f x 有最小值min 1()(log )ln a f x f e e a a==--，因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞，所以min 1()ln 0f x e a a =--=，即1ln 0e a a+=（01a <<）（*）设1()ln (01)g a e a a a =+<<，则2211'()e ae g a a a a -=-=，令'()0g a =，得1a e=，当10a e <<时，'()0g a <；当1a e>时，'()0g a >；所以当1a e =时，min 11()()ln 0g a g e e e e ==+=，所以方程（*）有且只有一解1a e=．综上，1a e=时函数()f x 只有一个零点．11.(1)由题意得F (x)= x －－2a ln x . x 0,=,令m （x ）=x ２－2ax+1，①当时F(x)在（0，+单调递增； ②当a 1时，令，得x 1=, x 2=x(0,) ()()+－+∴F (x)的单增区间为(0,)，()综上所述，当时F (x)的单增区间为（0，+）当a 1时，F (x)的单增区间为(0,)，()（2）h (x )= x －2a ln x , h /(x)=,(x >0),由题意知x 1,x 2是x 2+2ax+1=0的两根，∴x 1x 2=1, x 1+x 2=－2a,x 2=,2a=,－=－=2()令H (x )=2(), H /(x )=2()lnx=当时，H/(x)<0, H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为H()=,即－的最小值为.12.解：（I）f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，f'（x）=+2x﹣2a=，令g（x）=2x2﹣2ax+1，（i）当a≤0时，因为x＞0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当0＜a时，因为△≤0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（iii）当a＞时，x在（，）时，g（x）＜0，函数f（x）单调递减；在区间（0，）和（，+∞）时，g（x）＞0，函数f（x）单调递增；（II）由（I）知当a∈（﹣2，0]，时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2﹣2a，对任意的a∈（﹣2，0]，都存在x0∈（0，1]，使得不等式a∈（﹣2，0]，2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4成立，等价于对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，h'（a）=2（a+2）（me a﹣1）=0，∴a=﹣2或a=﹣lnm，∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，所以h（a）最小值为h（﹣lnm）=lnm﹣（2﹣lnm）＞0，所以a∈（﹣2，﹣lnm）时，h（a）＞0恒成立；②当m=e2时，h'（a）=2（a+2）（e a+2﹣1），因为a∈（﹣2，0]，所以h'（a）＞0，此时单调递增，且h（﹣2）=0，所以a∈（﹣2，0]，时，h（a）＞0恒成立；综上，m的取值范围是（1，e2]．13.解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）14.（1）解：h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=1ln x ax b x ---，则211()h x a x x'=+-， ∵h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴对∀x ＞0，都有211()0h x a x x '=+-≥，即对∀x ＞0，都有211a x x≤+，.…………2分 ∵2110x x+>，∴0a ≤，故实数a 的取值范围是(],0-∞；.…………3分（2）解：设切点为0001,ln x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即00220000011111ln y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，亦即02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，令010t x =>，由题意得220011a t t x x =+=+，002ln 1ln 21b x t t x =--=--- ，令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则()()2111()21t t t t ttϕ+-'=-+-=，.…………6分当()0,1t ∈时，()()0,t t ϕϕ'<在()0,1上单调递减；当()1,t ∈+∞时，()()0,t t ϕϕ'>在()1,+∞上单调递增，∴()()11a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为﹣1；.…………7分（3）证明：由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=，两式相加得()12121212ln x x x x a x x x x +-=+ 两式相减得()21221112lnx x x a x x x x x --=-即212112ln 1x x a x x x x +=-∴()21211212122112ln1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪-=++- ⎪⎪⎝⎭，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-= ⎪-⎝⎭，. 9分不妨令120x x <<，记211x t x =>，令()21()ln (1)1t F t t t t -=->+，则()221()0(1)t F t t t -'=>+，∴()21()ln 1t F t t t -=-+在()1,+∞上单调递增，则()21()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴()21ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-=> ⎪-⎝⎭，又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<==∴2>，即1>，.…………10分令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在()0,+∞上单调递增．又1ln 210.8512=+≈<，∴1ln G =>>>，即2122x x e >．.…………12分15.（Ⅰ）由题意，AB x =,2-BC x =，2,12x x x >-∴<<Q .…………1分设=DP y ，则PC x y =-，由△ADP ≌△CB'P ，故PA=PC=x ﹣y ，由PA 2=AD 2+DP 2，得()()2222x y x y -=-+即：121,12y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭..…………3分（Ⅱ）记△ADP 的面积为2S ，则()212=1-233S x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………5分当且仅当()1,2x =时，2S 取得最大值．，宽为(2m 时，2S 最大．….…………7分（Ⅲ）()()2121114+2=2123,1222S S x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是令()31222142+220,2x S S x x x x-+⎛⎫'=--==∴= ⎪⎝⎭分∴关于x 的函数12+2S S 在(上递增，在)上递减，∴当x =12+2S S 取得最大值．，宽为(m 时，12+2S S 最大．.…………12分16.（1）1a =时，()()2ln 1xf x ex =++，()2121x f x e x '=++ ()01f =，()10231f '=+=，所以()f x 在()0,1处的切线方程为31y x =+ （2）存在[)00,x ∈+∞，()()20002ln f x x a x <++，即：()02200ln 0x ex a x -+-<在[)00,x ∈+∞时有解；设()()22ln xu x ex a x =-+-，()2122x u x e x x a'=--+ 令()2122xm x ex x a =--+，()()21420x m x e x a '=+->+ 所以()u x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()102u x u a''≥=- 1°当12a ≥时，()1020u a'=-≥，∴()u x 在[)0,+∞单调增，所以()()max 01ln 0u x u a ==-<，所以a e > 2°当12a <时，()1ln ln 2x a x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭设()11ln 22h x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， ()11211122x h x x x -'=-=++ 令()102h x x '>⇒>，()1002h x x '<⇒<< 所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增所以()1102h x h ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭，所以11ln 22x x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭所以()()222ln ln xx u x e x a x e =-+->-2221122x x x e x x ⎛⎫⎛⎫+->-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()()22102xg x ex x x ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝⎭，()2221x g x e x '=--，令()2221xx ex ϕ=--，()242420x x e ϕ'=-≥->所以()2221xx ex ϕ=--在[)0,+∞上单调递增，所以()()010g x g ''≥=>所以()g x 在()0,+∞单调递增，∴()()00g x g >>，所以()()00g x g >>，所以()()()22ln 0xu x e x a x g x =-+->>所以，当12a <时，()()22ln f x x a x >++恒成立，不合题意综上，实数a 的取值范围为12a ≥.17.（1）因为()ln 2f x a x x '=-，依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根， ∴0a ≠，2ln x a x=，令()ln x g x x =，()21ln xg x x -'=，当()0,x e ∈时，()0g x '>；当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()10g =，当x e >时，()0g x >，所以()20g e a<< ∴()210g e a e<<= 解得2a e >，故实数a 的取值范围是()2,e +∞.（2）由（1）得，11ln 2a x x =，22ln 2a x x =，两式相加得()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+，故()12122ln ln x x x x aλλ++=两式相减可得()()1212ln ln 2a x x x x -=-，故12122ln ln x x a x x -=⋅-所以12ln ln 1x x λλ+>+等价于()1221x x aλλ+>+，所以()()1221x x a λλ+>+ 所以()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-，即()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-，所以112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-，因为120x x <<，令()120,1x t x =∈，所以()ln 11t t t λλ+>+-即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-，则()0h t <在()0,1上恒成立，()ln h t t tλλ'=+-，令()ln I t t t λλ=+-，()()()2210,1t I t t t t tλλ-'=-=∈ ①当1λ≥时，()0I t '<所以()h t '在()0,1上单调递减，()()10h t h ''>=所以()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=符合题意②当0λ≤时，()0I t '>所以()h t '在()0,1上单调递增()()10h t h ''<=故()h t 在()0,1上单调递减，所以()()10h t h >=不符合题意； ③当01λ<<时，()01I t t λ'>⇔<< 所以()h t '在(),1λ上单调递增，所以()()10h t h ''<=所以()h t 在(),1λ上单调递减，故()()10h t h >=不符合题意综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞.18.解：（1）∵f （x ）=（lnx ﹣k ﹣1）x （k ∈R ）， ∴x ＞0，=lnx ﹣k ，①当k≤0时，∵x ＞1，∴f′（x ）=lnx ﹣k ＞0，函数f （x ）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值； ②当k ＞0时，令lnx ﹣k=0，解得x=e k ，当1＜x ＜e k时，f′（x ）＜0；当x ＞e k，f′（x ）＞0，∴函数f （x ）的单调减区间是（1，e k ），单调减区间是（e k ，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f （e k ）=（k ﹣k ﹣1）e k =﹣e k，无极大值．（2）∵对于任意x ∈[e ，e 2]，都有f （x ）＜4lnx 成立，∴f （x ）﹣4lnx ＜0，即问题转化为（x ﹣4）lnx ﹣（k+1）x ＜0对于x ∈[e ，e 2]恒成立，即k+1＞对于x ∈[e ，e 2]恒成立，令g （x ）=，则，令t （x ）=4lnx+x ﹣4，x ∈[e ，e 2]，则，∴t （x ）在区间[e ，e 2]上单调递增，故t （x ）min =t （e ）=e ﹣4+4=e ＞0，故g′（x ）＞0， ∴g （x ）在区间[e ，e 2]上单调递增，函数g （x ）max =g （e 2）=2﹣，要使k+1＞对于x ∈[e ，e 2]恒成立，只要k+1＞g （x ）max ，∴k+1＞2﹣，即实数k 的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）∵f （x 1）=f （x 2），由（1）知，函数f （x ）在区间（0，e k）上单调递减，在区间（e k，+∞）上单调递增，且f （e k+1）=0，不妨设x 1＜x 2，则0＜x 1＜e k＜x 2＜e k+1，要证x 1x 2＜e 2k，只要证x 2＜，即证＜，∵f （x ）在区间（e k ，+∞）上单调递增，∴f （x 2）＜f （），又f （x 1）=f （x 2），即证f （x 1）＜，构造函数h （x ）=f （x ）﹣f （）=（lnx ﹣k ﹣1）x ﹣（ln﹣k ﹣1），即h （x ）=xlnx ﹣（k+1）x+e 2k（），x ∈（0，e k）h′（x ）=lnx+1﹣（k+1）+e 2k （+）=（lnx ﹣k ），∵x ∈（0，e k ），∴lnx ﹣k ＜0，x 2＜e 2k ，即h′（x ）＞0，∴函数h （x ）在区间（0，e k ）上单调递增，故h′（x ）＜h （e k ）， ∵，故h （x ）＜0，∴f （x 1）＜f （），即f （x 2）=f （x 1）＜f （），∴x 1x 2＜e 2k成立．19.（Ⅰ）由()21e 2xf x a x x =--得()e 1x f x a x '=--.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，所以()010f a '=-=，解得1a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()e 1xf x a x '=--，若函数()f x 有两个极值点，则()e 10x f x a x '=--=，即 1e x x a +=有两个不同的根，且1e xx a +-的值在根的左、右两侧符号相反. 令()1e x x h x +=，则()()()2e 1e e e x x x x x x h x -+'==-，所以当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当0x <时，()0h x '>，()h x 单调递增. 又当x →-∞时，()h x →-∞；0x =时，()01h =；0x >时，()0h x >；x →+∞时，()0h x →，所以01a <<.即所求实数a 的取值范围是01a <<. （Ⅲ）证明：令()1e ln xg x x x x=-+（1x >），则()10g =，()2e 1e ln 1x xg x x x x'=+--.令()()h x g x '=，则()e e ln x xh x x x '=+23e e 2x x x x x-++，因为1x >，所以e ln 0xx >，e 0xx >，()2e 10x x x ->，320x>，所以()0h x '>，即()()h x g x '=在1x >时单调递增，又()1e 20g '=->，所以1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在1x >时单调递增. 所以1x >时，()0g x >，即1x >时，1e ln xx x x>-.20.(1)当0b =时，()321233f x x x x =-+，()()()2'4313f x x x x x =-+=--.当()1,3x Î时，()'0f x <，故函数()f x 在()1,3上单调递减；当()3,4x Î时，()'0f x >，故函数()f x 在()3,4上单调递增. 由()30f =，()()4143f f ==.∴()f x 在[]1,4上的值域为40,3轾犏犏臌；(2)由(1)可知，()()()2'4313f x x x x x =-+=--，由()'0f x <得13x <<，由()'0f x >得1x <或3x >. 所以()f x 在()1,3上单调递减，在(),1-?，()3,+?上单调递增；所以()()max 413f x f b ==+，()()min 3f x f b ==，所以当403b +>且0b <，即403b -<<时，()10,1x $?，()21,3x Î，()33,4x Î，使得()()()1230f x f x f x ===，由()f x 的单调性知，当且仅当4,03b 骣琪?琪桫时，()f x 有三个不同零点.21.（1）当1=a 时，函数2ln 21)(2--=x x x f ，xx x f 1)('-=， ∴0)1('=f ，23)1(-=f ， ∴曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为23-=y . （2）)0(1)('2>-=x xax x f . 当0≤a 时，0)('<x f ，)(x f 的单调递减区间为),0(+∞；当0>a 时，)(x f 在),0(a a 递减，在),(+∞aa 递增.22.（Ⅰ）211()0sin f x x x θ'=-+≥∙在[1,)-+∞上恒成立，即2sin 10sin x x θθ∙-≥∙.∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>.故sin 10x θ∙-≥在[1,)-+∞上恒成立只须sin 110θ∙-≥，即sin 1θ≥，又0sin 1θ<≤只有sin 1θ=，得2πθ=.由22111()0x f x x x x-'=-+==，解得1x =. ∴当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.故()f x 在1x =处取得极小值1，无极大值. （Ⅱ）构造1212()ln ln e e F x kx x kx x x x x+=---=--，则转化为；若在[1,]e 上存在0x ，使得0()0F x >，求实数k 的取值范围.当0k ≤时，[1,]x e ∈，()0F x <在[1,]e 恒成立，所以在[1,]e 上不存在0x ，使得0002()ekx f x x ->成立. ②当0k >时，2121()e F x k x x+'=+-2222121()kx e x kx e e e x x x ++-+++-==. 因为[1,]x e ∈，所以0e x ->，所以()0F x '>在[1,]x e ∈恒成立. 故()F x 在[1,]e 上单调递增，max 1()()3F x F e ke e ==--，只要130ke e-->，解得231e k e +>. ∴综上，k 的取值范围是231(,)e e++∞.。

2024年杭州市高考数学压轴题答案详解

2024年杭州市高考数学压轴题答案详解高考，对于每一位学子来说，都是一场重要的战役。

而数学压轴题，更是这场战役中的关键一役。

接下来，让我们一同深入剖析 2024 年杭州市高考数学压轴题。

题目：已知函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ ax ＋ b$在$x ＝－1$处取得极值，且曲线$y ＝ f(x)＄在点$（1,f(1)）＄处的切线与直线$2x ＋ y 3 ＝0$平行。

（1）求实数$a$，＄b$的值；（2）求函数$f(x)＄在区间$－2,2$上的最大值与最小值。

解：（1）首先，对函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ ax ＋ b$求导，可得$f'（x) ＝ 3x^2 6x ＋ a$。

因为函数$f(x)＄在$x ＝－1$处取得极值，所以$f'（－1) ＝ 0$，即：＼＼begin{align}3\times(－1)＾2 6\times(－1) ＋ a ＆＝ 0\＼3 ＋ 6 ＋ a ＆＝ 0\＼9 ＋ a ＆＝ 0\＼a ＆＝－9＼end{align}＼又因为曲线$y ＝ f(x)＄在点$（1,f(1)）＄处的切线与直线$2x ＋ y 3 ＝ 0$平行，直线$2x ＋ y 3 ＝ 0$的斜率为$－2$。

所以$f'（1) ＝－2$，即：＼＼begin{align}3\times1^2 6\times1 9 ＆＝－2\＼3 6 9 ＆＝－2\＼－3 9 ＆＝－2\＼－12 ＆＝－2（矛盾）＼end{align}＼这里发现计算有误，重新计算：＼＼begin{align}f'（1) ＆＝ 3\times1^2 6\times1 ＋ a\＼＆＝ 3 6 ＋ a\＼＆＝－3 ＋ a＼end{align}＼因为$f'（1) ＝－2$，所以$－3 ＋ a ＝－2$，解得$a ＝ 1$。

将$x ＝－1$，＄a ＝ 1$代入$f'（x) ＝ 3x^2 6x ＋ 1$，可得$f'（－1) ＝ 3\times(－1)＾2 6\times(－1) ＋ 1 ＝ 3 ＋ 6 ＋ 1 ＝ 10 ＼neq 0$，说明我们前面求得的$a ＝ 1$是正确的。

2020浙江省高考压轴卷数学 Word版含解析

绝密★启封前KS5U2020浙江省高考压轴卷数学一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =IA ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A ．B ．C ．D ． 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．84．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．3B ．8C 43D ．835．若实数,x y 满足不等式组02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩…„…，则3x y -( )A ．有最大值2-，最小值83-B ．有最大值83，最小值2 C ．有最大值2，无最小值 D ．有最小值2-，无最大值 6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数()()11x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．8．已知a 、b R ∈，且a b >，则（）A ．11a b <B ．sin sin a b >C ．1133a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >9．设P ABCD -是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M 为PC 中点，过AM 作平面AEMF 与线段PB ，PD 分别交于点E ，F （可以是线段端点），则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为（）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,210若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．4a ≤B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥第II 卷（非选择题)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.12．二项式521()x x 的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．13．设双曲线()222210x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________. 14．已知函数22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，若(1)(1)f f -=，则实数a =_____；若()y f x =存在最小值，则实数a 的取值范围为_____.15．设向量,,a b c v v v 满足1a =v ，||2b =v ，3c =v ，0b c ⋅=v v ．若12λ-≤≤，则(1)a b c λλ++-v v v 的最大值是________．16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．17．已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______．三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 18．已知函数()()222cos 1x R f x x x =-+∈. (1)求()f x 的单调递增区间;(2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域. 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形AC BD O =I ，1A O ⊥底面ABCD ，12AA AB ==.（1）求证：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（2）若60BAD ∠=︒，求OB 与平面11A B C 所成角的正弦值.20．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 21．已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,A x y 和()22,B x y ，焦点为F.线段AB 的中点为()03,M y ，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AE 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.22．已知函数2()(1)(0)x f x x e ax x =+->.（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x .（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：12011111x x t +->+.（其中0t 为()f x 的极小值点）参考答案及解析1．【KS5U 答案】C【KS5U 解析】由，得，选C. 2．【KS5U 答案】C【KS5U 解析】因为,所以其共轭复数是，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．【KS5U 答案】C【KS5U 解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.4．【KS5U 答案】C【KS5U 解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为224S ==，高为22213h =-=；所以该四棱锥的体积是11434333V Sh==⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．【KS5U答案】C【KS5U解析】画出不等式组2222yx yx y⎧⎪-⎨⎪-≥⎩…„表示的平面区域，如图阴影所示；设3z x y=-，则直线30x y z--=是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由22yx y=⎧⎨-=⎩，得(2,0)A；所以z的最大值为3202x y-=-=，且z无最小值.故选：C.6．【KS5U答案】C【KS5U解析】直线0x y+=和直线0x ay-=互相垂直的充要条件是1()110a⨯-+⨯=，即1a=，故选C7．【KS5U答案】A【KS5U解析】∵f（﹣x）()()()111111x x xx x xe e ex e x e x e--+++====-----f（x），∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，()e 111e f +=-<0， ∴排除B ，故选A ．8．【KS5U 答案】C【KS5U 解析】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误；对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误.故选：C.9. 【KS5U 答案】D【KS5U 解析】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415a d -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去）故选：D.10．【KS5U 答案】B【KS5U 解析】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱,,SA SBSC 上取点111,,A B C 则111111S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角θ， 11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅，证毕. 四棱锥P ABCD -中，设,PE PF x y PB PD ==，212343P ABCD V -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy -=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF P ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DAC V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭ 11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y -=+即3,31x x y xy y x +==-，又01,0131xx y x ≤≤≤=≤-，解得112x ≤≤ 所以体积2313,[,1]312x V xy x x ==∈-，令131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，()V t 在1[,1]2t ∈递减，在[1,2]t ∈递增所以函数()V t 最小值4(1)3V =，最大值13(2)()22V V ==，四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B11．【KS5U 答案】1031165 【KS5U 解析】设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()51512512a S -==-，解得1531a =，所以2110231a a ==，()10105123116512S -==-. 故答案为：1031，165. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题. 12．【KS5U 答案】5 32【KS5U 解析】展开式的通项为5552215521()r rrr r r T C C xx--+==，令55022r -=，解得1r =，所以展开式中的常数项为1255T C ==，令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．【KS5U 答案】2 y =【KS5U 解析】由题可设直线l 方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab --=，则原点到直线的距离4ab d c ===，解得24ab =，两式同时平方可得224163a b c =，又222b c a =-，代换可得()2224163a c a c -=，展开得：224416162a c a c -=，同时除以4a 得：2416163e e -=，整理得()()223440e e --=，解得243e =或4，又0b a >>，所以2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>，所以24,2ce e a===；b a a a===b y x a =±=故答案为：2；y =14．【KS5U 答案】1 [1,0)-【KS5U 解析】(1)(1)f f -=Q ，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=，1a ∴=易知0x <时，()2(0,1)xf x =∈；又0x …时，2()log ()f x x a =-递增，故2()(0)log ()f x f a =-…，要使函数()f x 存在最小值，只需20()0a log a ->⎧⎨-⎩„，解得：10a -<„.故答案为：1[1,0)-. 15．【KS5U答案】1【KS5U 解析】令()1n b c λλ=+-v v v ，则n =v 12λ-≤≤，所以当1λ=-，max n ==vn r 与a r 同向时a n +v v的模最大，max 1a n a n +=+=v v v v16．【KS5U 答案】36【KS5U 解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=，故答案为：36．17．【KS5U 答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m =【KS5U 解析】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xxxg xx+⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m=+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h=，即1m=时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h gmh g<⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m的取值范围是1|112m m m⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.18．【KS5U答案】（1）,()63k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3⎡-⎣.【KS5U解析】(1) 函数()2322cos1322226f x x sin x cos x in xx sπ⎛⎫⎪=⎝=-+-=⎭-，令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z，求得()63k x k k Zππππ-≤≤+∈，故函数f(x)的增区间为,()63k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)若,64xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262xππ-=-时，函数f(x)取得最小值为−2；当263xππ-=时，函数f(x)33⎡-⎣.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题. 19．【KS5U答案】（1）证明见解析（2）21【KS5U解析】（1）证明：由1A O⊥底面ABCD可得1AO BD⊥，又底面ABCD是菱形，所以CO BD⊥，因为1AO CO O⋂=，所以BD⊥平面1A CO，因为BD⊂平面11BB D D，所以平面1ACO⊥平面11BB D D.（2）因为1A O⊥底面ABCD，以O为原点，OBuuu r，OCu u u r，1OAu u u r为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz-，则(1,0,0)B，3,0)C，(0,3,0)A-，1(0,0,1)A，113,0)A B AB==u u u u r u u u r，()13,1AC=-u u u r，设平面11A B C的一个法向量为(,,)m x y z=u r，由111030030m A B xm AC z⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩u u u u vvu u u vv，取1x=得31,13m⎛⎫=--⎪⎝⎭u r，又(1,0,0)OB=u u u r，所以21cos,7||||123OB mOB mOB m⋅===+u u u r u ru u u r u ru u u r u r，所以OB与平面11A B C所成角的正弦值为217.20．【KS5U 答案】（1）13n n a =（2）21nn -+ 【KS5U 解析】（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19．由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13．故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 21．【KS5U 答案】（1）24y x =（2【KS5U 解析】（1）由题意知126x x +=,则1268AF BF x x p p +=++=+=,2p ∴=,∴抛物线的标准方程为24y x =（2）设直线AB :x my n =+（0m ≠）, 由24x my n y x=+⎧⎨=⎩,得2440y my n --=, 124y y m ∴+=212426x x m n ∴+=+=,即232n m =-,即()21221216304812m y y my y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩, 12AB y y ∴=-=设AB 的中垂线方程为:()23y m m x -=--,即()5y m x =--, 可得点C 的坐标为()5,0,Q 直线AB :232x my m =+-,即2230x my m -+-=, ∴点C 到直线AB的距离d ==,()21412S AB d m ∴=⋅=+令t =,则223m t =-（0t <<,令()()244f t tt =-⋅,()()2443f t t '∴=-,令()0f t '∴=,则3t =,在⎛ ⎝⎭上()0f t '>；在3⎛ ⎝上()0f t '<, 故()f t在⎛ ⎝⎭单调递增,⎝单调递减, ∴当t =,即m =,max S =22．【KS5U 答案】（1）1(2,2⎛⎫+⋅-∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）（ⅰ）12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析.【KS5U 解析】（1）由2()(1)xf x x e ax =+-，得2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，设2()x x g x e x +=⋅，(0)x >；则2222()xx x g x e x +-'=⋅；由()0g x '…，解得1x ≥-，所以()g x 在1)上单调递减，在1,)+∞上单调递增，所以1min ()1)(2==⋅g x g因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '…在(0,)+∞恒成立所以1(22⋅≥a ；所以，实数a 的取值范围是：1(2,2⎛⎫+⋅-∞ ⎪ ⎪⎝⎭.（2）（i ）因为函数()f x 有两个不同的零点，()f x 不单调，所以1(22a +⋅>.因此()0f x '=有两个根，设为10,t t ，且1001t t <-<，所以()f x 在()10,t 上单调递增，在()10,t t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增；又()1(0)1f t f >=，()22()(1)(1)xxxf x x e ax a e xx a e =+-=-++-⋅，当x 充分大时，()f x 取值为正，因此要使得()f x 有两个不同的零点，则必须有()00f t <，即()200010t t e a t +-⋅<；又因为()()0000220tf t t e at '=+-=；所以：()()000002202tt t t e t e +-⋅+<，解得0t >1122+>=a g ；因此当函数()f x 有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是12⎛⎫⋅+∞ ⎪⎪⎝⎭.（ⅱ）先证明不等式，若12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠211221112x x x xnx nx -+<<-.证明：不妨设210x x >>，即证2212211211ln 1x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<<+，设211x t x =>，()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+，只需证()0g t <且()0h t >；因为()0g t '=<，22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，所以()g t 在(1,)+∞上单调递减，()h t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g <=，()(1)0h t h >=，从而不等式得证.再证原命题12011111x x t +->+. 由()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩；所以()()2212221211xx x e x e xx++=，两边取对数得：()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦；即()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+. 因为()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x -+-+-<--+-++++，所以121221112x x x x +<<+++，因此，要证12011111x x t +->+. 只需证1202x x t +<；因为()f x 在()0,t +∞上单调递增，1020x t x <<<，所以只需证()()2022f x f t x <-，只需证()()1012f x f t x <-，即证()()00f t x f t x +<-，其中()0,0x t ∈-；设()()00()r x f t x f t x =+--，00t x -<<，只需证()0r x <；计算得()()00000()224ttr x x t e x x t e x at '=++++-++--；()()2000()33t xr x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦.由()()20033xy x t ex t =+++--在()0,0t -上单调递增，得()()0003030y t e t <++--=，所以()0r x ''<；即()r x '在()0,0t -上单调递减，所以：()0()(0)20r x r f t '''>==；即()r x 在()0,0t -上单调递增，所以()(0)0r x r <=成立，即原命题得证.。

浙江省高考压轴卷数学 Word版含解析

2019 浙江省高考压轴卷数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则()U A C B ⋂= A. ∅ B. {}5 C. {}3 D. {}3,52. 已知双曲线222211x y a a-=-（0a >，则a 的值为（） A.12C. 133.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为4A +． 2B ．4C +．D ． 4. 若复数z 满足： ()1120z i ++=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（） A. 12-B. 12C. 12i -D. 12i 5. 函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（）.A BC D6.已知平面α与两条不重合的直线,a b ，则“a α⊥，且b α⊥”是“//a b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.()()4511x x -+的展开式中3x 的系数为（） A. 4 B. -4 C. 6 D. -68. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查. 根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是25P ＝.现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，则期望()E X 和方差()D X 分别是（）.A.25，1825B. 65，1825C. 65，1625D. 65，12259.已知A ，B ，C 是球O的球面上三点，且3AB AC BC D ＝＝，＝为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，则三棱锥D ABC 体积的最大值为（）．A.2B.4 D. 27410. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若755,55a S ==-，则n nS 的最小值为（） A ．-343B ．-324C ．-320D ．-243非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．12. 已知,x y 满足条件0,40, 10,x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2x y +的最大值是_____，原点到点(),P x y 的距离的最小值是_____．13．在ABC ∆中，若2,120b A ==，三角形的面积S =c =________；三角形外接圆的半径为________.14.已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______.15.已知实数()(),0lg ,0xe xf x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________．16. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种17. 已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且O A O B ⊥（O为坐标原点），若椭圆的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知等差数列n 的前项和为n，若*12401)4(2m m m S S S m m N ≥∈－＋＝－，＝，＝，且．(1)求m 的值； (2)若数列{}n b 满足*22()nn a log b n N ∈＝，求数列6{()}·n n a b ＋的前n 项和．20.如图，已知四棱锥，底面为菱形，，, ABCD平面ABCD ， ,M N 分别是,BC PC 的中点. （1）证明： AM PAD ⊥平面；（2）若H 为上的动点，与平面PAD 所成最大角的正切值为2，求二面角M AN C --的余弦值.21.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点()4,P m 到焦点的距离为5.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且M D M E ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由. 22.已知函数()()2ln R f x x ax x a =-+-∈.（1）若函数()f x 是单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间()0,3上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.KS5U2019 浙江省高考压轴卷数学（Word 版含KS5U 解析）1．【KS5U 答案】D【KS5U 解析】∵{}1,2,3,4,5,6U =， {}1,2B =， ∴{}3,4,5,6U B =ð，∴(){}{}{}1,3,53,4,5,63,5U A B ⋂=⋂=ð.选D. 2. 【KS5U 答案】B【KS5U 解析】因为222112c a a a =+-==，所以2212e a==，解得2a =，故选B. 3.【KS5U 答案】D 【KS5U 解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱'''ABC A B C -，、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的表面积1221222262S =⨯⨯⨯+⨯+⨯+ 故选：D ． 4. 【KS5U 答案】B【KS5U 解析】()1120z i ++= ()1111i 12i 2z -⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭,所以复数z 的虚部是12,选B.5. 【KS5U 答案】D【KS5U 解析】设()22e xf x x =-，由()()228e 0,1f =-∈，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e x f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<，所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C.故选D. 6.【KS5U 答案】A【KS5U 解析】若,a b αα⊥⊥，则必有//a b ，但//a b 时，直线,a b 与平面α可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“,a b αα⊥⊥”是“//a b ”的充分不必要条件，故选A ． 7.【KS5U 答案】B 【KS5U解析】()()()()450122334401223344554444455555511x x C C x C x C x C x C C x C x C x C x C x-+=-+-++++++ ()()234234514641510105x x x x x x x x x -+-++++++，所以3x 的项为322311041065414x x x x x x x ⨯-⨯+⨯-⨯=-，故3x 的系数为4-，故选B.8.【KS5U 答案】B【KS5U 解析】由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率25P ＝. 从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，所以33223(3,()()0123.555()()ii i X B P X i C i -～)，＝＝＝，，， X 的分布列为均值()355E X np ⨯＝＝＝，方差()2218135525()D X np p ⨯⨯＝－＝(1-)＝. 9.【KS5U 答案】D 【KS5U 解析】如图，在△ABC 中，∵3AB AC BC ＝＝，＝ ∴由余弦定理可得12cosA ＝－，∴sinA设△ABC 外接圆O ′的半径为r23r r ，得＝. 设球的半径为R ，连接OO ′，BO ′，OB ，则222)32R R ＝(＋，解得R ＝. 由图可知，当点D 到平面ABC 的距离为32R时，三棱锥D ABC 的体积最大，1332ABC S ∆⨯⨯＝∴三棱锥D ABC体积的最大值为12734.10. 【KS5U 答案】A【KS5U 解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵755,55a S ==-，∴()11a 65{5a 2d 55d +=+=-解得1a 19{4,d =-=∴()2n n n 1S 19n 42n 21n,2-=-+⨯=-32n nS 2n 21n ∴=-，设()()()()32f x 2x 21x x 0,f x 6x x 7=->=-',当 07x <<时，()f x 0'<,当7x >时，()f x 0'>,故n nS 的最小值为()7343f =-. 故选：A.11.【KS5U 答案】7,53 【KS5U 解析】设共有人，由题意知 8874x x -=+，解得7x =，可知商品价格为53元. 即共有7人，商品价格为53元. 12.【KS5U答案】【KS5U 解析】不等式组对应的可行域如下：当动直线20x y t +-=过时，2x y +有最大值，又()2,2B ，故2x y +的最大值为6．原点到P 的距离的最小值即为OA ==13．【KS5U 答案】2 2 【KS5U 解析】121202S csin ==⨯︒，解得c=2. ∴2222222212012a cos =+-⨯⨯⨯︒=，解得a=∴242a R sinA ===，解得R=2.故KS5U 答案为：2;2.14.【KS5U 答案】 4 【KS5U解析】设向量,a b的夹角为θ，由余弦定理有：21254cos a b θ-=+=-，212a b +=+=，则： 54cos a b a b ++-=+令54cos 5y θ=++-[]21016,20y =+，据此可得： ()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．15.【KS5U 答案】(],2-∞-【KS5U 解析】原问题等价于()()2f x f x t +=-有三个不同的实根，即y t =-与()()2y f x f x =+有三个不同的交点，当0x ≥时，()()22x x y f x f x e e =+=+为增函数，在0x =处取得最小值为2，与y t =-只有一个交点.当0x <时，()()22lg ()lg()y f x f x x x =+=-+-，根据复合函数的单调性，其在(),0-∞上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需2t -≥，解得2t ≤-. 16.【KS5U 答案】A【KS5U 解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A =种安排方法，则此时有42648⨯⨯=种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A =种安排方法，则此时有32636⨯⨯=种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A =种安排方法，则此时有32636⨯⨯=种编排方法；则符合题意要求的编排方法有363648120++=种；故选A ． 17.【KS5U答案】2【KS5U 解析】设1122(,),(,)A x yB x y ，由222211y x x y a b=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222()20a b x a x a a b +-+-=，42222244()()0a a b a a b ∆=-+->，221a b +>，2122222212222a x x a b a a b x x a b ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∵OA OB ⊥，∴12120O A O B x x y y ⋅=+=，即12122()10x x x x -++=，∴222222222()210a a b a a b a b --+=++，整理得22222a b a b +=，2222222()a a c a a c +-=-，222222222()a a e a a a e -=-，2222212111e a e e -==+--，∵1[,22e ∈，∴272[,5]3a ∈，即2a ==最大．19.【KS5U 答案】（1）5；（2）1*12()()2n n T n n N ⨯∈－＝－＋．【KS5U 解析】(1)由已知得，14m m m a S S －＝－＝，且12214m m m m a a S S ＋＋＋＋＝－＝，设数列{}n a 的公差为d ，则有2314m a d ＋＝， 2.d ∴＝由0m S ＝，得1(1)202m m ma -⨯＋＝，即11a m ＝－，11()214m a a m m ∴⨯＝＋－＝－＝，5m ∴＝.(2)由(1)知14226n a d a n ∴＝－，＝，＝－，3232n n n n log b b ∴－－＝，得＝，322(62)2n n n n a b n n ∴⋅⨯⨯－－＋＝＝.设数列6{()}·n n a b ＋的前n 项和为n T ，则1032(1222122)n n n T n n ⨯⨯⋯⨯⨯－－－＝＋＋＋－＋，① 0121(2122212)2n n n T n n ⨯⨯⋯⨯⨯－－＝＋＋＋－＋，②①－②，得10212222n n n T n ⋯⨯－－－－＝＋＋＋－112(12)212n n n --⨯-－＝－111222n n n ⨯－－＝－－， 1*()112()2n n T n n N ∴⨯∈－＝－＋．20.【KS5U 答案】（1）详见KS5U 解析（2）5 【KS5U 解析】(1)证明：由四边形ABCD 为菱形， 120BAD ∠=︒，可得60ABC ABC ∠=︒，为正三角形。

2022年浙江高考数学压轴题答案详解及解题技巧(含模拟专练)

2022浙江高考数学试卷压轴真题解读9．已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特值法，排除法等提高解题效率【答案】D【解析】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a≤≤-≤，故选：D ．【解后反思】1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.2.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想.10．已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（）A ．100521002a <<B ．100510032a <<C ．100731002a <<D ．100710042a <<【命题意图】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力【答案】B【解析】∵11a =，易得()220,13a =∈，依次类推可得()0,1n a ∈由题意，1113n n n a a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()1131133n n n n n a a a a a +==+--，∴1111133n n n a a a +-=>-，即211113a a ->，321113a a ->，431113a a ->，…，1111,(2)3n n n a a -->≥，累加可得()11113n n a ->-，即11(2),(2)3n n n a >+≥，∴()3,22n a n n <≥+，即100134a <，100100100334a <<,又11111111,(2)333132n n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+≥ ⎪-+⎝⎭-+，∴211111132a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，321111133a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，431111134a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，…，111111,(3)3n n n a a n -⎛⎫-<+≥ ⎪⎝⎭，累加可得()11111111,(3)3323n n n a n ⎛⎫-<-++++≥ ⎪⎝⎭，∴10011111111133334943932399326a ⎛⎫⎛⎫-<++++<+⨯+⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100140a <，∴100140a >，即10051002a >；综上：100510032a <<．故选：B ．【解题技巧】1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n .(2)已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1f (n )，可用“累乘法”求a n .2.已知a 1且a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0).把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【命题意图】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a=+，渐近线2:b l y x a =，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e =故答案为：4．【规律总结】求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．17．设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是_______．【命题意图】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力【答案】[12+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,(1,0),,(0,1),,(1,0)222222A A A A A A A ⎛-- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[122,16]+．【解后反思】1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算.(2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决.2.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题.21．如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．【命题意图】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力【解析】(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故||PQ的最大值是11.(2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x x k x =--+-==当且仅当316k =时取等号，故CD的最小值为5.【方法总结】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．22．设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）【命题意图】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力【解析】(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e 22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x=---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e ab <+且()e ln 2b a f a a>+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a⎛⎫⎛⎫---<+-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202a u a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设et x=，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a a x b x x +-+-+=即为：2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k k k ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【规律总结】1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用研究其单调性等相关函数性质证明不等式.2.某些不等式，直接构造不易求最值，可利用条件与不等式性质，适当放缩后，再构造函数进行证明.压轴模拟专练1．（2022·浙江·模拟预测）已知实数a ，b ，c 满足：()111220a b a b c c c+++-+-≤+≠对任意c 都成立，则（）.A ．02ab ≤≤B ．20ab -≤≤C ．11a b -≤+≤D ．13a b -≤+≤【答案】D 【解析】因为12c c+≥，112a a ++-≥，22b b +-≥，所以，当()111220a b a b c c c+++-+-≤+≠恒成立时，112a a ++-=，22b b +-=则11a -≤≤，02b ≤≤，所以22ab -≤≤，13a b -≤+≤，故选：D .2．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设||||1x y +≤，若(,)|||1|M x y ax by ay bx =++-+的最大值是5，则ab 的最大值是（）A ．254B．C ．2D ．4【答案】D【解析】当2a b ==时，111222()2()522ax by ay bx x y y x x y x y ++-+=++-+≤++++≤，所以4ab =是可能的，故B 、C 错误；将点(1,0)(0,1)(1,0)(0,1)--、、、分别代入(,)M x y ，得(1,0)1(0,1)1(1,0)1(0,1)1M a b M b a M a b M b a ⎧-=-++⎪-=-+-⎪⎨=+-⎪⎪=++⎩，又11111111a b a b b a b a a b a b b a b a ⎧-++≤++⎪-+-≤++⎪⎨+-≤++⎪⎪++≤++⎩，因为(,)M x y 的最大值为5，所以max (,)5M x y ≤恒成立，即15151515a b b a a b b a ⎧++≤⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≤⎩，解得4a b +≤，当(4)ab t t =>时，4a b tb a ⎧+≤⎪⎨=⎪⎩，无解，故A 错误，D 正确.故选：D.3．（2022·浙江·三模）设数列{}n a 满足()21192,24n n n a a a n N a *+=-+∈=，记数列221n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项的和为n S ，则（）A ．10127a <B ．存在k *∈N ，使1k k a a +=C ．1012S <D ．数列{}n a 不具有单调性【答案】C【解析】由于()211551,244n n a a a +=-+≥=，则54n a ≥，又由21333122422n n n n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则132n a +-与32n a -同号．又由12a =，则32n a >，可得221933042n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+=-> ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 单调递增，故B 、D 错误；又因为()()11214n n n n a a a a +-=--+，由数列{}n a 单调递增，且12a =，所以20,10n n a a ->->，所以114n n a a +-≥，累加得1011100254a a -≥=，所以10127a ≥，故A 错误；由21924n nn a a a +=-+可得1111133222n n n a a a +=----，因为12n a a >=，所以101110211112333222S a a a =-<=---，故C 正确．故选：C ．4．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，()11e 21n a n n a ++=-∈+N ，其中e 是自然对数的底数，则（）A ．2022104043a <<B ．20221140432022a <<C ．2022112022a <<D ．202212a <<【答案】B【解析】∵e 1x x ≥+（当0x =时等号成立），∴11e 1n a n a ++≥+，当0n a >时，111e 2101n a n n a a ++=->⇒>+，即1100n a a =>⇒>，则11e1n a n a ++>+，11111e2n a n n a a ++=->++，整理得11n n n a a a +>+，即1111n n a a +->，即21111a a ->，32111a a ->，⋅⋅⋅，1111n n a a -->，将n 个不等式相加得1111n n a a ->-，即1n n a >，1n a n<，令()()e 11x f x x =--，则()e xf x x '=-，当0x <时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，则()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，即()f x 在0x =出取得最大值，()()00f x ≤=，所以()e 110x x --≤（当0x =时等号成立），当1x <时，1e 1x x≤-（当0x =时等号成立），即当1n >时，111e 1n an a ++<-，112111n n a a +-<-+，1111111n n a a +---<+，1111n n n n a a a a ++<+-，1111n n n n a a a a +++->，即1112n na a +-<，同理利用累加法可得()11121n n a a -<-，即121n a n >-，所以()11121n a n n n<<>-，则20221140432022a <<，故选：B .5．（2015·浙江·二模（文））已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212||||PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是______．【答案】(]1,3【解析】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知，122PF PF a -=，∴12PF m a =+，∴()2221224448PF m a a m a a a PF mm +==++≥=，当且仅当24a m m=，即2m a =时，等号成立，∴当212PF PF 的最小值为8a 时，14PF a =，22PF a =，此时2m a c a =≥-，解得3ce a=≤，又1e >，∴(]1,3e ∈，6．（2022·浙江·金华市曙光学校模拟预测）过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点1F 的直线l ，在第一象限交双曲线的渐近线于点P ，与圆222x y a +=相切于点Q .若12PQ FQ =，则离心率e 的值为________.【解析】设双曲线的右焦点为2F ，在1PFO 中，2POF ∠是1PFO 的一个外角，设2POF θ∠=，11,PFO F PO αβ∠=∠=，则θαβ=+，因为直线1PF 与圆222x y a +=相切于点Q ，所以1OQ PF ⊥,在1Rt OQF 中，1,OQ a OF c ==，所以1FQ b ===，因为12PQ FQ =，所以2PQ b =，所以在直角POQ △中，tan 2OQ aPQ bβ==，在直角1OQF △中，1tan OQ a F Qbα==，因为θαβ=+，所以22tan tan 32tan tan()1tan tan 212a a ab b b a a b a b bαβθαβαβ++=+===---⋅，因为θ为直线OP 的倾斜角，直线OP 为双曲线的渐近线，所以2232ab bb a a=-,所以222b a =，所以22223c a b a =+=，所以c =，所以离心率为==ce a，7．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，已知点O ，A ，B ，C （顺时针排列）在半径为2的圆E 上，将OB 顺时针旋转90︒，得到OP，则||||OA OP OC OP ⋅+⋅ 的最大值为_________．【答案】16【解析】如图，作AG OP ⊥于G ，CH OP ⊥于H ，由题可得||||24OB OP r =≤=，∴()()||||||||OA O G P OC OP O P A HC G O OH OP =++⋅+⋅⋅+⋅ ||||||||||||OG OP OH OP OG OP OH OP =⋅+⋅=⋅+⋅(||||)||OG OH OP =+⋅||||16GH OB =⋅≤．当且仅当||4||=4AC OB =，且AC OB ⊥时等号成立，8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，1P ，2P ，3P 依次为边BC 的四等分点，1Q ，2Q ，3Q 依次为边DC 的四等分点，若111AP AQ ⋅=，332AP AQ ⋅= ，则22AP AQ ⋅=__________．【答案】1913【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DC = ，AD BC =，所以144BC AD AP AB AB +=+= ，144DC AB AQ AD AD +=+=33344BC AD AP AB AB +=+= ，33344DC ABAQ AD AD +=+=，所以221117144416AB AD AD AB AP AQ AB AD AB AD +⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以2233333325244416AB AD AD AB AP AQ AB AD AB AD +⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，设22AB AD x += ，AB AD y ⋅= ，则17181416133258241613x y x x y y ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩，又222BC AD AB AB AP =+=+，222DC AB AD D Q A A =+=+ ，所以2222AD AB AP AQ AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+ ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭22511858192421341313AB ADAB AD +=+⋅=⨯+⨯=.9．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知椭圆与抛物线22(0)y px p =>有一个相同的焦点2(1,0)F ，椭圆的长轴长为2p ．(1)记椭圆于抛物线的公共弦为MN ，求||MN ；(2)P 为抛物线上一点，1F 为椭圆的左焦点，直线1PF 交椭圆于A ，B 两点，直线2PF 与抛物线交于P ，Q 两点，求||||AB PQ 的最大值．【解析】(1)根据题意得：1,2242pc a p ====，223b a c =-=∴抛物线方程：24y x =，椭圆方程：22143x y +=联立抛物线与椭圆：2224143y xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22316120,,63x x x x +-===-（舍）∴226226,,3333M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭∴46||3MN =(2)设()()()()11223344,:1,,,:,,,1,,AB x my PQ x ny A x y B x y P x y Q x y =-=+联立AB 与椭圆：221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：()2234690m y my +--=所以12122269,3434-+==++m y y y y m m 弦长公式：()()222221222(6)434(9)121||113434m m m AB m y mm m --+-+=+-=+=++联立PQ 与抛物线：214x ny y x=+⎧⎨=⎩，整理得：2440y ny --=所以34344,4y y n y y +==-弦长公式：()234||41PQ y y n =-=+联立AB 与1:1x my PQ x ny =-⎧⎨=+⎩，∴332m n x m n y m n +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩P 在抛物线上：224m n m n m n +⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理得：221m n -=，即2221,1n m m =-≥∴()()()()()2222222212131||3363411||7413431232212m m AB m PQ n m m m m +++===≤=+++--⋅--+∴||||AB PQ 的最大值为67，当1m =±时取到最大值．10．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12.F F A B ，，是该椭圆C的右顶点和上顶点，且AB =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点，且与x 轴交于点().D D x a >若直线2PF 与直线2QF 的倾斜角互补，求2PQF 的面积的最大值.【解析】(1)由题可得，AB ==所以225a b +=因为椭圆的离心率为2所以2c e a ==，结合椭圆中222b a c =-可知，2 1.a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22 1.4x y +=(2))2F ，设()()1122.P x y Q x y ，，，因为直线2PF 与直线2QF 的倾斜角互补，所以可知220PF QF k k +=，0=，化简得)1221120.x y x y y y +-+=设直线:(2)PQ x my n n =+>，将1122x my n x my n =+=+，代入上式，整理可得(()121220.my y n y y ++=且由2244x my n x y =+⎧⎨+=⎩，消元化简可得()2224240my mny n +++-=，所以21212222444mn n y y y y m m -+=-=++，，代入上式由()(222242044m n mnn m m ---=++，解得n =所以:PQ x my =因为点)2F 到直线PQ 的距离d且PQ =所以2211.2234PQF S d PQ m ∆=⋅==+令t =2243t m +=所以2221164PQF t S t ∆=≤+，.当且仅当4t =，2203m =时取等号.所以2PQF 的面积的最大值为1.411．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数3(),,R f x x ax b a b =++∈的图像记为曲线E ．(1)过点13,28A ⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线E 的切线，这样的切线有且仅有两条．（ⅰ）求2+a b 的值；（ⅱ）若点A 在曲线E 上，对任意的[0,1]x ∈，求证：1()3102f x a b ++++≥．(2)若3e ()x f x x ≥-对R x ∈恒成立，求ab 的最大值．【解析】(1)（ⅰ）∵3(),,R f x x ax b a b =++∈，∴2()3f x x a'=+设切点为()00,x y ，则3000,y x ax b =++所以切线方程为()()20003y y x a x x -=+-，将点13,28A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得()200031382y x a x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭可化为320016124830x x a b ----=设32()1612483g x x x a b =----∵2()4824g x x x =-'，令2()4824g x x x=-'令()0g x '>即248240x x ->，解得12x >或0x <；令()0g x '<即248240x x -<，解得102x <<；所以函数()g x 在1(0,2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增.∴()y g x =的极值点0和12，∵过点13,28A ⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线E 的切线．这样的切线有且仅有两条∴(0)0g =或102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴324a b +=-或21a b +=-；所以2+a b 的值为34-或1-.（ⅱ）因为点A 在曲线E 上，所以21a b +=-，3111()31()222f x a b f x b x ax b b ++++=++=++++当0b ≤时，左边3311(12)22x ax x b x =++=+--+令函数31()(12)(01)2h x x b x x =+--+≤≤，∵2()3(12)h x x b '=-+.当120b +≤时()0h x '≥，函数()h x 在[0,1]上单调递增，1()(0)02h x h ≥=≥当120b +>即102b ≥>-时，由()0h x '>得x >由()0h x '<得0x <∴函数()h x 在⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎥⎦上单调递增∴211()(21)32b h x h b +≥=+11022=+≥>；当0b >时，左边31(12)22x b x b =+--++令函数31()(12)2(01)2k x x b x b x =+--++≤≤∵2()3(12)k x x b '=-+，由()0k x '>得x >;由()0k x '<得0x <;1≥时，即1b ≥时，函数()k x 在[0,1]上单调递减，1()(1)02k x k ≥=≥当01b <<时，函数()k x 在⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎥⎦上单调递增1()(21)2k x k b ≥=+-令函数1()(21)2m b b =+-321,()232t m t t t ⎫=∈=-+-⎪⎝⎭在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增∴()03m t m ⎛>> ⎝⎭即证1()3102f x a b ++++≥.(2)由3e ()x f x x ≥-得e x ax b ≥+对R x ∈恒成立，显然0a ≥．若0a =，则0ab =，若0a >，则()e xab a ax ≤-，设函数()()e xw x a ax =-，令()0,w x '>即()e 0xa a ->，解得ln x a >；令()0,w x '<即()e 0xa a -<，解得0ln x a <<；所以函数()()e xw x a ax =-在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增∴()(ln )(ln )w x w a a a a a ≥=-设()(ln )r a a a a a =-，∵()(12ln )r a a a '=-令()0r a '>，即(12ln )0a a ->，解得0a <<；令()0r a '<，即(12ln )0a a -<，解得a >∴函数0a <<上单调递增，在)+∞上单调递减.∴1()e 2r a r ≤=，即ab 的最大值为1e 2，此时a b ==12．（2022·浙江·效实中学模拟预测）设函数()()ln 1e xf x x a x =--，其中R a ∈.(1)若0a ≤，讨论()f x 的单调性；(2)若10ea <<，设0x 为()f x 的极值点.（i ）求()0f x 取值范围：（ii ）若1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明：0132x x ->.（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）【解析】(1)()1e xf x ax x-'=，因为0a ≤，所以()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；(2)（i ）因为10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()1e xf x ax x -'=在()0,∞+单调递减；又0x →时，(),f x x ∞∞→+→+时，()f x →-∞，所以存在唯一的极值点()00,x ∈+∞，使得()00001e xf x ax x =-'，即0201ex a x =.又因为()00201e x h x x =单调递减，且()11e h =，所以020110,e e x a x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，可得01x >，()()00000021ln 1e ln x x f x x a x x x -=--=-，()200233000021120x x f x x x x x +-=='+->，所以()0f x 单调递增，所以()()010f x f >=，所以()()00,f x ∞∈+.（ii ）法()111ln 1:1ex x a x =-且0201,e x a x =所以()011210ln 1,1e e x x x x x =-令()()111ln 1e x x T x x =-，则()()10T x h x=，且()0h x 单调递减，要证：0132x x ->，即证：102,3x x +>即证：()1023x h x h +⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证：012221311e2e 3x x x x +<+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证：()11122113ln 11e 2e 3x x x x x +<-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，（*）21又因为11ln 1x x <-，所以（*）式只要证明：()11122113111e 2e 3x x x x x +-<-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，整理得即证：11132e 3x x -+<，又因为e 1x x >+，所以11132e 3x x -+<成立.法2：由题意，()()010,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011e 1ln 1e x x ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-.因为当1x >时，ln 1x x <-.又101x x >>，故()102012011e 1x x x x x x --<=-.两边取对数，得1020lne ln x x x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-.整理得0132x x ->.。

浙江省高考压轴卷数学理试题 Word版含答案[ 高考]

KS5U2013浙江省高考压轴卷数学理试题本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()112213V h S S S S =++球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高选择题部分一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数22()i i+= A ．-3 -4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2．设集合{sin ,}3n M x x n Z π==∈，则满足条件33{,}P M -=的集合P 的个数是 A ． 1B ．3C ．4D ．83．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．8B ．203C ．173D ．1434.等比数列{a n }中，“公比q >1”是“数列{a n }单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．函数21()x xe f x e+=的图象 ( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称6．设变量x 、y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为A ．6B ．4C ．2D ．327. 若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 8. 已知直线l m 、,平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题: ①若α∥β，则m ⊥l ； ②若α⊥β，则m ∥l ; ③若m ⊥l ，则α∥β； ④若m ∥l ，则α⊥β 其中正确命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．49．已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：m n m n S S S +=+，且11=a ，那么=10a ( ) A ． 1 B ． 9 C ．10 D ．5510. 已知直线1sin cos :=+θθy x l ，且l OP ⊥于P ，O 为坐标原点，则点P 的轨迹方程为( )A ．122=+y xB ．122=-y xC ．1=+y xD ．1=-y x非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析：导数(解析版)

《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》第三章导数1.从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.2.浙江省恢复对导数的考查后，已连续三年将导数应用问题设计为压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.3.常见题型，选择题、解答题各一道，难度基本稳定在中等以上.一．选择题1．【浙江省宁波市2019届高三上期末】已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数（）A．既是周期函数又是奇函数B．既是周期函数又是偶函数C．不是周期函数但是奇函数D．不是周期函数但是偶函数【答案】B【解析】若是周期函数，设其周期为，则．所以周期函数的导数仍是周期函数；若是奇函数，则，所以，即，所以奇函数的导数是偶函数，故选B．2．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（）A．(1,0)-B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)【答案】B 【解析】由函数f (x )的图象可知，0＜f (0)＝a ＜1，f (1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝e x＋2x －b ，所以g ′(x )＝e x＋2＞0，所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1－b ＜0，g (1)＝e＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g (x )的零点所在的区间是(0，1)，故选B.3．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知实数a >0，b >0，a ≠1，且满足lnb ＝，则下列判断正确的是（）A．a >b B．a <bC．b >1D．b <1【答案】C 【解析】令函数f(x)=-2lnx，则，所以f(x)单调递增，又f(1)=0，可得f(x)<0在（0，1）恒成立，f(x)>0在（1，）恒成立，取，则f()==lnb ，当时，f()<0，即lnb <0,b<a；当时，f()>0，即lnb>0,b>a；故A，B 不一定成立；又当时，lnb<0，所以，由换底公式得到b>1；当时，lnb>0,所以,得到b>1.故选C.4．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知，且函数.若对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，不等式恒成立，所以，即恒成立，令，则，时，＜0，g（x）递减；时，＞0，g（x）递增，所以g（x）最小值为：，令（），所以令（1）当时，t≥4，，所以的最小值为：，所以，即，解得：，所以（2）当1＜＜4时，所以，，的最小值为：，所以，即，解得：所以恒成立.综合（1）（2）可知：故选：B.5．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知函数2()x f x xe =，下列说法正确的是（）A．任意12m e>-，函数()y f x m =-均有两个不同的零点；B．存在实数k ，使得方程()(2)f x k x =+有两个负数根；C．若()()()f a f b a b =≠，则10a b -<+<；D．若实数a ，b 满足2212()a b e e e a b -+<≠，则()()f a f b ≠.【答案】D 【解析】∵函数2()x f x xe =，'2()(12)x f x x e =+，可知：12x =-时，函数()f x 取得极小值即最小值．11(22f e -=-，如图所示．由图象可得：A．当102m e-<<时，函数()y f x m =-有两个不同的零点，因此不正确；B．存在实数k ，使得方程()(2)f x k x =+有两个一正一负根，不可能为两个负数根；C．若()()()f a f b a b =≠，则1a b +<-，因此不正确；D．若()()f a f b =（不妨设102a b ≤-≤<），则222221(12)2a b a a a a e e e e e a e b-+=+>-≥，因此其逆否命题正确．故选：D．6．【浙江省镇海中学2019届高三上期中】已知函数，则函数的图象为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】=，当x＜0时，=．令g（x）=2x3﹣1+ln（﹣x），由，得，当x∈（﹣∞，）时，g′（x）＞0，当x∈（，0）时，g′（x）＜0．所以g（x）有极大值为=．又x2＞0，所以f′（x）的极大值小于0．所以函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数．当x＞0时，=．令h（x）=2x3﹣1+lnx，．所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，而h（1）=1＞0，h（）=﹣．又x2＞0，所以函数f′（x）在（0，+∞）上有一个零点，则原函数有一个极值点．综上函数f（x）的图象为D中的形状．故选：D．二.填空题7．【浙江省杭州高级中学2019届高三上期中】函数的图象在点处的切线方程为___．【答案】【解析】函数f（x）的导数为f′（x）••2，函数y＝f（x）的图象在点处的斜率为k＝，即有函数y＝f（x）的图象在点处切线方程为.8．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末联考】已知函数在开区间上单调递减，则的取值范围是_____.【答案】【解析】由题意，在恒成立.只需要即可，整理得，作出其对应的平面区域如图所示；所以把视为平面区域内的点与原点距离的平方，由点到直线的距离公式可得，所以的最小值为，则的取值范围是.故答案为9.【浙江省2019届高考模拟卷（二)】已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是___．【答案】【解析】∵，∴在上成立，∴在上单调递减，∴，．又“对任意的恒成立”等价于“对任意的恒成立”∴，解得，∴的取值范围是．故答案为．三.解答题10．【浙江省宁波市2019届高三上期末】已知函数，其中为实数.（1）若函数的图像关于点对称，求的解析式；（2）若，且，为函数的极小值点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）设为图像上的任意一点，则点关于点的对称点为，即，所以，对所有实数成立，从而.，求得：，从而.（2），由知设，则，即，因为，所以，因为极小值存在，所以.①若，则，所以.②若，则，所以，令，则，则在上为减函数，在上为增函数，又，故，综上所述，的取值范围为.11．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)3a =1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】(1)∵h(x)＝2x＋2a x ＋ln x，其定义域为(0，＋∞)，∴h′(x)＝2－22a x＋1x ，∵x＝1是函数h(x)的极值点，∴h′(1)＝0，即3－a 2＝0.3经检验当3是函数3(2)对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f(x 1)≥g(x 2)成立等价于对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f(x)min ≥g(x)max .当x∈[1，e]时，g′(x)＝1＋1x＞0.∴函数g(x)＝x＋ln x 在[1，e]上是增函数，∴g(x)max ＝g(e)＝e＋1.∵f′(x)＝1－22a x＝，且x∈[1，e]，a＞0.①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，f′(x)＝＞0，∴函数f(x)＝x＋2ax在[1，e]上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2.由1＋a2≥e＋1，得0＜a＜1，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x≤a，则f′(x)＝＜0，若a＜x≤e，则f′(x)＝＞0.∴函数f(x)＝x＋2ax在[1，a)上是减函数，在(a，e]上是增函数．∴f(x)min＝f(a)＝2a.由2a≥e＋1，得a≥12e+.又1≤a≤e，∴12e+≤a≤e.③当a＞e且x∈[1，e]时f′(x)＝＜0，函数f(x)＝x＋2ax在[1，e]上是减函数．∴f(x)min＝f(e)＝e＋2ae.由e＋2ae≥e＋1，得a＞e，∴a＞e.综上所述，a的取值范围为[12e+，＋∞)．12．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知函数（为自然对数的底数，）.（Ｉ）若关于的方程有三个不同的解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若实数，满足，其中，分别记：关于的方程在上两个不同的解为，；关于的方程在上两个不同的解为，，求证：.【答案】（Ｉ）；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ｉ）由，得当和时，，单调递增当时，，单调递减又，，当时，；当时，因为关于的方程有三个不同的解所以（Ⅱ）记所以当时，，单调递减当时，，单调递增当时，，单调递减当时，，单调递增又因为，所以所以当和时，，即由题意，不妨设，所以因为，且函数在上单调递减所以，即①同理因为，且函数在上单调递增所以②①+②得：即13．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）.当时，，函数在上单调递增，所以函数的单调增区间为.当时，由得；由得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为是方程的两个不等实根，所以.不妨设，则，，两式相减得,即.又，当时，；当时，.故只要证明即可，即证，即证,即证.设，令，则,则在为增函数，又,所以时，总成立，得证.14．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】记（I）若对任意的x 0恒成立，求实数a的值；（II）若直线l:与的图像相切于点Q(m，n)；（i）试用m表示a与k；（ii）若对给定的k，总存在三个不同的实数a1，a2，a3，使得直线l与曲线，，同时相切，求实数k的取值范围.【答案】（I）（II）（i）.（ii）见解析【解析】（I）∵∵，又∵恒成立，∴是的最大值∴，∴；反过来，当时，单调递减，又，∴在（0，1）上递增，在（1，上递减，，∴恒成立.∴（II）（i）∵，由切点，则有：，把①代入②可得：，代入①式得：（**），（ii）根据题意方程（**）有三个不同的解，令∴==由，解得两根分别为与∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减∴的极小值为；的极大值为又∵时，∴当时，方程（**）有三个不同的根，下面说明三个不同的对应的也是不同的：设方程（**）的三个不同的根分别为：，且则有：，，，显然只需说明即可，又由可得：即，假设，则有，即即即，令，即设∴∴在上是减函数，即，与矛盾∴假设不真，即∴当，存在三个不同的实数使得直线与曲线，，同时相切．15．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知函数，，曲线与有且仅有一个公共点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若存在实数，，使得关于的不等式对任意正实数恒成立，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）由题意知，即，令，则.∵在上递增，在上增减，∴，∴.（Ⅱ）解法一：由题意知必有，即，当时，，，不符合题意；当时，有，此时，，不符合题意，因此有，因此①令，则，在递增，在递减，故②由①②两式知，构造函数，则，在递减，在递增，故，此时.解法二：由（1）知，，设，可知，，∵在恒成立，即，又，∴，即①由在恒成立，即在恒成立，设，，则，由得，在上单调递增，由得，在上单调递减，故，得②由①②得③存在，使得③成立的充要条件是，即，记，显然，，∴在上单调递增，在上单调递减，，，故在存在，使，∴不等式的解为，∴的最小值为4，从而由③得.16.【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知，，其中，为自然对数的底数．若函数的切线l经过点，求l的方程；Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析【解析】Ⅰ设l和的切点是，在该点处的导数，它是切线l的斜率，经过，也过切点，的斜率又可写为，故，故，解得：，故直线l的斜率为，故l的方程是：；Ⅱ判断：函数的零点个数是0，下面证明恒成立，，故，若在递减，则，因此，要证明对恒成立，只需证明对恒成立，考虑等价于，记，，先看，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，，再看，.令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，.，且两个函数的极值点不在同一个x 处，故对恒成立，综上，对恒成立，故函数函数零点是0个．17．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】设函数2()ln ()f x ax x a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1[,)2e+∞【解析】（1）由题意，2'21()(0)ax f x x x-=>.当0a ≤时，'()0f x <，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令()0f x '=，解得2x a=∴当12x a ∈时，'()0f x <，当1)2x a∈+∞时，'()0f x >．∴()f x 在)2a上单调递减，在)2a+∞上单调递增；（2）∵()0f x ≥恒成立，∴(e)0f ≥，可得21a e ≥．由（1）可得，()f x 在2a 上单调递减，在)2a+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为1))222f a a =-.∴1022a-≥，解得12a e ≥.因此，实数a 的取值范围为1[,)2e+∞.18．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】已知函数．（1）若在处导数相等，证明：为定值，并求出该定值；（2）已知对于任意，直线与曲线有唯一公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）6；（2）【解析】（1）证明：，，由题意得，，则；（2）解：，函数在的图象为下凸，在的图象为上凸，记，求得处的切线为，再记，由，求得的极大值点为，①当时，直线与曲线显然只有唯一公共点；②当时，直线斜率为正，且与曲线有三个公共点，舍去；③当时，直线斜率为正，且与曲线有三个公共点，舍去；④当时，若，在直线上方，直线与曲线的上凸部分有唯一公共点，与下凸部分不相交；若，直线与曲线）交于P点，与上凸部分和下凸部分均不相交；若，在直线下方，直线y=kx+a与曲线的下凸部分有唯一公共点，与上凸部分不相交，此种情况成立．综上，的取值范围为．19.【浙江省嘉兴市2019届高三上期末】已知函数，且曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）函数有两个不同的零点，，求证：.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】（Ⅰ）由曲线在点处的切线方程为，故，又，，所以，解得，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故，所以，的两个不同的零点为，，不妨设，因为，所以，，要证明，即证明，而故只需证明即可，又，所以，故只需证明，即需证，即证，即只需证即可，令，由于，故，设，，，，显然，故，是增函数，所以，又，所以恒成立，即，成立，因此，得证.20.【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】设，已知函数，．Ⅰ若恒成立，求的范围Ⅱ证明：存在实数使得有唯一零点．【答案】；见证明.【解析】Ⅰ，，，恒成立，，解得，又当时，，在单调递增，，综上所述；Ⅱ设的零点为，有，则，令，则，，在上存在零点，设为，取，则，，，设的零点为，则在上递增，在上递减，函数存在两个零点，，函数在，上递减，在上递增，函数存在唯一的零点，综上所述存在，符合题意．21.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末联考】设，函数.（I）证明：当时，对任意实数，直线总是曲线的切线；（Ⅱ）若存在实数，使得对任意且，都有，求实数的最小值.【答案】（I）见证明；（Ⅱ）-1【解析】（I）证明：此时，.注意到对任意实数，，，故直线是曲线在原点处的切线；（Ⅱ）由题意，存在实数，使得对任意，都有，且对任意，都有.因，故（否则，若，则在的左右附近，恒有，从而单调递减，不合题意）.于是，因此.又当，时，（等号成立当且仅当），于是在内单调递增，满足题意.所以的最小值为.22.【浙江省七彩联盟2019届高三上期中】已知函数．证明：函数存在唯一的极值点，并求出该极值点；若函数的极值为1，试证明：．【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】，，，令得，得，在上单调递增，在上单调递减，有唯一的极值点，极值点为，由可得，，要证明，只要证，令，，易知在上单调递增，且当时，，当时，，存在唯一的实数，使得，即，即，，在单调递减，在单调递增，，下面证明，利用反证法，假设，，即，即，，则由可知，这与矛盾，，即，故．23.【浙江省2019届高考模拟卷（一)】已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）【解析】（1）当时，1分由,解得.2分∴在上是减函数，在上是增函数.3分∴的极小值为，无极大值.4分（2）.5分①当时，在和上是减函数，在上是增函数；6分②当时，在上是减函数；8分③当时，在和上是减函数，在上是增函数.8分（3）当时，由（2）可知在上是减函数，∴.9分由对任意的恒成立，∴10分即对任意恒成立，即对任意恒成立，11分由于当时，，∴.12分24.【浙江省2019届高考模拟卷（二)】已知函数.（1）试讨论的单调性；（2）设点，是函数图像上异于点的两点，其中，，是否存在实数，使得，且函数在点切线的斜率为，若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）由题意得函数的定义域为．当时，由题意得，由得或；由得．又当时，函数单调递增．所以当时，的增区间为，减区间为；当时，的增区间为，减区间为；当时，的增区间为，减区间为．（2）假设存在实数满足条件．设，，由得，∴．又，，且函数在点切线的斜率为，∴，∴．令，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递增；当时，单调递减．∴当时，取得极小值，且极小值为；当时，取得极大值，且极大值为，∴或．∴存在实数满足条件，且实数的取值范围为．25.【浙江省2019届高考模拟卷（三)】已知函数，.（1）求的单调区间；（2）证明：存在，使得方程在上有唯一解.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）函数f（x）的定义域为，因为，令，则，即，则在上恒成立，当或，由有或，由有，综上，当时，的递增区间是，当或时，的递增区间是，递减区间是；（2）令，当时，则，因为，故当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，即当时，有最小值，又h（1）=1-2a，当a<1时，h（1）0，即在上恒成立，又a<1时,，取x=,则即，又在上递增，而h(，由函数零点存在定理知在上存在唯一零点，所以当a<1时即存在，使得方程在上有唯一解，即方程在上有唯一解.26.【浙江省杭州高级中学2019届高三上期中】已知函数.（1）若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.（2）求证：当时，.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由可得：即，x与y=a有两个不同的交点.由,可知：在上单调递增，在上单调递减，∴（2）证明：，由得在上单调递增，又,根据零点存在定理可知，存在，使得当时，，f（x）在上单调递减；当时，，f（x）在上单调递增；故.由，得到，即，，故，其中，令，，由，得到在上单调递减，故，即，综上：有当时，.27.【浙江省镇海中学2019届高三上期中】已知，函数在点处与轴相切（1）求的值，并求的单调区间；（2）当时，，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】（Ⅰ）函数在点处与轴相切．，依题意，解得，所以．当时，；当时，．故的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）令，．则，令，则，（ⅰ）若，因为当时，，，所以，所以即在上单调递增．又因为，所以当时，，从而在上单调递增，而，所以，即成立．（ⅱ）若，可得在上单调递增．因为，，所以存在，使得，且当时，，所以即在上单调递减，又因为，所以当时，，从而在上单调递减，而，所以当时，，即不成立．综上所述，的取值范围是．28.【浙江省台州市2019届高三上期末】设函数，R．（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；（Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）-1（Ⅲ）或【解析】（Ⅰ），.且，所以在处的切线方程为.（Ⅱ）因为对任意的实数，不等式恒成立.所以恒成立.设，则，所以在，单调递增，在，单调递减.所以，因为，是方程的两根.所以.（其中）所以的最大值为.（Ⅲ）若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，当，得，与已知矛盾.所以有两根，即与有两个交点令，则.令，，则在单调递减，单调递增，所以.（ⅰ）当时，即时，则，即在，单调递增，且当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.此时对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.（ⅱ）当时，有两个非负根，，所以在，，单调递增，单调递减，所以当时有4个交点，或有3个交点，均与题意不合，舍去.（ⅲ）当时，则有两个异号的零点，，不妨设，则在，单调递增；在，单调递减.当时，的取值范围为，当时，的取值范围为，所以当时，对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.所以有，，得.由，得，即.所以，，.故.所以.所以当或时，原方程对任意实数均有且只有两个解.29.【浙北四校2019届高三12月模拟】已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】∵（n+1）a n+1﹣（n+2）a n =2，∴﹣==2（﹣），又∵=1，∴当n≥2时，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+2（﹣+﹣+…+﹣）=，又∵=1满足上式，∴=，即a n =2n，∴数列{a n }是首项、公差均为2的等差数列；（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，∴b n =n•=n•，令f（x）=x•，则f′（x）=+x••ln ，令f′（x）=0，即1+x•ln =0，解得：x≈4.95，∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，又∵b 5=5•=，b 4=4•=﹣，b 6=6•=﹣，∴M 的最小值为．30.【浙北四校2019届高三12月模拟】设，已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值；（Ⅲ）若,求使方程有唯一解的的值．【答案】（1），则在上递增，则在在上递减，上递增，（2）（3）【解析】（Ⅰ）定义域为，，则在上递增，则在在上递减，上递增，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，时，在上是增函数，∴；②当时，在上递减，上递增，∴；综上，（Ⅲ）令，由题意，得方程有唯一解，又，定义域为，令得∴在递减，上递增，有唯一解，∴．由即得，设，易知在递增，且∴方程的解为即，解得，故，当时，方程有唯一解时的值为．。

压轴题10 导数的简单应用(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题10导数的简单应用题型/考向一：导数的计算及几何意义题型/考向二：利用导数研究函数的单调性题型/考向三：利用导数研究函数的极值、最值○热○点○题○型一导数的计算及几何意义1.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.2.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.3.导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.一、单选题1．函数()()ln 322f x x x =--的图象在点()()1,1f 处的切线方程是（）A ．10x y ++=B ．230x y ++=C ．230x y --=D ．30x y --=2．若函数的图象在点处的切线方程为，则=a （）A ．1B ．0C ．－1D ．e．已知直线l为曲线A B．10C．5D与函数()的图象都相切，则a b+=（）A．1-B．0C．1D．35．曲线22e24xy x-=⋅+在1x=处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．32B．3C．4916D．4986．已知函数()()21220232023ln 22f x x xf x '=-++-，则()2023f '=（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．20197．若对m ∀∈R ，,a b ∃∈R ，使得()f m a b=-成立，则称函数()f x 满足性质Ω，下列函数不满足．．．性质Ω的是（）A ．()23f x x x=+B ．()()211f x x =+C ．()1ex f x -+=D ．()()cos 12f x x =-对于C ，1x -+∈R ，()1e xf x -+∴=的值域为()0,∞+；()1e x f x -+'=- ，()f x '∴的值域为(),0∞-；则()f x 的值域不是()f x '值域的子集，C 不满足性质Ω；对于D ，12x -∈R ，()()cos 12f x x ∴=-的值域为[]1,1-；()()2sin 12f x x '=- ，()f x '∴的值域为[]22-,，则[][]1,12,2-⊆-，D 满足性质Ω.故选：C.8．已知函数()f x 的定义域是()(),00,∞-+∞U ，()f x '为()f x 的导函数，若()()()121f f x f x x'=+-，则()f x 在()0,∞+上的最小值为（）A 1-B ．15-C 1D ．15-二、多选题9．已知函数()332f x x ax =+-的极值点分别为()1212,x x x x <，则下列选项正确的是（）A ．0a >B ．()()122f x f x +=C ．若()20f x <，则1a >D ．过()0,2仅能做曲线()=y f x 的一条切线10．若函数()()ln 12f x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（）A ．-1B ．3C ．1D ．2因为函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，所以()min 0f x '≥，即10a -≥，解得1a ≤，故选：AC11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数，以下四个函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x=-B ．()ln 3f x x x=-C ．()331f x x x =-+-D ．()exf x x -=12．设函数在区间,a b 上的导函数为f x ，f x 在区间,a b 上的导函数为f x ，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（）A ．1m >-B ．m 1≥C ．1m >D ．0m >○热○点○题○型二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.一、单选题1．函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为（）A ．(),0∞-B ．()ln2,+∞C ．(],ln2∞-D ．[)0,∞+【答案】C【详解】()2e xf x x =- ，()2e x f x ∴-'=，令()0f x ¢>，得ln 2x <，所以函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为(],ln2∞-.故选：C2．已知函数()2,0,ln ,,x a xf x x x a x⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩若()f x 在()0,∞+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e ⎡⎤⎣⎦B ．[]e,2eC ．2,e e ⎡⎤⎣⎦D ．[)e,+∞=A ．c b a <<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．b c a<<【答案】A【详解】设()e 1xf x x =--，因为()e 1x f x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，4．若函数满足xf x f x >-在R 上恒成立，且a b >，则（）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <【答案】B【详解】由()()xf x f x '>-，设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数，又a b >，所以()()g a g b >，即()()af a bf b >，故选：B.5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e sin xf x x =+，则不等式()π21e f x -<的解集是（）A ．1π,2+⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1π0,2+⎛⎫⎪⎝⎭C ．π1e 0,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1π1π,22-+⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞7．已知函数()，若存在0使得00恒成立，则0的取值范围（）A ．10,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．211,e 2e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦C ．11,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．21,e 2⎡⎤-⎣⎦【答案】D 【详解】由00()()f t x f x t =+-，可得00()()f t t x f x +=+，设函数()()e x h x f x x x =+=+，则()e 10xh x '=+>在R 上恒成立，所以()e xh x x =+单调递增，所以0t x =，则0()b f x t =-()e tf t t t =-=-，[]1,2t ∈-，令()e t g t t =-，[]1,2t ∈-，则()e 1tg t '=-，当0=t 时，()0g t '=，令()0g t '>得：(]0,2t ∈，令()0g t '<得：[)1,0t ∈-，所以()()0min 0=e 01g t g =-=，又()11e 1g --=+，()22e 2g =-，其中21e 2e 1-->+，所以实数b 的取值范围是21,e 2⎡⎤-⎣⎦.故选：D.8．已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)12,0,x x ∀∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值范围是（）A ．21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．22,e ⎤-⎦C ．)2⎡++∞⎣D ．()2e,⎡+∞⎣二、多选题9．已知函数()(1)e x f x x =+的导函数为()f x '，则（）A ．函数()f x 的极小值点为21e -B ．(2)0f '-=C ．函数()f x 的单调递减区间为(,2)-∞-D ．若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点，则21(,0)e a ∈-【答案】BCD【详解】由()(1)e x f x x =+，得()(2)e x f x x '=+，当2x =-时，(2)0f '-=，B 正确；当<2x -时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当2x >-时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，观察图象知，当210e a -<<时，直线所以函数()()g x f x a =-有两个不同的零点时，故选：BCD10．对于三次函数()3ax bx f x =+，给出定义：设f x 是函数的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、解答题11．已知函数()321132f x x ax =-，a ∈R ．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性．当0a =时，()20f x x '=≥，()f x \在R 上单调递增；当a<0时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，则()0f x ¢>；若(),0x a ∈，则()0f x '<；()f x \在()(),,0,a ∞∞-+上单调递增，在(),0a 上单调递减；当0a >时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，则()0f x ¢>；若()0,x a ∈，则()0f x '<；()f x \在()(),0,,a -∞+∞上单调递增，在()0,a 上单调递减；综上所述：当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()(),,0,a ∞∞-+上单调递增，在(),0a 上单调递减；当0a >时，()f x 在()(),0,,a -∞+∞上单调递增，在()0,a 上单调递减.12．已知函数()222ln 12x x f x x -+=．求函数()f x 的单调区间；○热○点○题○型三利用导数研究函数的极值、最值1.由导函数的图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点.(2)由y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的函数值的正负，从而可得到函数y ＝f (x )的单调性，可得极值点.2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b ).(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.一、单选题1．函数()32142f x x x x =+-的极小值为（）A ．43-B ．1C ．52-D ．10427．函数的定义域为R ，导函数f x 的图象如图所示，则函数f x （）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点【答案】C【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，当1x x <或23x x x <<或4x x >时，()0f x ¢>，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增，在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ，所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点.故选：C ．3．已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在()0,π上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A ．13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1319,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦4．已知函数()e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()2h x x =的最大值为2x ，则（）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ≥D ．21x x ≥．若函数在1x =处有极大值，则实数的值为（）A ．1B ．1-或3-C ．1-D ．3-6．已知函数()()2ln 11f x x x =+++，则（）A ．0x =是()f x 的极小值点B ．1x =是()f x 的极大值点C ．()f x 的最小值为1ln 2+D ．()f x 的最大值为37．若函数()3ln f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（）A ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,0]-∞C ．(]3e ,09⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭ D ．32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪8．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足()()1f x xf x x'+=+，()10f '=，()1122g x a ax x=+--，若01a <<，则()()f x g x -的极值情况是（）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极小值，也无极大值二、多选题9．已知函数()2211e e x x f x -+=+，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间()0,2上单调递减C ．()f x 的极小值为22e D ．()f x 的最大值为411e +10．设函数()ln x f x ax x =-，若函数()f x 有两个极值点，则实数a 的值可以是（）A ．12B ．18C ．2D ．14-观察图象知，当a<0或10a 4<<时，直线y a =与函数于是当a<0或10a 4<<时，2ln 1(ln )x a x -=在(0,1)(1,⋃+∞所以实数a 的取值范围是a<0或10a 4<<，即a 的值可以是三、解答题11．已知函数()()322113f x x ax a x b =-+-+（a ，b ∈R ），其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极值；(3)求函数()f x 在区间[]2,5-上的最大值．12．已知函数()ln f x x a=+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数.(1)当1a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在区间(]0,e 上的最大值为2，求a 的值.∴max ，∴，∴3e a =-③若e a -≥，即e a -≤时，在(0,e)上()0f x ¢>，∴()f x 在(0,e)上是增函数，故()f x 在(0,e]上的最大值为()()max e e 12f x f a ==+=，∴e a =不符合题意，舍去，综合以上可得e a =.。

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2018年高考理科数学浙江卷导数压轴题解析
【题目分析】
本题综合考察了函数的单调性、极值以及零点的分析。

解决第（I ）问中12()()f x f x +取值范围问题的关键在于建立1x 与2x 之间的关系将双变量转化为单变量，寻找该单变量的取值范围，构造函数并根据函数的单调性以及定义域讨论其值域，难度不大。

第（II ）问重点考察函数零点的寻找，“零点存在性定理”与“函数单调性”的结合是解决“唯一零点”这类问题的常规套路——“零点存在性定理”解决有没有的问题，“函数单调性”解决可
能有几个的问题。

题目中需要构造()ln h x x kx a =--这样一个含有双参变量的函数，参数a 不会影响“函数单调性”，也就是意味着函数()h x 的单调性比较好处理，难点在于“零点存在性定理”的运用，()h x 是否存在大于0或者小于0的点是由参数k 和a 共同控制的，对于这样一个既含有根号又含有对数的函数而言，处理起来比较棘手。

当然考虑()h x 在0x +=及x =+∞处的极限很容易得出()h x 存在零点的结论，但是需要强调的是求极限严格来讲不属于高中阶段内的知识点（虽然高中教材中有涉及），高考时得不得分存在很大争议，因此高考数学官方标准答案中都会带入“特殊值”，通过不等式的放缩来证明函数值是否存在大于(小于)0的点，本题中官方标准答案中给出(||)a k m e -+=以及22(||1)1n a k =++这样两个极其复杂的“特殊值”，让人望而生叹直呼好难想到。

本解答过程另辟蹊径，给出了两个非常简单的范围来说明()h x 的正负号问题——将()h x
分为kx 与ln x a --两部分，此时参数k 和a 分开(k 和a 二者之间没有关系，相互独立)，逐一讨论范围之后再合并，从而确定()h x 的正负号。

【题目解答】
（I
）21111(()2416f x x '=-=-+，0x >；令12()()f x f x m ''==12(0)x x ≠>，
则
是关于t 的一元二次方程2102t t m -+-=的两个不相等的正数根，从而
121
0161=2256m x x m ⎧⎪<<⎪⎪⇒⎪>⎩
121212()()ln ln f x f x x x x x +==；
令()ln 2g t t =-
，则14()4g t t
t '==，()g t 在(016)，上单调递减，在(16,)+∞上单调递增，所以当12256x x >时，12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-，得证.
（II ）直线y kx b =+与曲线()f x
有唯一公共点等价于函数()ln h x x kx a =--有唯一零点；
(a)
(b) 零点的存在性证明：
当21(0,)x k ∈
时0kx >，当(0,)a x e -∈时ln 0x a -->，所以当21(0,min(,))a x e k
-∈
时，(ln 0h x kx x a -->；当21(
+)x k ∈∞，
时0kx <，当(+)a x e -∈∞，时ln 0x a --<，因此当21(max(
,),)a x e k -∈+∞
时，(ln 0h x kx x a --<；根据零点存在性定理可知函数()h x 在区间22
11(min(
,),max(,))a a e e k k --至少存在一个零点，从而()h x 在(0,)+∞至少存在一个零点. (c) (d) 零点的唯一性证明：
2111()416h x k k x '-=--+-；
若116
k ≥
，则()0h x '≤恒成立，()h x 单调递减，此时()h x 在(0,)+∞最多只有一个零点；若1016k <<
，()=0h x '有两个不相等正根3x 和4x （设34x x <）
且易知11042<<<<，从而()h x 在3(0,)x 上单调递减，34(,)x x 上单调递增，4(,)x +∞上单调递减。

由3()0h x '=得：
3
1k x -，316x >
从而3333333
1()ln ln )ln 1h x x kx a x x a x a x =-----=-+；结合（I ）中函数()g t
3ln 24ln 2x ->-，即3()34l n 20h x a >--≥，所以当4(0,)x x ∈时
函数3()()0h x h x ≥>，结合()h x 的单调性可知()h x 在4(0,)x 内无零点，在4(,)x +∞最多一个零点；此时()h x 在(0,)+∞亦最多只有一个零点.
综上，当0k >且34ln 2a ≤-
时函数()ln h x x kx a =--有唯一零点，即直线y kx b =+与曲线()f x 有唯一公共点.。