数学建模-薄分子穿透力

分子穿透能力的测定

摘要

通过对问题的分析，根据质量守恒，利用微分方程模型，得到了关于浓度低一侧浓度对时间的微分方程模型，通过求解参数和简化以后确定了浓度与时间的指数关系。运用MATLAB编程进行拟合，求得参数，从而得到渗透率K。最后，对拟合结果进行检验，检验结果见图5.2.1和图5.3.1。

关键字：渗透率MATLAB软件参数估计微分方程模型

一、问题重述

某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散的功能，在测试时需测定薄膜被这种分子穿透的能力。测定方法如下：用面积10cm2的薄膜将分成体积分别为100cm3和100cm3的两部分，在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数K表征了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值，以此确定K的数值。

对容器一侧溶液浓度的测试结果如下：

t j100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 C j(10-3mg/cm3) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59

试建立一个较好的数学模型并给出相应的算法和程序。

二、问题分析

用单位体积溶液中所含的溶质质量数来表示的浓度叫质量-体积浓度，题中给出的浓度为质量-体积浓度。通过薄膜单位面积分子扩散速度与膜两侧溶液浓度差成正比例，比例系数K被称为渗透率，它表征了薄膜被分子穿透的能力。要确定渗透率，需要建立通过薄膜单位面积分子扩散速与薄膜两侧浓度差的关系模型。

在本题中我们可以根据质量守恒来进行求解，考察时段[]t

,薄膜两侧容

+

t t?

器中该物质质量的变化，可以用两种形式表示出来，薄膜的一侧在时段[]t

+

,内

t t?

物质质量的增加，以及根据渗透率K表示的一侧渗透至另一侧的物质的质量，两者相等可得到等式（1）。其次，整个容器的溶液中含有该物质的质量不变,与初始时刻该物质的含量相同，也是质量守恒，可得到等式（2），即联立两个等式，可以得到浓度与时间的表达式，代入数据，对等式的系数进行求解。

三、模型假设

1、薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即在任何时刻薄膜两侧的每一处溶液的

溶度都是相同的；

2、当两侧浓度不一致时，物质的分子穿透薄膜总是从高浓度溶液向低浓度

溶液扩散；

3、通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比；

4、薄膜是双向性的，即物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的性能是相同的。

四、符号定义与说明

符号 定义与说明

K 渗透率

)(t C A t 时刻薄膜的A 侧溶液浓度

)(t C B t 时刻薄膜的B 侧溶液浓度

A V 薄膜A 侧的体积

B V 薄膜B 侧的体积

S 薄膜的面积

)0(A C 初始时刻A 侧的溶液浓度

)0(B C 初始时刻B 侧的溶液浓度

五、模型的建立与求解

5.1 模型的建立

考察时段[]t t t ?+,薄膜两侧容器中该物质质量的变化。

在容器的一侧，物质质量的增加是由于另一侧的物质向该侧渗透的结果，因此物质质量的增量应等于另一侧的该物质向这侧的渗透量。

设)(t C A 、)(t C B 分别表示在时刻t 膜两侧溶液的浓度，浓度单位:3/cm mg 以容器A 侧为例，在时段[]t t t ?+,物质质量的增量为：

)()(t C V t t C V A A A A -?+

由于平均每单位时间通过单位面积薄膜的物质分子量与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数为K 。

因此，在时段[]t t t ?+,，从B 侧渗透至A 侧的该物质的质量为：

t S t C t C K A B ?-))()((

于是有：

t S t C t C K t C V t t C V A B A A A A ?-=-?+))()(()()(

两边除以t ?，并令0→?t 取极限再稍加整理即得：

A

A B A V t C t C SK dt t dC ))()(()(-= （1） 注意到整个容器的溶液中含有该物质的质量不变,与初始时刻该物质的含量相同，因此

)0()0()()(B B A A B B A A C V C V t C V t C V +=+

其中)0(A C 、)0(B C 分别表示在初始时刻两侧溶液的浓度

从而：

A B B A B B A A V t C V V C V C t C )()0()0()(-+=

代入式（1）得：

))0()0(()()11()(B

A A

B B B A B V

C V C SK t C V V SK dt t dC +=++ 解得：

t V V SK B

A A A

B B A B B A A B B A e V V V

C C V V V C V C t C )11())0()0(()0()0()(+-+-+++= 由上面的分析得到()B C t 的表达式后问题归结为利用CB 在时刻tj 的测量数据Cj(j=1,2,...,N)来辨识 K 和 ,A B αα

引入： B A B B A A V V V C V C a ++=

)0()0( B

A A A

B V V V

C C b +-=))0()0(( 从而 t V V SK B B A be a t C )11()(+-+=

将321000,10A B V V cm S cm ===代入上式有：

0.02()Kt B C t a be -=+

5.2 模型的求解

由5.1可知)(t C B 和t 的关系式，可用该关系式来拟合附件中给的定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值的实验数据，即确定参数,

a ,

b K 的值。

利用MATLAB 软件编程解得 006941.0=a 002937.0-=b 08093.0=K

容器一侧的溶液浓度离散点与拟合结果图见图5.2.1。

图5.2.1容器一侧的溶液浓度离散点与拟合结果图

5.3 拟合检验

运用MATLAB 软件对拟合的结果进行检验，检验的结果见图5.3.1拟合检验结果截图。

图5.3.1拟合检验结果截图

其中

Sse表示误差平方和,值越小，表示拟合的曲线和真实数据越接近

Rsquare表示确定系数,值越接近于1越好

dfe表示自由度即能够自由取值的变量个数

Adjrsquare表示调整后的确定系数,值越接近于1越好

Rmse表示均方根误差,值越小，表示拟合的曲线和真实数据越接近

由结果可知sse和rmse两者的值都十分接近于一，即表示拟合的曲线和真实数据十分接近，并且确定系数和调整后的确定系数两者的值都接近于1，即综合表示拟合结果较好。

六、模型评价及推广

本文主要根据质量守恒，利用微分方程模型，得到了关于浓度低一侧浓度对时间的微分方程模型，通过求解参数和简化以后确定了浓度与时间的指数关系，

运用MATLAB编程进行拟合，求得参数，从而得到渗透率K。模型较为简单，易于实现，通用性强。

七、参考文献

[1] 章绍辉，数学建模.北京；科学出版社，2010第一版.

[2] 袁振东、洪源，数学建模.华东师范大学出版社，2002第一版.

八、附件

MATLAB程序

clc;

clear all;

t= [100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000];

t=t';

c=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];

c=c';

st=[0,0.05,0.05];

ft_ = fittype('a+b*exp(-0.02*K*t)','dependent',{'c'},'independent',{'t'}, 'coefficients',{'a', 'b', 'K'});

%f = fit(t,c,ft_ ,'Startpoint',st)

[f, goodness]= fit(t,c,ft_,'Startpoint',st)

figure

plot(f,'predobs',0.95);

hold on,plot(t,c,'b*')