上海高一第一学期周练-函数的最值与零点(第十二周)-001
上海市高一数学上学期周练10
上海市2016-2017学年高一数学上学期周练10一. 填空题1. 若函数()|1|2||f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =2. 已知()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++， 则(1)(1)f g +=3. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是4. 若实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，(1)(1)f a f a -=+，则a =5. 函数2()|2|f x x x t =--在区间[0,3]上的最大值为2，则t =6. 对于函数42()88(2)5f x x k x k =+-+-，若存在0x R ∈使得0()0f x <，则k 的取值 范围是7. 函数222231x x y x x ++=++的值域是8. 函数2y x =+的值域是9. 已知整数a 使得关于x 的不等式2230x ax a -+<的解集中有且仅有三个整数，则a 的 值为 10. 不等式1|1|||x x -<的解集是11. 对于函数()f x =,a b 使得()3a f a =，()3b f b =都 成立，则k 的取值范围是12. 若实数,,a b c 满足222870660a bc abc bc a ⎧--+=⎪⎨++-+=⎪⎩，则a 的取值范围是 13. 已知函数2()2||21f x x a x a ax =---+的图像与x 轴有且仅有三个不同的公共点，则a =14.()()10x y ky x y ---+≥对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立， 则k 的最大值是15. 若正实数12,,,n a a a ⋅⋅⋅满足121n a a a ++⋅⋅⋅+= 最大值是二. 选择题1. 函数()(1)(2)kf x x k =--，[21,21)x k k ∈-+，k Z ∈（ ） A. 是奇函数不是偶函数 B. 是偶函数不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数2. 已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数x 和y 满足()()()f xy f x f y =+，若,p q R ∈ 且0q ≠，则()()pf pq f q+=（ ）A. ()()f p f q +B. 2()f pC. 2()f qD. 2()2()f p f q +3. 已知2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧+-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若12||||x x <，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 12()()0f x f x +>B.12()()0f x f x +<C. 12()()0f x f x ->D. 12()()0f x f x -<三. 解答题1.在平面直角坐标系中画出函数y =2.求函数y x=的最值；3. 对于函数()f x ，记1()()f x f x =，1()[()]n n f x f f x +=，*n N ∈，问：是否存在一次函数()f x ，使得()()n f x f x =对任意正整数n 都成立？若存在，求出所有满足要求的()f x ； 若不存在，请说明理由；4. 对于函数()y f x =，x D ∈，如果任取12,x x D ∈，总有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+，则称()y f x =为“下凸函数”；如果任取12,x x D ∈，总有12121()[()()]22x x f f x f x +≥+， 则称函数()y f x =为“上凸函数”； 已知函数()y F x =，(,0)(0,)x ∈-∞+∞是奇函数，函数()y F x =，(,0)x ∈-∞是“上凸函数”；证明：函数()y F x =，(0,)x ∈+∞是“下凸函数”；参考答案一. 填空题1. 4或6-2. 13. (7,3)-4. 34- 5. 1 6. 1(,)(5,)2-∞+∞ 7. 10(2,]38. [4,5] 9. 1-或410. 15(0,+ 11. [0,9) 12. [7,9] 13. 114.二. 选择题1. A2. B3. D三. 解答题1. 22,12x y x ⎧≥⎪=⎨≤≤⎪⎩，图略； 2. [2-； 3. ()f x x =； 4. 略；。
上海中学高一数学(上)学期 函数定义域与值域 周练卷 (含答案)
高一周练数学卷九一. 填空题1.函数y =的定义域为2. 二次函数221y x x =+-(1)x ≠的值域为3. 若(21)f x -的定义域为(1,2)，则()f x 的定义域为4. 定义域为R 的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数()y f x c =+的值域为5. 已知函数21ax b y x +=+53，则a b += 6.已知函数y =M ，最小值为m ，则m M= 7. 定义运算,,x x y x y y x y ≤⎧*=⎨>⎩，若|1||1|m m m -*=-，则m 的取值范围是8.函数y =的值域为9. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米， 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所 走的路程总和最小，这个最小值为10. 若a 是实常数，()f x 对于任何的非零实数x 都有1()()1f af x x x=--，且(1)1f =， 则当0x >时，不等式()f x x ≥的解集是11. 已知对任意实数a 、b 满足()()(21)f a b f a b a b -=--+且(0)1f =，则()f x 的函 数解析式为12. 将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积 之和最小，正方形的周长应为13.设函数()f x =(0)a <的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a =14. 实数集R 中定义运算“*”：（1）对任意,a b R ∈，a b b a *=*；（2）对任意a R ∈，0a a *=；（3）对任意,a b R ∈，()()()()2a b c c ab a c b c c **=*+*+*-，则函数 1()f x x x=*(0)x >的值域为 15. 设1()|1|f x x =-，22()65f x x x =-+-，函数112212(),()()()(),()()f x f x f xg x f x f x f x ≥⎧=⎨<⎩，若方程()g x a =有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是二. 选择题16. 据统计，一名工人组装第x件产品所用时间（单位：分钟）为()x A f x x A <=≥， A 、c 为常数，已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那 么c 和A 的值分别是（ ）A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，1617. 已知()y f x =的图像如图所示，则|(2)|1y f x =-+-的图像是（ ）A. B. C. D.18. 函数2()f x ax bx c =++与2()g x cx bx a =++的值域分别是M 与N ，其中0ac ≠，且a c ≠，则以下结论一定正确的是（ ）A. M N =B. M N ⊆C. N M ⊆D. MN ≠∅三. 解答题 19. 求下列函数的值域：（1）22256x x y x x -=-+；（2）22124x y x x -=-+(1)x >；20.（1）若()f x 为一次函数，且(23)()2f x f x x ++-=+，求()y f x =的解析式；（2）设3()()1f x xf x =+(0,)x x R ≠∈，求()y f x =的解析式；21. 已知1()2bx f x x a +=+（,a b 是常数，2ab ≠），且1()()f x f k x=； （1）求k 的值；（2）若((1))2k f f =，求,a b 的值；参考答案一. 填空题1. {0}[1,)+∞2. [2,)-+∞3. (1,3)4. [,]a b5. 4或6. 7. 1[,)2+∞ 8. [2,)+∞ 9. 2000 10. (0,1] 11. 2()1f x x x =++ 12.44π+ 13. 4- 14. [3,)+∞ 15. (3,4)二. 选择题 16. D 17. C 18. D三. 解答题19.（1）(,2)(2,1)(1,)-∞--+∞；（2）1(0,6； 20.（1）1()2f x x =-；（2）11()22f x x =--； 21.（1）14k =；（2）7a =-，72b =-；。
2022-2023学年上海市高一上学期末数学模拟试题(含解析)
2022-2023学年上海市高一上学期末数学模拟试题（含解析）一、填空题1．已知点在某幂函数图像上，则该幂函数为y =___________.【答案】12x 【分析】待定系数法求解即可.【详解】解：设a y x =，因为点在某幂函数图像上，所以3a =12a =，所以，该幂函数为12y x =.故答案为：12x 2．函数()121xf x =-的定义域是________.【答案】(,0)(0,)-∞+∞ 【解析】由分式分母不为0，解不等式即可.【详解】由210x -≠，得0x ≠，故函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .故答案为：(,0)(0,)-∞+∞ 3．已知26a =，68b =，则ab =___________.【答案】3【分析】由题知2log 6a =，6log 8b =，再根据换底公式计算ab 即可；【详解】解：因为26a =，68b =，所以2log 6a =，6log 8b =，所以662666log 83log 2log 6log 83log 2log 2ab =⋅===.故答案为：34．方程213320x x +-+=的解为___________.【答案】0x =或3log 2【分析】利用换元法，令3x t =，即可进一步求解.【详解】令3x t =，则方程化为2320t t -+=，解得1t =或2t =，即31x =或32x =，故答案为：0x =或3log 2.5．已知3sin 5α=-，则πcos()2α+=___________.【答案】35##0.6【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】π3cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故答案为：356．函数12x y x +=-的单调减区间为___________.【答案】(,2)-∞和(2,)+∞【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得32y x =-的单调区间，进而可求解.【详解】()23131222x x y x x x -++===+---，由于函数32y x =-的单调减区间为(,2)-∞和(2,)+∞.故函数12x y x +=-的单调减区间为(,2)-∞和(2,)+∞.故答案为：(,2)-∞和(2,)+∞7．已知()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，且01x ≤≤时()(21)x f x x =-，则(1)f -=___________.【答案】1-【分析】根据函数的奇偶性即可求解.【详解】由于01x ≤≤时()(21)x f x x =-，故1(1)211f =-=，由()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数可得(1)(1)1f f -=-=-.故答案为：1-8．设12,0,,1,23k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，且对任意(0,1)x ∈，都有k x x >，则k 的取值范围是___________.【答案】12,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数()01xy a a =<<在(),-∞+∞上是减函数，所以对任意(0,1)x ∈，都有k x x >，得1k <，则k 的取值范围是12,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故答案为：12,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭9．已知函数()322,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数[()]y f f x =的所有零点之和为_____________．【答案】43【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点，从而得解．【详解】0x时，220x +=，=1x -，由()1f x =-，可得221x +=-或3log 1x =-，32x ∴=-或13x =；0x >时，3log 0x =，1x =，由()1f x =，可得221x +=或3log 1x =，12x ∴=-或3x =；∴函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点为32-，13，12-，3，所以所有零点的和为311432323⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭故答案为：43．10．已知函数()()2212log 6a f x ax a x +=-+在(,1)-∞上是严格减函数，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[]2,3【分析】由题知2260y ax a x =-+>在(,1)-∞上恒成立，进而得211206012a a a a a ⎧+>⎪⎪>⎪⎨-+≥⎪⎪≥⎪⎩，再解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()()2212log 6a f x ax a x +=-+在(,1)-∞上是严格减函数，所以，2260y ax a x =-+>在(,1)-∞上恒成立，故0a >且226y ax a x =-+在(,1)-∞上单调递减，即有211206012a a a a a ⎧+>⎪⎪>⎪⎨-+≥⎪⎪≥⎪⎩，解得[]2,3a ∈.所以，实数a 的取值范围是[]2,3．故答案为：[]2,3．11．已知函数3()223x x f x x -=+-+，若实数a b 、满足()()22216f a f b +-=，则为___________.【答案】34##0.75【分析】由题知()f x 满足任意x ∈R ，都有()()6f x f x +-=，进而得2221a b +=，再根据基本不等式求解即可.【详解】解：令()322x xg x x -=+-，因为()()()322x x g x x g x --=-+-=-所以，函数()322x xg x x -=+-是R 上的奇函数，所以函数()()3g x f x =-关于(0,0)中心对称，所以，3()223x x f x x -=+-+关于(0,3)中心对称，所以，()f x 满足任意x ∈R ，都有()()6f x f x +-=.因为()()22216f a f b +-=，所以22210a b +-=，即2221a b +=.所以2211412213222244a b +++=⋅≤⋅==，当且仅当22a ==，即4a =，12b =±时取等号，所以的最大值为34.故答案为：3412．已知a ∈R ，函数211(1)0()122x x x a x f x x --+⎧++<⎪=⎨>⎪+⎩，若函数()f x 的图像上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是________【答案】31(,52-【分析】运用对称性及单调性求得x ＞0时，f （x ）的最大值，再求得关于y 轴对称的函数和图象，画出f （x ）和g （x ）的图象，结合图象求得仅有两个交点的a 的范围．【详解】令()11122x x f x --+=+，则()11122x x f x --+=+是由()22x x t x -=+向右平移1个单位得到的，而()22x x t x -=+是R 上的偶函数，且在0)-∞（，上单减，在0)+∞（，上单增，∴()11122x x f x --+=+关于x =1对称，且在1)-∞（，上单减，在1)+∞（，上单增，即当x ＝1时，f 1（x ）min ＝2，∴当x ＞0时，函数()11122x x f x --+=+，关于x =1对称，且在01)（，上单增，在1)+∞（，上单减，∴当x ＞0时，1()2max f x =；∴()()111022x x f x x --+=+＞的大致图象如图所示：若f （x ）图象仅有两对点关于y 轴对称，即f （x ）（x ＜0）的图象关于y 轴对称的函数图象与f （x ）（x ＞0）仅有两个交点，而当x ＜0时，f （x ）＝（x +1）2+a ．设其关于y 轴对称的函数为g （x ），∴g （x ）＝f （﹣x ）＝（x ﹣1）2+a （x ＞0），∴g （x ）a ≥，又当x =0时，11111222225x x --+-==++，而当x =0时，（x ﹣1）2+a a =+1，当g （x ）与f （x ）仅有两个交点时，215a +>且12a ＜，∴3152a -＜＜，综上，a 的取值范围是（35-，12），故答案为（35-，12）．【点睛】本题考查函数的最值求法和对称性，注意运用数形结合思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．二、单选题13．下列函数中，既是奇函数，又在(0,)+∞上是增函数的是（）A ．2y x =B ．21x y =-C ．1y x=D ．3y x =【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性结合选项即可求解.【详解】对于A ，2y x =是偶函数，故不符合，对于B ，21x y =-为非奇非偶函数，故不符合，对于C,1y x=在(0,)+∞上是减函数，故不符合对于D ，3y x =奇函数，同时又在(0,)+∞上是增函数，符合要求，故选：D.14．已知角α满足tan 0α<，cos 0α>，则α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据三角函数在各选项的符号判断即可.【详解】解：由tan 0α<，得角α是第二或第四象限角；又cos 0α>，得角α是第一或第四象限角.综上，α的终边在第四象限．故选：D15．设()y f x =是定义域为R 的奇函数，且在(),0∞-上是严格增函数，则下列一定正确的选项是（）A ．()35423log 522f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()53243log 522f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()5324322log 5f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()5324022f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】求出函数()y f x =在定义域上的单调性，比较3log 5，342-和522-的大小即可得出()3log 5f ，342f -⎛⎫⎪⎝⎭，522f -⎛⎫⎪⎝⎭三者的大小关系.【详解】解：由题意∵()y f x =是定义域为R 的奇函数，且在(),0∞-上是严格增函数，∴()f x 在()0,∞+上也是严格增函数.∵在2xy -=中，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭函数单调递减，故3542122-->>，在3log y x =中，函数单调递增，33log 5log 31>=∴35423log 5122-->>>∴()35423log 522f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A .16．设函数(),1,x x Py f x x M x ∈⎧⎪==⎨-∈⎪⎩，其中,P M 是R 的两个非空子集.又规定()(){}()(){},,,A P y y f x x P A M y y f x x M ==∈==∈，则下列说法：（1）一定有P M ⋂=∅（2）一定有()()A P A M =∅（3）若P M ⋃≠R ，则()()R A P A M ≠ （4）若R P M = ，则()()R A P A M = 其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】对于（1）根据分段函数的性质可得；（2）举特例{}1P =-，{}1M =验证不成立；对于（4）举特例(,1),[1,)P M =-∞=+∞验证不成立,对于（3）根据（4）来判断正确与否.【详解】函数()f x 是分段函数，不同段的定义域没有公共部分，故P M ⋂=∅一定成立，因此（1）正确；当{}1P =-，{}1M =时，由题意得(){}(){}1,1A P A M =-=-显然()(){1}A P A M =-≠∅ ，故（2）不正确；对于（4）：当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时，显然满足R P M = 成立，根据已知的规定，有()(,1),()(0,1]A P A M =-∞=，则()()R (,1)A P A M =-∞≠ ，因此（4）不正确；对于（3）：当R P M = 时，()()R A P A M = 不一定成立，故当P M ⋃≠R 时，显然()()R A P A M ≠ 一定成立，因此（3）正确，所以正确的个数是2个.故选:C.三、解答题17．对于角α，(1)若7sin cos 13αα+=，求sin cos αα的值；(2)若tan 3α=，求222cos sin cos sin 2cos ααααα++的值.【答案】(1)60169-；(2)411.【分析】（1）根据()2sin cos 12sin cos αααα+=+可构造方程求得结果；（2）分子分母同除2cos α，即可配凑为关于tan α的式子，代入tan α的值即可.【详解】（1）()22249sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 169αααααααα+=++=+=，14960sin cos 12169169αα⎛⎫∴=⨯-=- ⎪⎝⎭.（2）2222cos sin cos 1tan 134sin 2cos tan 29211ααααααα+++===+++.18．设函数()y f x =，其中2()||f x x x a =-.(1)若函数()y f x =是偶函数，求实数a 的值；(2)若(2,3)a ∈，记()()10g x f x =-，求证：函数()y g x =在[2,4]上有零点.【答案】(1)0(2)证明见解析【分析】（1）根据(1)(1)f f =-求出0a =，在验证0a =时，()f x 为偶函数即可；（2）利用(2,3)a ∈结合零点存在性定理即可证明.【详解】（1）若函数()y f x =是偶函数，则(1)(1)f f =-，即|1||1|a a -=--，所以11a a -=--或11a a -=+，所以0a =，此时2()||f x x x =，22()()||||()f x x x x x f x -=--==，满足()f x 为偶函数，所以0a =.（2）因为2()()10||10g x f x x x a =-=--,所以(2)4|2|104|2|10g a a =--=--，(4)16|4|1016|4|10g a a =--=--，因为(2,3)a ∈，所以2(0,1)a -∈，4(2,1)a -∈--，所以(2)4|2|10(10,6)g a =--∈--，(4)16|4|10(6,22)g a =--∈，所以当(2,3)a ∈时，(2)(4)0g g <恒成立，故函数()y g x =在[2,4]上有零点.19．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券.已知每投放()04,a a a <≤∈R 亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y 随着时间x （天）(),0x x ∈≥R 的变化的函数关系式近似为()10af x y =，其中()3,0237,270,7xx x f x x x x +⎧≤≤⎪-⎪=-<≤⎨⎪>⎪⎩，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.(1)若第一次投放2亿元消费券，则接下来哪段时间内能使消费总额至少提高40%？(2)政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，将第二次投放消费券后过了x 天(),02x x ∈≤≤R 时全市消费总额提高的百分比记为()g x .若存在[]00,2x ∈，使得()080%g x ≥，试求m 的最小值.【答案】(1)接下来的15~天内，能使消费总额至少提高40%(2)65【分析】（1）将问题转化为()2f x ≥，分别在各段区间内解不等式即可求得结果；（2）分别表示出第一次投入和第二次投入带来的消费总额提高的百分比，由此可得()g x ，由()80%g x ≥可分离变量得到22463x x m x -++≥+有解，令3t x =+，()()()223436t t h t t --+-+=，结合对勾函数单调性可确定()h t 的最小值，即22463x x x-+++的最小值，进而得到结果.【详解】（1）当2a =时，()5f x y =；若40%y ≥，则()2f x ≥；当02x ≤≤时，()323xf x x+=≥-，解得：12x ≤≤；当27x <<时，()72f x x =-≥，解得：25x <≤；当7x >时，()02f x =≥不成立；综上所述：15x ≤≤，即接下来的15~天内，能使消费总额至少提高40%.（2）记第一次投放2亿元优惠券对全市消费总额提高的百分比1y ，第二次投放m 亿元对对全市消费总额提高的百分比为2y ，当02x ≤≤时，()12743105x x y -+⎡⎤-⎣⎦==，23103m x y x +=⋅-，则()1233480%51035x m x g x y y x -+=+=+⋅≥=-有解，即22463x x m x-++≥+有解；令3t x =+，则[]3,5t ∈，3x t =-，令()()()()2223436216242421635t t t t h t t t t t t --+-+-+-⎛⎫===-++≤≤ ⎪⎝⎭，242y t t=+在3,⎡⎣上单调递减，在⎡⎤⎣⎦上单调递增，()h t ∴在3,⎡⎣上单调递增，在⎡⎤⎣⎦上单调递减，又()32h =，()655h =，()min 65h t ∴=，即2min 246635x x x ⎛⎫-++= ⎪+⎝⎭，65m ∴≥，则m 的最小值为65.20．设a R ∈，已知函数3()log ()y f x x a ==+.(1)当2a =时，用定义证明()y f x =是(2,)-+∞上的严格增函数；(2)若定义在[2,2]-上的奇函数()y g x =满足当02x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 在区间[2,0]-上的反函数()y h x =；(3)对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式3231log 493x x t g +⎛⎫->- ⎪+⎝⎭在[0,2]上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)1()1()3xy h x ==-，[1,0]x ∈-(3)(5,37]-【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）根据奇函数的定义可以求出参数，从而根据反函数的定义即可求出反函数解析式；（3）将不等式的右侧转化为特殊的函数值，再利用已经证明的函数的单调性即可求解.【详解】（1）当2a =时，3()log (2)y f x x ==+.任取122x x >>-，1123132322()()log (2)log (2)log 2x f x f x x x x +-=+-+=+，因为122x x >>-，所以12220x x +>+>，即12212x x +>+，1322log 02x x +>+.所以()()120f x f x ->，()y f x =是(2,)-+∞上的严格增函数.（2）由题意得当02x ≤≤时，3()()log ()g x f x x a ==+，又()g x 是定义在[2,2]-上的奇函数，即(0)0g =，得1a =.所以当02x ≤≤时，3()log (1)g x x =+，由()()g x g x =--得当20x -≤≤时，3()log (1)g x x =--+，()[1,0]g x ∈-.令3log (1)y x =--+，则13y x --+=，得11(3y x =-，故()g x 在区间[2,0]-上的反函数1()1()3x y h x ==-，[1,0]x ∈-.（3）33log (1),02()log (1),20x x g x x x +≤≤⎧=⎨--+-≤<⎩是[2,2]-上的严格增函数，关于x 的不等式3231log 493x x t g +⎛⎫->- ⎪+⎝⎭在[0,2]上恒成立，又31(1log 43g -=-，所以231933x x t g g +⎛⎫-⎛⎫>- ⎪+⎝⎭⎝⎭，即2132393x x t +--<≤+恒成立，令3[1,9]x m =∈，得191832m t m t +≥⎧⎨--<⎩，即()()min max 191837325t m t m ⎧≤+=⎪⎨>--=-⎪⎩，故实数t 的取值范围是(5,37]-.21．设()y f x =是一个定义域为R 的函数.若S 是R 的一个非空子集，且对于任意的s S ∈，都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.【答案】(1)函数2y x =不是{1}-关联的，函数[]y x =是{1}-关联的；(2)(1,3)x ∈(3)()f x x C=+【分析】（1）根据()y f x =是S -关联的定义逐个判断可得结果；（2）根据函数()y f x =是{2}-关联的定义求出()f x 在[2,4)上的解析式，将()f x 代入2()4f x <<可解得结果；（3）根据()()f x t f x t +-=，得()()()f x t x t f x x +-+=-，令()()g x f x x =-，得()()g x t g x +=对任意[,]t a b ∈恒成立，由此推出()g x 为常数函数，可得()g x C =，()f x x C =+.【详解】（1）若满足{1}-关联，则需满足(1)()1f x f x +-=恒成立.对于函数2y x =，22(1)()(1)21f x f x x x x +-=+-=+不恒等于1，故2y x =不是{1}-关联的；对于函数[]y x =，[][](1)()1f x f x x x +-=+-1=恒成立，故[]y x =是{1}-关联的.（2）由题意得函数()y f x =满足(2)()2f x f x +-=恒成立，当[0,2)x ∈时，()2x f x =[1,4)∈，当[2,4)x ∈时，2[0,2)x -∈，所以2()(2)222[3,6)x f x f x -=-+=+∈.得02224x x ≤<⎧⎨<<⎩，或2243224x x -≤<⎧⎨≤+<⎩，解得13x <<，所以不等式2()4f x <<的解集为(1,3).（3）由题意得对任意[,]t a b ∈，()()f x t f x t +-=()x t x =+-，则()()()f x t x t f x x +-+=-，即对任意[,]t a b ∈，()()g x t g x +=，其中()()g x f x x =-.任取[0,]s b a ∈-，则[,]b s a b -∈，()()()()g x s g x s b s g x b g x +=++-=+=，又对任意12,R x x ∈，12x x ≤，一定存在正整数k 使得21[0,]x x b a k -∈-，此时2121211()([(1)x x x x g x g x k g x k k k--=+⋅=+-⋅1()g x == ，因此存在实常数C ，使得()g x C =，所以()f x x C =+.【点睛】关键点点睛：第（3）问中，根据()()f x t f x t +-=()x t x =+-，推出()()()f x t x t f x x +-+=-，再换元得()()g x t g x +=，据此推出函数()g x 为常数函数是解题关键.。
上海市上海中学2016-2017学年高一上学期周练(12)数学试题Word版含答案
上海中学2019届高一数学周练十二2016.12.08一. 填空题1. 幂函数23y x -=的定义域为 ，值域为2. 定义在[4,4]-上的偶函数()g x 满足：当0x ≤时，()g x 单调递增，若(1)()g m g m -<， 则m 的取值范围是3. 若函数2()|21|f x x x a a =++-+的图像关于y 轴对称，则实数a =4. 若函数()y f x =是定义在(0,)+∞上的减函数，则函数2(2)y f x x =-的单调递增区间 是5. 已知点(,)A a b ()a b ≠位于直角坐标平面的第一象限，点A 以及点A 关于直线y x =的 对称点B 都在一个幂函数()y f x =的图像上，则()f x =6. 设函数()y f x =对一切实数x 均满足(5)(5)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有7个不 同的实根，则这7个实根的和为7. 已知函数()||f x x a x b =-+，给出下列命题：（1）当0a =时，()f x 的图像关于点(0,)b 成中心对称；（2）当(,)x a ∈+∞时，()f x 是递增函数；（3）当0x a ≤≤时，()f x 的最大值为24a b +，其中正确的序号是 8. 已知函数()y f x =是R 上的增函数，则0a b +>是()()()()f a f b f a f b +>-+-的 条件9. 函数(2)y f x =+的图像过点(1,3)-，则函数()y f x =的图像关于x 轴对称的图像一定 经过点10. 函数122010()1232011x x x x f x x x x x +++=+++⋅⋅⋅+++++的图像的对称中心为 11. 设函数1()f x x x =+的图像为1C ，1C 关于点(2,1)A 对称的图像为2C ，2C 对应的函数 为()g x ，则()g x 的解析式为12. 若函数()f x 满足(||)|()|f x f x =，则称()f x 为对等函数，给出以下三个命题：（1）定义域为R 的对等函数，其图像一定过原点（2）两个定义域相同的对等函数的乘积一定是对等函数（3）若定义域是D 的函数()y f x =是对等函数，则{|(),}{|0}y y f x x D y y =∈⊆≥其中真命题的个数是二. 选择题13. 幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞上是减函数，则实数m =（ ）A. 2或1-B. 1-C. 2D. 2-或114. 已知函数:f R R →，则对所有实数x ，满足221()(())4f x f x -≥，且对不同的x ， ()f x 也不同，这样的函数()f x （ ）A. 不存在B. 有限多个C. 唯一存在D. 无穷多个15. 函数()y f x =的定义域和值域都是(,0)-∞，则()y f x =-的图像一定位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限16. 已知集合{()|()A f x f x =是幂函数且为奇函数}，集合{()|()B f x f x =是幂函数且 在R 上单调递增}，集合{()|()C f x f x =是幂函数且图像过原点}，则（ ）A. A B C =B. B A C =C. C A B =D. A B C =17. 定义域和值域均为[,]a a -（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程(())0f g x =有且仅有三个解；（2）方程(())0g f x =有且仅 有三个解；（3）方程(())0f f x =有且仅有九个解；（4）方程(())0g g x =有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1三. 解答题18. 画出下列函数图像：（1）34y x =；（2）2y x -=；19. 若函数34220()(42)(1)f x mx x m x mx -=++++-+的定义域为R ，求实数m 的范围；20. 已知函数22()k k f x x -++=()k Z ∈满足(2)(3)f f <；（1）求k 的值并求出相应的()f x 的解析式；（2）对于（1）中的()f x ，试判断是否存在q (0)q >，使函数()1()(21)g x qf x q x =-+- 在区间[1,2]-上的值域为17[4,]8-？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由；21. 已知函数()f x = （1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）若00()f x x =，求0x 的值；参考答案一. 填空题1. (,0)(0,)-∞+∞，(0,)+∞ 2. 1[3,)2- 3. 12 4. (,0)-∞ 5. 1x - 6. 35 7. （1）（3） 8. 充要 9. (1,3)-10. (1006,2011)- 11. 1()24g x x x =-+- 12. 1二. 选择题13. B 14. A 15. D 16. B 17. C三. 解答题18. 略；19. 1,2)；20.（1）0k =或1，2()f x x =；（2）2q =；21.（1）定义域[1,0)[1,)-+∞，值域[0,)+∞；（2；。
上海市上海中学2017-2018学年高一上学期数学周练10
上海中学2017-2018 学年高一周练数学卷一 .填空题1.若函数 f ( x)| x 1| 2| x a | 的最小值为5，则实数 a2.已知 f (x) 、 g (x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f (x) g( x) x3x2 1 ，则 f (1) g(1)3.已知 f (x)是定义域为R 的偶函数，当x 0 时，f ( x)x24x ，那么，不等式f (x 2) 5 的解集是4.若实数 a0，函数 f (x)2x a,x1a) f (1a) ，则a x2a,x， f (115.函数f (x)| x2 2 x t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t6.对于函数 f ( x)8x48(k2) x25k ，若存在 x0 R 使得 f (x0 )0 ，则k的取值范围是7.函数 y2x2 2 x 3的值域是x2x18.函数y x224x2的值域是9.已知整数 a 使得对于 x 的不等式x22ax3a 0的解集中有且仅有三个整数，则 a 的值为10.不等式| x 1|1的解集是| x |11.对于函数 f (x)2x k ，若存在两个不相等的实数a,b 使得 f (a)a b ， f (b)都33建立，则 k 的取值范围是12.若实数 a, b, c 知足a2bc 8a 7 0，则 a 的取值范围是b2c2bc6a 6 013.已知函数 f (x)x22a | x a |2ax1的图像与 x 轴有且仅有三个不一样的公共点，则a14. 已知不等式2xy( x y)ky( x y)10 对随意知足x y0 的实数 x, y 恒建立，则 k 的最大值是15.若正实数 a1 , a2 ,, a n知足 a1a2a n 1 ，则a11a2 1a n 1 的最大值是二 . 选择题1. 函数kf () (1)(x2 ) ， x [2 k1,2 k 1)， kZ （）xkA. 是奇函数不是偶函数B. 是偶函数不是奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数2. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 对随意实数 x 和 y 知足 f (xy) f ( x) f ( y) ，若 p, qR且 q0 ，则 f ( pq) f ( p)（）qA. f ( p)f ( q)B.2 f ( p)C.2 f ( q)D.2 f ( p) 2 f (q)3. 已知 f (x)x 2 2x 3, x0 | x 2 | ，则以下不等式必定建立的是（x 22x3, x，若 | x 1 |）A.f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0B. f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0C. f ( x 1 )f ( x 2 ) 0D.f ( x 1 )f ( x 2 ) 0三. 解答题1. 在平面直角坐标系中画出函数y x 2 x 1 x 2 x 1 的大概图像；6x 22. 求函数 y的最值；x3. 对于函数f ( x)，记f1( x) f ( x) ， f n 1 (x) f [ f n (x)] ，n N*，问：能否存在一次函数 f ( x) ，使得f n(x) f ( x) 对随意正整数 n 都建立？若存在，求出全部知足要求的 f ( x) ；若不存在，请说明原因；4. 对于函数y f ( x) ， x D ，假如任取x , x D ，总有 f (x1x2 )122则称 y f ( x) 为“下凸函数” ；假如任取x1, x2 D ，总有 f (x1x2 ) 2则称函数 y f ( x) 为“上凸函数” ；1[ f (x1) f (x2 )] ，21f ( x2 )] ，[ f ( x1 )2已知函数y F ( x) ， x ( ,0) (0,) 是奇函数，函数y F ( x) ， x ( ,0) 是“上凸函数”；证明：函数y F (x) ， x (0,) 是“下凸函数” ；参照答案一.填空题1. 4 或 62.13.(7,3)4.315.46.(1(5,)7.108.[4,5]9.1或 4 , )(2,]2310.15,0)(0,15)11.[0,9)12.[7,9]13.1 (2214.33215.n2n二.选择题1.A2.B3.D三 .解答题1.y2x1,x 2，图略；2.[3 2,0]；2,1x22 3. f ( x)x ； 4.略；。
2023-2024学年浙江省杭州二中高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1．函数f(x)=lnx −1x的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（e ，+∞）2．设函数f （x ）＝sin （x +θ），则“cos θ＝0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列四个函数中的某个函数在区间[−π2，π2]上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）A ．y =x 3−x 2x +2−xB ．y =xcos2x2x +2−x C ．y =1−x 22x +2−x D ．y =sin2x 2x +2−x 4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系．第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝．）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知cos(θ−π12)=34，则sin(2θ+π3)=（ ） A ．−716B ．−18C ．18D ．7166．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，x 1，x 2是f （x ）的两个零点，若x 2＝4x 1，则下列不为定值的量是（ ）A ．φB ．ωC ．ωx 1D ．ωx 1φ7．已知x ＞0，y ＞0，且3x +1y=1，则2x +y +xy 的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．12D ．138．若关于x 的方程(x+1)2x+m(x−1)2x 2+1=5恰有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1＜0＜x 2＜x 3，其中m ∈R ，则x 1+x 2+x 3的值为（ ） A ．32B ．12C ．1D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（ ）A ．设α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角B ．√3sinα+cosα=2sin(α+π3)C ．在△ABC 中，若点O 满足OA →+OB →+OC →=0→，则O 是△ABC 的重心 D ．|(a →⋅b →)c →|≤|a →||b →||c →|10．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数{x }＝[x ]﹣x ，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数{x }的值域为[﹣1，0]B ．函数[{x ）]的值域为{﹣1，0}C ．函数{x }是周期函数D ．函数{x }是减函数11．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x ∈R ，都有f(x)≥f(−5π12)，当ω取最小值时，则下列正确的是（ ） A ．f （x ）图象的对称中心为(kπ2−π6，1)k ∈Z B ．f （x ）在[−π12，π6]上的值域为[√3+1，3] C ．将函数y ＝2sin2x +1的图象向左平移π6个单位长度得到f （x ）的图象D ．f （x ）在[π6，π2]上单调递减12．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP →=xBA →+yBC →，则（ ）A ．BD →=13BA →+23BC →B ．x +y 的最大值为1+√33C ．BP →⋅BC →最大值为9D ．BO →⋅DO →=1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝tan x 的定义域为 ．14．若a ＝sin1，b ＝ln sin1，c ＝e sin1，则三数a ，b ，c 中最小数为 ．15．在解析几何中，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）为直线l 上的两个不同的点，则我们把P 1P 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n →表示，此时P 1P 2→⋅n →=0．若点P ∉l ，则可以把PP →在法向量n →上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离．现已知平面直角坐标系中，P （﹣2，﹣2），P 1（2，1），P 2（﹣1，3），则点P 到直线l 的距离为 ． 16．对于非空集合M ，定义Φ(x)={0，x ∉M 1，x ∈M，若A ={x|sinx ≥√22}，B ＝（a ，2a ），且存在x ∈R ，ΦA （x ）+ΦB （x ）＝2，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为(45，y 0)，且α∈(3π2，2π)． （1）求cos α，sin α的值； （2）cos(π+α)+cos(π2+α)sin(π2−α)⋅tan(π−α)的值． 18．（12分）如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→(x ，y ∈R)，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．（1）设OM →=(0，3)，ON →=(4，0)，求OM →⋅ON →的值； （2）若OP →=(3，4)，求|OP →|的大小．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量m →=(c ，a −b)，n →=(sinB −sinC ，sinA +sinB)，m →⊥n →． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，△ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值．20．（12分）如图所示，有一条“L ”形河道，其中上方河道宽√2m ，右侧河道宽√6m ，河道均足够长．现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中△OAB ）养殖观赏鱼，且∠OAB =θ(0＜θ＜π2)，点H 在线段AB 上，且OH ⊥AB ．线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤．（1）当养殖区域面积最小时，求θ的值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围．21．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos x ﹣a ，x ∈(π2，π)．（1）讨论函数f （x ）的零点个数；（2）若函数f （x ）有两个零点x 1，x 2，试证明：11−tanx 1tanx 2≤tanx 1tanx 2−3．2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1．函数f(x)=lnx −1x的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（e ，+∞）解：∵y ＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，y =−1x 在（0，+∞）上单调递增，∴函数f(x)=lnx −1x在（0，+∞）上单调递增，又f （1）＝ln 1﹣1＝﹣1＜0，f （2）＝ln 2−12=ln 2﹣ln √e ＞0，∴由零点存在性定理得函数f(x)=lnx −1x的零点所在的大致区间是（1，2），故选：A ．2．设函数f （x ）＝sin （x +θ），则“cos θ＝0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若f （x ）＝sin （x +θ）为偶函数，则θ＝k π+π2（k ∈Z ），故cos θ＝0，反之亦然，故cos θ＝0”是“f （x ）为偶函数”的充分必要条件． 故选：C ．3．下列四个函数中的某个函数在区间[−π2，π2]上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）A ．y =x 3−x2x +2−xB ．y =xcos2x 2x +2−xC ．y =1−x 22x +2−xD ．y =sin2x 2x +2−x 解：由偶函数定义可得y =1−x 22x +2−x 为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ； 当0＜x ＜1时，x 3﹣x ＜0，y =x 3−x2x +2−x ＜0．排除A ； 当x =π2时，y =sin(2×π2)2π2+2−π2=0．排除D ；y =xcos2x 2x +2−x 为奇函数，且当0＜x ＜π4时，y =xcos2x 2x +2−x ＞0， 当x =π2时，y =π2⋅cos(2×π2)2π2+2−π2=−π22π2+2−π2＜0．B 均符合题给特征． 故选：B ．4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系．第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝．）A ．3B ．4C ．5D ．6解：设所在扇形圆心角为α，中周对应的半径为r 步，则外周对应的半径为（r +5）步， 则{αr =92α(r +5)=122，解得α＝6，r =463，所以扇形的圆心角为6．故选：D ． 5．已知cos(θ−π12)=34，则sin(2θ+π3)=（ ） A ．−716B ．−18C ．18D ．716解：已知cos(θ−π12)=34，则cos(2θ−π6)=2cos 2(θ−π12)−1=18， 则sin(2θ+π3)=sin(2θ−π6+π2)=cos(2θ−π6)=18．故选：C ．6．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，x 1，x 2是f （x ）的两个零点，若x 2＝4x 1，则下列不为定值的量是（ ）A ．φB ．ωC ．ωx 1D ．ωx 1φ解：函数f （x ）＝cos （ωx +φ），ω＞0的周期为2πω，令f（x）＝0，可得ωx+φ=kπ+π2，k∈Z，所以x=kπ+π2−φω，即x=2kπ+π−2φ2ω，k∈Z，又ω＞0，|φ|＜π2，所以0＜φ＜π2，x1=π−2φ2ω，x2=3π−2φ2ω，又x2＝4x1，所以3π−2φ2ω=4×π−2φ2ω，所以φ=π6，ωx1=π−2φ2ω•ω=π2−φ=π2−π6=π3，ωx1φ=π3π6=2，∴不为定值的量是ω．故选：B．7．已知x＞0，y＞0，且3x +1y=1，则2x+y+xy的最小值为（）A．9B．10C．12D．13解：因为x＞0，y＞0，且3x +1y=1，两边同时乘以x，可得xy=x﹣3，所以2x+y+xy=2x+y+x﹣3＝3x+y﹣3＝（3x+y）（3x+1y）﹣3＝9+1+3yx+3xy−3≥7+2√3yx⋅3xy=13，当且仅当3yx=3xy，即x＝y＝4时取等号，所以2x+y+xy的最小值为13．故选：D．8．若关于x的方程(x+1)2x+m(x−1)2x2+1=5恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，则x1+x2+x3的值为（）A．32B．12C．1D．2解：依题意可知x≠0，由(x+1)2x+m(x−1)2x2+1=5整理得x+1x+m﹣3﹣2m•1x+1x=0，①即关于x的方程恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，令t＝x+1x，则t≤﹣2或t≥2，则①转化为：t+m﹣3﹣2m⋅1t=0，即t2+（m﹣3）t﹣2m＝0，Δ＝（m﹣3）2+8m＝m2+2m+9＞0，根据对勾函数的性质可知t ＝x 1+1x 1=−2是方程t 2+（m ﹣3）t ﹣2m ＝0的一个根，此时x 1＝﹣1， 所以（﹣2）2+（m ﹣3）×（﹣2）﹣2m ＝0，m =52，所以t 2−12t ﹣5＝0，解得t ＝﹣2或t =52，所以x 2，x 3是方程x +1x =52的根，即x 2−52x +1＝0的根，所以x 2+x 3=52，所以x 1+x 2+x 3＝﹣1+52=32．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（ ）A ．设α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角B ．√3sinα+cosα=2sin(α+π3)C ．在△ABC 中，若点O 满足OA →+OB →+OC →=0→，则O 是△ABC 的重心 D ．|(a →⋅b →)c →|≤|a →||b →||c →|解：对于A ：由于α是第一象限角，故2kπ＜α＜2kπ+π2，（k ∈Z ），故kπ＜α2＜kπ+π4，（k ∈Z ），当k ＝0时，0＜α2＜π4，当k ＝1时，π＜π2＜5π4，故α2为第一或第三象限角，故A 正确；对于B ：√3sinα+cosα=2sin(α+π6)，故B 错误；对于C ：在△ABC 中，设点D 为AB 的中点，若点O 满足OA →+OB →+OC →=0→，整理得OC →=−OA →−OB →，即OC →=−2OD →，则O 是△ABC 的重心，故C 正确；对于D ：由于|a →⋅b →|≤|a →||b →|，所以|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|，故D 正确． 故选：ACD ．10．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数{x }＝[x ]﹣x ，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数{x }的值域为[﹣1，0]B ．函数[{x ）]的值域为{﹣1，0}C ．函数{x }是周期函数D ．函数{x }是减函数解：对于A ，若{x }＝﹣1，即[x ]﹣x ＝﹣1，所以x ＝[x ]+1∈Z ，所以[x ]＝[[x ]+1]＝[x ]+1，矛盾，故A 错误；对于B，当x∈Z时，则{x}＝0；当x∉Z时，﹣1＜[x]﹣x＜0，所以[{x}]＝﹣1，所以函数[{x）]的值域为{﹣1，0}，故B正确；对于C，{x+1}＝[x+1]﹣（x+1）＝[x]+1﹣（x+1）＝[x]﹣x，所以函数{x}是周期函数，故C正确；对于D，取x＝1，则{1}＝[1]﹣1＝0，{2}＝[2]﹣2＝0，所以函数{x}不是减函数，故D错误．故选：BC．11．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x∈R，都有f(x)≥f(−5π12)，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A．f（x）图象的对称中心为(kπ2−π6，1)k∈ZB．f（x）在[−π12，π6]上的值域为[√3+1，3]C．将函数y＝2sin2x+1的图象向左平移π6个单位长度得到f（x）的图象D．f（x）在[π6，π2]上单调递减解：函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，可得f（x）的图象关于点（−π6，1）对称，即有−π6ω+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+π6ω，k∈Z，由对任意x∈R，都有f(x)≥f(−5π12)，可得f（x）在x=−5π12处取得最小值，所以−5π12ω+φ＝2mπ−π2，m∈Z，即有π6ω−5π12ω＝（2m﹣k）π−π2，即有ω＝4（k﹣2m）+2，k﹣2m∈Z，因为ω＞0，|φ|＜π2，又ω能取最小值，所以k﹣2m＝0，可得ω＝2，则φ＝kπ+π3＜π2，解得k＝0，φ=π3，所以f（x）＝2sin（2x+π3）+1，由2x+π3=kπ+π2，k∈Z，可得x=kπ2+π12，k∈Z，即有f（x）的对称轴方程为x=kπ2+π12，k∈Z，故A错误； 当x ∈[−π12，π6]时，2x +π3∈[π6，2π3]，可得sin （2x +π3）∈[12，1]，则f （x ）的值域为[2，3]，故B 错误； 将函数y ＝2sin2x +1的图象向左平移π6个单位长度得到函数y ＝2sin （2x +π6）+1的图象，故C 正确；当x ∈[π6，π2]时，2x +π3∈[2π3，4π3]是f （x ）的减区间，故D 正确．故选：CD ．12．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP →=xBA →+yBC →，则（ ）A ．BD →=13BA →+23BC →B ．x +y 的最大值为1+√33C ．BP →⋅BC →最大值为9D ．BO →⋅DO →=1解：对于选项A ，∵AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，∴OA =OD =DC =13AC ，∴BD →=BC →+CD →=BC →+13CA →=BC →+13(BA →−BC →)=13BA →+23BC →，故A 正确；对于选项B ，∵BP →=xBA →+yBC →，∴(cosα−12，sinα−3√32)=(−32(x −y)，−3√32(x +y))，∴sinα−3√32=−3√32(x +y)， ∴x +y =−2√39sinα+1， 又∵α∈[π，2π]， ∴当α=3π2时，x +y 取得最大值2√39+1，故B 错误； 对于选项C ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则A(−1，0)，B(12，3√32)，C(2，0)，∵点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上， ∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，且在x 轴的下半部分， 设P （cos α，sin α），α∈[π，2π]，则BP →=(cosα−12，sinα−3√32)，BC →=(32，−3√32)，BA →=(−32，−3√32)，∴BP →⋅BC →=32cosα−34−3√32sinα+274=3cos(α+π3)+6，又∵α∈[π，2π]，∴α+π3∈[4π3，7π3]， ∴当α+π3=2π时，BP →⋅BC →取得最大值9，故C 正确； 对于选项D ，∵BO →=BC →+CO →=BC →+23CA →=BC →+23(BA →−BC →)=23BA →+13BC →，∴BD →⋅BO →=(13BA →+23BC →)⋅(23BA →+13BC →)=29BA →2+29BC →2+59BA →⋅BC →=2+2+59×3×3×12=132，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝tan x 的定义域为 {x |x ≠k π+π2，k ∈Z } ．解：根据正切函数y ＝tan x 的定义知，其定义域为{x |x ≠k π+π2，k ∈Z }．故答案为：{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z}．14．若a ＝sin1，b ＝ln sin1，c ＝e sin1，则三数a ，b ，c 中最小数为 b ． 解：因为0＜sin1＜sin π3＜1，ln sin1＜ln 1＜0，e sin1＞e 0，所以0＜a ＜1，b ＜0，c ＞1， 所以最小的数是b ． 故答案为：b ．15．在解析几何中，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）为直线l 上的两个不同的点，则我们把P 1P 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n →表示，此时P 1P 2→⋅n →=0．若点P ∉l ，则可以把PP →在法向量n →上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离．现已知平面直角坐标系中，P （﹣2，﹣2），P 1（2，1），P 2（﹣1，3），则点P 到直线l 的距离为 17√1313． 解：由题意得，P 1P 2→=（﹣3，2），所以与P 1P 2→垂直的向量n →可取为（2，3），即直线l 的一个法向量为n →=（2，3）， 又PP 1→=（4，3），所以点P 到直线l 的距离d =|PP 1→⋅n →||n →|=8+9√4+9=17√1313．故答案为：17√1313． 16．对于非空集合M ，定义Φ(x)={0，x ∉M 1，x ∈M，若A ={x|sinx ≥√22}，B ＝（a ，2a ），且存在x ∈R ，ΦA （x ）+ΦB （x ）＝2，则实数a 的取值范围是 （π8，3π4）∪（9π8，+∞） ．解：A ＝{x |sin x ≥√22}＝{x |π4+2k π≤x ≤2k π+3π4，k ∈Z }， 存在x ∈R ，ΦA （x ）+ΦB （x ）＝2，即存在x ∈R ，ΦA （x ）＝1且ΦB （x ）＝1， 即存在x ∈R ，使得x ∈A 且x ∈B ， 即A ∩B ≠∅，显然a ＞0，①当0＜a ＜π4时，则2a ＞π4，即有π8＜a ＜π4；②当π4≤a ＜3π4时，显然满足A ∩B ≠∅； ③当a ≥3π4时，则2a ＞9π4，即有9π8＜a ＜11π4； ④当a ≥11π4时，2a ﹣a ＝a ＞2π，满足题意． 综上所述，实数a 的取值范围是（π8，3π4）∪（9π8，+∞）．故答案为：（π8，3π4）∪（9π8，+∞）．四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为(45，y 0)，且α∈(3π2，2π)． （1）求cos α，sin α的值；（2）cos(π+α)+cos(π2+α)sin(π2−α)⋅tan(π−α)的值． 解：（1）∵α∈(3π2，2π) ∴y 0＜0，∵(45)2+y 02=1， ∴y 0=−35，∴sin α＝y 0=−35，cos α＝x 0=45；（2）cos(π+α)+cos(π2+α)sin(π2−α)⋅tan(π−α)=−cosα−sinαcosα⋅(−tanα) 由（1）知：sin α=−35，cos α=45，所以tan α=−34，所以=−cosα−sinαcosα⋅(−tanα)=−45+3545×34=−1535=−13．18．（12分）如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→(x ，y∈R)，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy中的坐标．（1）设OM →=(0，3)，ON →=(4，0)，求OM →⋅ON →的值； （2）若OP →=(3，4)，求|OP →|的大小．解：（1）由题意知，OM →=3e 2→，ON→=4e 1→，所以OM →⋅ON →=12e 1→⋅e 2→=12cos60°=6．（2）因为OP →=(3，4)， 所以OP →=3e 1→+4e 2→，所以|OP →|2=(3e 1→+4e 2→)2=9|e 1→|2+24e 1→⋅e 2→+16|e 2→|2=25+24cos60°=37， 所以|OP →|=√37．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量m →=(c ，a −b)，n →=(sinB −sinC ，sinA +sinB)，m →⊥n →． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，△ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值．解：（1）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量m →=(c ，a −b)，n →=(sinB −sinC ，sinA +sinB)，m →⊥n →，因为m →⊥n →，所以m →⋅n →=(c ，a −b)⋅(sinB −sinC ，sinA +sinB)=0，即c （sin B ﹣sin C ）+（a ﹣b ）（sin A +sin B ）＝0，故c （b ﹣c ）+（a ﹣b ）（a +b ）＝0， 整理得到a 2＝b 2+c 2﹣bc ，即cosA =12，又A ∈（0，π），故A =π3，则角A 的大小为π3；（2）若a ＝2，△ABC 的周长为l ，面积为S ，由余弦定理，得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即4＝b 2+c 2﹣bc ， 所以4＝（b +c ）2﹣3bc ，即bc =13[(b +c)2−4]，因为S =12bcsinA =√34bc ，l ＝b +c +2，所以S l =√3bc 4(b+c+2)=√3[(b+c)2−4]12(b+c+2)=√312(b +c −2)，又bc ≤(b+c)24（当且仅当b ＝c 时取等号），所以4=(b +c)2−3bc ≥(b+c)24（当且仅当b ＝c ＝2时取等号），所以b +c ≤4（当且仅当b ＝c ＝2时取等号），所以S l =√312(b +c −2)≤√312×(4−2)=√36（当且仅当b ＝c ＝2时取等号），即Sl 的最大值为√36（当且仅当b ＝c ＝2时取等号）． 20．（12分）如图所示，有一条“L ”形河道，其中上方河道宽√2m ，右侧河道宽√6m ，河道均足够长．现过点D修建一条栈道AB，开辟出直角三角形区域（图中△OAB）养殖观赏鱼，且∠OAB=θ(0＜θ＜π2)，点H在线段AB上，且OH⊥AB．线段OH将养殖区域分为两部分，其中OH上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤．（1）当养殖区域面积最小时，求θ的值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH上投喂金鱼，在河岸OB与栈道HB上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围．解：（1）如图，过D作DM，DN垂直于OA，OB，垂足分别为M，N，则DM=ON=√2，DN=OM=√6，AM=DMtanθ=√2tanθ，BN=DNtanθ=√6tanθ，养殖观赏鱼的面积S△OAB=12OA⋅OB=12(√6+√2tanθ)(√2+√6tanθ)=2√3+1tanθ+3tanθ，由θ∈(0，π2)可得tanθ＞0，则1tanθ+3tanθ⩾2√3，当且仅当tanθ=√33即θ=π6时取等号，故θ=π6时，S△OAB最小=4√3；（2）由∠AOB=∠OHA=π2，可得∠BOH＝θ，则AH=OHtanθ，BH=OHtanθ，OB=OHcosθ，由题意BH+OB⩾AH，则tanθ+1cosθ⩾1tanθ⇔sinθ+1cosθ⩾cosθsinθ⇔(sinθ+1)sinθ⩾cos2θ=1−sin2θ，则sinθ⩾1−sinθ⇔sinθ⩾1 2，则θ∈[π6，π2)．21．（12分）设a∈R，函数f（x）＝sin2x﹣cos x﹣a，x∈(π2，π)．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，试证明：11−tanx1tanx2≤tanx1tanx2−3．解：（1）由f（x）＝sin2x﹣cos x﹣a，x∈(π2，π)，得f（x）＝﹣cos2x﹣cos x﹣a+1，令f（x）＝0，则cos2x+cos x＝﹣a+1，当x∈(π2，π)时，t＝cos x∈（﹣1，0），则t2+t∈[−14，0)，所以t2+t＝﹣a+1，所以﹣a+1≥0或−a+1＜−14，解得a≤1或a＞54时，t2+t＝a+1无解；−a+1=−14，即a=54时，t2+t＝a+1仅有一解；−14＜−a+1＜0，即1＜a＜54时，t2+t＝a+1有两解，综上，当a≤1或a＞54时，f（x）无零点；当a=54时，f（x）有一个零点；当1＜a＜54时，f（x）有两个零点．（2）证明：令t1＝cos x1，t2＝cos x2，f（x）有两个零点，则t1，t2为t2+t＝a+1两解，所以t1+t2＝﹣1，所以cos x1+cos x2＝﹣1，所以cos2x1+2cosx1cosx2+cos2x2=1，由x1，x2∈(π2，π)，可得cos x1＜0，cos x2＜0，所以2cos x1cos x2＞0，所以cos2x1+cos2x2＜1，所以cos2x1＜sin2x2=cos2(3π2−x2)，由x2∈(π2，π)，可得3π2−x2∈(π2，π)，cos(3π2−x2)＜0，所以cosx1＞cos(3π2−x2)，由y＝cos x在(π2，π)递减，可得x1＜3π2−x2，所以π＜x1+x2＜3π2⇒cos(x1+x2)＜0．令λ=1−tanx1tanx2=cosx1cosx2−sinx1sinx2cosx1cosx2=cos(x1+x2)cosx1cosx2＜0，即证1λ≤1−λ−3=−λ−2，即证λ2+2λ+1≥0，显然λ2+2λ+1≥0成立，故原式成立．。
2023-2024学年上海实验高一上学期数学周测及答案(2023.12)
1上实验2023学年第一学期高一年级数学周测2023.11.28一、填空题（每题5分，共50分） 1、函数3log (1)yx −的定义域是__________.2、函数31(0,1)xy a a a −=+>≠的图像恒过的定点的坐标是__________.3、若23{2,,4,}32α∈−，则使函数y x α=的定义域为R 且图像关于y 轴对称的所有α的值为___________. 4、已知幂函数21()m yxm Z −+∈的图像与x 轴，y 轴都有交点，则m =__________.5、已知指数函数(01)xy a a =<<在区间[1,2]上的最大值比最小值大3a，则a =__________.6、函数2log y x =的定义域为1[,]2t ，函数值取值集合为[0,1]，则实数t 的取值集合为__________.7、关于x 的方程30(0,1)x a b a a −+=>≠恰有两个不同的实数解，则实数b 的取值范围是__________.8、如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度v （单位：/km s ）和燃料的质量M （单位：kg ）之间的关系是02ln(1)Mvm +，火箭的质量为0m ，这里ln 表示以e 为底的自然对数.问当燃料质量至少是火箭质量的__________倍时，火箭的最大速度才能超过8/km s .（结果精确到0.1倍） 9、已知函数12ax y x +=+在区间[1,)−+∞上是严格增函数，且在区间[1,)−+∞上函数值恒正，则实数a 的取值范围是__________.210、设1a >，0b >，若存在实数,k t ，使得对任意的0x >，都有(log ())a kx t x a +−+1(log ())0a kx t bx a⋅+−<+，则k t +的取值范围是__________. 二、选择题（每题5分，共20分） 11、下列各式中，错误的是（ ）A.22.5−<21.8− B.451.32>45(2) C. 2.62.611.21.2<D.1132−>12、函数21log 1xy x−=+的图像（ ） A. 关于y 轴对称 B.既关于原点又关于y 轴对称C. 关于原点中心对称D.既不关于原点又不关于y 轴对称13、若幂函数my x =，ny x =，对数函数1log a y x =，2log a y x =在0x >时的图像如图所示，则（ ）A.2101m n a a <<<<<B.1201n m a a <<<<<C.2101n m a a <<<<<D.1201m n a a <<<<<14、已知函数()23log 2ymx x m −+,定义域为A ,函数值集合为B .则（1）存在实数m 使得A B R ==;（2）存在实数m 使得A B R =⊂;以下选项正确的是（ ）A.（1）正确（2）正确B. （1）正确（2）错误C.（1）错误（2）正确D.（1）错误（2）错误3三、解答题（其中第15题8分，第16题10分，第17题12分） 15、解关于x 的不等式2log (23)log 4a a x x x +−>，其中0a >且1a ≠16、（1）孙同学开了一家网红奶茶店，每一杯奶茶的售价25元，本金5元，一天能卖出100杯，若每一杯奶茶售价降低1元，则销售量能增加10杯，设每一杯奶茶售价降低x 元（x 为正整数），写出净利润y 与x 的函数关系式，并求出y 的最大值M .（2）夏同学、姚同学也各自开了自己的奶茶店.为了增加盈利，夏同学采用了单次购买第二杯打7折的方案，结果第n 天的净利润是 1.6M n ⋅，姚同学采用了指数型的思维方式，消费者第一杯原价，之后每带一个新人消费，则原消费者免费一杯，结果第n 天的净利润是 1.08n M ⋅，评价一下夏同学和姚同学的盈利.417、已知函数2()log f x x =，()2xg x −=−.（1）在同一坐标系中画出两个函数的大致图像； （2）观察图像，寻找其中的对称美，并证明.5参考答案一、填空题1、(,1)−∞2、(3,2)3、2,434、05、236、[1,2]7、30b −<<8、53.6 9、112a <<10、[1,1]− 10、设1a >，0b >，若存在实数,k t ，使得对任意的0x >，都有(log ())a kx t x a +−+1(log ())0a kx t bx a⋅+−<+，则k t +的取值范围是__________. 【答案】[1,1]−【解析】令()f x kx t =+，()log ()a g x x a =+，1()log ()a h x bx a=+ 对任意的0x >，都有(()())(()())0f x g x f x h x −⋅−< 相当于()f x 的函数值夹在两个函数()g x 和()h x 的中间()log ()a g x x a =+在(0,)+∞上为严格增函数，(0)1g =11()log ()log ()a ah x bx a bx a ==++在(0,)+∞上为严格减函数，(0)1h =−若0k >，则当x 充分大时，()f x kx t =+增长速度超过函数()g x ，此时(log ())a kx t x a +−+1(log ())0a kx t bx a⋅+−>+，这与条件矛盾. 若0k <，同理，与条件矛盾所以0k =，此时11t −≤≤，所以k t +的取值范围是[1,1]− 二、选择题11、B 12、C 13、B 14、D 14、已知函数()23log 2ymx x m −+,定义域为A ,函数值集合为B .则（1）存在实数m 使得6A B R ==;（2）存在实数m 使得AB R =⊂;以下选项正确的是（ ） A.（1）正确（2）正确 B. （1）正确（2）错误 C.（1）错误（2）正确 D.（1）错误（2）错误【答案】D【解析】（1）=D R ：第一种情况0=m 不满足； 第二种情况0>m 且2440∆=−<m ，所以1>m ；=A R ，22=−+t mx x m 能取遍一切正实数第一种情况 0=m ；第二种情况 0>m 且2440∆=−≥m 01<≤m ，所以01≤≤m 所以不存在实数m 使得A B R ==.（2）若0>m 第一种情况0∆≥ 此时值域为R 不合题意； 第二种情况0∆< 此时定义域为R 不合题意；若0=m 此时值域为R 不合题意；若0<m 此时0∆>否则函数无意义，定义域为12(,)x x ，值域为21(,]−−∞m m不合题意 三、解答题15、13x <<，01a <<16、（1）2101002000(020)y x x x =−++≤≤，当5x =时，max 2250y = ；（2）考虑 1.6 1.08n n −，第1天，姚同学的盈利多，从第2天到第94天，夏同学每天的盈利更多从第95天起，姚同学盈利更多.717、17、已知函数2()log f x x =，()2xg x −=−.（1）在同一坐标系中画出两个函数的大致图像； （2）观察图像，寻找其中的对称美，并证明. 【答案】（1）如图； （2）见解析 【解析】（1）（2）函数2()log f x x =与函数()2xg x −=−关于直线y x =−对称.设点00(,)P x y 是函数2()log f x x =图像上任意一点， 即020log y x =，则002yx =，0()0()2y x −−−=−所以点00(,)y x −−在函数()2xg x −=−的图像上.由于点00(,)x y 与点00(,)y x −−关于直线y x =−对称. 反之，设点00(,)Q x y 是函数()2xg x −=−图像上任意一点，同理，点00(,)y x −−在函数2()log f x x =图像上.所以函数2()log f x x =与函数()2xg x −=−关于直线y x =−对称.。
上海市上海中学2021 2021学年高一上学期数学周练16 含答案 精品
上海市上海中学2021 2021学年高一上学期数学周练16 含答案精品上海市上海中学2021-2021学年高一上学期数学周练16含答案精品上海高中一周的数学实践2021.1.5我完成了1.y?(3?a)(a?6)（?6?a?3）的最大值为2.方程31x？1.3的实数解是X3？133.函数f（x）的图像向右移动一个单位长度，得到的图像与y相同？Ex是关于Y轴对称的，那么f（x）？x4.已知函数f(x)?a?b（a?0，a?1）的定义域和值域都是[?1,0]，则a?b?5.若方程|x |？Kx2有四种不同的实解，那么K的取值范围是x？46.已知f（x）|x？3|?| 十、2|?| 十、3.f（A2？3A？2）是什么时候？当f（a？1）时，a的取值范围为7.若函数f(x)?(1?x2)(x2?ax?b)的图像关于直线x??2对称，则f(x)的最大值是8.如图所示，功能y？F（x）的图像由两条射线和三条线段组成，如果有x？Rf(x)?f(x?1)，则正实数a的取值范围为9.设函数f（x）？ln（1？| x |）？10.已知f(x)?2?log3x，x?[1,9]，则y?[f(x)]?f(x)的最大值为11.已知函数f(x)?x?x?k（x??则实数k的取值范围为2221，那么做f（x）？f（2x？1）的X值范围是21？x1？1）具有反函数f（x）的图像有两个不同的交点，2x2？9x？1212.如果函数f（x）满足2F（x？x）？f（x？5x？6）？如果成立，那么x(x?1)(x?2)(x?3)22f(x)?二选择题13.已知函数f(x)?a?x?x（a为常数且a?n），对于定义域内的任意两个实数x1、*X2，常数| f（x1）？f（x2）|？1为真，则正整数a的值为（）a.4个b.5个c.6个d.7个14.具有定义域r的函数f（x）满足：f（x1？X2）对于任何x1和X2？f（x1）？f（x2）？1.那么下面的陈述必须是正确的（）a.f(x)为奇函数b.f(x)为偶函数c.f(x)?1为奇函数d.f(x)?1为偶函数15.函数f(x)?ax?b的图像如图所示，则下列结论成立的是（）2(x?c)a.a?0，b?0，c?0b.a?0，b?0，c?0c、 a？0，b？0，c？0d。
2021年高一上学期周练(12.2)数学试题 含答案
2021年高一上学期周练（12.2）数学试题含答案一、选择题1．已知函数，下列说法正确的是（）A．当时，没有零点B．当时，有零点，且C．当时，有零点，且D．当时，有零点，且2．已知函数满足，当时，，若在上，方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．3．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．4．函数的零点所在区间为A． B．C． D．5．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点（，）为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则=（）A．100 B．50 C． D．06．已知函数, ，则函数的所有零点之和是（）A．2 B． C． D．07．已知命题:“方程有实根”，且为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．8．设函数若，，则关于的方衡的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D． 49．定义运算若，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.11．函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.12．方程的解所在区间是（）A. B.C. D.二、填空题13．已知函数，若方程有三个不同的解，且，则的取值范围是 . 14．已知二次函数，若在区间内至少存在一个实数使，则实数的取值范围是__________.15．已知函数满足，且，那么函数有个零点．16．设函数，给出下列四个命题：①时，是奇函数；②时，方程只有一个实根；③的图象关于对称；④方程至多两个实根.其中正确的命题是．（填序号）三、解答题17．若二次函数有一个零点小于-1，一个零点大于3，求实数的取值范围. 18．设，集合，，.（Ⅰ）求集合（用区间表示）；（Ⅱ）求函数在内的零点.参考答案DDDAD ABCAA11．C12．D13．14．15．16．①②③17．.二次函数开口向下所以只需满足即可，解得.试题解析：因为二次函数的图象开口向下，且在区间内各有一个零点，所以即即解得. 18．（Ⅰ）（Ⅱ）①时，零点为与；时，零点为；时，零点为；时，无零点. （Ⅰ）对于方程判别式因为，所以①当时，，此时，所以；②当时，，此时，所以；当时，，设方程的两根为且，则，③当时，，，所以此时，；④当时，，所以此时，.（Ⅱ），①当时，函数的零点为与；②当时，函数的零点为；③当时，因为06)1(32,06)1(31222>++-⨯<++-⨯a a a a a a ，所以函数零点为； ④，因为06)1(32,06)1(31222<++-⨯<++-⨯a a a a a a ，所以函数无零点. 24320 5F00 开25129 6229 戩36653 8F2D 輭 5!o22981 59C5 姅33974 84B6 蒶m40756 9F34 鼴21195 52CB 勋38801 9791 鞑27446 6B36 欶%。
上海中学高一数学(上)学期 不等式与函数 周练卷 (含答案)
高一周练数学卷八一. 填空题1. 求出下列不等式的解集：（1）||0a > （2）2103624x x ≤-+< （3）32x x<- （4）25||60x x -+>（5x < （6）22110x x x x--+≤（756x -2. 已知集合8{|1}2A x x =>+，{|||}B x x a b =-≥，若A B R =，A B =∅，则 a = ，b =3. 若函数12y x b =+的图像与以(1,1)A 、(2,3)B 为端点的线段相交，则常数b 的取值范围 是4. 在maths 先生的数学班的所有学生中，对于问题“你喜欢数学吗？”在学年开始时，有 50%回答“是”，有50%回答“不”，学年结束时，有70%回答“是”，有30%回答“不”， 在全部学生中，有x %的学生在学年开始和结束时给出了不同的回答，则x 的最大值和最小 值的差是5. 对任意正数x 和y ，不等式1()()9a x y xy++≥恒成立，则常数a 的取值范围是 6. 令,,,a b c d 是集合{3,2,2,4}--中的不同的元素，则22()()a b c d +++的最大值与最小 值之差为7. 关于x 的方程2(2)210x m x m +-+-=有一个根属于(0,1)，则m 取值范围是8. 若||2m ≤时不等式2210mx x m -+-<恒成立，则x 的取值范围是9. 若关于x 的不等式组22202(25)50x x x a x a ⎧--≥⎪⎨+++≤⎪⎩的解集中有且仅有两个整数，则a 的取值 范围是10. 函数42321x y x =+的最小值是11. 若正实数a 和b 满足5a b +=+的最大值是二. 选择题1.“0.53k <<”是“关于x 的不等式4288(2)50x k x k +-+->的解集为R ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 若面积为S 的正三角形其外接圆的半径是r ，则（ ）A. 2S =B. 2S =C. 2S =D. 2S = 3. 已知集合{|||1}A x x =<，对任意的a A ∈，B A ∈，则1a b ab ++和1a b ab--（ ） A. 一定都属于A B. 至少有一个属于A C. 至多有一个属于A D.是否属于A 不能确定 三. 解答题1. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<；2.求函数y =的定义域和值域；3. 已知非空集合M R ⊆，定义域为R 的函数1,()0,M x M f x x M ∈⎧=⎨∉⎩，若A 、B 是R 的两个 非空真子集，试求函数()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++的值域；4. 列车提速可以提高铁路运输量，但并非列车速度越大，列车的流量Q （单位时间内通过 观测点的列车数量）就越大，因为列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔”，“安 全间隔”与列车的速度v 的平方成正比（比例系数0k 为定值，00k >），假设所有的列车长度均为l ，问：列车车速多大时，列车的流量Q 最大；5. 已知0x y >>y x >；参考答案一. 填空题1.（1）(,1)(1,)-∞-+∞ （2）(3,1][4,6)-- （3）(2,)+∞ （4）(,3)(2,2)(3,)-∞--+∞ （5）R （6）{1} （7）36(,)25+∞ 2. 2a =，4b = 3. 1[,2]2 4. 60 5. [4,)+∞ 6. 607. 1(,62-8. 9. (2,1][4,5)- 10. 011.二. 选择题1. A2. C3. A三. 解答题 1. 当0a <，1(,)(1,)x a ∈-∞+∞；当0a =，(1,)x ∈+∞；当01a <<，1(1,)x a∈； 当1a =，x ∈∅；当1a >，1(,1)x a ∈； 2. 定义域：[1,2)(2,)+∞，值域：(,8](0,)-∞-+∞； 3. 2{,1}3； 4. 20v Q l k v =+，v =Q 最大； 5. 略；。
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函数的最值与零点一、填空题（每题5分，共50分）1、函数23)(2+-=x x x f 的零点是___________解析：函数的零点是一个实数，即使成立的实数，也是函数的图象与轴交点的横坐标．由()0232=+-=x x x f 得，x ＝１和２点评：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．2、若函数f(x)=x 2+2x+a 没有零点，求实数a 的取值范围___________解析：函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数x ，也是函数()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．函数f(x)=x 2+2x+a 没有零点，1,044>∴<-=∆a a 点评：f(x)=0有实根<=>函数y=f(x)的图象与x 轴有交点<=>函数y=f(x)有零点.3、若函数f(x)= x 2-ax-b 的两个零点是2和3，求函数g(x)=bx 2-ax-1的零点___________解析：3,2--f(x)= x 2-ax-b=（x-2）(x-3)=x 2-5x+6,所以a=5,b=-6，g(x)=-6x 2-5x-1=0, 31,21-=-=x x 点评：待定系数法4、判定函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内是否有零点___________解析：当∈x []1,1-时，()132-≤-=x x f ，函数()x f y =在[]1,1-上的图象与x 轴没有交点，即函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点． 法二：由032=-x 得∉±=23x []1,1-，故函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点．点评：．错解：因为()()111-==-f f ，所以()()011>-f f ，函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点．上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数()x f 在区间[]b a ,上的函5、函数()x x f 1+=的零点个数为___________函数的定义域为()()+∞⋃∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0<x 时，()0<x f 所以函数没有零点．也可由01=+xx 得012=+x 方程无实数解． 点评：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数()xx x f 1+=的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理．6、设函数)(x f y =的图象在[],a b 上连续，若满足 ，方程0)(=x f解析：点评：根据存在零点的定理7、函数2-=x y 在区间]2,1[上的最大值是______2-=x y 在区间]2,21[上的单调递减，所以最大值421=⎪⎭⎫⎝⎛f点评：根据函数单调性求最值8、若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______作出函数24y x x =-与函数4y =的图象,9、求函数f （x ）＝4x ＋2x －6的零点的个数____________解析：一个()()033,022244>=<-=f f ，可得函数在区间（2,3）内有零点，f （x ）图象在（0，＋∞）上是增函数，该函数只有一个零点。
点评：函数存在零点的定理和单调性是解题的关键10、设函数ｙ＝)(x f 对一切实数ｘ都有)3()3(x f x f +=-，且ｙ＝)(x f 有5个不同的零点，则这5个零点的和为解析：15函数)3()3(x f x f +=-知道关于3=x 对称，必有一个根是3，3,6,654321==+=+x x x x x点评：对称性含义的理解，数形结合有一个根只能是3是解题的关键2解析：25定义域为R ，虽然y = 4x 14x 22+++≥2，但4x 14x 22+=+无解，∴等号不成立，这说明y ＞2.可将原函数式配方得y =（424x +－424x 1+）＋2，视2x 为未知元，对于2x 、424x +递增，424x 1+递减，－424x 1+递增.∴424x +－424x 1+递增，由于424x +－424x 1+＞0，∴（424x +－424x 1+）也递增.而2x ≥0，∴2x ≥0时有最小值且无最大值.故当 x =0 时，min y =25.点评：注意基本不等式使用的条件12、求函数)(x f =︱x －3︱＋︱x －4︱＋︱x －5︱的最值由已知不等式得：)(x f =－12x 3+(x ＜3＝ 或)(x f =－x ＋6(3≤x ＜4)或)(x f =x －2(4≤x ＜5)或)(x f =3x －12(x ≥5)，由此可知：在x ＜3时，)(x f 为减函数且y ＞3；在3≤x ＜4 时，)(x f 为减函数且2＜y ≤3；在4≤x ＜5 时，)(x f 为增函数且2≤y ＜3；在x ≥5时，)(x f 为减函数且y ≥3；综上可得：min y =f (4)=2.点评：分类讨论13、已知函数g (x )=x (x -1)(x +1) 的图象如图1所示，设函数f (x )=x (x -1)(x +1)+0.001，则对于方程f (x )=0的下列判断中正确的是 ．①有三个实数根；②当x ＜-1时恰有一实根；③当-1＜x ＜0时恰有一实根；④当0＜x ＜1时恰有一实根；⑤当x ＞1时恰有一实根．图1解析：g (x )=x (x -1)(x +1)在33=x 时有极小值001.0932-<-所以正确的是①② 点评：求出g (x )在33=x 时有极小值001.0932-<-是关键14、已知二次函数()m x m x x f 2)1(2+--=在[]1,0上有且只有一个零点，求实数m 的取值范围解析：⑴当方程02)1(2=+--m x m x 在[]1,0上有两个相等实根时，()0812=--=∆m m 且1210<-<m ，此时无解． ⑵当方程02)1(2=+--m x m x 有两个不相等的实根时，① 有且只有一根在[]1,0上时，有()()010<f f ，即()022<+m m ，解得02<<-m ②当()00=f 时，m ＝０，()02=+=x x x f ，解得1,021-==x x ，合题意．③当()01=f 时，2-=m ，方程可化为0432=-+x x ，解得4,121-==x x 合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[]0,2-． 点评：错解：由函数的零点的性质得()()010<f f ，即()022<+m m ，解得02<<-m ． 所以实数m 的取值范围为()0,2-．错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在[]1,0上有二重根；②终点的函数值可能为０．二、选择题（每题5分，共15分）1、方程0)(=x f 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到445.010=x 达到精确度要求。
那么所取误差限ξ是（ ）解析：C由四舍五入的原则知道，当)4455.0,4445.0[10∈x 时，精度达到445.010=x 。
此时差限ξ是0.0005，选项为C 。
点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。
2、关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到；B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点；C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点；D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。
点评：该题深入解析了二分法的思想方法。
3、已知x 是函数f(x)=2x +11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞），则（A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0点评：考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题4、若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；由零点存在性定理可知选项D 不正确；对于选项B ，可通过反例“)1)(1()(+-=x x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(<-f f ，但其存在三个解}1,0,1{-”推翻；同时选项A 可通过反例“)1)(1()(+-=x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在两个解}1,1{-”；选项C 正确，见实例“1)(2+=x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其不存在实数解”。
点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。
三、解答题（14题15分，15题20分）1、设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足x x 1021<<<. 当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1。
证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-，ax x x 1021<<<< ,∴ 0))((21>--x x x x a , ∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(。
又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且 ∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证。