专题提升(11) 以特殊四边形为背景的计算与证明

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浙江省数学中考复习专题六以特殊四边形为背景的计算与证明训练

浙江省数学中考复习专题六以特殊四边形为背景的计算与证明训练

微专题六以特殊四边形为背景的计算与证明姓名:________ 班级:________ 用时:______分钟1.如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:(1)∠BOD=∠C;(2)四边形OBCD是菱形.2.如图,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连结CF.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.3.如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连结MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.4.如图,点E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上一点,若AE=DC=2ED,且EF⊥EC.(1)求证:点F为AB的中点;(2)延长EF与CB的延长线相交于点H,连结AH,已知ED=2,求AH的值.5.问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量得AB=2 cm,AC=4 cm.操作发现:(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图2所示的△AC′D,过点C作AC′的平行线,与DC′的延长线交于点E,则四边形ACEC′的形状是________;(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图3所示的△AC′D,连结CC′,取CC′的中点F,连结AF并延长至点G,使FG=AF,连结CG,C′G,得到四边形ACGC′,发现它是正方形,请你证明这个结论;实践探究:(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A′点,A′C与BC′相交于点H,如图4所示,连结CC′,试求tan∠C′CH的值.参考答案1.证明:(1)如图,延长AO 到E.∵OA=OB ,∴∠ABO=∠BAO.又∠BOE=∠ABO+∠BAO,∴∠BOE=2∠B AO.同理∠DOE=2∠DAO,∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO), 即∠BOD=2∠BAD.又∠C=2∠BAD,∴∠BOD=∠C.(2)如图,连结OC.∵OB=OD ,CB =CD ,OC =OC ,∴△OBC≌△ODC,∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,∴∠BOC=12∠BOD,∠BCO=12∠BCD.又∠BOD=∠BCD,∴∠BOC=∠BC O,∴BO=BC.又OB=OD,BC=CD,∴OB=BC=CD=DO,∴四边形OBCD是菱形.2.证明:(1)∵E是AD的中点,∴AE=DE. ∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,∴△AEF≌△DEB(AAS).(2)如图,连结DF.∵AF∥CD,AF=CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵△AEF≌△DEB,∴BE=FE.∵AE=DE,∴四边形ABDF是平行四边形,∴DF=AB.∵AB=AC,∴DF=AC,∴四边形ADCF是矩形.3.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°.∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON. (2)解:如图,过点O作OH⊥AD于点H.∵正方形的边长为4,∴OH=HA=2.∵E为OM的中点,∴HM=4,则OM=22+42=25,∴MN=2OM=210.4.(1)证明:∵EF⊥EC,∴∠CEF=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠AEF+∠AFE=90°,∠DEC+∠DCE=90°,∴∠AEF=∠DCE,∠AFE=∠DEC.∵AE=DC,∴△AEF≌△DCE.∴ED=AF.∵AE=DC=AB=2DE,∴AB=2AF,∴F是AB的中点.(2)解:由(1)得AF=FB,且AE∥BH,∴∠FBH=∠FAE=90°,∠AEF=∠FHB,∴△AEF≌△BHF,∴HB=AE.∵ED=2,且AE=2ED,∴AE=4,∴HB=AB=AE=4,∴AH2=AB2+BH2=16+16=32,∴AH=4 2.5.解:(1)菱形(2)在图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠CAD=∠ACB,∠B=90°,∴∠BAC+∠ACB=90°.在图3中,由旋转知,∠DAC′=∠DAC,∴∠ACB=∠DAC′,∴∠BAC+∠DAC′=90°.∵点D,A,B在同一条直线上,∴∠CAC′=90°.由旋转知,AC=AC′.∵点F是CC′的中点,∴AG⊥CC′,CF=C′F.∵AF=FG,∴四边形ACGC′是平行四边形.∵AG⊥CC′,∴四边形ACGC′是菱形.∵∠CAC′=90°,∴菱形ACGC′是正方形.(3)在Rt△ABC中,AB=2,AC=4,∴BC′=AC=4,BD=BC=23,sin ∠ACB=ABAC=12,∴∠ACB=30°.由(2)结合平移知,∠CHC′=90°. 在Rt△BCH中,∠ACB=30°,∴BH=BC·sin 30°=3,∴C′H=BC′-BH=4- 3.在Rt△ABH中,AH=12AB=1,∴CH=AC-AH=4-1=3,在Rt△CHC′中,tan ∠C′CH=C′HCH=4-33.。

浙江省2019年中考数学复习 微专题六 以特殊四边形为背景的计算与证明训练

浙江省2019年中考数学复习 微专题六 以特殊四边形为背景的计算与证明训练

微专题六以特殊四边形为背景的计算与证明姓名:________ 班级:________ 用时:______分钟1.如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:(1)∠BOD=∠C;(2)四边形OBCD是菱形.2.如图,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF =CD,连结CF.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.3.如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA 的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连结MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.4.如图,点E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上一点,若AE=DC=2ED,且EF⊥EC.(1)求证:点F为AB的中点;(2)延长EF与CB的延长线相交于点H,连结AH,已知ED=2,求AH的值.5.问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将矩形纸片ABCD 沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量得AB=2 cm,AC=4 cm.操作发现:(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图2所示的△AC′D,过点C作AC′的平行线,与DC′的延长线交于点E,则四边形ACEC′的形状是________;(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图3所示的△AC′D,连结CC′,取CC′的中点F,连结AF并延长至点G,使FG=AF,连结CG,C′G,得到四边形ACGC′,发现它是正方形,请你证明这个结论;实践探究:(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A′点,A′C与BC′相交于点H,如图4所示,连结CC′,试求tan∠C′CH的值.参考答案1.证明:(1)如图,延长AO 到E.∵OA=OB ,∴∠ABO=∠BAO.又∠BOE=∠ABO+∠BAO,∴∠BOE=2∠B AO.同理∠DOE=2∠DAO,∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO), 即∠BOD=2∠BAD.又∠C=2∠BAD,∴∠BOD=∠C.(2)如图,连结OC.∵OB=OD ,CB =CD ,OC =OC ,∴△OBC≌△ODC,∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,∴∠BOC=12∠BOD,∠BCO=12∠BCD.又∠BOD=∠BCD,∴∠BOC=∠BCO ,∴BO=BC.又OB =OD ,BC =CD ,∴OB=BC =CD =DO ,∴四边形OBCD 是菱形.2.证明:(1)∵E 是AD 的中点,∴AE=DE.∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,∴△AEF≌△DEB(AAS).(2)如图,连结DF.∵AF∥CD,AF=CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵△AEF≌△DEB,∴BE=FE.∵AE=DE,∴四边形ABDF是平行四边形,∴DF=AB.∵AB=AC,∴DF=AC,∴四边形ADCF是矩形.3.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°.∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON. (2)解:如图,过点O作OH⊥AD于点H.∵正方形的边长为4,∴OH=HA=2.∵E为OM的中点,∴HM=4,则OM=22+42=25,∴MN=2OM=210.4.(1)证明:∵EF⊥EC,∴∠CEF=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠AEF+∠AFE=90°,∠DEC+∠DCE=90°,∴∠AEF=∠DCE,∠AFE=∠DEC.∵AE=DC,∴△AEF≌△DCE.∴ED=AF.∵AE=DC=AB=2DE,∴AB=2AF,∴F是AB的中点.(2)解:由(1)得AF=FB,且AE∥BH,∴∠FBH=∠FAE=90°,∠AEF=∠FHB,∴△AEF≌△BHF,∴HB=AE.∵ED=2,且AE=2ED,∴AE=4,∴HB=AB=AE=4,∴AH2=AB2+BH2=16+16=32,∴AH=4 2.5.解:(1)菱形(2)在图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠CAD=∠ACB,∠B=90°,∴∠BAC+∠ACB=90°.在图3中,由旋转知,∠DAC′=∠DAC,∴∠ACB=∠DAC′,∴∠BAC+∠DAC′=90°.∵点D,A,B在同一条直线上,∴∠CAC′=90°.由旋转知,AC=AC′.∵点F是CC′的中点,∴AG⊥CC′,CF=C′F.∵AF=FG,∴四边形ACGC′是平行四边形.∵AG⊥CC′,∴四边形ACGC′是菱形. ∵∠CAC′=90°,∴菱形ACGC′是正方形.(3)在Rt△ABC 中,AB =2,AC =4, ∴BC′=AC =4,BD =BC =23, sin ∠ACB=AB AC =12,∴∠ACB=30°.由(2)结合平移知,∠CHC′=90°. 在Rt△BCH 中,∠ACB=30°, ∴BH=BC·sin 30°=3, ∴C′H=BC′-BH =4- 3. 在Rt△AB H 中,AH =12AB =1,∴CH=AC -AH =4-1=3,在Rt△CHC′中,tan ∠C′CH=C′H CH =4-33.。

专题12.以(特殊)平行四边形为背景的计算和证明

专题12.以(特殊)平行四边形为背景的计算和证明

专题十二以(特殊)平行四边形为背景的计算和证明主编:知识点一:以平行四边形为背景的计算和证明1.如图,平行四边形ABCD中,E、F分别为对角线AC上两点,且AE=CF,连接BE、DF.(1)如图1,若∠ABE=∠ACB=30°,AC=BC,CE=4,求AE的长;(2)如图2,延长DF交BC于点G,连接EG.H 为AD边上一点,连接EH.若GD平分∠CGE,DH=2BG,求证:EF=EH.知识点二:以矩形为背景的计算和证明2. 在矩形ABCD中、对角线AC、BD交于点O,E为OB上一点,连接CE,G为CE中点.(1)如图1,连接AE、OG,若∠DAC=60°,BE =2,AB=5,求OG的长;(2)如图2,点F为线段OC上一点,连接BF、BG.若∠COB=∠OBG=∠CBF.求证:BE+CF=OA.知识点三:以菱形为背景的计算和证明3.菱形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,点E和点F分别是BC和CD上一动点,且∠EOF+∠BCD=180°,连接EF.(1)如图1,当∠ABC=90°时,若AC=4,BE =,求线段EF的长;(2)如图2,当∠ABC=60°时,求证:CE+CF=AB;(3)如图3,当∠ABC=90°时,将∠EOF的顶点移到AO上任意一点O′处,∠EO′F绕点O′旋转,仍满足∠EO′F+∠BCD=180°,O′E 交BC的延长线一点E,射线O′F交CD的延长线上一点F,连接EF.探究在整个运动变化过程中,线段CE、CF,O′C之间满足的数量关系,并证明你的结论.知识点四:以正方形为背景的计算和证明7.如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,连接AM,点E是线段AM上一点,∠CDE的平分线交AM延长线于点F.(1)如图1,若点E为线段AM的中点,BM:CM=1:2,BE =,求AB的长;(2)如图2,若DA=DE,求证:BF+DF =AF.。

中考数学压轴题重难点突破七 与特殊四边形有关的证明与计算(动态探究问题)

中考数学压轴题重难点突破七 与特殊四边形有关的证明与计算(动态探究问题)

(2)在 AB 上取 AF=EC,连接 EF, 由(1)同理可得∠CEP=∠FAE, ∵AF=EC,AE=EP, ∴△FAE≌△CEP(SAS),∴∠ECP=∠AFE, ∵AF=EC,AB=BC,∴BF=BE, ∴∠BEF=∠BFE=45°,∴∠AFE=135°, ∴∠ECP=135°,∴∠DCP=45°.
【模型应用】 (2)如图②,F 是 DE 延长线上一点,FB⊥BE,EF 交 AB 于点 G. Ⅰ)判断△FBG 的形状并说明理由; Ⅱ)若 G 为 AB 的中点,且 AB=4,求 AF 的长;
(2)解:Ⅰ)△FBG 为等腰三角形,理由: ∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠GAD=90°, ∴∠AGD+∠ADG=90°,由(1)知△ABE≌△ADE, ∴∠ADG=∠EBG,∴∠AGD+∠EBG=90°, ∵FB⊥BE,∴∠FBG+∠EBG=90°, ∴∠AGD=∠FBG,∵∠AGD=∠FGB, ∴∠FBG=∠FGB,∴FG=FB, ∴△FBG 是等腰三角形.
FH AD ∴GH=AG=2,∴FH=2GH=2, 在 Rt△AHF 中,AF= AH2+FH2= 13.
【模型迁移】 (3)如图③,F 是 DE 延长线上一点,FB⊥BE,EF 交 AB 于点 G,BE=BF. 求证:GE=( 2-1)DE.
(3)证明:∵FB⊥BE,∴∠FBE=90°, 在 Rt△EBF 中,BE=BF,∴EF= 2BE, 由(1)知 BE=DE,由(2)知 FG=BF, ∴GE=EF-FG= 2BE-BE= 2DE-DE=( 2-1)DE.
类型二:与特殊四边形有关的证明与计算(动态探究问题) (省卷 2021T27,2019T27,2015T27,2014T27;兰州 2021T27)
(2022·兰州)综合与实践 【问题情境】数学活动课上,老师出示了一个问题:如图①,在正方形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,AE⊥EP,EP 与正方形的外角∠DCG 的平分线交 于 P 点.试猜想 AE 与 EP 的数量关系,并加以证明; 【思考尝试】(1)同学们发现,取 AB 的中点 F,连接 EF 可以解决这个问 题.请在图①中补全图形,解答老师提出的问题;

【12份】2016年中考数学总复习专题提升测试及答案

【12份】2016年中考数学总复习专题提升测试及答案

【12份】2016年中考数学总复习专题提升测试及答案目录专题提升(一)数形结合与实数的运算 (1)专题提升(二)代数式的化简与求值 (4)专题提升(三)列方程(组)解应用题 (8)专题提升(四)一次函数图象与性质的综合应用 (11)专题提升(五)反比例函数图象与性质的综合应用 (19)专题提升(六)二次函数图象与性质的综合应用 (26)专题提升(七)统计与概率的综合运用 (35)专题提升(八)以特殊三角形为背景的计算与证明 (45)专题提升(九)以特殊四边形为背景的计算与证明 (50)专题提升(十)与圆有关的计算与证明 (60)专题提升(十一)巧用图形变换进行计算与证明 (65)专题提升(十二)以圆为背景的相似三角形的计算与证明 (70)专题提升(一)数形结合与实数的运算1.如图,矩形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是(D)(第1题图)A. 2.5B. 2 2C. 3D. 5 2.计算8³12+(2)0的结果为(C ) A. 2+ 2 B. 2+1 C. 3 D. 53.已知实数m ,n 在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是(C )(第3题图)A. m >0B. n <0C. mn <0D. m -n >04.定义一种运算☆,其规则为a ☆b =1a +1b ,根据这个规则,计算2☆3的值是(A )A. 56B. 15C. 5D. 65.如图,数轴上的A ,B ,C ,D 四点中,与表示数-3的点最接近的是(B )(第5题图)A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D6.实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,则|a |>|b |(填“>”“<”或“=”).(第6题图)7.计算:|3-23|+(π-2016)0+⎝⎛⎭⎫12-18.已知a -1+|a +b +1|=0,则a b =__1__.9.按下面程序计算:输入x =3,则输出的答案是__12__.10.定义运算a ⊗b =a (1-b ),下面给出了关于这种运算的几个结论:①2⊗(-2)=6;②a ⊗b =b ⊗a ;③若a +b =0,则(a ⊗a )+(b ⊗b )=2ab ;④若a ⊗b =0,则a =0.其中正确结论的序号是__①③__(在横线上填上你认为所有正确结论的序号). 11.设S 1=1+112+122,S 2=1+122+132,S 3=1+132+142,…,S n =1+1n 2+1(n +1)2.设S =S 1+S 2+…+S n ,则S =n 2+2nn +1(用含n 的代数式表示,其中n 为正整数).12.下面两个多位数1248624……,6248624……都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘2,若积为一位数,将其写在第2位上;若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是495.13.有一数值转换器,原理如图所示,若开始输入x 的值是5,可发现第1次输出的结果是8,第2次输出的结果是4……则第2015次输出的结果是__4__.(第13题图)解:由已知可得:第1次输出的结果为8,第2次输出的结果为4,第3次输出的结果为2,第4次输出的结果为1,第5次输出的结果为4……所以规律为从第2次开始每三次一个循环,(2015-1)÷3=671……1,所以第2015次输出的结果是4.14.计算:(π-5)0+38+(-1)2015-3tan60°. 解:原式=1+2-1-3³3=-1.15.计算:(3-2)0+⎝⎛⎭⎫13-1+4cos 30°-|3-27|.解:原式=1+3+4³32-23=4. 16.我们曾经研究过n ³n 的正方形网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n 2.但n 为100时,应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道0³1+1³2+2³3+…+(n —1)³n =13n (n +1)(n -1)时,我们可以这样做:(1)观察并猜想:12+22=(1+0)³1+(1+1)³2=1+0³1+2+1³2=(1+2)+(0³1+1³2) 12+22+32=(1+0)³1+(1+1)³2+(1+2)³3 =1+0³1+2+1³2+3+2³3 =(1+2+3)+(0³1+1³2+2³3)12+22+32+42=(1+0)³1+(1+1)³2+(1+2)³3+________________ =1+0³1+2+1³2+3+2³3+________________________________________________________________________=(1+2+3+4)+(__________________________) ……(2)归纳结论:12+22+32+…+n 2=(1+0)³1+(1+1)³2+(1+2)³3+…+(1+n -1)³n =1+0³1+2+1³2+3+2³3+…+n +(n -1)³n=(________________)+(______________) =__________________+________________=16³__________________ (3)实践应用:通过以上探究过程,我们就可以算出当n 为100时,正方形网格中正方形的总个数是______________.解:(1)依次填:(1+3)³4;4+3³4;0³1+1³2+2³3+3³4.(2)依次填:1+2+3+…+n ;0³1+1³2+2³3++…+(n -1)³n ;12n (n +1);13n (n+1)(n—1);n(n+1)(2n+1).(3)338350.17.如图,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,且A,B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A,B两点之间的距离AB=|a-b|.(第17题图)回答下列问题:(1)在数轴上表示2和5的两点之间的距离是__3__,在数轴上表示1和-3的两点之间的距离是__4__.(2)在数轴上表示x和-5的两点之间的距离是|x+5|.(3)若x表示一个有理数,则|x-1|+|x+3|有最小值吗?若有,请求出最小值;若没有,请说明理由.解:(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是|5-2|=3,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-(-3)|=4.(2)根据绝对值的定义知:数轴上表示x和-5的两点之间的距离是|x-(-5)|=|x+5|或|-5-x|=|x+5|.(3)根据绝对值的定义知:|x-1|+|x+3|可表示点x到表示1与-3的两点的距离之和.根据几何意义分析可知:当x在-3与1之间时,|x-1|+|x+3|有最小值4.18.我们知道,一元二次方程x2=-1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于-1.若我们规定一个新数“i”,使其满足i2=-1(即方程x2=-1有一个根为i),并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=-1,i3=i2²i=(-1)·i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1,从而对于任意正整数n,我们可以得到i4n+1=i4n²i=(i4)n²i=i,同理可得i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.求i+i2+i3+i4+…+i2015+i2016的值.解:由题意得,i1=i,i2=-1,i3=i2·i=(-1)·i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1,i5=i4·i =i,i6=i5·i=-1,故可发现4次一循环,一个循环内的和为0.∵2016÷4=504,即2016是4的整数倍.∴i+i2+i3+i4+…+i2015+i2016=0.专题提升(二)代数式的化简与求值1.下列计算正确的是(C)A. -3x2y²5x2y=2x2yB. -2x2y3²2x3y=-2x5y4C. 35x3y2÷(5x2y)=7xyD. (-2x-y)(2x+y)=4x2-y22.下列各式的变形中,正确的是(A)A. (-x-y)(-x+y)=x2-y2B. 1x -x =1-x xC. x 2-4x +3=(x -2)2+1D. x ÷(x 2+x )=1x+13.已知1a -1b =13,则2aba -b 的值是(D )A. 16B. -16 C. 6 D. -64.实数a 在数轴上的位置如图所示,则(a -4)2+(a -11)2化简后为(A )(第4题图)A. 7B. -7C. 2a -15D. 无法确定5.已知m =1+2,n =1-2,则代数式m 2+n 2-3mn 的值为(C ) A. 9 B. ±3 C. 3 D. 56.化简⎝⎛⎭⎫2x x +2-x x -2÷xx 2-4的结果为x -6.7.已知x ,y 为实数,且满足1+x -(y -1)1-y =0,那么x 2016+y 2016=__2__.8.若1(2n -1)(2n +1)=a 2n -1+b 2n +1,对任意自然数n 都成立,则a =__12__,b=__12__;计算:m =11³3+13³5+15³7+…+119³21=__1021__.解:∵1(2n -1)(2n +1)=12(2n -1)-12(2n +1)=a 2n -1+b 2n +1,∴a =12,b =12.∴m =11³3+13³5+15³7+…+119³21=⎝⎛⎭⎫12-16+⎝⎛⎭⎫16-110+…+⎝⎛⎭⎫138-142=12-142=1021. 9.已知|6-3m |+(n -5)2=3m -6-(m -3)n 2,则m -n __-2__.10.观察下列等式:第一个等式:a 1=31³2³22=11³2-12³22; 第二个等式:a 2=42³3³23=12³22-13³23;第三个等式:a 3=53³4³24=13³23-14³24; 第四个等式:a 4=64³5³25=14³24-15³25. 按上述规律,回答以下问题:(1)用含n 的代数式表示第n 个等式: a n =n +2n (n +1)·2n 1=1n ·2n -1(n +1)·2n +1; (2)计算:a 1+a 2+a 3+…+a 20.解:(1)用含n 的代数式表示第n 个等式: a n =n +2n (n +1)·2n +1=1n ³2n -1(n +1)·2(n +1).(2)a 1+a 2+a 3+…+a 20=11³2-12³22+12³22-13³23+13³23-14³24+…+120³220-121³221=12-121³221. 11.先化简,再求值:(a +b )(a -b )+b (a +2b )-b 2,其中a =1,b =-2. 解:原式=a 2-b 2+ab +2b 2-b 2=a 2+ab .当a =1,b =-2时,原式=12+1³(-2)=1-2=-1.12.先化简,再求值:m 2-2m +1m 2-1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫m -1-m -1m +1,其中m = 3. 解:原式=m 2-2m +1m 2-1÷(m -1)(m +1)-(m -1)m +1=(m -1)2(m -1)(m +1)·m +1m 2-1-m +1 =m -1m +1·m +1m 2-m =m -1m 2-m =m -1m (m -1)=1m. 当m =3时,原式=1m =13=33.13.先化简,再求值:⎝⎛⎭⎫1x -1-1x +1÷x +2x 2-1,其中x 满足2x -6=0.解:原式=x +1-x +1(x -1)(x +1)÷x +2x 2-1=2(x -1)(x +1)·(x +1)(x -1)x +2=2x +2. ∵2x -6=0,∴x =3. 当x =3时,原式=2x +2=25.14.已知A =x 2+2x +1x 2-1-xx -1.(1)化简A .(2)当x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,x -3<0且x 为整数时,求A 的值.解:(1)A =x 2+2x +1x 2-1-x x -1=(x +1)2(x +1)(x -1)-x x -1=x +1x -1-x x -1=1x -1.(2)解x -1≥0,得x ≥1;解x -3<0,得x <3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,x -3<0的解为1≤x <3. ∵x 为整数,∴x =1,2. 当x =1时,分式无意义. 当x =2时,A =12-1=1.15.先化简,再求值:⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2-b 2a 2-2ab +b 2+a b -a ÷b 2a 2-ab ,其中a ,b 满足a +1+|b -3|=0.解:原式=⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a +b )(a -b )(a -b )2-a a -b ·a (a -b )b 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b a -b -a a -b ·a (a -b )b 2=ba -b·a (a -b )b 2=ab. ∵a +1+|b -3|=0, ∴a +1=0,b -3=0, 解得a =-1,b = 3.当a =-1,b =3时,原式=-13=-33.16.为鼓励学生努力学习,某校拿出了b 元资金作为奖学金,其中一部分作为奖学金发给了n 个学生.奖金分配方案如下:首先将n 个学生按学习成绩、思想道德评价(假设n 个学生的综合评分均不相同)从高到低,由1到n 排序,第1位学生得奖金bn 元,然后再将余额除以n 发给第2位学生,按此方法将奖金逐一发给了n 个学生.(1)假设第k 个学生得到的奖金为a k 元(1≤k ≤n ),试用k ,n 和b 表示a k .(2)比较a k 和a k +1的大小(k =1,2,…,n -1),并解释此结果就奖学金设置原则的合理性.解:(1)a k =b n⎝⎛⎭⎫1-1n k -1.(2)∵a k =b n ⎝⎛⎭⎫1-1n k -1,a k +1=b n ⎝⎛⎭⎫1-1n k,∴a k +1=⎝⎛⎭⎫1-1n a k <a k , 说明排名越靠前获得的奖学金越多.专题提升(三) 列方程(组)解应用题一、一元一次方程的应用1.某商品连续两次降价10%后的价格是81元,则该商品原来的价格是(A ) A. 100元 B. 90元 C. 810元 D. 819元2.某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆,二月份的销售量比一月份增加10%,二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元,二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元,问:一月份每辆电动车的售价是多少元?解:设一月份每辆电动车的售价是x 元,根据题意,得 100x +12200=(x -80)³100³(1+10%), 解得x =2100.答:一月份每辆电动车的售价是2100元.3.现有甲、乙两种金属的合金10 kg ,如果加入甲种金属若干,那么重新熔炼后的合金中乙种金属占2份,甲种金属占3份,如果加入的甲种金属是第一次加入的2倍,那么重新熔炼后的合金中乙种金属占3份,甲种金属占7份,第一次加入的甲种金属多少?原来这块合金中甲种金属的百分比是多少?解:设原来这块合金中甲种金属的百分比是x ,则甲种金属有10x (kg),乙种金属有(10-10x )kg ,根据题意,得(10-10x )÷310-10=2³[(10-10x )÷25-10],解得x =40%.则(10-10³40%)÷25-10=5(kg).答:第一次加入的甲种金属是5 kg ,原来这块合金中甲种金属的百分比是40%. 二、二元一次方程(组)的应用4.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a ,b ,c ,d 对应密文a +2b ,2b +c ,2c +3d ,4d .例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为(B )A. 7,6,1,4B. 6,4,1,7C. 4,6,1,7D. 1,6,4,7 5某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点,其中(1)班人数少于50人,(2)班人数多于50人且少于100人,如果两班都以班为单位单独购票,那么一共支付1118元;如果两班联合起来作为一个团体购票,那么只需花费816元.(1)两个班各有多少名学生?(2)团体购票与单独购票相比较,两个班各节约了多少钱?解:(1)设七年级(1)班有x 人、七年级(2)班有y 人,由题意,得①⎩⎪⎨⎪⎧12x +10y =1118,8(x +y )=816,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =49,y =53. ②⎩⎪⎨⎪⎧12x +10y =1118,10(x +y )=816,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =151,y =-69.4.(不合题意舍去) 答:七年级(1)班有49人、七年级(2)班有53人. (2)七年级(1)班节省的费用为(12-8)³49=196(元), 七年级(2)班节省的费用为(10-8)³53=106(元).6.由大小两种货车,3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨,2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨.请根据以上信息,提出一个能用方程(组)解决的问题,并写出这个问题的解答过程.解:本题的答案不唯一.问题:1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?解:设1辆大车一次运货x 吨,1辆小车一次运货y 吨.根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧3x +4y =22,2x +6y =23,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =2.5.则x +y =4+2.5=6.5(吨).答:1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨. 三、一元二次方程的应用7.股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x ,则x 满足的方程是(B )A. (1+x )2=1110B. (1+x )2=109C. 1+2x =1110D. 1+2x =1098.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m 的住房墙,另外三边用25 m 长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m 2?(第8题图)解:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x (m),则平行于墙的一边的长为(25-2x +1)m ,由题意,得x (25-2x +1)=80,化简,得x 2-13x +40=0,解得x 1=5,x 2=8.当x =5时,26-2x =16>12(舍去); 当x =8时,26-2x =10<12,答:所围矩形猪舍的长为10 m 、宽为8 m.9.某地区2013年投入教育经费2500万元,2015年投入教育经费3025万元. (1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率.(2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费多少万元. 解:(1)设增长率为x ,根据题意,得 2500(1+x )2=3025,解得x =0.1=10%或x =-2.1(不合题意,舍去). 答:这两年投入教育经费的平均增长率为10%. (2)3025³(1+10%)=3327.5(万元).答:根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元. 四、分式方程的应用10.现有纯农药一桶,倒出20升后用水补满,然后又倒出10升,再用水补满,这时,桶中纯农药与水的体积之比为3∶5,则桶的容积为40升.11.扬州建城2500年之际,为了继续美化城市,计划在路旁栽树1200棵,由于志愿者的参加,实际每天栽树的棵数比原计划多20%,结果提前2天完成,则原计划每天栽树多少棵?解:设原计划每天种树x 棵,则实际每天栽树的棵数为(1+20%)棵.由题意,得1200x -1200(1+20%)x=2,解得x =100.经检验,x =100是原分式方程的解,且符合题意. 答:原计划每天种树100棵.12.某部队将在指定山区进行军事演习,为了使道路便于部队重型车辆通过,部队工兵连接到抢修一段长3600 m 道路的任务,按原计划完成总任务的13后,为了让道路尽快投入使用,工兵连将工作效率提高了50%,一共用了10 h 完成任务.(1)按原计划完成总任务的13时,已抢修道路_________________m.(2)问:原计划每小时抢修道路多少米?解:(1)按原计划完成总任务的13时,已抢修道路3600³13=1200(m),故答案为1200.(2)设原计划每小时抢修道路x (m), 根据题意,得1200x +3600-1200[(1+50%)x ]=10,解得x =280.经检验,x =280是原方程的解,且符合题意. 答:原计划每小时抢修道路280 m.专题提升(四) 一次函数图象与性质的综合应用1.在同一平面直角坐标系中,函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是(C )2.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =1 cm ,BC =2 cm ,点P 从点A 出发,以1 cm/s 的速度沿折线AC →CB →BA 运动,最终回到点A ,设点P 的运动时间为x (s),线段AP 的长度为y (cm),则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是(A ),(第2题图))(第14题图)3.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(0,3),△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′,点A 的对应为点为直线y =34x 上一点,则点B 与其对应点B ′间的距离为 (C )A. 94B. 3C. 4D. 54.汽车以60 km/h 的速度在公路上匀速行驶,1 h 后进入高速路,继续以100 km/h 的速度匀速行驶,则汽车行驶的路程s (km)与行驶的时间t (h)的函数关系的大致图象是(C )5.把直线y =-x +3向上平移m 个单位后,与直线y =2x +4的交点在第一象限,则m 的取值范围是(C )A. 1<m <7B. 3<m <4C. m >1D. m <46.如图,已知一条直线经过点A (0,2),B (1,0),将这条直线向左平移,使其与x 轴、y 轴分别交与点C ,D .若DB =DC ,则直线CD 的函数表达式为y =-2x -2.,(第6题图))7.已知直线y =-(n +1)n +2x +1n +2(n 为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积为S n ,则S 1+S 2+S 3+…+S 2012=__5032014__. 解:令x =0,则y =1n +2; 令y =0,则-n +1n +2x +1n +2=0,解得x =1n +1.∴S n =12·1n +1·1n +2=12⎝⎛⎭⎫1n +1-1n +2,∴S 1+S 2+S 3+…+S 2012=12³⎝⎛12-13+13-14+14-15+…+12013-⎭⎫12014=12³⎝⎛⎭⎫12-12014=5032014. 8.已知直线y =kx +b ,若k +b =5,kb =6,那么该直线不经过第__四__象限.9.如图,点A ,B 的坐标分别为(0,2),(3,4),点P 为x 轴上的一点.若点B 关于直线AP 的对称点B ′恰好落在x 轴上,则点P 的坐标为__(43,0)__.(第9题图)10.已知水银体温计的读数y (℃)与水银柱的长度x (cm)之间是一次函数关系.现有一支水银体温计,其部分刻度线不清晰(如图),表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度.(第10(1)求y 关于x 的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围).(2)用该体温计测体温时,水银柱的长度为6.2 cm ,求此时体温计的读数.解:(1)设y 关于x 的函数关系式为y =kx +b ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧35=4.2k +b ,40=8.2k +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =54,b =29.75.∴y =54x +29.75.∴y 关于x 的函数关系式为y =54x +29.75.(2)当x =6.2时,y =³6.2+29.75=37.5.答:此时体温计的读数为37.5 ℃.(第11题图)11.如图,一次函数y =ax +b 与反比例函数y =kx 的图象交于A ,B 两点,点A 坐标为(m ,2),点B 坐标为(-4,n ),OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13,直线AB 交y 轴于点C ,过C 作y 轴的垂线,交反比例函数图象于点D ,连结OD ,BD .(1)求一次函数与反比例函数的表达式. (2)求四边形OCBD 的面积.解:(1)如解图,过点A 作AE ⊥x 轴于点E .(第11题图解)∵点A (m ,2),tan ∠AOE =13,∴tan ∠AOE =AE OE =2m =13,∴m =6,∴点A (6,2).∵y =kx 的图象过点A (6,2),∴2=k6,∴k =12,∴反比例函数的表达式为 y =12x .∵点B (-4,n )在 y =12x 的图象上,∴n =12-4=-3,∴点B (-4,-3).∵一次函数y =ax +b 过A ,B 两点,∴⎩⎪⎨⎪⎧6k +b =2,-4k +b =-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =12,b =-1. ∴一次函数的表达式为y =12x -1.(2)对于y =12x -1,当x =0时,y =-1,∴点C (0,-1). 当y =-1时,-1=12x ,∴x =-12,∴点D (-12,-1), ∴S 四边形OCDB =S △ODC +S △BDC=12³|-12|³|-1|+12³|-12|³|(-3)-(-1)| =6+12 =18.12.甲、乙两车从A 地驶向B 地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶2 h ,并且甲车途中休息了0.5 h ,如图是甲、乙两车行驶的距离y (km)与时间x (h)的函数图象.(第12题图)(1)求出图中m ,a 的值.(2)求出甲车行驶路程y (km)与时间x (h)的函数表达式,并写出相应的x 的取值范围. (3)当乙车行驶多长时间时,两车恰好相距50 km? 解:(1)由题意,得 m =1.5-0.5=1.120÷(3.5-0.5)=40, ∴a =40³1=40. ∴a =40,m =1. (2)∵260÷40=6.5,6.5+0.5=7,∴0≤x ≤7.当0≤x ≤1时,设y 与x 之间的函数表达式为y =k 1x ,由题意,得 40=k 1, ∴y =40x ;当1<x ≤1.5时, y =40;当1.5<x ≤7时,设y 与x 之间的函数表达式为y =k 2x +b ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧40=1.5k 2+b ,120=3.5k 2+b , 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2=40,b =-20.∴y =40x -20.∴y =⎩⎪⎨⎪⎧40x (0≤x ≤1),40(1<x ≤1.5),40x -20(1.5<x ≤7).(3)设乙车行驶的路程y 与时间x 之间的函数表达式为y =k 3x +b 3,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧0=2k 3+b 3,120=3.5k 3+b 3, 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3=80,b 3=-160.∴y =80x -160.当40x -20-50=80x -160时, 解得x =94.当40x -20+50=80x -160时, 解得x =194.94-2=14,194-2=114. 答:乙车行驶14 h 或114h ,两车恰好相距50 km.13.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v (千米/小时)是车流密度x (辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x ≤220时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度.(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数(即:车流量=车流速度³车流密度).求大桥上车流量y 的最大值.解:(1)设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v =kx +b ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧80=20k +b ,0=220k +b , 解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-25,b =88.∴当20≤x ≤220时,v =-25x +88,当x =100时,v =-25³100+88=48(千米/小时).(2)由题意,得⎩⎨⎧-25x +88>40,-25x +88<60,解得70<x <120.∴应控制大桥上的车流密度在70~120辆/千米范围内. (3)设车流量y 与x 之间的关系式为y =v x , 当0≤x ≤20时, y =80x .∵k =80>0,∴y 随x 的增大而增大, ∴x =20时,y 最大=1600; 当20≤x ≤220时y =(-25x +88)x =-25(x -110)2+4840,∴当x =110时,y 最大=4840. ∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y 取得最大值,是每小时4840辆. 14.某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力,积极完善城镇居民医疗保险制度,设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x 元,按上述标准报销的金额为y 元. (1)直接写出x ≤50000时,y 关于x 的函数表达式,并注明自变量x 的取值范围. (2)若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元,则他住院医疗费用是多少元? 解:(1)由题意得:①当x ≤8000时,y =0;②当8000<x ≤30000时,y =(x -8000)³50%=0.5x -4000;③当30000<x ≤50000时,y =(30000-8000)³50%+(x -30000)³60%=0.6x -7000. (2)当花费30000元时,报销钱数为y =0.5³30000-4000=11000, ∵20000>11000,∴他的住院医疗费用超过30000元,当花费是50000元时,报销钱数为y =11000+20000³0.6=23000(元), 故住院医疗费用小于50000元.故把y =20000代入y =0.6x -7000中,得 20000=0.6x -7000, 解得x =45000.答:他住院医疗费用是45000元.15.某农户计划购买甲、乙两种油茶树苗共1000株.已知乙种树苗比甲种树苗每株贵3元,且用100元钱购买甲种树苗的株数与用160元钱购买乙种树苗的株数刚好相同.(1)求甲、乙两种油茶树苗每株的价格.(2)如果购买两种树苗共用5600元,那么甲、乙两种树苗各买了多少株?(3)调查统计得,甲、乙两种树苗的成活率分别为90%,95%.要使这批树苗的成活率不低于92%,且使购买树苗的费用最低,应如何选购树苗?最低费用是多少?解:(1)设甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为x 元,y 元,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧y =x +3,100x =160y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =5,y =8.答:甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为5元,8元.(2)设购买甲种树苗a 株,则购买乙种树苗(1000-a )株,由题意,得 5a +8(1000-a )=5600,解得a =800,∴乙种树苗购买株数为1000-800=200株.答:购买甲种树苗800株,购买乙种树苗200株.(3)设购买甲种树苗b 株,则购买乙种树苗(1000-b )株,设购买的总费用为W 元,由题意,得90%b +95%(1000-b )≥1000³92%, 解得b ≤600.易得W =5b +8(1000-b )=-3b +8000, ∵k =-3<0,∴W 随b 的增大而减小,∴当b =600时,W 最低=6200元.答:购买甲种树苗600株,购买乙种树苗400株时,费用最低,最低费用是6200元. 16.某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口,普通售票窗口从上午8点开放,而无人售票窗口从上午7点开放.某日从上午7点到10点,每个普通售票窗口售出的车票数y 1(张)与售票时间x (小时)的变化趋势如图①,每个无人售票窗口售出的车票数y 2(张)与售票时间x (h)的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分,如图②.若该日截至上午9点,每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同.(1)求图②中所确定抛物线的表达式.(2)若该日共开放5个无人售票窗口,截至上午10点,两种窗口共售出的车票数不少于900张,则至少需要开放多少个普通售票窗口?(第16题图)解:(1)设y 2=ax 2,当x =2时,y 1=y 2=40,把点(2,40)的坐标代入y 2=ax 2,得 4a =40, 解得a =10, ∴y 2=10x 2.(2)设y 1=kx +b (1≤x ≤3),把点(1,0),(2,40)的坐标分别代入y 1=kx +b ,得⎩⎪⎨⎪⎧k +b =0,2k +b =40,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =40,b =-40. ∴y 1=40x -40.∴当x =3时,y 1=80,y 2=90.设需要开放m 个普通售票窗口,由题意,得 80m +90³5≥900,∴m ≥558.∵m 取整数, ∴m ≥6.答:至少需要开放6个普通售票窗口.专题提升(五) 反比例函数图象与性质的综合应用(第1题图)1.反比例函数y =mx 的图象如图所示,有以下结论:①常数m <-1;②在每个象限内,y 随x 的增大而增大;③若点A (-1,h ),B (2,k )在图象上,则h <k ;④若点P (x ,y )在图象上,则点P ′(-x ,-y )也在图象上. 其中正确的是(C ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④2.下列函数中,当x >0时,y 随x 的增大而增大的是(B ) A. y =-x +1 B. y =x 2-1 C. y =1xD. y =-x 2+13.已知圆柱的侧面积是20π cm 2,若圆柱底面半径为r (cm),高为h (cm),则h 关于r 的函数图象大致是(A )(第4题图)4.如图,△AOB 是直角三角形,∠AOB =90°,OB =2OA ,点A 在反比例函数y =1x 的图象上.若点B 在反比例函数y =kx的图象上,则k 的值为(A )A. -4B. 4C. -2D. 2(第5题图)5.如图,在反比例函数y =-6x (x <0)的图象上任取一点P ,过点P 分别作x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为M ,N ,那么四边形PMON 的面积为__6__.6.反比例函数y =2a -1x 的图象有一支位于第一象限,则常数a 的取值范围是__a >12__.(第7题图)7.如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上,反比例函数y =kx (x >0)的图象经过该菱形对角线的交点A ,且与边BC 交于点F .若点D 的坐标为(6,8),则点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12,83.(第8题图)8.如图,反比例函数y =kx 的图象经过点(-1,-22),点A 是该图象第一象限分支上的动点,连结AO 并延长交另一支于点B ,以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ,顶点C 在第四象限,AC 与x 轴交于点P ,连结BP .(1)k(2)在点A 运动过程中,当BP 平分∠ABC 时,点C(第9题图)9.如图,在直角坐标系xOy 中,一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =k 2x 的图象交于A (1,4),B (3,m )两点.(1)求一次函数的表达式. (2)求△AOB 的面积.解:(1)把点A (1,4)代入y =k 2x 得,k 2=4.∴反比例函数的表达式为y =4x .把点B (3,m )代入y =4x 得,m =43∴点B 的坐标为(3,43).把点A (1,4),B (3,43)的坐标代入y =k 1x +b 得,⎩⎪⎨⎪⎧k 1+b =4,3k 1+b =43,解得⎩⎨⎧k 1=-43,b =163. ∴一次函数的表达式为y =-43x +163.(2)∵直线y =-43x +163与x 轴的交点坐标为(4,0),∴S △AOB =12³4³4-12³4³43=163.10.人的视觉机能受运动速度的影响很大,行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的,车速增加,视野变窄.当车速为50 km/h 时,视野为80度.如果视野f (度)是车速v (km/h)的反比例函数,求f ,v 之间的关系式,并计算当车速为100 km/h 时视野的度数.解:设f ,v 之间的关系式为f =kv (k ≠0). ∵v =50时,f =80,∴80=k 50. 解得k =4000. ∴f =4000v .当v =100时,f =4000100=40(度).答:f =4000v ,当车速为100 km/h 时视野为40度.11.某地计划用120~180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为360万m 3.(1)写出运输公司完成任务所需的时间y (天)与平均每天的工作量x (万m 3)之间的函数表达式,并给出自变量x 的取值范围.(2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石方比原计划多5000 m 3,工期比原计划减少了24天,原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3?解:(1)由题意,得y =360x .把y =120代入y =360x ,得x =3;把y =180代入y =360x ,得x =2.∴自变量x 的取值范围是2≤x ≤3. ∴y =360x(2≤x ≤3).(2)设原计划平均每天运送土石方x (万m 3),则实际平均每天运送土石方(x +0.5)万m 3, 由题意,得360x -360x +0.5=24化简,得x 2+0.5x -7.5=0.解得x 1=2.5,x 2=-3,经检验,x 1=2.5,x 2=-3均为原方程的根,但x 2=-3不符合实际意义,故舍去. 又∵2≤x ≤3,∴x 1=2.5满足条件,即原计划平均每天运送土石方2.5万m 3,实际平均每天运送土石方3万m 3.(第12题图)12.工匠制作某种金属工具需要进行材料煅烧和锻造两道工序,即需要将材料烧到800 ℃,然后停止煅烧进行锻造操作,经过8 min 时,材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y (℃)与时间x (min)成一次函数关系;锻造时,温度y (℃)与时间x (min)成反比例函数关系(如图).已知该材料初始温度是32 ℃.(1)分别求出材料煅烧和锻造时y 关于x 的函数表达式,并且写出自变量x 的取值范围. (2)根据工艺要求,当材料温度低于480 ℃时,须停止操作.那么锻造的操作时间有多长?解:(1)停止加热时,设y =kx(k ≠0),由题意,得600=k8,解得k =4800,∴y =4800x.当y =800时,4800x=800,解得x =6,∴点B 的坐标为(6,800).材料加热时,设y =ax +32(a ≠0), 由题意,得800=6a +32, 解得a =128.∴材料加热时,y 关于x 的函数表达式为y =128x +32(0≤x ≤6). 停止加热进行操作时,y 关于x 的函数表达式为y =4800x (6<x ≤20).(2)把y =480代入y =4800x ,得x =10,10-6=4(min).答:锻造的操作时间为4 min.(第13题图)13.如图,已知点A ,P 在反比例函数y =kx (k <0)的图象上,点B ,Q 在直线y =x -3上,点B 的纵坐标为-1,AB ⊥x 轴(点A 在点B 下方),且S △OAB =4.若P ,Q 两点关于y 轴对称,设点P 的坐标为(m ,n ).(1)求点A 的坐标和k 的值.(2)求n m +mn的值.解:(1)∵点B 在直线y =x -3上,点B 的纵坐标为-1, ∴当y =-1时,x -3=-1,解得x =2, ∴点B (2,-1).设点A 的坐标为(2,t ),则t <-1,AB =-1-t . ∵S △OAB =4, ∴12(-1-t )³2=4, 解得t =-5,∴点A 的坐标为(2,-5).∵点A 在反比例函数y =kx (k <0)的图象上,∴-5=k2,解得k =-10.(2)∵P ,Q 两点关于y 轴对称,点P 的坐标为(m ,n ), ∴点Q (-m ,n ), ∵点P 在反比例函数y =-10x的图象上,点Q 在直线y =x -3上, ∴n =-10m ,n =-m -3,∴mn =-10,m +n =-3,∴n m +m n =m 2+n 2mn =(m +n )2-2mn mn =(-3)2-2³(-10)-10=-2910.(第14题图)14.我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y (℃)随时间x (时)变化的函数图象,其中BC 段是反比例函数y =kx 图象的一部分.请根据图中信息解答下列问题:(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时? (2)求k 的值.(3)当x =16时,大棚内的温度约为多少度?解:(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10 h.(2)∵点B (12,18)在反比例函数y =kx 的图象上,∴18=k12,∴解得k =216.(3)当x =16时,y =21616=13.5,∴当x =16时,大棚内的温度约为13.5 ℃.15.已知双曲线y =1x (x >0),直线l 1:y -2=k (x -2)(k <0)过定点F 且与双曲线交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2),直线l 2:y =-x + 2.(1)若k =-1,求△OAB 的面积S .(2)若AB =522,求k 的值.(第15题图)(3)设N (0,22),P 在双曲线上,M 在直线l 2上且PM ∥x 轴,求PM +PN 最小值,并求PM +PN 取得最小值时点P 的坐标.(参考公式:在平面直角坐标系中,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则A ,B 两点间的距离为AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.解:(1)当k =-1时,l 1:y =-x +22,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +22,y =1x ,化简,得x 2-22x +1=0,解得x 1=2-1,x 2=2+1.设直线l 1与y 轴交于点C ,则C (0,22). S △OAB =S △BOC -S △AOC =12³22(x 2-x 1)=2 2.(2)根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧y -2=k (x -2),y =1x,整理,得kx 2+2(1-k )x -1=0(k <0),∵Δ=[2(1-k )]2-4³k ³(-1)=2(1+k 2)>0, ∴x 1,x 2 是方程的两个根,∴⎩⎨⎧x 1+x 2=2(k -1)k ①,x 1·x 2=-1k ,∴AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =(x 1-x 2)2+⎝⎛⎭⎫1x 1-1x 22=(x 1-x 2)2⎝⎛⎭⎫1+1x 12·x 22 =[(x 1+x 2)2-4x 1·x 2]⎝⎛⎭⎫1+1x 12·x 22将①代入,得AB =2(k 2+1)2k 4=2(k 2+1)k 2(k <0), ∴2(k 2+1)k 2=522,解得k =63(舍去),或 k =-63.(第15题图解)(3)易得点F (2,2),如解图: 设点P ⎝⎛⎭⎫x ,1x , 则点M ⎝⎛⎭⎫-1x +2,1x , 则PM =x +1x - 2=⎝⎛⎭⎫x +1x -22=x 2+1x2-22⎝⎛⎭⎫x +1x +4. ∵PF =(x -2)2+⎝⎛⎭⎫1x -22=x 2+1x2-22⎝⎛⎭⎫x +1x +4, ∴PM =PF .∴PM +PN =PF +PN ≥NF =2,当点P 在NF 上时等号成立,此时NF 对应的函数表达式为y =-x +22, 由(1)知此时点P (2-1,2+1),∴当点P 的坐标是(2-1,2+1)时,PM +PN 的值最小,最小值是2.专题提升(六) 二次函数图象与性质的综合应用(第1题图)1.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象,下列结论: ①二次三项式ax 2+bx +c 的最大值为4;②4a +2b +c <0;③一元二次方程ax 2+bx +c =1的两根之和为-1; ④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0. 其中正确的个数有(B ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个(第2题图)2.如图,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,且OA =OC .则下列结论:①abc <0;②b 2-4ac 4a >0;③ac -b +1=0;④OA ·OB =-ca .其中正确结论的个数是(B )A. 4B. 3C. 2D. 13.对于抛物线y =-12(x +1)2+3,有下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x =1;③顶点坐标为(-1,3);④x >1时,y 随x 的增大而减小.其中正确结论的个数为(C )A. 1B. 2C. 3D. 4(第4题图)4.二次函数y =-x 2+bx +c 的图象如图所示,若点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在此函数图象上,且x 1<x 2<1,则y 1与y 2的大小关系是(B )A. y 1 ≤y 2B. y 1 <y 2C. y 1 ≥y 2D. y 1 >y 25.已知A (-2,y 1),B (1,y 2),C (2,y 3)是抛物线y =-(x +1)2+a 上的三点,则y 1,y 2,y 3的大小关系为(A )A. y 1>y 2>y 3B. y 1>y 3>y 2C. y 3>y 2>y 1D. y 3>y 1>y 26.已知二次函数y =-12x 2-7x +152,若自变量x 分别取x 1,x 2,x 3,且0<x 1<x 2<x 3,则对应的函数值y 1,y 2,y 3的大小关系正确的是(A )。

多边形证明 --特殊四边形证明(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总

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多边形证明-中考数学重难点题型特殊四边形证明(专题训练)1.如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.求证:∠BAE=∠DAF.【分析】根据菱形的性质可得∠B=∠D,AB=AD,再证明△ABE≌△ADF,即可得∠BAE=∠DAF.【解答】证明:四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,AB=AD,在△ABE和△ADF中,AB=AD∠B=∠DBE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS),∴∠BAE=∠DAF.2.如图,在菱形ABCD中,将对角线AC分别向两端延长到点E和F,使得AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.求证:四边形BEDF是菱形.【分析】四边形ABCD是菱形,可得AB=BC=CD=DA,∠DCA=∠BCA,∠DAC=∠BAC,可以证明△CDF≌△CBF,△DAE≌△BFC,△DCF≌△BEA,进而证明平行四边形BEDF是菱形.【解答】证明:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,∠DCA=∠BCA,∴∠DCF=∠BCF,∵CF=CF,∴△CDF≌△CBF(SAS),∴DF=BF,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,∵AE=CF,DA=AB,∴△DAE≌△BFC(SAS),∴DE=BF,同理可证:△DCF≌△BEA(SAS),∴DF=BE,∴四边形BEDF是平行四边形,∵DF=BF,∴平行四边形BEDF是菱形.3.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别是边AB、CD的中点.求证:DE=BF.【答案】证明见试题解析.【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE,AB∥CD,故四边形DEBF是平行四边形,即可得到答案.【详解】∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,又E、F分别是边AB、CD的中点,∴DF=BE,又AB∥CD,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.考点:1.矩形的性质;2.全等三角形的判定.4.已知:如图,在▱ABCD中,点O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E,求证:AD=CE.【分析】只要证明△AOD≌△EOC(ASA)即可解决问题;【解答】证明:∵O 是CD 的中点,∴OD=CO,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠OCE,在△ADO 和△ECO 中,∠D =∠OCE OD =OC ∠AOD =∠EOC ,∴△AOD≌△EOC(ASA),∴AD=CE.5.如图,在▱ABCD 中,点E 在AB F 在CD 的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD 交于点G,H.求证:EG=FH.【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.【解答】证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,∠ABC=∠FDH,在△BEG 与△DFH 中,∠E =∠F BE =DF ∠EBG =∠FDH ,∴△BEG≌△DFH(ASA),∴EG=FH.6.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB、DC于点E、F,连接AF、CE.(1)若OE=32,求EF的长;(2)判断四边形AECF的形状,并说明理由.【分析】(1)判定△AOE≌△COF(ASA),即可得OE=OF=32,进而得出EF的长;(2)先判定四边形AECF是平行四边形,再根据EF⊥AC,即可得到四边形AECF是菱形.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AO=CO,∴∠FCO=∠EAO,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF=32,∴EF=2OE=3;(2)四边形AECF是菱形,理由:∵△AOE≌△COF,∴AE=CF,又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,又∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.7.已知:如图,在▱ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且BE平分∠ABC,EF∥AB.求证:四边形ABFE是菱形.【答案】见解析【分析】先证四边形ABFE是平行四边形,由平行线的性质和角平分线的性质证AB=AE,依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.【解析】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,又∵EF∥AB,∴四边形ABFE是平行四边形,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBF,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∴平行四边形ABFE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定,解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明,特别注意角平分线加平行,可证等腰三角形.8.如图,四边形ABCD 是菱形,点E 、F 分别在边AB 、AD 的延长线上,且BE DF =.连接CE 、CF .求证:CE CF =.【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD,∠ADC=∠ABC,根据SAS 证明△BEC≌△DFC,可得CE=CF.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∴BC=CD,∠ADC=∠ABC,∴∠CDF=∠CBE,在△BEC 和△DFC 中,BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BEC≌△DFC(SAS),∴CE=CF.【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件.9.如图,在ABC 中,BAC ∠的角平分线交BC 于点D,//,//DE AB DF AC .(1)试判断四边形AFDE 的形状,并说明理由;(2)若90BAC ∠=︒,且AD =AFDE 的面积.【答案】(1)菱形,理由见解析;(2)4【分析】(1)根据DE∥AB,DF∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形,再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD,可得AE=DE,即可证明;(2)根据∠BAC=90°得到菱形AFDE 是正方形,根据对角线AD 求出边长,再根据面积公式计算即可.【详解】解:(1)四边形AFDE 是菱形,理由是:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AFDE 是平行四边形,∵AD 平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD,∵DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EDA=∠EAD,∴AE=DE,∴平行四边形AFDE 是菱形;(2)∵∠BAC=90°,∴四边形AFDE 是正方形,∵AD=,=2,∴四边形AFDE 的面积为2×2=4.【点睛】本题考查了菱形的判定,正方形的判定和性质,平行线的性质,角平分线的定义,解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法.10.如图,矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O,//BE AC ,//AE BD .(1)求证:四边形AOBE 是菱形;(2)若60AOB ∠=︒,4AC =,求菱形AOBE 的面积.【答案】(1)证明过程见解答;(2)【分析】(1)根据BE∥AC,AE∥BD,可以得到四边形AOBE 是平行四边形,然后根据矩形的性质,可以得到OA=OB,由菱形的定义可以得到结论成立;(2)根据∠AOB=60°,AC=4,可以求得菱形AOBE 边OA 上的高,然后根据菱形的面积=底×高,代入数据计算即可.【解析】解:(1)证明:∵BE∥AC,AE∥BD,∴四边形AOBE 是平行四边形,∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD,OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,∴OA=OB,∴四边形AOBE 是菱形;(2)解:作BF⊥OA 于点F,∵四边形ABCD 是矩形,AC=4,∴AC=BD=4,OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,∴OA=OB=2,∵∠AOB=60°,∴BF=OB•sin∠AOB=2=∴菱形AOBE的面积是:OA•BF=2【点睛】本题考查菱形的判定、矩形的性质,解答本题的关键是明确菱形的判定方法,知道菱形的面积=底×高或者是对角线乘积的一半.11.如图,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.(1)求证:四边形ACED是平行四边形;(2)如果AB AE=,求证:四边形ACED是矩形.【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)由平行四边形的性质以及点C是BE的中点,得到AD∥CE,AD=CE,从而证明四边形ACED 是平行四边形;(2)由平行四边形的性质证得DC=AE,从而证明平行四边形ACED是矩形.【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC.∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE,∵AD∥CE,∴四边形ACED 是平行四边形;(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=DC,∵AB=AE,∴DC=AE,∵四边形ACED 是平行四边形,∴四边形ACED 是矩形.【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.12.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,过点O 的直线EF 与BA、DC 的延长线分别交于点E、F.(1)求证:AE=CF;(2)请再添加一个条件,使四边形BFDE 是菱形,并说明理由.【答案】(1)见解析;(2)EF⊥BD 或EB=ED,见解析【分析】(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌,则可得到AE =CF;(2)连接BF,DE,由AOE COF V V ≌,得到OE=OF,又AO=CO,所以四边形AECF 是平行四边形,则根据EF⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形.【详解】证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC,BE∥DF∴∠E=∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE=CF(2)当EF⊥BD 时,四边形BFDE 是菱形,理由如下:如图:连结BF,DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB=OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF⊥BD,∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质,菱形的判定等知识点,熟悉相关性质,能全等三角形的性质解决问题是解题的关键.13.如图,在▱ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,点E,F 分别在BD 和DB 的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)连接AF,CE.当BD 平分∠ABC 时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由.【分析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形,可以得到AD=CB,∠ADC=∠CBA,从而可以得到∠ADE=∠CBF,然后根据SAS即可证明结论成立;(2)根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质,可以证明▱ABCD是菱形,从而可以得到AC ⊥BD,然后即可得到AC⊥EF,再根据题目中的条件,可以证明四边形AFCE是平行四边形,然后根据AC⊥EF,即可得到四边形AFCE是菱形.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠ADC=∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,在△ADE和△CBF中,AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS);(2)当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是菱形,理由:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥EF,∵DE=BF,∴OE=OF,又∵OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形,∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形.14.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF ⊥BD,垂足分别为E,F.AC平分∠DAE.(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;(2)求证:AE=CF.【分析】(1)利用三角形内角和定理求出∠EAO,利用角平分线的定义求出∠DAC,再利用平行线的性质解决问题即可.(2)证明△AEO≌△CFO(AAS)可得结论.【解答】(1)解:∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°,∵CA平分∠DAE,∴∠DAC=∠EAO=40°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠ACB=∠DAC=40°,(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°,∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(AAS),∴AE=CF.15.如图,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,交对角线BD于点E,F.(1)若∠BCF=60°,求∠ABC的度数;(2)求证:BE=DF.【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AB∥CD,根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD=180°,根据角平分线的定义得到∠BCD=2∠BCF,于是得到结论;(2)根据平行四边形的性质得到AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠DCB,求得∠ABE=∠CDF,根据角平分线的定义得到∠BAE=∠DCE,根据全等三角形的性质即可得到结论.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵CF平分∠DCB,∴∠BCD=2∠BCF,∵∠BCF=60°,∴∠BCD=120°,∴∠ABC=180°﹣120°=60°;(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠DCB,∴∠ABE=∠CDF,∵AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,∴∠BAE=12∠BAD,∠DCF=12∠BCD,∴∠BAE=∠DCE,∴△ABE≌△CDF(ASA),∴BE=CF.16.如图,点E 是▱ABCD 的边CD 的中点,连结AE 并延长,交BC 的延长线于点F.(1)若AD 的长为2,求CF 的长.(2)若∠BAF=90°,试添加一个条件,并写出∠F 的度数.【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD∥CF,则∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠FCE,由点E 是CD 的中点,得出DE=CE,由AAS 证得△ADE≌△FCE,即可得出结果;(2)添加一个条件当∠B=60°时,由直角三角形的性质即可得出结果(答案不唯一).【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥CF,∴∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠FCE,∵点E 是CD 的中点,∴DE=CE,在△ADE 和△FCE 中,∠DAE =∠CFE ∠ADE =∠FCE DE =CE ,∴△ADE≌△FCE(AAS),∴CF=AD=2;(2)∵∠BAF=90°,添加一个条件:当∠B=60°时,∠F=90°﹣60°=30°(答案不唯一).17.如图,四边形ABCD 是平行四边形,DE∥BF,且分别交对角线AC 于点E,F,连接BE,DF.(1)求证:AE=CF;(2)若BE=DE,求证:四边形EBFD 为菱形.【分析】(1)根据平行四边形的性质,可以得到AD=CB,AD∥CB,从而可以得到∠DAE=∠BCF,再根据DE∥BF和等角的补角相等,从而可以得到∠AED=∠CFB,然后即可证明△ADE和△CBF 全等,从而可以得到AE=CF;(2)根据(1)中的△ADE和△CBF全等,可以得到DE=BF,再根据DE∥BF,即可得到四边形EBFD是平行四边形,再根据BE=DE,即可得到四边形EBFD为菱形.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,AD∥CB,∴∠DAE=∠BCF,∵DE∥BF,∴∠DEF=∠BFE,∴∠AED=∠CFB,在△ADE和△CBF中,∠DAE=∠BCF∠AED=∠CFBAD=CB,∴△ADE≌△CBF(AAS),∴AE=CF;(2)证明:由(1)知△ADE≌△CBF,则DE=BF,又∵DE∥BF,∴四边形EBFD是平行四边形,∵BE=DE,∴四边形EBFD为菱形.18.如图,点E,F在▱ABCD的边BC,AD上,BE=13BC,FD=13AD,连接BF,DE.求证:四边形BEDF是平行四边形.【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC,AD∥BC,进而得出DF=BE,利用平行四边形的判定解答即可.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∵BE=13BC,FD=13AD,∴BE=DF,∵DF∥BE,∴四边形BEDF是平行四边形.20.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.【分析】(1)证△MOD≌△NOB(AAS),得出OM=ON,由OB=OD,证出四边形BNDM是平行四边形,进而得出结论;(2)由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN,OB=12BD=12,OM=12MN=5,由勾股定理得BM=13,即可得出答案.【解答】(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DMO=∠BNO,∵MN是对角线BD的垂直平分线,∴OB=OD,MN⊥BD,在△MOD 和△NOB 中,∠DMO =∠BNO ∠MOD =∠NOB OD =OB ,∴△MOD≌△NOB(AAS),∴OM=ON,∵OB=OD,∴四边形BNDM 是平行四边形,∵MN⊥BD,∴四边形BNDM 是菱形;(2)解:∵四边形BNDM 是菱形,BD=24,MN=10,∴BM=BN=DM=DN,OB =12BD=12,OM =12MN=5,在Rt△BOM 中,由勾股定理得:BM =OM 2+OB 2=52+122=13,∴菱形BNDM 的周长=4BM=4×13=52.。

专题11 以平行四边形为背景的计算与证明-押题2018年中考数学之提升解题能力训练精品(原卷版)

押题2018年中考数学之提升解题能力训练专题11以平行四边形为背景的计算与证明类型一以平行四边形为背景的计算与证明【母题重现】如图,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.【方法】(1)平行四边形是一种特殊的四边形,它具有对边平行且相等,对角线互相平分的性质,根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题;(2)平行四边形的判定有四种方法:两组对边平行;两组对边分别相等;一组对边平行且相等;对角线互相平分.【中考回顾】1.(2017四川省眉山市)如图,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为()A.14 B.13 C.12 D.102.(2017浙江省丽水市)如图,在▱ABCD中,连结AC,∠ABC=∠CAD=45°,AB=2,则BC的长是()A B.2C.D.43.(2017四川省南充市)如图,在▱ABCD中,过对角线BD上一点P作EF∥BC,GH∥AB,且CG=2BG,S△BPG=1,则S▱AEPH= .4.(2017四川省绵阳市)如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A 的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是.5.(2017江苏省连云港市)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若∠EAF=60°,则∠B= .6. (2017湖北武汉第13题)如图,在ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE,若AE=AB,则∠EBC的度数为.7.(2017湖南怀化第13题)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,5cmOE=,则AD的长为 cm.连接AE并延长交BC的延长线于点F.8.(2017湖南湘潭第20题)如图,在ABCD中,DE CE(1)求证:ADE FCE ∆≅∆;(2)若2AB BC =,36F ∠=°,求B ∠的度数.9.(2017甘肃庆阳第26题)如图,矩形ABCD 中,AB=6,BC=4,过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ,CD 边于点E ,F .(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时,求EF 的长.10. (2017浙江舟山第23题)如图AM 是ABC ∆的中线,D 是线段AM 上一点(不与点A 重合),AB DE //交AC 于点F ,AM CE //,连结AE .(1)如图1,当点D 与M 重合时,求证:四边形ABDE 是平行四边形;(2)如图2,当点D 不与M 重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(3)如图3,延长BD 交AC 于点H ,若AC BH ⊥,且AM BH =.当3=FH ,4=DM 时,求DH的长.2.在ABCD Y 中,对角线AC ,BD 相交于点O .若4AB =,10BD =,3sin 5BDC ∠=,则ABCD Y 的面积是 .3.(2017甘肃兰州第19题)在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,要使四边形ABCD 是正方形,还需添加一组条件。

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专题提升(十一) 以特殊四边形为背景的计算与证明
类型之一 以平行四边形为背景的计算与证明
(人教版八下P68复习题第7题)
如图,四边形ABCD是平行四边形,BE∥DF,且分别交对角线
AC于点E,F,连接ED,BF.求证:∠1=∠2.

【思想方法】 平行四边形是一种特殊的四边形,它具有对边平
行且相等、对角线互相平分等性质.根据平行四边形的性质,可以解
决一些有关的计算或证明问题.平行四边形的判定有四种常用方法:
两组对边分别平行;两组对边分别相等;一组对边平行且相等;对角
线互相平分.

[2018·恩施州]如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,
AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于点O.求证:AD与BE互相平分.
如图,已知E,F分别是▱ABCD的边BC,AD上的点,且BE
=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若四边形AECF是菱形,且BC=10,∠BAC=90°,求BE
的长.

类型之二 以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明
(人教版八下P64数学活动1)
如果我们身旁没有量角器或三角板,又需要作60°,30°,15°等
大小的角,可以采用下面的方法(如图):
(1)对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把
纸片展平;
(2)再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,
得到折痕BM.同时,得到了线段BN,MN,再把纸片展平.
观察所得的∠ABM,∠MBN和∠NBC,这三个角有什么关系?
你能证明吗?
【思想方法】 折叠的本质是轴对称,折叠在实际生活中有广泛
的应用,折叠前后的图形全等是解题的关键.特殊四边形与折叠的结
合能很好地考查学生综合运用知识的能力,是中考的热点考题.

1.[2018·荆州]如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合,
得到折痕MN,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到MN上的点F
处,折痕AP交MN于点E,延长PF,交AB于点G.
求证:(1)△AFG≌△AFP;
(2)△APG为等边三角形.

2.[2019·青岛]如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点
O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至点G,使EG=AE,
连接CG.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请
说明理由.
3.[2019·宁波]如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD
的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:BG=DE;
(2)若E为AD中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.

4.[2019·鄂州]如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O
是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.
(1)求证:四边形DEBF是平行四边形;
(2)当DE=DF时,求EF的长.

如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正
三角形,点E,F分别在菱形的边BC,CD上滑动,且点E,F不与
点B,C,D重合.
(1)求证:不论E,F在BC,CD上如何滑动,总有BE=CF;
(2)当点E,F在BC,CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和
△CEF的面积是否发生变化.如果不变,求出其定值;如果变化,
求出其最大(或最小)值.

参考答案
【教材母题】 略
【中考变形】 略
【中考预测】 (1)略 (2)5
【教材母题】 ∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°.证明略.
【中考变形】
1.(1)略 (2)略
2.(1)略 (2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形,理由略
3.(1)略 (2)8

4.(1)略 (2)152
【中考预测】
(1)略 (2)四边形AECF的面积不发生变化,其值为43,△CEF
的面积发生变化,其最大值为3.

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