集合教案

第一节，集合的含义与表示 实例： （1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，„„，9． （2）满足3x – 2 ＞x + 3的全体实数．（3）高一（1）班全体同学．（4）参与中国加入WTO谈判的中方成员．请想一想，集合这个概念应该怎样描述？ 一．集合的概念与性质

1．集合：

一般地，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．

2．集合的元素（或成员）：

即构成集合的每个对象（或成员）

• 一般地，我们把所研究的对象如自然数、高一(1)班的同学、WTO的中方代表，统称为 ，把一些 组成的总体叫做 ，通常用 表示．

3．元素与集合的关系：（举例）

集合通常用英语大写字母A、B、C„表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c….表示．如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．

如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA，读作“a不属于A”． 例如，用A表示“ 1~20以内所有的质数”组成的集合，则有3 ∊A，4 ∉A，等

4．集合的元素的基本性质：

思考：我国的小河流”能不能组成一个集合，你能用集合的知识解释吗？ 答案：“我国的小河流”不能组成一个集合．因为集合中的元素必须是确定的，而在我国的河流中到底多大才算小河流并无具体的标准．要有明确的标准，明确性 （1） 确定性：给定的集合中的元素必须是确定的．

点评：军训前学校通知：8 月 15 日上午 8 点，高一年级在体育馆集合进行军训动员.

试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体. 思考：1，－1,1,3组成的集合为 （2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．若构成两集合的元素是一样的，则称两集合相等

例题：若a∈{a2,1}则a＝ . 若集合{1,2}与集合{a,1}相等，则a＝ .

（3）无序性：集合中的元素无顺序． 例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合． 练习： 分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： ① 不等式 x - 3 > 0 的解；② 3 的倍数；③ 方程x2 - 2x +1 = 0 的解； ④ a，b，c，x，y，z；⑤ 最小的整数；⑥ 周长为 10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明；⑧ 全班每个学生的年龄；⑨ 地球上的四大洋；

5．空集：不含任何元素的集合，记作．

6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．

下列集合，哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合； (2)线段AB上的点的全体构成的集合； (3)把线段AB等分为100等份的点的全体构成的集合； (4)以点M为中点的所有线段构成的集合． [解析] (1)有限集．(2)无限集．(3)有限集．(4)无限集．

二、常用的数集 数集 符号 自然数集(非负整数集) N 正整数集 N* 或N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

填∈或：0 N；0 R；3.7 N；3.7 Z；3 Q；3 - 2 R.

若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素 三、集合的表示方法 1.列举法： 定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么 A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. 练习：(1)方程(x2－1)( x2＋2x－8)＝0的解集为 ．

(2)方程|x－1|＝3的解集为 ． (3)绝对值小于3的整数的集合为 2.描述法： 定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为 x，并且满足条件x2 – 2 = 0，因此，用描

述法表示为A = {x∈R| x2 –2 = 0}.

方程x2 –2 = 0有两个实数根2，2，因此，用列举法表示为A = {2，2}. （2）设大于10小于20的整数为 x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20. 因此，用描述法表示为B = {x∈Z | 10＜x＜20}. 大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}. 练习：

试用描述法表示下列集合： (1)方程x2－3x＋2＝0的解集为 ． (2)不等式3x＋2>0的解集为 ． (3)大于1小于5的整数组成的集合为 ． 用列举法表示下列集合： (1)不等式2x－1＜5的自然数解组成的集合．________ (2)古代我国的四大发明组成的集合．________ (3)A＝{x|0(4)B＝{x| x2－5x＋6＝0}．________

它的一般形式是{x∈A|p(x)}或{x|p(x)}．“ ”为代表元素，“ ”为元素x必须具有的共同特征，当且仅当“x”适合条件“p(x)”时，x才是该集合中的元素，此法具有抽象概括、普遍性的特点，当元素个数较多时，一般选用此法． 3、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下： 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：

表示任意一个集合A 表示{3，9，27} 说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.

学习要点点拔： • 正确理解概念，准确使用符号，熟练进行集合不同表示方法的转换是学好本节的关键． • 1．要辩证理解集合和元素这两个概念： • (1)符号∈和∉是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系． • (2)集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件． • 2．深刻认识集合中元素的四种属性 • (1)任意性：集合中的元素可以是任意的对象，无论是数、式、点、线、人，还是其它的某种事或物，只要它们具有某种共同属性，集中在一起就能组成一个集合，我们把集合的这一性质称为元素的任意性；在中学，我们主要研究对象是一系列的数的集合或点的集合． • (2)确定性：判断一些对象是否可以组成一个集合，主要方法是，在观察任意一个对象时，应该可以确定这一对象要么属于这一集合，要么它不属于这一集合．

例如：给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其它对象都不属于这个集合．如果说“由接近3的数组成的集合”这里“接近3的数”是没有严格标准、比较模糊的概念．它不能构成集合．如“好人”、“较大的树”等都不能成为集合． • (3)无序性：在表示一个集合时，我们只需将某些指定的对象集在一起，虽然习惯上会将元素按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序，当两个集合中的元素相同，即便放置顺序完全不同时，它们也表示同一集合． • 例如：{a，b}和{b，a}表示同一个集合． • (4)互异性：对于任意一个集合而言，在这一集合中的元素都是互不相同的个体． • 如：给出集合{1，a2}，我们根据集合中元素的互异性，就已经得到了关于这个集合的几点信息，即这一集合中有两个不同的元素，其中的一个是实数1，而另一个一定不是1，所以a≠1，且a≠－1. • 3．正确理解列举法 • (1)元素间用分隔号“，”隔开； • (2)元素不重复； • (3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号． • 4．合理选用集合的表示方法 • 列举法与描述法各有优点，列举法可以看清集合的元素，描述法可以看清集合元素的特征，一般含有较多或无数多个元素时不宜采用列举法，因为不能将集合中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定． • 5．要正确理解描述法 • 用描述法表示集合时注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)等．(2)元素具有怎样的属性？ • 用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用联结词“且”与“或”等联结；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． • 6．特别注意以下几种集合，这是我们研究集合时的主要研究对象． • (1)一般数集． • (2)特殊数集：如方程的解集；不等式的解集等． • (3)平面点集． • (4)图形集． • 7．集合语言 • 集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言．包括文字语言、符号语言、图形语言． • 要熟练地将集合的三种语言进行相互转化． • 解集合问题的关键 • 解决集合问题的关键是弄清集合由哪些元素所构成．如何弄清呢？关键在于把抽象问题具体化、形象化．也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形来表示集合． • 例如，在判断集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}与集合B＝{y|y＝2n－1，n∈Z}是否为同一集合时，若从代表元素入手来分析它们之间的关系，则比较抽象，而用列举法来表示两个集合，则它们之间的关系就一目了然．即A＝{„，－1,1,3,5，„}，而B＝{„，－1,1,3,5„} • ∴A与B是同一集合．